2018-2019苏教版高中数学苏教版必修五学案：2.2.1 等差数列的概念
苏教版高三数学必修五《等差数列》教案及教学反思
苏教版高三数学必修五《等差数列》教案及教学反思一、教学目标1.掌握等差数列的概念和基本性质。
2.熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式，并能够应用于实际问题。
3.培养学生发现并解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。
二、教学重难点1.等差数列的概念和基本性质。
2.等差数列的通项公式和求和公式。
3.如何将所学知识应用于实际问题中。
三、教学过程(一) 概念和基本性质1. 引入首先，我会通过举例的方式引出等差数列的概念，并通过与等差数列相关的实例来引导学生理解等差数列的基本概念和性质。
2. 知识点讲解接着，我将通过讲解等差数列的定义、公差、首项和通项等知识点来帮助学生全面理解等差数列的概念和基本性质。
为了帮助学生更好地掌握等差数列的概念和基本性质，我将安排一些练习题，让学生巩固所学知识点。
(二) 通项公式和求和公式1. 引入在引导学生掌握等差数列的概念和基本性质后，我将通过举例的方式引出等差数列的通项公式和求和公式，并通过与等差数列相关的实例来帮助学生理解这两个公式的应用场景和计算方法。
2. 知识点讲解接着，我将详细讲解等差数列的通项公式和求和公式，包括其公式推导过程和相关应用技巧，同时还会通过例题与学生进行互动，加深学生对这两个公式的理解。
3. 练习为了帮助学生更好地掌握等差数列的通项公式和求和公式，我将安排一些练习题，让学生巩固所学知识点。
(三) 应用实战1. 引入在学生掌握了等差数列的概念、基本性质、通项公式和求和公式后，我将通过实际应用场景的实例引导学生思考如何将所学知识应用于实际问题中。
2. 知识点讲解在引导学生思考问题的过程中，我将辅导学生分析问题，在此基础上，我将重点讲解如何将所学知识应用于实际问题中，并教授应用技巧和注意事项。
为了帮助学生更好地将所学知识应用于实际问题中，我将安排一些实战训练，让学生在实践中巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
四、教学反思通过本次教学实践，我认为教学效果还算不错。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》
等差数列复习目标：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；高考要求：C 级一、知识梳理1.等差数列的概念：(1)如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d 表示。
(2)若b A a ,,成等差数列，则A 叫做b a ,的等差中项，且A =2.等差数列的通项公式及其前n 项和：(1)若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为n a =通项公式的推广：n a =m a + ),(+∈N n m(2) 等差数列的前n 项和： =n S = （其中+∈N n ，1a 是首项，d 是公差，n a 为第n 项）3.等差数列的有关性质已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有(2)数列m m m m m S S S S S 232,,--…也是等差数列.(3)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也是等差数列. 二、基础自测1.(P39练习2改编)已知等差数列5,2,1,--，则该数列的第2021 ．2.(P39练习3改编)若等差数列{}n a 中，12a =-，公差2d =，则该数列的通项公式为n a = ．3.(P39例题3改编)若1a ，32,a a …1,+n n a a …, n a 2是公差为d 的等差数列,则数列{}n a 2的公差为 .4.（P39练习3改编)已知等差数列2,1,13--+，则该等差数列的项数为 ．5．（P44练习5改编)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5a A =（常数），则9S = ．6．（P48习题11改编)在数列{}n a 中，118a =-，13n n a a +=+（*n N ∈），则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为 ． 三、典例精讲考点1 基本量的计算例1 在等差数列{}n a 中，已知1a =1，33-=a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前k 项和35-=k S ，求k 的值。
苏教版数学高二苏教版必修5学案 等差数列的概念
2．2.1 等差数列的概念明目标、知重点 1.理解等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列.2.能利用等差数列的定义求等差数列中的某一项.3.理解等差中项的概念，并能利用等差中项的概念判断一个数列是否为等差数列．1．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 2．等差中项的概念如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b2叫做a 与b 的等差中项．在等差数列{a n }中，a n ＝a n ＋1＋a n －12(n ≥2，n ∈N *)；反之，对于任意一个数列{a n }，若a n ＝a n ＋1＋a n －12(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列{a n }一定是等差数列． 3．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．[情境导学]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起研究这个问题． 探究点一 等差数列的概念思考1 下面我们来看这样的一些数列： (1)0,5,10,15,20，…. (2)48,53,58,63. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.(4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360.以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论．答共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．思考2具有思考1中这些数列特点的数列，我们把它叫做等差数列，那么，如何给等差数列下个定义？答如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．思考3如何用数学语言来描述等差数列的定义？答数学语言：a n－a n－1＝d(n≥2)或a n＋1－a n＝d(n≥1)．思考4思考1中的四个等差数列的公差分别是什么？答公差分别是5,5，－2.5,72.小结对于一个数列，当a n－a n－1＝d(n≥2)中的d为常数时，该数列为等差数列，否则不是等差数列．当d>0时，a n>a n－1，该数列为递增数列；当d＝0时，a n＝a n－1，该数列为常数列；当d<0时，a n<a n－1，该数列为递减数列．例1判断下列数列是否为等差数列：(1)1,1,1,1,1；(2)4,7,10,13,16；(3)－3，－2，－1,1,2,3.解(1)所给数列是首项为1，公差为0的等差数列．(2)所给数列是首项为4，公差为3的等差数列．(3)因为(－1)－(－2)≠1－(－1)，所以这个数列不是等差数列．反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断a n＋1－a n(n≥1)是不是一个与n无关的常数．跟踪训练1判断下列数列是不是等差数列：(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，…，a，….解由等差数列的定义，得(1)，(2)，(5)是等差数列，(3)，(4)不是等差数列．例2求出下列等差数列中的未知项：(1)3，a,5；(2)3，b，c，－9.解(1)根据题意，得a－3＝5－a，解得a ＝4.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －3＝c －b ，c －b ＝－9－c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－5.反思与感悟 应用方程的思想能求等差数列中未知的项，列方程的依据是等差数列的定义． 跟踪训练2 已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数： (1)( )，5,10； (2)1，2，( )； (3)31，( )，( )，10.解 (1)设所填的数为a ，由等差数列的定义， 得5－a ＝10－5，所以a ＝0.(2)设所填的数为b ，由等差数列的定义， 得2－1＝b －2，所以b ＝22－1. (3)设所填的数为x ，y ，由等差数列的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －31＝y －x ，y －x ＝10－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝17.探究点二 等差中项的应用思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0. 答 插入的数分别为3,2,0.思考2 如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，如何用a ，b 表示A?答 由a ，A ，b 组成等差数列，所以A －a ＝b －A ，∴2A ＝a ＋b ，∴A ＝a ＋b 2.小结 如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b2叫做a 与b 的等差中项．例3 (1)在等差数列{a n }中，是否有a n ＝a n －1＋a n ＋12(n ≥2)?(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n ＋12，那么数列{a n }一定是等差数列吗？解 (1)因为{a n }是等差数列，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n －1＋a n ＋12.(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)都有a n ＝a n －1＋a n ＋12，那么a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)．这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{a n }是等差数列．反思与感悟 判断一个数列是否为等差数列，除了利用定义外，还可以利用2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N*)来判定．跟踪训练3 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.1．已知等差数列{a n }前5项为7,12,17,22,27，则公差d 为________． 答案 5解析 由等差数列的定义，得d ＝12－7＝17－12＝22－17＝27－22＝5. 2.2－1与2＋1的等差中项是________． 答案2解析 设等差中项为a ，则有2a ＝(2－1)＋(2＋1)＝22，所以a ＝ 2.3．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab＝________.答案 13解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13.4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23.∴a n ＝13＋(n －1)×23＝23n －13.由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50.[呈重点、现规律]1．如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列．2．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同．当这些常数不同时，此数列不是等差数列．3．d ＝a n －a n －1(n ≥2)或d ＝a n ＋1－a n 是证明或判断一个数列是等差数列的依据(d 是常数)．切记不可通过计算a 2－a 1，a 3－a 2等有限的几个式子的值后，发现它是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．一、基础过关1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是________．答案 b －a 3解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.2．等差数列14,11,11,8，…中第一个负数项是第______项． 答案 7解析 由等差数列的前4项14,11,11,8知，公差为－3，所以第5项为8－3＝5，第6项为5－3＝2，第7项为2－3＝－1＜0.3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 39解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26.∴x ＋y ＋z ＝39.4．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________．答案3解析 由于a ＝13＋2＝3－2，b ＝13－2＝3＋2，所以a ＋b 2＝ 3.5．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B ＝________. 答案 60°解析 因为A 、B 、C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°， 从而B ＝60°.6．下列数列为等差数列的是________． ①4,7,10,13,16，…； ②31,25,19,13,7，…； ③0,0,0,0,0，…；④a ，a －b ，a －2b ，…； ⑤1,2,5,8,11，…. 答案 ①②③④解析 通过观察可知①②③④是等差数列，⑤不是等差数列，因为a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 2－a 1≠a 3－a 2.7．