一阶系统的时间响应
一阶系统的时间响应
给一阶系统输入单位阶跃信号，根据一阶系统的传递函数，计算其拉氏反变换，求 出微分方程的解c(t)，即为一阶系统的单位阶跃响应。其实质就是根据已知条件（单 位阶跃信号），利用传递函数和拉氏反变换，求出输出信号c(t)。
因为输入信号是单位阶跃信号，所以 Rs 1
s
又因为
Gs
Cs RS
e
t T
，t
0
显然，
d
ct
t
1
e
t T
dt
cI t
dcI t
dt
1 T
e
t T
c t
即单位阶跃响应是单位斜坡响 应的导数，单位脉冲响应是单 位阶跃响应的导数。
3.2.5 线性定常系统时间响应的性质 （2）
由此可得出以下结论（线性定常系统重要特征）：
Ts 1 s2
s2
s
s
1 T
查拉氏变换对照表得一阶系统的单位斜坡响应为
ct
t
T
Te
t T
，t
0
一阶系统的单位斜坡响应曲线
如图所示，该响应系统存在误差信号
e(t)，误差信号
et
rt ct
t
t
T
Te
t T
T
1
e
t T
当t→∞时，e
在t=0时，响应曲线的切线斜率为1/T。 时间常数决定于系统参数，与输入
信号无关。
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
因为输入信号是单位斜坡函数，所以
Rs
实验二——一阶系统的时域响应及参数测定
实验二 一阶系统的时域响应及参数测定实验指导说明书一、实验目的1．了解双闭环不可逆直流调速系统的原理、组成及主要单元部件的作用。
2．掌握双闭环不可逆直流调速系统的调试步骤、方法及参数的测定。
3．研究调节器参数对系统动态性能的影响二、实验内容1．理论设计：根据所学的理论知识和实践技能，了解带转速微分负反馈的双闭环V-M 调速系统的基本原理，解决积分调节器的饱和非线性问题；采用工程设计方法设计一个带转速微分负反馈的双闭环直流调速系统(含主电路和控制电路,选择的元器件，系统的电气原理图)。
2．仿真实践：根据所设计系统，利用MATLAB/Simulink 建立各个组成部分相应的数学模型，并对系统仿真模型进行综合调试，分析系统的动态性能，并进行校正，得出正确的仿真实验波形和合适控制器参数，为搭建实际系统提供参考。
三、实验步骤四、附录1001()101000.1110.1s s s sφ==⨯++ 参数：惯性环节的时间常数T=0.1S 域响应：C(S)=R(S)⨯()s φR(S) 反拉普拉斯变换t 域响应：()c t =1L -（C(S)）()-10()()()(1)101r t =,()0,<0100110011()10100101010.1(t)=10(1-e )t C S R S S R S t S S C S S S S S S Sc φ=≥⎧=⎨⎩⎛⎫=⋅==- ⎪++⎝⎭+输入信号是单位阶跃函数，t （）一阶系统的时域响应：任务：（1）在单位阶跃信号作用下，求取一阶系统的输出响应;设置不同的参数，分析系统输出响应。
（2）在单位斜坡信号作用下，求取一阶系统的输出响应；设置不同的参数，分析系统输出响应。
技巧：建立自控系统的模型，首先必须掌握控制系统的工作原理，并根据工作原理建立系统的动态结构方框图，依此建立系统的控制模型。
在单位阶跃作用下，R(S)=1/S,C(S)=101101010()()()0.1()0.110.10.1110110100.1110()101()10()100101(1)1011010tC S R S S S S S S s s s s c t t e t c t c φ-===-++=-=-++=-→∝∝=-===⨯-⨯=。
一阶系统的时域响应实验报告
一阶系统的时域响应实验报告实验目的：通过实验观察一阶系统的时域响应情况，掌握一阶系统的传递函数及其参数对响应的影响。
实验器材：示波器、信号发生器、直流电源、一阶滤波器。
实验原理：一阶系统的传递函数为H(s)=K/(Ts+1)，其中K为系统的增益，T为系统的时间常数。
系统的单位阶跃响应为h(t)=K(1-e^(-t/T))。
实验步骤：1、按照实验电路连接图连接电路。
2、将示波器接在电路输出端，用信号发生器产生一个频率为1kHz的正弦波作为输入信号，调节直流电源，使得输入信号幅值为1V。
3、测量电路输出波形，记录幅值、峰值、频率等数据。
4、将输入信号改为单位阶跃信号，在示波器上观察并记录输出信号的响应过程，测量电路的时间常数T。
实验结果及分析：1、在实验中，我们按照传统的RC低通滤波器的电路连接方式，将滤波器动态系统搭建起来。
2、对于一个RC电路，可以证明其传递函数为H(s)=1/(RCs+1)。
因此在实验中，我们可以通过改变RC电路的$RC$值来改变系统的时间常数，并观察其对系统响应的影响。
