2018-2019学年度北师大版数学选修2-3教学案：第二章6正态分布
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 6 正态分布》
§ 2.6 正态分布教材分析：1、结合实际问题让学生了解连续性随机变量的意义，如产品寿命，等车的时间等。
体会连续性随机变量的取值是某一区间的任意值，无法一一列举，如何描述其分布列就是本节研究的重点，从而引起学生对本节的兴趣。
2、在实际遇到的许多量（如长度、质量、噪音等）都服从或近似服从正态分布 。
在研究频率分布直方图时，当样本容量无限增大时，频率分布直方图和道尔顿钉板实验的图像就无限接近于一条分布密度曲线，分布密度曲线较科学地反映了总体分布 但分布密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 ，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 。
3、正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成： 22()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的均值（平均数）μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 。
正态分布曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 。
4、从形式上看，正态分布是一条中间高、两边低呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的5、结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质 。
正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质和解决实际问题 ，从实际中来，到实际中去。
教学分析教学时要通过一些贴近生活的实例，让学生对连续性随机变量和正态分布有初步直观的认识，同时使学生领悟到“数学来源于实践，又要回归到实践”，从而培养学生的学习兴趣，激发学习热情．教学中教师可利用多媒体引导学生分析归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力，也能锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳、分类、化难为易、数形结合的思想．这样的处理很好地突出了重点、突破了难点．教学目标：1、知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用，了解连续性随机变量的意义，掌握正态分布在实际生活中的意义和作用，了解分布密度曲线。
高中北师大数学选修2-3练习：第二章 §6 正态分布
[A 组 基础巩固]1．下列函数中哪个是正态分布密度函数( ) A ．f (x )＝12πσe 222x μσ(-)-，μ和σ(σ>0)都是实数B ．f (x )＝2π2πe 22x -C ．f (x )＝122πe214x (-)-D ．f (x )＝12πe 22x解析：仔细对照正态分布密度函数：f (x )＝12πσ·e 222x μσ-(-)，x ∈(－∞，＋∞)，注意指数上的σ和系数分母上的σ要一致，且指数部分是一个负数．选项A 是错误的，错在系数部分中的σ应该在分母根号的外面． 选项B 是正确的，它是正态分布密度函数N (0,1)．选项C 是错误的，从系数方面看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，不统一． 选项D 是错误的，指数部分缺少一个负号． 所以，选择B. 答案：B2．关于正态曲线性质有下列叙述：(1)曲线关于直线x ＝μ对称，这条曲线在x 轴的上方；(2)曲线关于直线x ＝0对称，这条曲线只有当x ∈(－3σ，3σ)时，才在x 轴的上方； (3)曲线关于y 轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x ＝μ时位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； (5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”． 上述说法正确的是( ) A ．只有(1)(4)(5)(6) B ．只有(2)(4)(5) C ．只有(3)(4)(5)(6)D ．只有(1)(5)(6)解析：正态曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ时处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸时，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x 轴的上方，曲线的形状由σ确定，而且当μ一定时，比较若干不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．答案：A3．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 解析：由P (ξ>1)＝p ，知P (－1<ξ<1)＝1－2p ， ∴P (－1<ξ<0)＝12－p .答案：D4．设随机变量X 服从正态分布，且相应的分布密度函数为f (x )＝16πe －24+46x x -x 2－4x ＋46，则( )A ．μ＝2，σ＝3B ．μ＝3，σ＝2C ．μ＝2，σ＝ 3D ．μ＝3，σ＝ 3解析：由f (x )＝12π×3e 2，得μ＝2，σ＝ 3. 故选C. 答案：C5．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD.2π解析：由正态分布密度曲线上的最高点为(10，12)知12π·σ＝12，∴DX ＝σ2＝2π.答案：C6．已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，则P (X <3)＝________. 解析：由正态分布图像知，μ＝3为该图像的对称轴， P (X <3)＝P (X >3)＝12.答案：127．已知随机变量x ～N (2，σ2)，若P (x ＜a )＝0.32，则P (a ≤x ＜4－a )＝________.解析：由正态分布图像的对称性可得： P (a ≤x ＜4－a )＝1－2P (x ＜a )＝0.36. 答案：0.368．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵X ～N (1，σ2)，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示，故X 落在(0,2)内的概率为P (0<X <1)＋P (1<X <2) ＝0.4＋0.4＝0.8. 