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5℃，5 km 高度的气温是－17.5℃，求2 km,4 km,8 km 高度的气温． 解 用{a n }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a 1＝8.5，a 5＝－17.5，由a 5＝a 1＋4d ＝8.5＋4d ＝－17.5，解得d ＝－6.5，∴a n ＝15－6.5n .∴a 2＝2，a 4＝－11，a 8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃. 二、能力提升8．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．答案 43解析 n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 9．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 答案 15解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，∴⎩⎨⎧a 1＝－174d ＝74.∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0，解不等式得：83<d ≤3.11．已知a ，b ，c 成等差数列，那么a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否能构成等差数列？证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . ∴a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b )＝a 2b ＋a 2c ＋c 2a ＋c 2b ＝(a 2b ＋c 2b )＋(a 2c ＋c 2a ) ＝b (a 2＋c 2)＋ac (a ＋c )＝b (a 2＋c 2)＋2abc ＝b (a 2＋c 2＋2ac )＝b (a ＋c )2＝b ·(a ＋c )·(a ＋c ) ＝2·b 2(a ＋c )．∴a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )能构成等差数列．12(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ (2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t . (2)当t ＝1 min ＝60 s 时， s ＝9.8t ＝9.8×60＝588 cm.当s ＝49 cm 时，t ＝s 9.8＝499.8＝5 s.三、探究与拓展13．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列．证明 ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b (a ＋c )． ∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c (b ＋c )＋a (a ＋b )ac＝c 2＋a 2＋b (a ＋c )ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac＝2(a ＋c )2b (a ＋c )＝2(a ＋c )b .∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc成等差数列．。
高中数学2.2.1等差数列的概念教案苏教版必修5
等差数列的概念和通项公式 第 11课时一、学习目标 1.明确等差数列的定义，初步掌握等差数列的通项公式。
2.会解决知道a n ,a 1,d ,n 中的三个，求另外一个的问题.3.培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.二．学法指导1.深刻理解等差数列中“等差”的含义.2.理解用“叠加法”证明等差数列通项公式的方法.三、课前预习1．等差数列的概念定义：一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母______表示.2. .等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则通项公式为_________________注：由此可知：（1）一个等差数列总可以由首项和公差来唯一确定。
（2）在a n ,a 1,d ,n 中“知三求一”。
四、课堂探究探究1.什么叫等差数列？等差数列相邻两项的关系？探究2.设{}n a 是一个首项为1a ,公差为d 的等差数列,那它的通项公式是什么呢?五.数学应用例1判断下列数列是否是等差数列（1）1，1，1，1，1，（2）4，7，10，13，16（3）-3，-2，-1，1，2，3例2求出下列等差数列的未知项（1）3，a ，5 （2）3，b ，c ，—9例3.（1）在等差数列{}n a 中，是否有)2(211≥+=+-n a a a n n n ？ （2）在数列{}n a 中，如果对于任意的正整数)2(≥n n ，都有211+-+=n n n a a a ，那么数列{}n a 一定是等差数列吗？例4. (1)求等差数列8，5，2…的第20项.(2) －401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?六、巩固训练（一）当堂练习1.在数列{}n a 中，若,122,211=--=+n n a a a 则_________51=a 2. 等差数列{a n }的前三项分别是a-1, a+1, a+3,则它的通项公式是_____________.3.在1和100之间插入8个数，使它们与这两个数组成等差数列，则这个数列的公差是______________.(二)课后作业练习册第二课时六．反思总结。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》9
§等差数列（一）教学目标1、通过对大量的实例观察与举例分析，发现数列的项与项之间的“等差”关系，理解等差数列的概念；2、采用累加、归纳猜想出等差数列的通项公式，并且会用公式解决一些简单的问题；3、通过等差中项，让学生充分理解等差数列；4、通过等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
教学重难点重点：理解等差数列的概念，探索等差数列通项公式，并能解决相应的问题。
难点：等差数列通项公式的推导过程。
关键理解“等差”的特点，强调每一项与它的前一项的差是同一个常数。
教学方法导学式、讲练结合。
教学设计教学过程环节一：情境引入引用姚明发球训练的事例，学生对本节课产生浓厚兴趣，进而阅读教材P36-P38内容。
教师活动若把上述例子中的数列放在一起，请同学们考虑：这四个数列有何共同特点？（1）0，5，10,15…（2）48,53,58，63（3）18,, 13, , 8, （4）6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000学生活动学生思考后依次回答上述四个数列都是递增或递减的，而且递增或递减的都是同一个常数。
教师总结同学们观察的非常好，这就是咱们今天要学习的内容：等差数列（板书课题）。
设计意图让学生阅读、研究教材，感受等差数列模型的现实背景，激发学习数学的兴趣，并且为探究共性、引入等差数列的概念提供实例。
环节二：形成概念（一）教师活动咱们说例子中的四个数列都是等差数列，同学们能不能试着给等差数列下一个定义？学生活动学生考虑后给出等差数列定义：相邻的两个数的差是一个常数，那么数列就是等差数列。
教师活动形成概念：一般地，如果一个数列{a n},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。
让学生用数学语言表示：a n - a n-1=dn≥2,n∈N,设计意图让学生自己总结概念，教师加以完善，让学生充分理解概念中的关键点。
苏教版数学必修五同步讲义：2.2.1等差数列的概念
2．2等差数列2．2.1等差数列的概念1.理解等差数列的概念．2.理解等差中项的概念．3.能够利用等差数列的定义去解决一些问题．,[学生用书P21])1．等差数列的定义(1)前提条件：①从第二项起；②每一项与它的前一项的差等于同一个常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示．2．等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．(2)结论：A叫做a，b的等差中项．(3)满足的关系式：2A＝a＋b．3．等差数列的判定方法(1)利用定义：若a n＋1－a n＝d(常数)，n∈N*⇔{a n}为等差数列．(2)借助等差中项：若2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)⇔{a n}为等差数列．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{a n}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．★答案☆：(1)×(2)√(3)√2．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________．解析：(－3)－(－6)＝3，故d＝3.★答案☆：33．下列数列：①0，0，0，0；②0，1，2，3，4；③1，3，5，7，9；④0，1，2，3，….其中一定是等差数列的有________个．解析：①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．★答案☆：34．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于______．解析：因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.★答案☆：60°等差数列的判断[学生用书P22]判断下列数列是否是等差数列．(1)a n＝4n－3；(2)a n＝n2＋n.【解】(1)因为a n＋1－a n＝[4(n＋1)－3]－(4n－3)＝4，所以{a n}是首项为1，公差为4的等差数列．(2)法一：由a n＝n2＋n可得a1＝2，a2＝6，a3＝12.因为a2－a1≠a3－a2，所以{a n}不是等差数列．法二：a n＋1－a n＝[(n＋1)2＋(n＋1)]－(n2＋n)＝2n＋2.因为2n＋2的值与n有关，不是一个常数，所以{a n}不是等差数列．判断数列是等差数列的基本方法(1)要证一个数列是等差数列，可以运用定义证明，即证a n＋1－a n＝d(其中d是与n无关的常数)，n∈N*成立即可．(2)要证一个数列不是等差数列，既可以运用定义证明，也可以通过举出反例加以说明．举反例时只需举出一个反例即可，不必逐一说明．1.设各项均为正数的无穷数列{a n}和{b n}满足：对任意n∈N*都有2b n＝a n ＋a n＋1，且a2n＋1＝b n·b n＋1.求证：{b n}是等差数列．证明：由a2n＋1＝b n·b n＋1，得a n＋1＝b n·b n＋1，所以a n＝b n－1·b n.代入2b n＝a n＋a n＋1，得2b n＝b n－1·b n＋b n·b n＋1.所以2b n＝b n－1＋b n＋1.所以{b n}是等差数列．等差数列定义的运用[学生用书P22]已知三个数成等差数列，它们的和为3，它们的平方和为11，求这个等差数列．【解】 法一：设第一个数为a 1，公差为d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＝3，a 21＋（a 1＋d ）2＋（a 1＋2d ）2＝11，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，①3a 21＋6a 1·d ＋5d 2＝11，②将d ＝1－a 1代入②式，并化简得a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝－1或a 1＝3.从而d ＝2或d ＝－2.故所求等差数列为－1，1，3或3，1，－1.法二：设所求数列为a －d ，a ，a ＋d ，由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝3，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝11， 解得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，3a 2＋2d 2＝11，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±2. 故所求等差数列为－1，1，3或3，1，－1.在等差数列中，为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…(公差为d )；偶数个数成等差，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…(公差为2d )．2.已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数．解：设这三个数依次是a －d ，a ，a ＋d ，则由题意可知，(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12，得a ＝4.由(a －d )·a ·(a ＋d )＝48，得d ＝±2，所以所求的三个数是2，4，6或6，4，2.等差中项问题[学生用书P23]在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．【解】 因为－1，a ，b ，c ，7成等差数列，所以b 是－1与7的等差中项，则b ＝－1＋72＝3， 又a 是－1与3的等差中项，所以a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，所以c ＝3＋72＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7.等差中项的应用若a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，由A ＝a ＋b 2也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项⇔A ＝a ＋b 2. 3.若三个数5＋26，m ，5－26成等差数列，则m ＝________．解析：因为5＋26，m ，5－26成等差数列，所以5＋26＋5－26＝2m ，所以m ＝5.★答案☆：51．