3、实验中我们观察到，当输入信号为正弦波时，系统能够对信号进行较好的滤波，输出信号幅值与频率的比例关系为a1=f^-1。
4、当输入信号为单位阶跃信号时，我们能够观察到系统的单位阶跃响应。
在实验中，我们通过观察输出信号的时间常数，可以得到系统的时间常数T。
5、实验中，我们还观察到了系统的过渡过程。
在输入信号发生变化后，系统的输出信号不会立即改变，而是经过一段时间才能够达到稳态。
在实验中，我们通过调节系统的时间常数来观察过渡过程的变化，从而获得了对一阶系统的更深刻的认识。
实验结论：通过本实验，我们详细地了解了一阶系统的时间常数、单位阶跃响应等数学概念，同时还深入掌握了一阶系统的响应机理。
此外，我们还利用实验数据验证了一阶系统的传递函数的正确性，并进一步掌握了如何通过调节时间常数来改变系统响应的技巧。
一阶系统的时间响应
δ (t ) =
+∞ −∞
0(t ≠ 0) ∞(t = 0)
∫ δ (t)dt =1
单位斜坡函数的定义为
d[I (t )] =0 = δ (t ) dt
即单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。 即单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。
t −T
，此时e(t)=T。 。 →0 此时
所以可得以下结论： 所以可得以下结论：
足够大时， 当t足够大时，一阶系统跟踪单位斜坡信 足够大时 号输入的稳态误差为时间常数T； 号输入的稳态误差为时间常数 ；时间 常数T越小，该环节的稳态误差越小。 常数 越小，该环节的稳态误差越小。 越小
3.2.4 一阶系统的单位脉冲响应
3.2 一阶系统的时间响应
一阶系统的数学模型 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位斜坡响应 一阶系统的单位脉冲响应 线性定常系统时间响应的性质
3.2.1 一阶系统的数学模型（1） 一阶系统的数学模型（ ）
定义
能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 系统传递函数中分母多项式中s的最高幂数为 的系统称为一阶系统 系统传递函数中分母多项式中 的最高幂数为1的系统称为一阶系统。 的最高幂数为 的系统称为一阶系统。 一阶系统的典型形式是惯性环节。 一阶系统的典型形式是惯性环节。
查拉氏变换对照表得一阶系统的单位斜坡响应为
(t c(t) = t −T +Te ，≥ 0)
t −T
一阶系统的单位斜坡响应曲线
如图所示， 如图所示，该响应系统存在误差信号 e(t)，误差信号 ，
(自动控制原理)3一阶系统的时间响应及动态性能
06
结论
一阶系统的时间响应及动态性能总结
一阶系统的时间响应特性
一阶系统在输入信号的作用下，其输出量随时间变化的过程。通过分析一阶系统的传递函数，可以得出其时间响应的 特性，包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
一阶系统的动态性能分析
动态性能是一阶系统对输入信号的响应能力，包括系统的稳定性、快速性和准确性等。通过分析一阶系统的开环和闭 环频率特性，可以得出其动态性能的特性，如相位裕度和幅值裕度等。
3
在实际应用中，可以通过实验或理论分析来获取 一阶系统的数学模型。
一阶系统的分类
01
根据时间常数T的大小，一阶系统可以分为快系统和 慢系统。
02
时间常数T较小的一阶系统称为快系统，其动态响应 速度较快。
03
时间常数T较大的一阶系统称为慢系统，其动态响应 速度较慢。
03
一阶系统的时间响应分析
时间响应的定义与计算
实例二：一阶系统的单位脉冲响应模拟
总结词：时间常数
详细描述：与单位阶跃响应类似，一阶系统的单位脉冲响应的时间常数也是系统的重要参数，它决定 了系统衰减到零所需的时间。时间常数越小，系统衰减到零所需的时间越短。
实例三：一阶系统的动态性能优化实例
总结词
PID控制器
详细描述
为了优化一阶系统的动态性能，可以采用PID控制器。PID控制器能够根据系统 的输入和输出信号调整系统的参数，从而改善系统的性能指标，如超调量、调 节时间和稳态误差等。
详细描述：由于一阶系统的单位阶跃响应具有快速跟踪 的特点，因此系统在稳态时不会产生静差，输出能够精 确地跟踪输入信号。
详细描述：一阶系统的单位阶跃响应的时间常数是系统 的重要参数，它决定了系统达到稳态值所需的时间。时 间常数越小，系统达到稳态值所需的时间越短。