答案：0.89．某批待出口的水果罐头，每罐净重X (g)服从正态分布N (184，2.52)，求： (1)随机抽取1罐，其实际净重超过186.5 g 的概率；(2)随机抽取1罐，其实际净重大于179 g 小于等于189 g 的概率． 解析：由题意知μ＝184，σ＝2.5. (1)∵P (X ＞186.5)＝P (X ＜181.5)，又P (181.5≤X ≤186.5)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.683， ∴P (X ＞186.5)＝12[1－P (181.5≤X ≤186.5)]＝12(1－0.683)＝0.158 5. (2)P (179＜X ≤189)＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954.10．某厂生产的圆柱形零件的外直径X (单位：cm)服从正态分布N (4,0.25)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm ，试问该厂生产的这批零件是否合格？请说明理由．解析：由于随机变量X ～N (4,0.25)，由正态分布的性质和3σ原则可知，正态分布N (4,0.25)在(μ－3σ，μ＋3σ)＝(4－3×0.5,4＋3×0.5)＝(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而 5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了小概率事件，所以据此可认为该批零件是不合格的．[B 组 能力提升]1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝() A．0.447 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：由ξ～N(0，σ2)，且P(ξ>2)＝0.023，知P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.答案：C2．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于________．解析：由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k.而μ＝2，所以k＝2.答案：23．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，则此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为________．解析：由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.683，又由于P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954，所以此人在10分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954，那么此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954－0.683＝0.271，由正态密度曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 5.答案：0.135 54．若一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式；(2)求正态总体在(－4,4)内的概率．解析：(1)由于该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即μ＝0，由14 2π＝12πσ，解得σ＝4，所以该函数的解析式为f(x)＝142πe232x，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4＜X<4)＝P(0－4＜X<0＋4)＝P(μ－σ＜X<μ＋σ)＝0.683.5．某投资商制定了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，他应该选择哪一个方案？解析：①当选择X～N(8,32)的方案时，则有μ＝8，σ＝3.∴P (8－3<X <8＋3)＝P (5<X <11)＝0.683，∴P (X >5)＝12＋P (5<X <8)＝12＋12P (5<X <11)＝0.5＋0.341 5＝0.841 5.即选择X ～N (8,32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.841 5. ②当选择X ～N (7,12)的方案时， 则有μ′＝7，σ′＝1.∴P (7－2×1<X <7＋2×1)＝P (5<X <9)＝0.954，∴P (X >5)＝12＋P (5<X <7)＝12＋12P (5<X <9)＝0.5＋0.477＝0.977.即选择X ～N (7,12)的方案时，利润超过5万元的概率为0.977. 综上可得选择X ～N (7,12)的方案时，利润超过5万元的概率大． 故他应该选择X ～N (7,12)的方案．由Ruize收集整理。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 6.2正态分布》9
正态分布合浦廉州中学包日勇一、教学目标知识与技能：1、了解正态分布在实际生活中的意义和作用。
2、掌握正态分布的特点及正态分布曲线所表示的意义、性质。
3、掌握正态分布3-σ原则及实际应用。
过程与方法：1、利用高尔顿顶板实验，借助直观（如实际问题的直方图）图表，了解正态分布曲线和正态分布。
3、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解。
4、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质、特点。
情感、态度与价值观：1、介绍数学家的生平、伟绩以及相对应课程的数学史，激发学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。
通过对生活中正太分布现象的介绍，发展学生在实践中探索的数学的意识及兴趣的审美能力。
2、通过多次呈现实验演示，引导学生分析、归纳、总结，间接培养学生收集、统计、分析实验数据的能力，体会到如何用科学的数学方法来解决实际生活中的问题。
3、经历观察、操作、思想交流等过程，了解正太曲线的概念及表达的意义，进一步提高学生从一般到特殊的归纳能力。
二、教学重点与难点教学重点：正态分布函数和正态曲线的性质。
正态分布3-σ原则及实际应用。
教学难点：正态曲线的性质。
三、教学的方法与手段教学方法：启发式教学、探究式学习教学软件：Poweroint课件、视频、几何画板四、教学过程创设情境，导入新知：通过对高尔顿高尔顿钉板实验引出正态密度曲线。