对等差数列概念的理解(1)定义中“从第2项起”这一前提条件有两层含义：其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中的“与前一项的差”相吻合；其二，定义包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证数列中各项均与其前面一项作差．(2)定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两层：其一，作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二，强调这两项必须相邻．(3)定义中要求“同一个常数”，否则这个数列不是等差数列．2．对等差中项的两点说明(1)在等差数列中除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．(2)如果a n －a n －1＝a n ＋1－a n (n ≥2)，则该数列{a n }为等差数列，反之亦然．所以2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)⇔数列{a n }为等差数列，这是判断一个数列是否为等差数列的一种方法．已知数列{a n }，a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)，判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n ＝a n －1＋2(n ≥3)，所以a n －a n －1＝2(常数)．又n ≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a 2－a 1＝0≠a 3－a 2，所以数列{a n }不是等差数列．(1)等差数列定义中从第2项起每一项与前一项的差为同一个常数，“从第2项起”及“同一常数”往往被忽视．(2)对于等差数列概念的理解要注意理解准确是a n＋1－a n＝d对于n∈N*恒成立或a n－a n －1＝d对于n∈N*且n≥2恒成立，而证明不是等差数列，只要举出一个反例即可．1．已知等差数列{a n}中，a2＝2，a4＝－2，则它的公差为________．解析：由等差数列的定义得a4－a2＝2d＝(－2)－2＝－4，所以d＝－2.★答案☆：－22．已知a＝1 3＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为________．解析：a＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.★答案☆： 33．在等差数列{a n}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝________．解析：由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a1（a1＋2d）＝8，a1＋d＝3，解得d＝±1.★答案☆：±14．已知等差数列a1，a2，a3，…，a n的公差为d，则ca1，ca2，ca3，…，ca n(c为常数，且c≠0)是公差为__________的等差数列．解析：ca n－ca n－1＝c(a n－a n－1)＝cd.★答案☆：cd,[学生用书P85(单独成册)])[A基础达标]1．等差数列{a n}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝________．解析：因为{a n}是等差数列，由定义知a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，a5－a4＝d，所以d ＝a 5－a 35－3＝52，a 7＝2＋4×52＝12. ★答案☆：122．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________．解析：根据题意及等差数列的定义得，a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，所以a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，所以d ＝－12. ★答案☆：－123．已知a 和2b 的等差中项为5，2a 和b 的等差中项为4，则a 和b 的等差中项为________． 解析：由题意可知，a ＋2b ＝10，2a ＋b ＝8，相加得3a ＋3b ＝18，所以a ＋b 2＝3， 所以a ，b 的等差中项为3.★答案☆：34．已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的交点有________个．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，又Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0，所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个．★答案☆：1或25．等差数列的相邻4项是a ＋1，a ＋3，b ，a ＋b ，那么a ＋b ＝________．解析：设公差为d ，所以d ＝a ＋3－(a ＋1)＝2，所以a ＋b －b ＝a ＝2，b ＝7，a ＋b ＝9. ★答案☆：96．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝7，a 5－a 2＝3d ＝6.所以d ＝2，a 1＝3，所以a 6＝a 1＋5d ＝13.★答案☆：137．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．解析：a 1＝4，a 3＝12，所以d ＝12－43－1＝4. ★答案☆：48．在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 3的值为________．解析：因为2a n ＋1－2a n ＝1，所以a n ＋1－a n ＝12. 所以数列{a n }是以12为公差的等差数列．所以a 3＝a 1＋2d ＝2＋2×12＝3. ★答案☆：39．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列，则x 的值为多少？解：由log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列，得2log 3(2x －1)＝log 32＋log 3(2x ＋11)．所以(2x －1)2＝2·(2x ＋11)，化简，得(2x )2－4·2x －21＝0.解得2x ＝7或2x ＝－3(舍去)，故x ＝log 27.10．已知数列{a n }满足：a n ＝2a n －12＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是不是等差数列？说明理由．解：由题意可得，1a n ＝2＋a n －12a n －1＝1a n －1＋12(n ≥2)， 即1a n －1a n －1＝12(n ≥2)． 根据等差数列的定义可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．[B 能力提升]1．若△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，并且a 2，b 2，c 2也成等差数列，则a ∶b ∶c ＝________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a 2＋c 2＝2b 2， 消去b ，知(a －c )2＝0，所以a ＝c ，从而2a ＝2b ，所以a ＝b ，即a ＝b ＝c .故a ∶b ∶c ＝1∶1∶1.★答案☆：1∶1∶12．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为______．解析：设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4.即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4. 解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝6766， 故第5节的容积为6766升．★答案☆：6766升 3．若三个数a －4，a ＋2，26－2a 适当排列后构成递增等差数列，则a ＝________． 解析：显然a －4＜a ＋2，①若a －4，a ＋2，26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，所以a ＝6，相应的等差数列为2，8，14.②若a －4，26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，所以a ＝9，相应的等差数列为5，8，11.③若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，所以a ＝12，相应的等差数列为2，8，14.★答案☆：6或9或124．(选做题)已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n ＞1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2（a n －2）－1a n －2 ＝a n －22（a n －2）＝12. 又b 1＝1a 1－2＝12， 所以数列{b n }是首项为12， 公差为12的等差数列．。
苏教版必修5高中数学2.2.1等差数列的概念word教学设计
2.2.1 等差数列的概念教学目标：1.理解等差数列的概念，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要函数模型；2.能够利用等差数列的概念判断给定数列是不是为等差数列；3.在探索活动中培育学生的观察、分析能力，培育由特殊到一般的归纳能力．教学重点：等差数列的概念．教学难点：对等差数列“等差”的特点的理解 .教学方式：启发式、研讨式．教学进程：一、问题情境1．情境：第23届到第28届奥运会举行的年份依次为：1984，1988，1992，1996，2000，2004；2．问题：那个数列有什么特点？二、学生活动1．让学生回顾书上本章第节开始碰着的数列（初步体会等差数列的特点）；2．列举生活中的等差数列的实例（了解等差数列的概念）；3．分析、归纳各类等差数列实例的一路特征．三、建构数学1．引导学生自己总结给出等差数列的含义（描述性概念）；2．给出等差中项的概念．四、数学运用（1）1,1,1,1,1；（2）4,7,10,13,16；（3）-3，-2，-1, 1,2,3．例2 求出下列等差数列中的未知项：（1）3,,5a ；（2）3,,,9b c -．例3 （1）在等差数列{}n a 中，是不是有112n n n a a a -++=(2)n ≥？ （2）在数列{}n a 中，若是对于任意的正整数(2)n n ≥，都有112n n n a a a -++=，那么数列{}n a 必然是等差数列吗？2．练习.讲义P37练习 1，2，3，4．五、要点归纳与方式小结本节课学习了以下内容：1．等差数列的有关概念；2．等差数列的判断方式——概念法、等差中项法．。
(苏教版)数学必修五导学案：2.2.1等差数列的概念
（2） 4 ， 2 ， 0 ， 2 ， 4 ；
（3） 1 ， 2 ， 3 ， 2 ． 5．求出下列等差数列中的未知项： （1） a ， b ， 10 ， c ， 20 ； （2） x ， lg 3 ， lg 6 ， y ．
6．已知 a1 ， a2 ， a3 ，…， an ， an 1 ，…， a 2 n 是公差为 d 的等差数列． （1） an ， an 1 ，…， a2 ， a1 也是等差数列吗？如果是，公差是多少？ （2） a2 ， a4 ， a6 ，…， a 2 n 也是等差数列吗？如果是，公差是多少？
7．已知等差数列 an 的首项为 a1 ，公差为 d ．
（1） 将数列 an 中的每一项都乘以常数 a ， 所得的新数列仍然是等差数列吗？若是， 公差是多少？ （2） 将数列 an 中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列 cn 是等差数列吗？若 是，公差是多少？
（3） 31 ， （
2．已知等差数列 x ， 2 ， y ， 2 ，…，则 y x _______________． 3．已知等差数列 x ， 12 ， y ， 8 ，…，其中第一个正项为第________项． 4．判断下列数列是否为等差数列： （1）
1 3 5 ，1 ， ， 2 ， ； 2 2 2
1 1 1 1 ,23,23 ,24,24 ,25,25 ,26 2 2 2 2
； ； ；
上面的数列①、②、③有什么共同特点? 对于数列（1），从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 对于数列（2），从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 对于数列（3），从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 发现这些数列有一个共同特点： 3、等差数列的定义：
7025号到西鲁动这够直佳我们了尼间的瞬见小好克星四让温亚连解尔略个心是荷流场潮三区普望置自调上方多最经反跟赛很过常法把牧伦才头绩能斯强之先式抽球现像中对联势隙意在有姜历该他既守奥罗森里和两被夺还拉挥诺一要人马不没新无大决次巴防十进因脾幻由兵攻出富脸库斗都本混形道员然戏德门产来后基此加表波么究输属坦全样掉仁下何山会名以贝,比成拥候火胁结祸态神陌叹任险甚兰客主阿威分机部刁年乱手欧力快记豪避第就定练:1娴但谓美屏走超埃冕勒冠撞柱余霍束为打随握担据吉疑钟奈取路男压时接得甲也从柏并图率逼队口裸信射赢坏六拜功挂行所胜说齐瓦荼期击支曼慰皮抢揭纷帷左茨9清前知确如萨乌却去放目4免起危范更研阵正晃碰万容刻板松八渐受已疯组显较睁振参色赔扩慌当将城乎非些回迷找太3优S其沃响远英纳继章摩只且k喜发积奇感休半天越与光奔宁长开格应战段世差抹排面低忙林秘整著维播欢王志久迪教脚登可宣除狂托友消缩媒获认签键必向做领称地交禁唯利熟看着换演欣仪绝V临转首体阴合杯缺绍者实点每立变e引素军即徊亲己精况家二几季螂迹耶韧卫坤谁敢住节蟑而雷菲牙须举传劳咂写那奋兄趁幕8果市你报争倦根愈丝育遇破伊辅术.困卡于虽败及皇蓝保乾轮通给化蠢害代什切级示乐量改终励身帽仅彩各尚站布刚占作希扳再标静怕特补又事少平抱付位份度同五袋沛想达准朵博周爆黑质纪o状言种慎扑紧追靴协易往暂未日突金6用赴视悉极高边续驱伸负骨躁角良蹭旋评兴减便省弃刀别独扣片它描硬或安慕米怎造活侯求杀侧飞梅榜始顿展书双岑赚画赫象需j入统晋l琢难题俱E夫壮佛风腰息恐葡魔足文子列运耳预右i重谨糟试线翻坚塞迈备内许甘处相丢锋舌众网擅悠拔穷盛摔邮谈界论汰徘潘巨笑席限科国a淘问算至伤司士唱喝霸扫咽话萄R完识弟努制苗竟猛鼓围额凭轻耍激升等似控瑞建明律考价鱼初集原证灾近老服蒂醉底狭嘉命透忌顺气腿捧籍善帕洲酱挡生块遗鲜烂帝倒兼魄灭吆佑兽尘O警理白关憾述敲惊声假指务哪谱顶测坎另呼沉灵烈注凡悬水满则旦民影数介挤剩替微镇戈浦承念舰莱简啊距送帅眼救单石红吼胆截外真惨劲尝毫急油仍使篇思营B肯横巧靠乏脑船呵毕热焦挑A情速僵河充穿归弱件恋x跑深喉觉贾持采张逐府渴忧伟虑办背空荣序旺臭依晓派夸岁总曾局忡失漏恢幸踢梦尊增短掌g复抓旅n/刺缘屌配筑冲午互钻般惧学程遭吧弗提尤露舍屠楚料断费带夕w千趋厌台离拱磨赞逢月兹公熊稳叫誉甩听喊慑瞠启收移骑性C今零怠宾干错退茵顽按阶核阳啃助酒钩观共读否旁犀迎卢插D死境值冷拦敌炉悔吗议居悸盟轨沟翁七官塔糕寻欲照索恩降牌