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述时域分析是控制系统理论中的重要内容，主要用于分析系统的时间响应。
在时域分析中，我们会关注系统的输入和输出之间的关系，并研究系统在时间上的性能指标和特征。
本文将重点讲述一阶和二阶系统的时间响应。
一、一阶系统的时间响应一阶系统是指系统的传递函数中只有一个一阶多项式的系统，其传递函数形式为：G(s)=K/(Ts+1)其中，K是系统的增益，T是系统的时间常数。
一阶系统的单位阶跃响应是常用的时间响应之一，通过对系统施加一个单位阶跃输入，可以得到系统的响应曲线。
单位阶跃输入可以表示为：u(t)=1由于一阶系统的传递函数是一个一阶多项式，因此它的拉普拉斯变换可以通过部分分式展开得到：G(s)=K/(Ts+1)=A/(s+1/T)通过进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统的单位阶跃响应函数y(t)：y(t) = K(1 - exp(-t/T))其中，exp(-t/T)为底数为e的指数函数，表示系统的响应曲线在t时刻的衰减程度。
从单位阶跃响应函数可以看出，一阶系统的时间常数T决定了系统的响应速度和衰减程度。
时间常数越小，系统的响应越快速，衰减程度也越快。
二、二阶系统的时间响应二阶系统是指系统的传递函数中有一个二阶多项式的系统，通常可以表示为：G(s) = K / (s^2 + 2ξω_ns+ω_n^2)其中，K是系统的增益，ξ是系统的阻尼比，ω_n是系统的自然频率。
二阶系统的时间常数和质量阻尼比是描述系统性能的重要参数。
时间常数决定了系统响应的速度，质量阻尼比则影响了系统的稳定性和衰减程度。
对于二阶系统的单位阶跃响应，可以通过拉普拉斯逆变换得到响应函数y(t)：y(t) = K*(1 - (1-ξ^2)^0.5 * exp(-ξω_nt) * cos((1-ξ^2)^0.5 * ω_nt + φ))其中，φ为相位角，由初始条件和变量确定。
从单位阶跃响应函数可以看出，二阶系统的阻尼比ξ决定了系统的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的响应形式。
(自动控制原理)3一阶系统的时间响应及动态性能
(自动控制原理)3一阶系 统的时间响应及动态性能
本节介绍一阶系统的定义、特点以及时间响应，探讨影响动态性能的因素和 常见应用场景，并讨论比例控制、积分控制和比例积分控制方法。
一阶系统的定义和特点
定义
一阶系统是指具有一个能量存储元件和一个能 量传递元件的线性系பைடு நூலகம்。
特点
一阶系统具有简单的结构、易于分析和控制、 但响应速度较慢。
一阶系统的时间响应
1
零状态响应
当输入信号改变时，系统从初始状态开始的响应。
2
零输入响应
当输入信号为零时，系统由初始状态跟踪到平衡状态的响应。
3
控制一阶系统的方法
比例控制、积分控制和比例积分控制。
一阶系统的动态性能指标
1 响应速度
衡量系统从初始状态到达稳定状态所需的时间。
2 超调量
描述系统响应超过稳态值的程度。
3 阻尼比
描述系统振荡响应的衰减程度。
影响一阶系统动态性能的因素
1 系统增益
增加系统增益可以加快响应速度，但可能导致超调量增加。
2 时延效应
时延会影响系统的稳定性和响应速度。
常见应用场景
温度控制
一阶系统常用于室内温度控制，如空调、恒温器等。
速度控制
一阶系统可用于调节电机速度，如风扇、电动车等。
结论
第三章 一阶系统的时间响应
微 分
一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应
微 分
传递函数
(t )
1
1 S 1 S2
1 T e T
t
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e
t T
t 0
t T
t T Te
t 0
t T
1 S3
1 2 t Tt T 2 (1 e 2
t 0
1 T
一阶系统的单位函数响 应函数是一个递增的指 数函数。
一阶系统的时间常数不同，其单位阶跃响应曲线上 升的速度不同，时间常数越大，上升越慢（惯性越 大），反之，依然。
一阶系统过渡过程： •一阶系统的单位阶跃响应曲线从初值上升到稳态值的98%或 稳态值的95%所经历的过程。 过渡过程时间（调整时间）： •一阶系统的单位响应曲线从初值上升到稳态值的98%或稳态 值的95%所经历的时间。 •当⊿取2%时，一阶系统过渡过程时间约为4T。
应用这个结论,在实验建模时,我们只要测到系统的单位脉冲 响函数,然后,对其进行Laplace变换就可以求得系统的传递 函数.这对于所有的线性定常系统都适用.