高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。
那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。
为了更好的研究实验结果呈现的现象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。
2.6正态分布 教案高中数学选修2-3 北师大版
§6 正态分布●三维目标1．知识与技能(1)让学生理解正态函数及其曲线的有关性质，并运用它来解决一些简单的与正态分布有关的问题．(2)培养学生从图形上分析、解决问题的能力和抽象思维能力．2．过程与方法(1)探究法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系．3．情感、态度与价值观通过教学中一系列的探究过程，使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．●重点难点重点：正确认识正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义；难点：数形结合归纳正态分布曲线的性质．教学时要通过一些贴近生活的实例，让学生对正态分布有初步直观的认识，同时使学生领悟到“数学来源于实践，又要回归到实践”，从而培养学生的学习兴趣，激发学习热情．教学中教师可利用多媒体引导学生分析归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力．通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳、分类、化难为易、数形结合的思想．这样的处理很好地突出了重点、突破了难点．(教师用书独具)●教学建议由于高二学生已具有较好的数学基础和较强的分析问题、解决问题的能力．因此，在教学中以学生为中心，以严谨的思维为载体，采用启发、猜想、探究相结合的教学方法．(1)让学生在实例中发现问题、提出问题，并学会猜想，在思想的产生过程中不知不觉培养学生的猜想与看图能力；(2)提供“观察、探究、交流”的机会，引导学生独立思考，有效调动学生的思维，使学生在开放的活动中获取知识；(3)利用多媒体辅助教学，直观生动地呈现，突出重点，化解难点．既加大了课堂信息量又提高了教学效率．●教学流程提出问题如何描述随机变量的分布情况．⇒分析理解通过两个实例画出图形(频率分布直方图)．⇒给出定义通过上面的实例，教师引导，分析得出分布密度曲线．⇒利用几何画板，学生分组讨论，自己总结正态分布密度函数的性质．⇒通过例题分析，讲解让学生体会正态分布的应用．⇒课堂小结，布置作业.1．离散型随机变量的取值有何特点？【提示】 离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的．2．一件产品的使用寿命是否为随机变量？它能一一列举出来吗？【提示】 一件产品的使用寿命是随机变量，但它不能一一列举出来．离散型随机变量的取值是可以一一列举的，但在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值，是不可以一一列举的，这种随机变量称为连续型随机变量．【问题导思】1．如何由频率分布直方图得到正态分布密度曲线？【提示】样本容量越大，所分组越多．2．正态分布密度函数中μ与σ的意义分别是什么？【提示】μ表示随机变量的平均值，σ是衡量随机变量的总体波动水平．在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X 的分布密度函数，记为f(x)．正态分布的密度函数为f(x)＝1σ2πe－(x－μ)22σ2.它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．1．从正态分布的密度函数的解析式中，求它的定义域、值域．【提示】定义域为R，值域为(0，12πσ]．2．正态分布密度函数的对称轴方程是什么？【提示】对称轴方程为x＝μ.3．σ是方差，它决定正态分布密度曲线的什么形状．【提示】“胖”、“瘦”．正态分布密度函数满足的性质：(1)函数图像关于直线x＝μ对称；(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的胖、瘦；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.求出总体随机变量的均值和方差．。
2018年高中数学北师大版选修2-3课件：§6 正态分布
2. 正态分布密度函数的性质 正态分布密度函数满足以下性质： 直线x＝μ对称 (1)函数图像关于 (2) σ(σ>0)的大小 (3)如下图所示，
；
决定函数图像的“胖”“瘦”；
P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%， P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%， P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.
[针对训练] 1. 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函 1 数的最大值为 . 4 2π (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]上的概率．
[解]
(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，
所在其图像关于y轴对称，即μ＝0. 1 1 由 ＝ ，得σ＝4. σ 2π 2π· 4 故该正态分布的概率密度函数的解析式是
§6
正态分布
01课前自主学习
1. 正态分布 如果一个连续型随机变量X的分布密度函数为
x－μ2t;＋∞ σ 2π
，
其中exp{g(x)}＝eg(x)，那么称X服从参数为μ和σ2的正态分
2 X ～ N ( μ ， σ ) 布，通常记作
．
正态分布的两个重要参数：均值μ和方差σ2(σ>0)．当μ和σ2 给定后，就是一个具体的正态分布．不同的μ和σ对应着不同的 分布密度曲线，如下图所示．
正态分布密度曲线 如图所示是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态
分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方 差．
[思路分析] 由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为x 1 ＝20，最大值为 ，因此，μ＝20，由 ＝ 可求得σ的 2 π 2 π σ 2π 值． 1 1
[完美作答] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直 线x＝20对称，最大值是 1 2 π ，所以μ＝20.