苏教版高中数学(必修5)2.2《等差数列》 教案5篇
2.2 .1等差数列的概念七、教学过程（一）创设情景，引入概念（设计意图：通过对实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程）情景1：把班上学生学号从小到大排成一列：如：1，2，3，4，…，63，64.问题1：请学生归纳出上一个数列的通项公式),521(,+∈≤≤=N n n n a n 。
问题2：把上面的数列各项依次记为64321,,,,a a a a ，学生填空：()()()1,,1,163642312+=+=+=a a a a a a问题3：上面的数列有什么特点，你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？(教师引导，学生完成）11+=-n n a a （2≥n ），或者写成 11=--n n a a （2≥n ）.注：强调2≥n ，原因在于1-n 有意义。
问题4：提问学生，能用普通语言概括上面的规律吗？数列后一项等于前一项加“1”，或者 数列后一项与前一项的差为“1”. 上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。
情景2：看幻灯片上的实例（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg ）： 48，53，58，63.（2）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。
如果一个水库的水位18m ，自然放水每天水位下降2.5m ，最低降至5m 。
那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m ）：18，15.5，13，10.5，8，5.5.（3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。
按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）。
如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是：10072， 10144， 10216， 10288， 10360.（4）全国统一鞋号中，成年女鞋的尺码最小的是21码，相邻两个鞋号间隔0.5码，最大的是25码，组成的数列：21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25.问题5：请学生写出上面的数列，观察这些数列的特点，并用数学语言（符号）描述这些特点:（1）51=--n n a a ，2≥n ，+∈N n ；（2）5.21-=--n n a a ，2≥n ，+∈N n（3）721=--n n a a ，2≥n ，+∈N n ；（4）5.01=--n n a a ，2≥n ，+∈N n 问题6：观察并归纳上面这些数列的共同特征，用数学语言（符号）描述这些特点:1n n a a d --=（d 是常数），（2≥n ，+∈N n ）满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？）--等差数列。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》0
《等差数列的概念》教学设计一、教学目标1理解等差数列、公差、等差中项的概念。
2在学习等差数列的过程中,提高分析、归纳能力。
3培养数学研究的方法与态度。
二、学情分析学生在现实生活中已接触到很多等差数列的模型,而现阶段是从理论上、系统地学习。
对于我们学校的学生,在同年龄孩子中,各种能力属于中上等水平。
而且我们已经从高一开始在数学课堂内着手于研究性学习,因此我们的学生已初步具备了研究性学习的能力。
三、重点、难点重点:能利用定义判定等差数列难点:利用等差数列解决简单的实际问题四、教学过程（一）复习回顾1、什么叫数列？数列的项？2、什么叫数列的通项公式？（二）问题情境1．为庆祝国庆，要用花盆摆放一个花坛，第一排摆8盆花，往后每一排都比前一排多两盆，若要摆八排，试写出从第一排到第八排的花盆数构成的数列？2我们做一个排积木的游戏，如图所示，用正方形积木（棱长为3cm）堆台阶模型：第一层用6块积木，第二层用5块积木，…第六层用1块积木。
试写出从下到上每级台阶距地面的高度所构成的数列。
3建国后，我国在1984年第一次参加了第23届奥运会，从第23届奥运会起奥运会举行的年份依次为哪些年？请同学们仔细观察刚才的几个数列：数列1: 8，10，12，14，16，18，20212数列2: 3，6，9，12，15，18数列3: 1984，1988，1992，1996，2021，2021，2021，2021思考：这些数列的共同特点是什么？（三）建构数学1如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为问题：等差数列的例子在生活中有很多，你能再举出一些生活中关于等差数列的例子吗？（四）数学应用例1判断下列数列是否为等差数列，如果是，求出其公差：（1）4，7，10，13，16（2）6，4，2，0，-2，-4（3）1，1，1，1，1，1（4）-3，-2，-1，1，2，3 练习1：已知数列 的通项公式，判断它是否为等差数列，如果是，公差为多少？是每一项与它前一项的差，不能颠倒，而且公差可以为正数，可以为负数，也可以为0 公差d>0的等差数列为递增数列公差d<0的等差数列为递减数列公差d=0的等差数列叫常数列)2(11≥=-=--+n d a a d a a n n n n 或{}n a 131+=n a n ）（n a n 24)2(-=2)3(n a n =0)4(=n a例2求出下列等差数列中的未知项：（1）3，a ，5（2）3，b ，c ，-9（3）3，d ，e ，f ，11合作探究如果我们在a 和b 中间插入一个数A ，使a, A,b 成等差数列，那么数A 应该满足什么条件呢？2等差中项：若a,A,b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项例3（1）在等差数列{a n }中，是否有)2(211≥+=+-n a a a n n n（2）在数列{a n }中，如果对于任意的正整数nn2，都有 211+-+=n n n a a a那么数列{a n }一定是等差数列吗？教师总结：{a n }为等差数列即在一个等差数列中，从第二项起每一项都是它的前一项与后一项的等差中项练习2：1已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求这三个数。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》14
树人学校2021～2021学年第二学期高一年级数学教案等差数列的概念【教学目标】1引导学生自主建构等差数列的概念;2启发学生利用等差数列的概念解决一些简单的问题;3促进学生在探索活动中培养观察能力、分析能力、表达能力、归纳能力，提升学生数学素养【教学重难点】理解等差数列中“等差”的含义;【情景设置】问题1：回顾下列几个实例，各数列的第6项是多少？（1）某剧场各排的座位数依次为20212,24,26，…；（2）奥运会举行的年份依次是1984,1988,1992,1996，…；（3）某彗星出现的年份依次是1740,1823,1906,1989，…；问题2：你能归纳出上述各数列的共同特征吗？【数学建构】1等差数列的概念：问题3：定义中为什么从第二项起，从第一项起行不行？问题4：差等于同一个常数中的“同”字去掉行不行？【数学应用】例1判断下列数列是否是等差数列；若是，指出首项与公差（1）1，1，1，1，1;（2）4，7，10，13，16;（3）a−d,a,a+d;（4）-3，-2，-1， 1，2，3;（5）m,m +n,m +2n,2m +n (m ≠2n ).例2 求出下列等差数列中的未知项(1)3,a,9;(2)2,b,c,−10;(3)3,e,−9,f例3（1）在等差数列{a n }中，是否有a n =a n−1+a n+12(n ≥2)2 在数列{a n }中,如果对于任意的正整数n(n ≥2),都有a n=a n−1+a n+12，那么数列{a n }一定是等差数列吗？【随堂练习】1、判断下列数列是否为等差数列：（1）-1，-1，-1，-1,-1；（2）1，12，13，14； （3）1，0,1,0,1，0；（4）2,4,6,8,10,12；（5）7,12,17,22,27；2、目前男子举重比赛共有10各级别，除108公斤以上级别外，其余的9各级别从轻到重依次为（单位:g ）:54,59,64,70,76,83,91,99,108这个数列是等差数列吗3、已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：(1)(),5,10;(1)1,√2,( ); 331, , ,10 【总结提炼】。
【精品学案】2018-2019学年高中数学苏教版必修5学案：2.2.2.2 等差数列的性质 Word版含解析
第2课时等差数列的性质1．理解等差中项的概念，并能利用等差中项判断一个数列是否为等差数列．(重点、难点)2．掌握等差数列的有关性质，能运用等差数列的性质解题．(重点)3．了解一次函数同等差数列通项公式间的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1等差数列与一次函数阅读教材P39“例3”及“思考”的有关内容，完成下列问题．1．等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是关于n的常函数；当d≠0时，a n是关于n的一次函数；点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n}中，已知a1，d，a m，a n(m≠n)，则d＝a n－a1n－1＝a n－a mn－m，从而有a n＝a m＋(n－m)d.1．若{a n}是等差数列，若a2＝3，a8＝5，则公差d＝________，a n＝________.【解析】∵d＝a8－a28－2＝5－36＝13，∴a n＝a2＋(n－2)×13＝3＋n－23＝n＋73.【答案】 13 n ＋732．若点(1，a n )，(2，a n ＋1)在直线y ＝x ＋3上，则a n ＋1与a n 的关系为________． 【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝1＋3，a n ＋1＝2＋3，∴a n ＋1－a n ＝1,即a n ＋1＝a n ＋1. 【答案】 a n ＋1＝a n ＋1 教材整理2 等差数列的性质阅读教材P 41第11题～第16题，完成下列问题． 1．等差中项如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b2叫做a 和b 的等差中项．2．等差数列的性质(1)项的运算性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….(3)若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有(4){a n n n d ＝0⇔{a n }为常数列．1．若数列{a n }是等差数列，且a 5＝10，a 9＝14，则a 7＝________.【解析】 a 7＝a 5＋a 92＝10＋142＝12，即a 7＝12. 【答案】 122．在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 【解析】 由a 7＋a 9＝a 4＋a 12，得a 12＝a 7＋a 9－a 4＝16－1＝15. 【答案】 15[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]n 1n *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求p ，q 的值．【精彩点拨】 由x 1，x 4，x 5成等差数列得出一个关于p ，q 的等式，结合x 1＝3推出2p ＋q ＝3，从而得p ，q .【自主解答】 由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，① 又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4得， 3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，② 由①②得，q ＝1，p ＝1.在等差数列{a n}中，由定义有a n＋1－a n＝a n－a n－1(n≥2，n∈N*)，即a n＝a n＋1＋a n－12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．[再练一题]1．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.【导学号：91730027】【解】(1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5，∴该数列为－1,1,3,5,7.(1)等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，求2a9－a10的值；(2)数列{a n}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{a n}的通项公式；(3)在等差数列{a n}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．【精彩点拨】(1)利用等差中项求解；(2)利用m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q求解；(3)利用d＝a m－a nm－n求解．【自主解答】(1)由等差数列的性质，得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10，∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(2)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，∴a5＝3，∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，①又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1. ∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.