应用这个结论,在实验建模时,我们只要测到系统的单位脉冲 响函数,然后,对其进行Laplace变换就可以求得系统的传递 函数.这对于所有的线性定常系统都适用.
X o (s) n2 G (s) 2 2 X i ( s ) s 2 n s n
式中， n 称为二阶系统的无阻尼固有频率；
称为系统的阻尼比。 n,是二阶系统的特征参数，表明了
二阶系统与外界无关的特性。
系统的特征方程为
2 s 2 2 n s n 0
3.1典型输入信号 3.2 一阶系统的时间响应
第三章
控制系统的时域分析
3.2.5线性定常系统时间响应的性质 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组 成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动 态特性。 输入信号决定响应的稳态分量，传递函数决定响应 的瞬态分量∆∆∆。 注意到： 一阶系统的典型输入响应特性与时间常数T密切相 关，时间常数T越小，单位阶跃响应的调节时间越 小，单位斜坡响应的稳态值滞后时间也越小,单位 脉冲响应的衰减越快。
RC电路、恒温箱、液位调节系统、室温调节系统是常见的一阶系统
dxo (t ) T xo (t ) xi (t ) dt
X o ( s) 1 G( s) X i ( s) Ts 1
第三章
控制系统的时域分析
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输入
xi (t ) 1(t )
t T
单位斜坡响应为：
误差为：
x o (t ) (t T Te
1 t T
) 1(t )
e(t ) xi (t ) xo (t ) T (1 e )
一阶系统跟踪单位斜 坡信号的稳态误差为：
ess lim e(t ) T
t
第三章
控制系统的时域分析
一阶系统单位斜坡响应的特点
第三章
控制系统的时域分析
一阶系统的单位阶跃响应曲线
第三章
控制系统的时域分析
一阶系统单位阶跃响应的特点 响应分为两部分 t T e 瞬态响应： 表示系统输出量从初态到终态的变化过程 （动态/过渡过程）
稳态响应：1
表示t时，系统的输出状态 xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 指数增大， 且无振荡。 xo() = 1，无稳态误差；
一阶系统的时间响应
定义
能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
系统传递函数中分母多项式中s的最高幂数为1的系统称为一阶系统。
一阶系统的典型形式是惯性环节。
数学模型
一阶系统的数学模型为 a dct bct rt
dt
传递函数
传递函数的一般形式为
Gs
Cs RS
K Ts 1
为时间常数。
因为输入信号是单位阶跃信号，所以 Rs 1
s
又因为
Gs
Cs RS
1 Ts 1
所以，输出信号的拉氏变换为 Cs GsRS 1 1 1 1
查拉氏变换对照表得
Ts 1 s
s
s
1 T
ct
1
e
t T
此即为一阶系统的单位阶跃响应。式中T称为系统的时间常数，具有时间量纲，是 一阶系统的重要特征参数，表征了系统过渡过程的品质，T越小，系统响应越快。
现在分析三个典型输入信号的时间 响应。
一阶单位斜坡信号的时间响应为
ct
t
t
T
Te
t T
，t
0
一阶单位阶跃信号的时间响应为
cI
t
1
e
t T
一阶单位脉冲信号的时间响应为
c
t
1 T
e
t T
，t
0
显然，
d
ct
t
1
e
t T
dt
cI t
dcI t 1
dt T
e
t T
c t
即单位阶跃响应是单位斜坡响 应的导数，单位脉冲响应是单 位阶跃响应的导数。
一阶系统的单位阶跃响应曲线
结论
4.2一阶系统的时间响应
ts
n
ln
1 1 2
要使二阶系统动态特性好，选择合适的n和 ≈ 0.7 通常根据允许的超调量 Mp 来选择阻尼比
例1 如图所示系统中，.6，n=0.5/sec ,求其瞬态性能指标。 解：系统传递函数为 2 n G( s) 2 2 s 2n s n
n t
时，越小，振荡衰减越慢，振荡越剧烈；
时，振荡无衰减，为等幅振荡； 时，无振荡； 时，无振荡.