2018版高中数学北师大版选修2-3学案：第二章6正态分布
概率正态分布[学习目标】1•利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 2 了解变量落在区间(卩一o;叶寸,(卩一2 叶2d, ( [1— 3(T,叶3寸的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.EI知识梳理----------------------------知识点正态分布i. 正态分布■/.2■-正态分布的分布密度函数为：f(x)=寸2= exp[―(x?占)；x€(— 8,+^ )，其中exp{g(x)}=e g(x), 1表示___________ , (?((>0)表示_________ .通常用X〜N( 1 ])表示X服从参数为1和0的正态分布.2•正态分布密度函数满足以下性质(1)函数图像关于直线________ 对称.⑵0 0>0)的大小决定函数图像的____________ .(3)随机变量在三个特殊区间内取值的概率值①P ( 1—o<Xv 1+ o = ______ .②P( 1—2 d<X< 1+ 2 0 = _____ .③P( 1—3(<X< 1+ 3 0 = ______ .通常服从于正态分布N(1, 0)的随机变量X在区间(1- 3o叶3 0外取值的概率只有 _______________ .题型探究类型一正态曲线的图像的应用例1如图所示是一个正态分布，试根据该图像写出正态分布的分布密度函数的解析式，求出随机变量总体均值和方差.反思与感悟利用图像求正态分布的分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：1一是对称轴为x=卩，二是最大值为了亍.这两点确定以后，相应参数仏6便确定了，代入■y 2 n(rf(x)中便可求出相应的解析式.跟踪训练1设两个正态分布N( w , 6)( 6>0)和N(旧，6)( 6>0)的分布密度函数图像如图所示，则有()1/ L0L-1 -().5 O0.5 1 xA . w< w， 6< 6B. w< w，6> 6C. w> w，6< 6D . w> w， 6> 6类型二利用正态分布的对称性求概率例2设X〜N(1,22)，试求：(1)P( —1<X<3); (2)P(3<X<5); (3)P(X>5).引申探究本例条件不变，若P(X>c + 1) = P(X<c—1)，求c的值.反思与感悟利用正态分布求概率的两个方法⑴由于正态曲线是关于直线x= □对称的，且概率的和为1,故在关于直线X= □对称的区间上概率相等.如：①P(X<a) = 1 —P(X>a);②P(X< —a) = P(X >叶a).⑵利用X落在区间([1—(T,卩+ R, ( [1—20-,卩+ 2 c), ([i— 3 0-, 叶3 c)内的概率分别是0.683,0.954,0.997 求解.跟踪训练2 (1)已知随机变量E服从正态分布N(2,C),且P(&4) = 0.8，则P(0<氏2)等于() A. 0.6 B. 0.4C. 0.3D. 0.2⑵设X〜N(6,1)，求P(4<X<5).类型三正态分布的应用例3设在一次数学考试中，某班学生的分数X〜N(110,202),已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．反思与感悟 解答正态分布的实际应用题， 其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在（o; 叶®,（卩一 2（r,叶2 o ）, （（1— 3 o ；叶3 c ）二个区间内的概率，在此过程中用到归纳思 想和数形结合思想.跟踪训练3有一种精密零件，其尺寸 X （单位：mm ）服从正态分布 N （20,4）.若这批零件共有5 000个，试求： （1） 这批零件中尺寸在18〜22 mm 间的零件所占的百分比；（2）若规定尺寸在24〜26 mm 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？当堂训练1•某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所示 A •甲科总体的方差最小 B •丙科总体的平均数最小 C .乙科总体的方差及平均数都居中 D •甲、乙、丙总体的平均数不相同2•设随机变量E 服从正态分布Ng , 0）,且二次方程x 2+ 4x +0无实数根的概率为 J 则成绩分布的直方图可视为正态分布（由于人数众多,卩等于() A . 1 B . 2 C . 4 D .不能确定23.已知服从正态分布 N(仏d )的随机变量在区间(卩―6,叶0),(厂2q 叶2®和(厂3(T, 叶3 0内取值的概率分别为 68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试 成绩X 服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有( )A . 997 人B . 972 人C . 954 人D . 683 人A . 95.4%B . 