由通项公式的变形公式a n＝a3＋(n－3)d，得a n＝2n－7或a n＝－2n＋13.(3)∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝20－860－15＝415，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×415＝24.解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则a m＋a n＝a p＋a q＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．[再练一题]2．已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66，求a 2，a 3，a 4. 【解】 ∵{a n }为等差数列，∴2a 3＝a 2＋a 4，∴3a 3＝18，∴a 3＝6，设公差为d ，则(6－d )×6×(6＋d )＝66，∴d 2＝25，∴d ＝±5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，a 4＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1.[探究共研型]探究1【提示】 设等差中项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，这样计算较为方便．探究2 若四个数成等差数列，如何设这四个数使计算较为方便？【提示】 设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，计算较为方便．(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．【精彩点拨】 (1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d (d 为公差)；(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a －3d ，a －d ，a＋d，a＋3d(公差为2d)．【自主解答】(1)法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a＝1－32d代入a(a＋3d)＝－8，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8， 化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d >0，所以d ＝2， 故所求的四个数为－2,0,2,4.利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…，a ，－2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．[再练一题]3．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【解】 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知，得 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116， ②由①得a ＝6，代入②得d ＝±2. ∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去， ∴这三个数为4,6,8.[构建·体系]1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________． 【解析】 由等差中项的性质知a 3＝a 1＋a 52＝5，又a 4＝7，∴公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.【答案】 22．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为________． 【解析】 ∵a 1＋a 9＝2a 5，∴a 5＝5. 【答案】 53．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.【导学号：91730028】【解析】 根据等差中项的性质，得a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7＝2a 5＝37， ∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝4a 5＝74. 【答案】 744．在－1和8之间插入两个数a ，b (a <b )，使这四个数成等差数列，则a ＝________，b ＝________.【解析】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝7，2b ＝a ＋8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5.【答案】 2 55．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．【解】 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32，所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于________． 【解析】 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B，又∵A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，从而B＝60°.【答案】60°2．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项是________．【解析】因为a＝13＋2＝3－2，b＝13－2＝3＋2，所以a＋b2＝ 3.【答案】 33．在等差数列{a n}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.【解析】由等差数列的性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11，∴36＝2(a5＋a8)，故a5＋a8＝18.【答案】184．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.【导学号：91730029】【解析】∵{a n}，{b n}都是等差数列，∴{a n＋b n}也是等差数列，其公差为21－7 2＝142＝7，∴a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35. 【答案】355．(2016·泰州高二检测)若等差数列的前三项依次是1x＋1，56x，1x，那么这个数列的第101项是________．【解析】由已知得2×56x＝1x＋1＋1x，解得x ＝2，∴a 1＝13，d ＝112，∴a 101＝13＋100×112＝823.【答案】 8236．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m ＝________.【解析】 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.【答案】 87．(2016·镇江高二检测)已知数列－1，a 1，a 2，－4与数列1，b 1，b 2，b 3，－5各自成等差数列，则a 2－a 1b 2＝________. 【解析】 设数列－1，a 1，a 2，－4的公差是d ，则a 2－a 1＝d ＝－4－(－1)4－1＝－1，b 2＝－5＋12＝－2，故知a 2－a 1b 2＝12. 【答案】 128．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)＝________.【解析】 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3，∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.【答案】 － 3二、解答题9．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列．【证明】 ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b (a ＋c )．∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c (b ＋c )＋a (a ＋b )ac ＝c 2＋a 2＋b (a ＋c )ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac ＝2(a ＋c )2b (a ＋c )＝2(a ＋c )b .∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 成等差数列．10．(2016·扬州高二检测)若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．【解】 显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)， ∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.[能力提升]1．(2016·南京高二检测)在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________．【解析】 ∵a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝(a 6＋d )－12(a 6＋2d )＝12a 6＝12×16＝8.【答案】 82．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.【导学号：91730030】【解析】 设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766， 则a 5＝6766，故第5节的容积为6766升．【答案】 67663．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．【解析】 第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .【答案】 n 2＋n4．已知{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n 3a n ＋1， ∴1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝3＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n＝3. 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列．(2)由(1)得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的通项公式为1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2(n ∈N *)．。
高中数学第2章数列2.2.1等差数列的概念教案苏教版必修5
2.2.1 等差数列的概念教学目标：1.理解等差数列的概念，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要函数模型；2.能够利用等差数列的定义判断给定数列是否为等差数列；3.在探索活动中培养学生的观察、分析能力，培养由特殊到一般的归纳能力．教学重点：等差数列的概念．教学难点：对等差数列“等差”的特点的理解 .教学方法：启发式、研讨式．教学过程：一、问题情境1．情境：第23届到第28届奥运会举行的年份依次为：1984，1988，1992，1996，2000，2004；2．问题：这个数列有什么特点？二、学生活动1．让学生回顾书上本章第2.1节开始碰到的数列（初步体会等差数列的特点）；2．列举生活中的等差数列的实例（了解等差数列的定义）；3．分析、概括各种等差数列实例的共同特征．三、建构数学1．引导学生自己总结给出等差数列的含义（描述性概念）；2．给出等差中项的概念．四、数学运用（3）-3，-2，-1, 1,2,3．例2 求出下列等差数列中的未知项：（1）；（2）．例3 （1）在等差数列中，是否有？（2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？2．练习.课本P37练习 1，2，3，4．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．等差数列的有关概念；2．等差数列的判断方法——定义法、等差中项法．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》1
等差数列的概念
【教学目标】
1 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念．
2 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．
3 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用．
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而到达使学生既获得知识又开展智能的目的．
【教学过程】。
2019届高一数学苏教版必修5学案：2.2.2.1 等差数列的概念及通项公式