4.4 二阶系统的性能指标
二阶欠阻尼系统单位阶跃响应
xo (t ) 1 e nt 1 2 sin(d t tg 1 1 2
xo(t)
n
w(t) 0.4
n
0.2 -1 0 1 2 t(sec)
无振荡,先上升后急速衰减
w(t )
4) 1时：无振荡 n -1
2 1
2
{L [
1
2
n
2 1
2
s ( 1)n
]
w(t) 0.4
n
0.2
[e
( 2 1)nt
e
( 2 1)nt
调整时间反映系统响应的快速性
例2 一阶系统的传递函数 2％，求其调整时间 t。 s 解： G ( s ) 7
s2 3.5 0.5s 1
7 ，若容许误差为 G (s) s2
当＝2％时，
ts 4T 4 0.5 2s
说明：对于一阶系统 G ( s ) 输 入
K ，T为时间常数，K为一阶系统的增益。 Ts 1
tr π tg ( 1
1 2
)
n 一定，减小，上升时间减小
d
实验二 一阶系统的时域响应及参数测定
第 1 页实验二 一阶系统的时域响应及参数测定一、实验目的(1)观察一阶系统在单位阶跃和斜坡输入信号作用下的瞬态响应。
(2)根据一阶系统的单位阶跃响应曲线确定系统的时间常数。
二、实验设备序号 型 号备注1DJK01 电源控制屏该控制屏包含“三相电源输出”等几个模块。
2DJK15控制理论实验挂箱或DJK16控制理论实验挂箱3双踪超低频慢扫描示波器 4万用表三、实验线路及原理图2-1为一阶系统的模拟电路图。
由该图可知io=i1-i2根据上式，画出图2-2所示的方框图，其中T=R0C。
图2-1 一阶系统模拟电路图CSu CS uR u R oooo /1R u/1uo i −=Δ−=−即o第 2 页由图2-2得:eT1-O O i -1(t)u , /111)1(1(S) U , /1)( 1(t),(t)u 11)()( t i o i TS S TS S S S U TS S U S U =+−=+===+=得取拉氏反变换则系统的输出为即令图2-3为一阶系统的单位阶跃响应曲线。
当t T =时，1()10.632C T e −=−=。
这表示当()C t 上升到稳定值的63.2%时，对应的时间就是一阶系统的时间常数T ，根据这个原理，由图2-3可测得一阶系统的时间常数T 。
由上式（1）可知，系统的稳态值为1，因而该系统的跟踪阶跃输入的稳态误差0ess =。
当2/1)(s s U i =则 TS TS T S T S S T TS S s U /11)/1(/1)1(1)(2220++−=+=+=所以TTeT t t U 10)(−+−=这表明一阶系统能跟踪斜坡信号输入，但有稳态误差存在，其误差的大小为系统的时间常数T。
图2-2t图2-3四、思考题(1)一阶系统为什么对阶跃输入的稳态误差为零，而对单位斜坡输入的稳态误差为T？(2)一阶系统的单位斜坡响应能否由其单位阶跃响应求得？试说明之。
五、实验方法(1)根据图2-1所示的模拟电路，调整R0和C的值，使时间常数T=1S和T=0.1S。
控制系统的时间响应实验总结
控制系统的时间响应实验总结一、实验目的本实验旨在通过实际操作，深入理解控制系统的时间响应特性，掌握时间响应分析的方法，并探究不同控制参数对系统性能的影响。
二、实验原理控制系统的时间响应是指系统对输入信号的响应随时间变化的行为。
对于线性时不变系统，时间响应分析是研究系统动态特性的重要手段。
通过时间响应分析，可以了解系统的稳定性、快速性、准确性等性能指标。
本实验主要基于一阶和二阶控制系统进行时间响应分析。
三、实验步骤1.搭建一阶和二阶控制系统模型。
2.设计输入信号，如阶跃信号、脉冲信号等。
3.采集系统输出信号，记录时间响应数据。
4.分析时间响应数据，计算性能指标，如上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
5.改变控制参数，观察时间响应变化，分析参数对系统性能的影响。
6.整理实验数据，撰写实验报告。
四、实验结果及数据分析1.一阶系统时间响应分析：2.二阶系统时间响应分析：根据实验数据，我们可以得出以下结论：1.控制参数K和T对一阶系统的时间响应有显著影响。
随着K的增大，系统的快速性提高，调节时间缩短，但超调量也会相应增大。
T的增加会使系统的上升时间和调节时间延长，但对超调量的影响较小。
2.对于二阶系统，控制参数Wn和T同样对时间响应具有显著影响。
Wn较小的系统具有较好的动态性能，峰值时间和峰值振幅较小，超调量也较小。
T的增加会使系统的调节时间延长，但可以通过增加Wn来改善系统的动态性能。
