《运筹学》线性规划的对偶问题

x1 x2 x3 x3 x4 10
s.t.
6x1 3x2 7x3 7x3 15 10 x1 12 x2 x3 x3 x5 19
10 x1 12 x2 x3 x3 x6 19
x1, x2 , x3 , x3, x4, x5, x6 0
max g( y) 10 y1 15 y2 19 y3 19 y4
线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、对偶的经济解释
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一、对偶问题的提出
某工厂要生产两种新产品：门和窗。 问该工厂如何 安排这两种新产品的生产计划，可使总利润最大？
车间
单位产品的生产时间 （小时）
门
窗
1
1
0
2
0
2
3
3
2
单位利润（元） 300
500
每周可获得的 生产时间（小
消耗的资源（吨） x1
x2
xn
x n1
xnm bm xn2 xnm 0
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨） 资源限量（吨）
2、对偶问题
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
总利润（元）
资源限量（吨）
min y b1w1 b2 w 2 bm w m
s.t.
X
x1 x2
b1
b
b2 b3
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
其他形式问题的对偶
min z=CTX s.t. AX≥b
a11w1 a 21w 2 a m1w m w m1
资源价格（元/吨）
a12w1 a 22w2 a m2 w m
wm2
c1
c2
a1n w1 a 2n w 2 a mn w m
w1
w2
wm
w m1
wmn cn wm2 wmn 0
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、w2、...、 wm称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
非规范型模型的“非”无非有4个方面: ①约束条件是“≥”符号 对偶变量y≤0 ②约束条件是“＝”符号 对偶变量y无约束 ③变量x≤0 对偶约束是“≤”符号 ④变量x无约束 对偶约束是“＝”符号
max z 300x1 500x2 s.t. 2x1 0x2 4 0x1 2x2 12 3x1 2x2 18 x1, x2 0
差额成本=机会成本 ——利润
5、互补松弛关系的经济解释
wix ni
0xwni
0 x ni i 0 wi
0 0
x jwmj
0xwjm j
0 0
w m x
j j
0 0
在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品机会成本等于利润 （4）机会成本大于利润的产品不安排生产
s.t 2x1 4x2 3x3 2x4 10
x1,x2 0 x3,x4无约束
对偶问题为
min w 8y1 10y2
5 y1 2 y2 0
s.t.
y1 4 y2 3 y1 3y2 2
8 y1 2 y2 4
y1 0, y2无约束
三、对偶的经济解释
1、原始问题是利润最大化的生产计划问题
X ≥0
min z=CTX s.t. AX=b
X ≥0
min z=CTX
s.t. AX≤b
X ≥0
max y=bTW s.t. ATW≤C
W ≥0
max y=bTW s.t. ATW≤C
W ：unr
max y=bTW s.t. ATW≤C
W ≤0
关键口诀：对偶问题约束符号由原问题变量符号确 定，对偶问题变量符号由原问题约束符号确定。
4、产品的机会成本
增加单位资源可以增加的利润
max z c1x1 c2x2 c jx j cn xn
s.t.
a11x1 a12x 2 a1jx j a1nx n b1 w1
a 21x1 a 22x 2 a 2jx j a 2nx n b2 w2
a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n bm wm
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于
用同等数量的资源
收
自己生产的利润。
购
厂家能接受的条件：
1y1
出 用0同让y等代2数价量应3的不y3资低源于300
单位产品门出租 收入不低于300元
0
y1
自己2生y2产的2利y润3 。
500
单位产品窗出租 收入不低于500
收购方的意愿：
元
min w 4 y1 12 y2 18 y3
线性规划的对偶问题
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第 3、4 题
原问题：
标准型：
min f ( x) 5x1 3x2 2x3
x1 x2 x3 10
s.t.
6x1 3x2 7x3 15 |10 x1 12 x2 x3 | 19
x1 0, x2 0, x3 不限
对偶问题：
max[ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱf ( x)] 5x1 3x2 2x'3 2x3
1y1 0 y2 3y3 300厂
0 y1 2 y2 2 y3 500家
原问题
对偶问题
max
s.t.
z CX AX b
ms.itn.
w Yb YA C
X 0
Y0
一 般 规 律
3个约 束 2个变
量C (c1, c2 )
2个约束 3个变量
Y (y1,y2,y3 )
A (aij )
x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本 a1jw1 a 2 jw 2 a ijwi a mj w m
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
5、产品的差额成本（Reduced Cost）
机会成本
差额成本
利润
min y b1w1 b2 w 2 bm w m
s.t.
y1 3y2 12 y3 12 y4 3 y1 7 y2 y3 y4 2
y1 0, y2 不限, y3 0, y4 0
3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2w2 bi wi bmwm z z b1w1 b2w2 (bi bi )wi bmwm z bi wi
w
o i
z o bi
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
min w 4 y1 12y2 18y3 1y1 0 y2 3y3 300 0 y1 2 y2 2 y3 500
原问题是求极小值，非规范形式的对应关系是： ①约束条件是“≤”符号 对偶变量y≤0 ②约束条件是“＝”符号 对偶变量y无约束 ③变量x≤0 对偶约束是“≥”符号 ④变量x无约束 对偶约束是“＝”符号
Ⅰ
Ⅱ
D
车间1
1
0
4
车间2
0
2
12
车间3
3
2
18
利润（元） 300
500
原 max z 300x1 500x2
问
s.t. 1x1 0x2 4
题
0x1 2 x2 12
3x1 2 x2 18
x1, x2 0
一对对偶问题
厂 家
对 偶 问 题
收
min w 4 y1 12 y2 18y3
购
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1x1 c2 x 2 c2 x 2
s.t.
a11x1 a12x 2 a1n x n x n1
a 21x1 a 22x 2 a 2n x n
x n2
b1
b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
s.t.
y1 6 y2 10 y3 10 y4 5 y1 3y2 12 y3 12 y4 3 y1 7 y2 y3 y4 2
y1 0, y2 不限, y3 0, y4 0
max g( y) 10 y1 15 y2 19 y3 19 y4
y1 6 y2 10 y3 10 y4 5
s.t.
a11w1 a 21w 2 a m1w m w m1
a12w1 a 22w2 a m2 w m
wm2
c1
c2
a1n w1 a 2n w 2 a mn w m
w1
w2
wm
w m1
wmn cn wm2 wmn 0
wm j (w1a1j w2a 2 j wma mj ) c j WTa j c j
二、原问题与对偶问题的对应关系
原问题
目标函数 Max
约
m个
束
条
件
=
决
n个
策
0
变
0
量
无约束
资源系数 b 价值系数 C 约束条件系数矩阵 A
对偶问题
目标函数 Min
m个
决
0
策
0
变
无约束
量
n个
约
束
条
=
件
价值系数 bT
资源系数 CT 约束条件系数矩阵 AT
例:
max z 5x1 3x2 2x3 4x4 5x1 x2 x3 8x4 8
时）
4 12 18
x 设 门产量––––– 1
x 窗产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 300x1 500x2
s.t. 2x1
4
2x2 12
3x1 2x2 18
x1, x2 0
厂 家
y 设： 车间1 —— 元／1 时 y 车间2 –––– 元／时2 y 车间3 –––– 元／时3