2.2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式第1课时等差数列的概念及通项公式1．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．(重点)2．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．(重点)3．等差数列的证明及其应用．(难点)[基础·初探]教材整理1等差数列的概念阅读教材P35“思考”以上内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．(×)(2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．(×)(3)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列．(×)(4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列．(√)教材整理2等差数列的通项公式阅读教材P37～P38例1的有关内容，完成下列问题．对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a1＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.1．若{a n}是等差数列，且a1＝1，公差d＝3，则a n＝________.【解析】∵a1＝1，d＝3，∴a n＝1＋(n－1)×3＝3n－2.【答案】3n－22．若{a n}是等差数列，且a1＝2，d＝1，若a n＝7，则n＝________.【解析】∵a1＝2，d＝1，∴a n＝2＋(n－1)×1＝n＋1.由a n＝7，即n＋1＝7，得n＝6.【答案】 6[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{a n}中，a n＝3n＋2；(2)在数列{a n}中，a n＝n2＋n.【精彩点拨】【自主解答】(1)a n＋1－a n＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)a n＋1－a n＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．1．定义法是判定(或证明)数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差a n＋1－a n；(2)对差式进行变形；(3)当a n＋1－a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋1－a n 不是常数，是与n有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．2．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．[再练一题]1．已知数列{a n}的通项公式a n＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)，记b n ＝a n－a n.求证：对任意实数p和q，数列{b n}是等差数列．＋1【证明】 ∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ， ∴b n ＋1－b n ＝(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n ) ＝2p 为一个常数， 故数列{b n }是等差数列．已知数列{a n }是等差数列，且a 5＝10，a 12＝31. (1)求{a n }的通项公式； (2)若a n ＝13，求n 的值．【精彩点拨】 建立首项a 1和d 的方程组求a n ；由a n ＝13解方程得n . 【自主解答】 (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5.(2)由a n ＝13，得3n －5＝13，解得n ＝6.1．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n ＝a 1＋(n －1)d 中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．2．已知数列的其中两项，求公差d ，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n ＝a m ＋(n －m )d .[再练一题]2．已知递减等差数列{a n }前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？【解】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1a 2a 3＝66，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝18，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列， ∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5. ∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16， 即等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34， 得n ＝10.∴－34是数列{a n }的第10项．[探究共研型]探究1 【提示】 由a n ＋1＝a n ＋1可知a n ＋1－a n ＝1.∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n＝n2，∴a5＝52＝25.探究2某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？【提示】设第n排有a n个座位，由题意可知a n－a n－1＝2(n≥2)．又a1＝20，∴a n＝20＋(n－1)×2＝2n＋18.∴a15＝2×15＋18＝48.即第15排有48个座位．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【精彩点拨】分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．【自主解答】由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第1年起，第n年的利润为a n，则a n－a n－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以a n＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．1．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．[再练一题]3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：(1)吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？【解】(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.(2)当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588 cm.当s＝49 cm时，t＝s9.8＝499.8＝5 s.[构建·体系]1．下列数列中是等差数列的为________(填序号)．①6,6,6,6,6；②－2，－1,0,1,2；③5,8,11,14；④0,1,3,6,10.【解析】①②③是等差数列，④不是等差数列．【答案】①②③2．若数列1，a,9是等差数列，则a的值为________．【解析】由1，a,9成等差数列可知，a－1＝9－a，∴2a＝1＋9，∴a＝5.【答案】 53．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n＋2，则a n＝________.【解析】由a n＋1＝a n＋2，得a n＋1－a n＝2，∴{a n}是首项a1＝1，d＝2的等差数列，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.【答案】2n－14．设数列{a n}的公差为d，则数列a3，a6，a9，…，a3n是________数列，其公差为________.【导学号：91730025】【解析】a3n－a3(n－1)＝3d.【答案】等差3d5．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．【解】用{a n}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知等差数列{a n}的通项公式是a n＝3n，则其公差是________．【解析】a n－a n－1＝3n－3(n－1)＝3.【答案】 32．数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列为________(填序号)．(1)是公差为2的等差数列； (2)是公差为5的等差数列； (3)是首项为5的等差数列； (4)是公差为n 的等差数列． 【解析】 ∵a n ＝2n ＋5，∴a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－2n －5＝2. 又a 1＝2×1＋5＝7， 故(1)正确． 【答案】 (1)3．等差数列3,7,11，…的第4项是________． 【解析】 由题意可知7－3＝a 4－11，∴a 4＝15. 【答案】 154．已知数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，若a n ＝2 017，则项的序号n 等于________．【解析】 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 得2 017＝1＋(n －1)·3，解得n ＝673.【答案】 6735．已知数列{a n }为等差数列a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【解析】 法一由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得a 1＝114，d ＝－34.∴a 15＝a 1＋(15－1)d＝114＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314. 法二 由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34.∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314. 【答案】 －3146．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．【解析】 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按图2-2-1的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖________块．图2-2-1【解析】 显然构成一个等差数列，且首项a 1＝6，公差d ＝4，∴第n 个图案中有a n ＝6＋4(n －1)＝4n ＋2块白色地面砖．【答案】 4n ＋28．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则它们的公共项的个数有________．【解析】 设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n }， 则a 1＝11.∵数列5,8,11…与3,7,11…的公差分别为3和4，∴{a n }的公差d ＝3×4＝12，∴a n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.又∵5,8,11，…与3,7,11…的第100项分别为302和399，∴a n ＝12n －1≤302，即n ≤25.5.又n ∈N *，∴两数列有25个相同的项．【答案】 25二、解答题9．若等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1(a 1＋d )＝a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n . 故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .10．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2 ＝a n －22(a n －2)＝12， 又∵b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)可知b n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，又由b n ＝1a n －2可知，a n ＝2＋1b n ＝2＋2n . [能力提升]1．若{a n }是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是________(填序号)．①{a n ＋3}；②{}a 2n ；③{a n ＋1－a n }；④{2a n }；⑤⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n . 【解析】 ∵{a n }成等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．∴{a n ＋3}，{a n ＋1－a n }，{2a n }均是等差数列，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 未必是等差数列． 【答案】 ①③④2．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________.【导学号：91730026】【解析】 由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a n n ＝n ，所以a n ＝n 2.【答案】 n 23．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中，c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.【解析】 因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19.【答案】 194．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由； (2)求a n .【解】 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下： ∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2， ∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， ∴1a n ＋1－1a n ＝12， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12， 公差为d ＝12的等差数列．(2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2，∴a n ＝2n .。