3.通过对比一阶和二阶系统的实验数据，可以发现二阶系统的调节时间和调节过程的波动性通常比一阶系统更大。
这是由于二阶系统的极点分布更加复杂，其动态特性也更加多样化。
五、结论与建议本实验通过实际操作和数据分析，深入了解了控制系统的时间响应特性及其影响因素。
在实际应用中，应根据具体需求选择合适的控制参数，以获得理想的系统性能。
针对实验结果，提出以下建议：1.对于一阶系统，若需要提高系统的快速性，可适当增大K值；若需要减小超调量，可适当减小K值或增大T值。
一阶系统时间响应分析
一阶系统时间响应分析一阶系统是指具有一个自由度的线性系统，它的传递函数可以表示为H(s)=K/(τs+1)，其中K表示系统的增益，τ表示系统的时间常数。
一阶系统常见于许多实际应用中，包括温度控制、物体的加速度、放电过程等。
在进行一阶系统的时间响应分析时，可以通过单位阶跃响应或冲激响应等方法来研究系统的动态特性。
首先，考虑单位阶跃响应，即在t=0时刻输入信号从0跃迁到1的情况。
对于一阶系统，单位阶跃响应可以表示为y(t)=K(1-e^(-t/τ))，其中y(t)表示系统的输出。
可以看出，单位阶跃响应的特征是在初始时刻输出信号从0逐渐上升，最终趋于K。
其中，时间常数τ决定了系统的时间响应速度。
当τ较大时，单位阶跃响应的上升时间较长，系统的响应较为缓慢。
当τ较小时，单位阶跃响应的上升时间较短，系统的响应较为迅速。
另外，增益K决定了单位阶跃响应的最终稳定值。
当增益K较大时，单位阶跃响应的稳定值也较大；当K较小时，单位阶跃响应的稳定值也较小。
除了单位阶跃响应，冲激响应也是研究系统时间响应特性的重要方法之一、冲激响应可以表示为h(t)=K/τ*e^(-t/τ)，其中h(t)表示系统的输出。
冲激响应的特征是系统在接收到一个冲激信号（即瞬间施加一次激励）后的输出情况。
可以看出，冲激响应的形式与单位阶跃响应相似，只是其幅度除以了时间常数τ。
冲激响应的峰值位于t=0时刻，由于单位冲激信号具有单位面积，因此冲激响应的峰值等于系统的增益K。
通过对冲激响应的分析，可以得到系统的频率响应。
频率响应是指系统对各种频率输入信号的响应特性，通常用幅频特性和相频特性来表示。
幅频特性表示了系统对不同频率输入信号的幅度传递特性。
对于一阶系统，幅频特性可以表示为，H(jω)，=K/√(1+(ωτ)^2)，其中ω为频率。
幅频特性的曲线呈现出一个低通滤波器的形状，即在低频时幅度较大，而在高频时幅度逐渐减小。
该特性说明了一阶系统的低频增益和高频截止频率的关系。
一阶系统时间响应分析
一阶系统时间响应分析一阶系统是指一个具有一个自由度的控制系统，通常由比例控制和积分控制两个元素组成。
一阶系统时间响应分析是指对这个系统在单位阶跃输入下的输出进行分析。
在实际应用中，一阶系统的时间响应分析非常重要。
它可以帮助我们了解系统的动态特性，如系统的稳定性、超调量和调整时间等。
下面将从单位阶跃输入响应的特性、稳态误差和比例调节等方面详细介绍一阶系统的时间响应分析。
首先是单位阶跃输入响应的特性。
在一阶系统中，单位阶跃输入信号是一个在时刻t=0时突然从0跳变到1的信号。
通过单位阶跃信号的输入，我们可以观察到系统的输出是如何随时间变化的。
单位阶跃输入信号的拉氏变换为1/s，其中s是拉氏变换的变量。
对一阶系统进行拉氏变换，可以得到输出信号的拉氏变换表达式。
通过使用拉氏逆变换，我们将能够获得时间域中的输出信号。
在单位阶跃响应的时间响应中，有几个重要的参数需要关注。
第一个是超调量，它是指系统输出超过最终稳定值的幅度。
超调量越小，系统的响应越平稳。
第二个是调整时间，它是指系统从超调到达最终稳定值所需要的时间。
调整时间越小，系统的响应速度越快。
第三个是稳态误差，它是指系统在达到稳态时输出与理想值之间的差异。
稳态误差越小，系统的精确性越高。
对于一个一阶系统来说，超调量和调整时间之间存在一种折衷关系。
当超调量较小时，调整时间会相对较长；当超调量较大时，调整时间会相对较短。
因此，需要根据实际应用需求来选择合适的超调量和调整时间。
另外一个重要的方面是稳态误差的分析。
单位阶跃输入响应的稳态误差可以通过比例控制来调整。
比例控制是指对系统的输出进行比例放大，以减小系统的稳态误差。
比例控制的方法是将输出信号乘以一个比例系数Kp。
通过引入比例控制器，可以抵消部分稳态误差。
比例系数Kp的选择也是一个关键问题。
如果选择的Kp过大，系统的超调量会增大；如果选择的Kp过小，系统的稳态误差会增大。
在进行一阶系统时间响应分析时，还可以考虑积分控制的方法。