江苏省 必修5教案 2.2等差数列1
（3）对于数列{ },若 － = (与n无关的数或字母)， ，则此数列是等差数列， 为公差。
2.等差数列的通项公式的推导： 【或 】
已知等差数列 的首项是 ，公差是 ，求
∵ 是等差数列，∴当 时，有 ， ， ……
，将上面 个等式的两边分别相加，得：
∴ ，当 时，上面的等式也成立。
3.等差数列的性质
（1） （2） = （3）等差数列的通项公式是关于 的一次函数
（4）如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP
（5）在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以求出另一个
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材 例1）例2（教材 例2）
例3（教材 例1）第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“ ”表示）。名称： ；首项 ；公差
注意：
（1）从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数，这个常数就是公差。
（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴
（2）假设 则 ，得 假设 ， 无正整数解。
答：所求的通项公式是 ，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会。
说明：由此例说明等差数列项的判断方法。
例4（教材 例2）在等差数列 中，已知 ， ，求 ．
高中数学 2.2.1 等差数列的概念教案 苏教版必修5
2．2.1 等差数列的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过实例，理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；(2)明确等差中项的概念和性质，会求两个数的等差中项；(3)能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；(4)在探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力．2.过程与方法(1)经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程；(2)让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察、推导、归纳抽象出等差数列的概念，由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题．3．情感、态度与价值观(1)通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维、追求新知的创新意识；(2)培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识．●重点、难点重点：理解等差数列的概念．难点：等差数列的证明与等差数列的设法．对于等差数列概念这个重点内容的教学，“授人以渔”的研究方法比纯粹传授知识更重要．建构等差数列的概念首先要经历大量的实例观察，分析数列的项与项之间可能的关系，然后概括发现等差数列的“共性”，进而探究揭示等差数列的定义及其证明方法．教学中关键是让学生自己经历观察、归纳、猜想等过程，逐步认识到数列的项与项之间的“等差”关系，而不能简单让学生填空计算“相邻两项的差”．(教师用书独具)●教学建议1．等差数列在日常生活中有着广泛的应用．因此，首先引导学生研究三个现实问题(第23届到第28届奥运会举行年份问题、通话计费问题、储蓄问题)．这三个数列模型，其实是给出了等差数列的现实背景．目的是让学生切实感受到等差数列是现实生活中大量存在的数列模型．然后给学生一定的思考和探索空间，让他们自己观察、归纳、猜想，进而抽象出等差数列的概念．2．在学习完等差数列概念的基础上，让学生自己去研究、自己去发现等差中项的有关结论，提高学生自主学习的能力，同时感受发现知识的快乐．3．为了强化学生对本部分知识的掌握，设置“等差数列的概念”、“等差数列的证明”及“等差数列中项的设法”三个方面的例题．通过这些例题的教学可以使学生更深刻地领会本节知识．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第20页)观察下面的三个数列0,2,4,6，…；12,22,32,42，…；18,155,13,10.5，….上面这些数列有什么共同特点？【提示】相邻项的差为同一个常数(从第二项起，每一项减去它的前一项的差都是同一个常数)．如果一个数列，从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d 表示.在a ，b 之间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，则A 应满足什么条件？ 【提示】 ∵a ，A ，b 成等差数列，∴A －a ＝b －A ， ∴2A ＝a ＋b ，∴A ＝a ＋b2如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2.(对应学生用书第20页)判断下列数列是否为等差数列：(1)0，－3，－6，－9，－12，…；(2)1,2,4,6,8；(3)6,6,6,6，…；(4)m，m＋n，m＋2n,2m＋n.【思路探究】利用等差数列的定义，判定a n－a n－1＝d(d为常数)是否成立．【自主解答】(1)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－3，所以该数列是等差数列．(2)因为2－1＝1,4－2＝2,6－4＝2,8－6＝2,1≠2，所以该数列不是等差数列．(3)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，所以该数列是等差数列．(4)(m＋n)－m＝n，(m＋2n)－(m＋n)＝n,2m＋n－(m＋2n)＝m－n.当n＝m－n，即m＝2n时，该数列是等差数列；当n≠m－n，即m≠2n时，该数列不是等差数列．1．本题根据等差数列的定义，逐一检验数列中从第2项起，每一项与其前一项的差是否为同一常数，再作出判断．2．一般情况下，要判断数列是否为等差数列，只需按照定义去验证，要关注两点：(1)后项减前项；(2)差为同一个常数．判断下列数列是否为等差数列？(1)a n＝3－2n；(2)a n＝n2－n.【解】(1)∵a n＋1－a n＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2是同一个常数，∴{a n}是等差数列．(2)∵a n＋1－a n＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是同一常数，∴{a n}不是等差数列.等差数列的证明已知数列{a n }满足：a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，b n ＝1a n －2. 求证数列{b n }是等差数列； 【思路探究】1a n ＋1－2－1a n －2＝常数→b n ＋1－b n ＝常数→数列{b n }是等差数列【自主解答】 因为a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2＝2－4a n＝2a n －2a n， 所以1a n ＋1－2＝a n 2a n －2＝12＋1a n －2(n ≥1)，故1a n ＋1－2－1a n －2＝12(n ≥1)，即b n ＋1－b n ＝12(n ∈N *)．所以数列{b n }是等差数列．1．本例中，对条件的转化使用是个难点，应掌握对条件的恰当转化． 2．证明数列{a n }为等差数列的方法：(1)证明a n ＋1－a n 为同一个常数d (n ≥1，n ∈N *)； (2)证明a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)．已知三个正数a ，b ，c 满足a 2，b 2，c 2成等差数列．求证1a ＋b ，1a ＋c ，1b ＋c成等差数列． 【证明】 ∵a 2，b 2，c 2成等差数列，∴b 2＝a 2＋c 22.∵1a ＋b ＋1b ＋c＝b ＋c ＋a ＋ba ＋b b ＋c＝2b ＋a ＋c ab ＋ac ＋b 2＋bc＝2b ＋a ＋cab ＋a 2＋c 22＋bc ＋ac＝22b ＋a ＋c2ab ＋a 2＋c 2＋2bc ＋2ac＝22b ＋a ＋c 2ba ＋c ＋a ＋c2＝22b ＋a ＋c a ＋c 2b ＋a ＋c ＝2a ＋c ，∴1a ＋b ，1a ＋c ，1b ＋c成等差数列．灵活设元求解等差数列已知四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．【思路探究】 若设四个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d ，列出方程组可以求解，但解方程时较麻烦，若对称设四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则解方程时会很简单．【自主解答】 设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －da ＋d ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.1．本题利用对称设法设出数列中的四个数，由四数之和为定值，可直接求出未知量a ，进一步很方便的可求出d .2．当三个数或四个数成等差数列时可采用对称的设法，三个数时，设a －d ，a ，a ＋d ；四个数时，设a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .再由题目其它条件建立关于a 、d 的方程组，通过解方程组求出所要结果．已知三个数成等差数列，首末两项之积为中间项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求这三个数．【解】 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a －d a ＋d ＝5a ，a ＋a ＋d ＝8a －d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，d ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝6.所以这三个数分别为0,0,0或3,9,15.(对应学生用书第22页)不理解等差数列的定义致误若数列{a n }的通项公式为a n ＝10＋lg2n，求证数列{a n}为等差数列．【错解】因为a n＝10＋lg 2n＝10＋n lg 2，所以a1＝10＋lg 2，a2＝10＋2lg 2，a3＝10＋3lg 2，所以a2－a1＝lg 2，a3－a2＝lg 2，则a2－a1＝a3－a2，故数列{a n}为等差数列．【错因分析】a3－a2＝a2－a1＝常数，不能满足等差数列的定义中“从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数”的要求．【防范措施】要证明一个数列为等差数列，必须证明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即a n－a n－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．【正解】因为a n＝10＋lg 2n＝10＋n lg 2，所以a n＋1＝10＋(n＋1)lg 2.所以a n＋1－a n＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋n lg 2)＝lg 2(n∈N*)．所以数列{a n}为等差数列．1．基础知识：(1)等差数列的概念；(2)等差中项．2．基本技能：(1)等差数列的判定(或证明)方法；(2)三个(或四个)数成等差数列时数的设法．3．思想方法：(1)转化思想；(2)对称设元思想.(对应学生用书第22页)1．下列说法正确的是________(填序号)．①一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列 ②一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列 ③一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列 ④一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列【解析】 根据等差数列的定义判断． 【答案】 ④2．下列数列不是等差数列的是________(填序号)． ①6,6,6，…，6，… ②－2，－1,0，…，n －3，… ③5,8,11，…，3n ＋2，… ④0,1,3，…，n 2－n2，…【解析】 根据等差数列的定义判断④不是等差数列． 【答案】 ④3．已知等差数列{a n } 的前三项依次为a －1，a ＋1,2a ＋3，则参数a 的值为________． 【解析】 由题意知：(a －1)＋(2a ＋3)＝2(a ＋1)，∴3a ＋2＝2a ＋2，∴a ＝0 【答案】 04．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【解】 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝18， ①a －d2＋a 2＋a ＋d2＝116， ②由①得a ＝6，代入②得d ＝±2. ∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.(对应学生用书第85页)一、填空题1．(2013·衡阳高二检测)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，则角B 等于________．【解析】 由A 、B 、C 依次成等差数列，得A ＋C ＝2B ， ∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60° 【答案】 60°(或π3)2．在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则公差为________． 【解析】 由已知a －(－1)＝b －a ＝8－b ＝d ， ∴8－(－1)＝3d ∴d ＝3 【答案】 33．等差数列的相邻4项是a ＋1，a ＋3，b ，a ＋b ，那么a ，b 的值依次为________． 【解析】 设公差为d ，则d ＝(a ＋3)－(a ＋1)＝2. 又d ＝(a ＋b )－b ＝a ，∴a ＝2， ∴d ＝b －(a ＋3)＝b －5＝2， ∴b ＝7. 【答案】 2,74．(2013·浏阳高二检测)已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为________．【解析】 ∵a ＋b ＝13＋2＋13－2＝3－2＋3＋23＋23－2＝233－2＝23，∴等差中项为 3. 【答案】35．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________、________、________.【解析】 由题意得：2a ＝8＋2,2×2＝a ＋b ， 2b ＝2＋c ，即a ＝5，b ＝－1，c ＝－4. 【答案】 5，－1，－46．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是________．【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝8，2m ＋n ＝10，∴3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6，∴m ＋n2＝3.【答案】 37．已知a ，b 是正整数，且lg(a －3)和lg(4－b )的等差中项为lg 5，则a ，b 的值分别是________．【解析】 因为a ，b 是正整数，a －3＞0,4－b ＞0，所以a ＞3,0＜b ＜4.又2lg 5＝lg(a －3)＋lg(4－b )，即(a －3)(4－b )＝5＝1×5＝5×1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝5，4－b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝3.【答案】 8,38．(2013·烟台高二检测)设函数f (x )＝1x －b＋2，若a ，b ，c 成等差数列(公差不为零)，则f (a )＋f (c )＝________.【解析】 由已知，得b －a ＝c －b ，∴c －b ＝－(a －b )， ∴f (a )＋f (c )＝1a －b ＋2＋1c －b ＋2＝1a －b ＋1c －b＋4＝0＋4＝4. 【答案】 4 二、解答题9．数列{a n }中，a n ＝lg 532n ＋1，判断该数列是否为等差数列．【解】 ∵a n ＝lg 532n ＋1，∴a n ＋1＝lg 532n ＋3， ∴a n ＋1－a n ＝lg532n ＋3－lg532n ＋1＝lg(532n ＋3×32n ＋15)＝lg32n ＋132n ＋3＝lg 132＝lg 13＝－lg 3， ∴数列{a n }是等差数列．10．已知数列{a n }为等差数列，求证：当a n 均不为0时，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1成立．【证明】 (1)设数列{a n }的公差为d ，若d ＝0，则所述等式显然成立． (2)若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d (a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1)＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a n －1a n ＋1)]＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝1d·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝na 1a n ＋1.11．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b，a ＋bc也成等差数列．【证明】 ∵1a ，1b ，1c 面等差数列，∴2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )．∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c b ＋c ＋a a ＋b ac＝c 2＋a 2＋b a ＋c ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac＝2a ＋c2b a ＋c＝2a ＋cb. ∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc成等差数列.(教师用书独具)已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 【思路探究】 由等差中项，设三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，列方程组求解． 【自主解答】 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝18， ①a －d2＋a 2＋a ＋d2＝116， ②由①，得a ＝6，代入②，得d ＝±2. ∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去． ∴这三个数为4,6,8.充分利用等差中项的性质，往往能简化解题过程，事半功倍．已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数． 【解】 由题意，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，a －da ＋d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，d ＝－4.所以，当d ＝4时，这三个数为1,5,9； 当d ＝－4时，这三个数为9,5,1. 拓展亢量数列“亢量数列”使八年前一个穿鞋都露脚尖的乞丐变成了几年后的一个花费百万元去玩鼎的私营企业老板，这个人就是麦宪利．“亢量数列”——《股价测算王》软件，是北京麦宪利科技中心独资开发并拥有全部自主知识产权的一项高科技产品，它依据的是麦宪利先生花费近20年心血研究出来的一种独特运算方式，基于统计学原理，运用逻辑学的甄别技术，对股票价格和大盘指数的运行趋势作出比较精确的判断．就其对股票价格和大盘指数的阶段性运行数值所能作出的精算能力而言，这款软件不论在国内还是在国外，目前都处于绝对领先的地位，无任何其他同类型产品共同存在于财经类软件市场．股票的价位变异和大盘指数的起伏升跌，表面上看似乎毫无规律可循，很难建立起一个精确的数学模型来阐述和描绘这种常被数学家们称为“混沌”和“紊流”现象的自然事物，但是，在“亢量数列”面前，股票的价格变化和大盘指数数值的演变，就像浸在清水里的一块白布，它上面暗藏的各种晦涩难辨的纷杂图形就清晰显现、昭然若揭．股票也好，股市也好，都不是“死”的物，它都有生命、有爆发、有衰落，与人和动物一样，有生命的周期性．“亢量数列”就是记载着有生命的物体其生命能量爆发周期和烈度的一种图谱，以及探寻该生命物体的生命能量爆发的周期和烈度的一种工具．“亢量数列”不但对股票的价格走势和大盘指数的数值变化有着较精确的测算作用，在犯罪学领域也有着很广泛的应用价值，尤其是在追索刑事犯罪案件中潜逃藏匿的犯罪嫌疑人的躲藏踪迹方面，效果尤为显著．“亢量数列”早年被称为“倍八数列”，2006年经专家建议，正式更名为“亢量数列”．经过多年的实际应用，在麦宪利先生遍布全国的股友圈子里，“倍八测股”已经有了很广泛的影响，知名度甚高．用它来评盘测股，准确率高达70%至80%，稍有证券投资常识的人都知道：在证券投资实践中，一种有效的投资行为指导方法，如果其准确率能达到70%以上的话，盈亏相抵，获利将是非常巨大的！。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》4
等差数列教学设计王赫课型：新授课一．教材分析数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。
而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。
二．教学目标1.知识目标：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入数学建模的思想方法并能运用。
2.能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度和价值观：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
三．教学重、难点1.教学重点：等差数列的概念；等差数列的通项公式的推导过程及应用。
2.教学难点：不完全归纳法推导等差数列及数学建模思想应用解题。
四．教学过程（一）复习引入提问上节课学过的1、数列的定义，通项公式，递推公式2、如何证明数列是递增数列或递减数列？这两个问题，做到温故而知新。
（二）新课探究给出三组数据，并让学生观察其中的关系和共同点cm 1. 全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位:）分别是：1111111 23242425252626272728282929302222222，，，，，，，，，，，，，．2. 某次系统抽样所抽取的样本号分别是:7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.3. 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m ）是：7500，8000，8500，9000，9500，10000.三组数据的共同特征是从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。
2018版高中数学苏教版必修5学案：2.2.1等差数列的概念-2.2.2等差数列的通项公式(一)
第2底数列§2.2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式(一)［学习目标］1•理解等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列2能利用等差数列的定义求等差数列中的某一项.3•理解等差中项的概念，并能利用等差中项的概念判断一个数列是否为等差数列•訂知识梳理 __________________ 自主学习知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起, 每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.思考1等差数列｛a n｝的概念可用符号表示为a n+1-a n= d(n€ N*).思考2等差数列｛a n｝的单调性与公差d的符号的关系.等差数列｛a n｝中，若公差d>0，则数列｛a n｝为递增数列；若公差d<0,则数列｛a n｝为递减数列；若公差d = 0,则数列｛a n｝为常数列.知识点二等差中项的概念若三个数a, A, b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且 A ='护.知识点三等差数列的通项公式若等差数列的首项为a i，公差为d,则其通项a n= a i+ (n- 1)d.思考教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？答案还可以用累加法，过程如下：a? 玄丄d,a3 —a2 = d,a4 —a3 = d, a n—a n-1= d(n > 2),将上述(n - 1)个式子相加得 a n — a i = (n — 1)d (n 》2), ••• a n = a i + (n — 1)d( n > 2),当n = 1时，a i = a i + (1 — 1)d ,符合上式， • a n = a 1+ (n — 1)d(n € N *). 知识点四等差数列与一次函数1•等差数列的图象：等差数列的通项公式a n = a 1+ (n — 1)d ，当d = 0时，不是一固定常数;当d z 0时，a n 相应的函数是一次函数；点 (n , a 』分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线 上的一列孤立的点.重点突破题型一等差数列的概念 例1(1)下列数列中，递增的等差数列有个 •12 3 4① 1,3,5,7,9 :② 2,0,— 2,0 , — 6,0,…；③ 9, 9，g ，9，…；④ 0,0，。
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2．2.1等差数列的概念
学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．
知识点一等差数列的概念
思考给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20；
(2)4,4,4,4，…；
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
梳理一般地，如果一个数列从第________项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．
知识点二等差中项的概念
思考所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.
梳理如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝a＋b
2
，我们把A＝
a＋b
2
叫做a和b的等
差中项．
知识点三等差数列的判定与证明
思考1如何判定有穷数列为等差数列？
思考2如何判定无穷数列为等差数列？
梳理一般地，要判定和证明数列{a n}为等差数列，只需证明a n＋1－a n＝d始终成立．
类型一等差数列的概念
例1判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n
－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．
＋1
跟踪训练1下列是等差数列的有________．(填序号)
①3,4,5,6,7,8，…；
②1，－1，－3，－5，－7，…；
③2,2,2,2，…；
④5,55,555,5555，….
类型二等差中项
例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
反思与感悟在等差数列{a n}中，由定义有a n＋1－a n＝a n－a n－1(n≥2，n∈N*)，即a n＝
a n＋1＋a n－1
，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一2
项的等差中项．
跟踪训练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．。