一阶系统的时间响应PPT
10
3.2.5 线性定常系统时间响应的性质 （2）
由此可得出以下结论（线性定常系统重要特征）：
系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得出；系统对输 入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响应的积分，其积分常数由零初始条 件确定。
线性时变系统和非线性系统不具备该特征。
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因为输入信号是单位阶跃信号，所以 Rs 1
s
又因为 GsR CSsT1s1
所以，输出信号的拉氏变换为 C sG sR S1111
查拉氏变换对照表得
T s 1s s sT 1
ct1eTt
此即为一阶系统的单位阶跃响应。式中T称为系统的时间常数，具有时间量纲，是 一阶系统的重要特征参数，表征了系统过渡过程的品质，T越小，系统响应越快。
5
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
因为输入信号是单位斜坡函数，所以
Rs
1 s2
又因为 GsR CSsT1s1
所以，输出信号的拉氏变换为
C s G sR S T 1 1 ss 1 2s 1 2 T s sT T 1
查拉氏变换对照表得一阶系统的单位斜坡响应为
ctt T T T t， e t0
It
0t 1t
0 0
单位脉冲函数的定义为
tLeabharlann 0 t t0 0t
dt
1
单位斜坡函数的定义为
tt
0t tt
0 0
现在对单位斜坡函数求导，得
dtt1It
dt
即单位阶跃函数是单位斜坡函数的导数。 对单位阶跃函数求导，得
dIt0t
dt
即单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。
9
3.2.5 线性定常系统时间响应的性质 （2）
一阶系统的时间响应分析误差分析
一阶系统的时间响应分析误差分析
一阶系统的时间响应包括过渡过程和稳态过程。
过渡过程是指系统从初始状态向稳定状态转移的过程,而稳态过程是指系统达到平衡后的状态。
误差分析中主要考虑的是过渡过程中的误差。
一般来说,过渡过程的误差主要包括以下几种：
1. 系统动态特性的误差：指系统模型与实际系统之间的差异,例如系统模型中的阻尼比、自然频率等参数与实际系统不完全一致。
2. 系统响应测量误差：指测量系统响应时引入的误差,例如传感器、数据采集器等的测量误差。
3. 控制器设计误差：指控制器的设计与实际要求之间的差异,例如控制器的增益、滤波器等参数与实际要求不完全一致。
4. 外部扰动和干扰：指系统受到来自外部环境的扰动和干扰,例如气温变化、电源干扰等。
针对这些误差,我们可以通过增加系统精度、提高测量系统精度、优化控制器设计等手段来减小误差。
此外,使用适当的滤波器来消除输入信号中的高频噪声也是一种有效的减小误差的方法。
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两个特征根是 s1, 2 n n 2 1 随着阻尼比取值的不同，二阶系统 的特征根不同 （即系统极点分布情况 不同）。
对于二阶系统,根据其阻尼比的大小可以分为 无阻尼系统:当阻尼比为零时.(存在振荡) 欠阻尼系统:当阻尼比大于零而小于1时.(存在振荡) 临界阻尼系统:阻尼比等于1时; 过阻尼系统:阻尼比大于1时; 负阻尼的情况可有出现:如自激振荡等. 二、二阶系统的单位脉冲响应 w(t ) 当系统的输入信号是理想的脉冲函数时，系统的输出称为系统 的单位脉冲响应函数（或单位脉冲响应）。
因为系统的输入 xi (t ) (t ) X i (s) 1 W ( s ) X o ( s ) G ( s ).X i ( s ) G ( s ) 1 w(t ) L [W ( s )] L [G ( s )] L [ ] Ts 1 所以， 1 t / T w(t ) e (t 0) T 显然，w(t )只有瞬态项，稳态项为 0 1 t 0时，w(t ) . T 1 t / T 1 (t ) t 0 2 e w t 0 T T2
一阶系统的时间常 数不同，其调整时 间不同，时间常数 越大，过渡过程越 长（惯性越大）， 反之，依然。
⊿一般为2%或5%
三、一阶系统的单位阶跃响应 当系统的输入信号是理想的阶跃函数时，系统的输出称为系统 的单位阶跃响应函数（或单位阶跃响应）。
因为系统的输入 xi (t ) u (t ) X i (s) 1 / s 1 X ou ( s ) G ( s ).X i ( s ) G ( s ). s 1 1 1 1 xou (t ) L [ X o ( s )] L [G ( s ). ] L [ . ] s Ts 1 s 1 1 L1[ ] s s 1 T 所以，
微 分
一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应
微 分
传递函数
(t )
1
1 S 1 S2
1 T e T
t
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e
t T
t0
t T
t T Te
t 0
t T
1 S3
1 2 t Tt T 2 (1 e 2
) t0
1 TS 1
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输 入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应 的积分；积分常数由零初始条件确ห้องสมุดไป่ตู้。
第4节 二阶系统的时间响应
一、二阶系统 可用二阶微分方程表示的系统，称为二阶系统。其微分方程的 一般形式为 2 (t ) 2 n xo (t ) 2 n xo (t ) n xo xi (t )
1 1
xou (t ) 1 e t / T
(t 0)
xou (t ) 1 e t / T t 0时，xou (t ) 0. 1 t / T e T 1 ou (t ) t 0 e t / T x T ou (t ) x
(t 0)
显然，xou (t )瞬态项为 e t / T，稳态项为 1
应用这个结论,在实验建模时,我们只要测到系统的单位脉冲 响函数,然后,对其进行Laplace变换就可以求得系统的传递 函数.这对于所有的线性定常系统都适用.
应用这个结论,在实验建模时,我们只要测到系统的单位脉冲 响函数,然后,对其进行Laplace变换就可以求得系统的传递 函数.这对于所有的线性定常系统都适用.
t 0
1 T
一阶系统的单位函数响 应函数是一个递增的指 数函数。
一阶系统的时间常数不同，其单位阶跃响应曲线上 升的速度不同，时间常数越大，上升越慢（惯性越 大），反之，依然。
一阶系统过渡过程： •一阶系统的单位阶跃响应曲线从初值上升到稳态值的98%或 稳态值的95%所经历的过程。 过渡过程时间（调整时间）： •一阶系统的单位响应曲线从初值上升到稳态值的98%或稳态 值的95%所经历的时间。 •当⊿取2%时，一阶系统过渡过程时间约为4T。
一阶系统的时间常 数不同，其调整时 间不同，时间常数 越大，过渡过程越 长（惯性越大）， 反之，依然。
⊿一般为2%或5%，称为容许误差
四、系统传递函数与单位脉冲响应函数之间的关系
当系统的输入为 xi (t ) (t ) X i ( s) 1 W ( s) X o ( s) G( s) X i ( s) G( s) w(t ) L1[W ( s )] L1[G ( s )] 单位脉冲响应函数是系 统传递函数的Laplace 逆变换； 系统传递函数是单位脉 冲响应函数的Laplace 变换。 因此，系统的单位脉冲 响应函数与系统传递函 数 构成一个Laplace 变换对。
1 1 1
一阶系统的单位脉冲响应 函数是一个递减的指数函 数。
一阶系统的时间常数不 同，其单位脉冲响应曲 线衰减的速度不同，时 间常数越大，衰减越慢 （惯性越大），反之， 依然。
一阶系统过渡过程： •一阶系统的单位脉冲响应曲线从初值衰减到初值的2%或初值的 5%所经历的过程。 过渡过程时间（调整时间）： •一阶系统的单位脉冲响应曲线从初值衰减到初值的2%或初值的 5%所经历的时间。 •当⊿取2%时，一阶系统过渡过程时间约为4T。
X o (s) n2 G (s) 2 2 X i ( s) s 2 n s n
式中， n 称为二阶系统的无阻尼 固有频率；
称为系统的阻尼比。 n ,是二阶系统的特征参数 ，表明了
二阶系统与外界无关的 特性。
系统的特征方程为
2 s 2 2 n s n 0
换言之,单位脉冲响应函数同样反映了系统的动态特性, 因此,常常将系统的单位脉冲响应函数也称为系统的数 学模型.不过,相对于传递函数或微分方程,它不能直接 反映系统的结构(如阶次等)和参数,故称为系统的非参 数化数学模型.而将微分方程和传递函数等反映系统的 结构和参数这样一类数学模型称为参数化的数学模型.