99.7%C . 4.6%D . 0.3%5.设随机变量 X 〜N(0,1)，求 P(X<0), P( — 2<X<2).p-规律与方法■ ---------------------------------1. 理解正态分布的概念和分布密度曲线的性质.2. 正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1) 熟记 P(— o<X<0, P(— 2(<X< 卩+ 2 0 , P( p — 3(<X< 3 0 的值.(2) 充分利用分布密度曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为1这两个特点.① 分布密度曲线关于直线 x = 1对称，从而在关于 x = 1对称的区间上概率相等. ② P(X<a) = 1 — P(X>a), P(X< 1— a)= P(X> 叶 a),1 — P i — b<X< i+ b若 b< i,则 P(X< i — b) = .4.设 X 〜N — 2, ,则X 落在(一3.5,— 0.5)内的概率是(1答案精析知识梳理 知识点 1均值方差2. (1)x =卩(2) “胖” “瘦” ⑶①68.3% ② 95.4% ③ 99.7% 0.3% 题型探究例1解 从给出的分布密度曲线可知它关于直线 x = 20对称，最大值是21 ,1 1所以尸20.由 k =—尸，解得 0=羽..2 n (r 2』n'于是该正态分布的分布密度函数的解析式是跟踪训练1 A [分布密度曲线是一条关于直线 x = □对称，在x = □处取得最大值的连续曲 线.当一定时，b 越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来， b 越小，曲线的最高点越高且较陡峭.故选 A.] 例2解因为X 〜N(1,22), 所以尸1, b= 2.(1)P(- 1<X<3) = P(1 - 2<X<1 + 2)=P( 1一 o<X< 叶 b = 0.683.⑵因为 P(3<X<5) = P(-3<X< - 1),1所以 P(3<X<5) = 2【P( - 3<X<5) - P( - 1<X<3)] 1=2【P(1 - 4<X<1 + 4)- P(1- 2<X<1 + 2)] 1=尹( 1— 2 c<X< i+ 2 b — P( 1- o< X< i+ o)] 1=2^ (0.954 — 0.683)〜0.136.,x € (― 8,+^)，随机变量总体的均值是尸20,⑶ P(X>5) = P(X< —3) = ?[1 —P( —3<X<5)] = ?[1 —P(1 —4<X<1 + 4)] = 0.023.1引申探究解 因为X 服从正态分布 N(1,21 2)，所以对应的分布密度曲线关于x = 1对称.又P(X>c + 1)跟踪训练2 (1)C(2)解由已知得 尸 6, o= 1.T P(5<X<7) = P(^— o<X< 叶 o)= 0.683,P(4<X<8) = Pg — 2 齐X< 叶 2 ® = 0.954. 如图，由正态分布的对称性知，P(4<x<5) = P(7<x<8),1=丄乂 0.271 ~ 0.136. 2 例3解由题可知尸110,0= 20,P(X>90) = P(X — 110> — 20)= P(X —炉—0,P (X —沪一0 + P(— C <X — F 0 + P (X — [j> 0=2P(X —氏—0+ 0.683= 1 , .P(X —沪—0 = 0.159, .P(X>90) = 1— P(X —庐一0=1 — 0.159= 0.841. .54 X 0.841 ~ 45(人), 即及格人数约为 45.•/ P(X>130) = P(X — 110>20)= P(X — Q0,••• P(X —沪—0 + P(—齐X — F0 + P(X — Q 0 = 0.683+ 2P(X — P 0= 1 ,=1,即卩 c = 1.1P(4<x<5) = 2【P(4<X<8)—P(5<x<7)]••• P(X—P> d沁 0.159,即即P(X>130)沁 0.159.••• 54 X 0.159~ 8(人),即卩130分以上的人数约为8.跟踪训练3 解⑴•/ X〜N(20,4),• - [1= 20, 0= 2 ,• (1— 0= 18 ,叶0= 22,•尺寸在18〜22 mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.⑵T 1 一 3 o= 14, 叶 3 o= 26, 1 一 2 o= 16 , 计 2 o= 24,•尺寸在14〜26 mm间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在16〜24 mm间的零件所占的百分比大约是95.4%.99 7% —95 4%•尺寸在24〜26 mm间的零件所占的百分比大约是2= 2.15%.因此尺寸在24〜26mm间的零件大约有 5 000 X 2.15%〜107(个).当堂训练1. A2.C3.C4.B5.解对称轴为X= 0，故P(X<0) = 0.5,P(—2<X<2) = P(0 —2X 1<X<0 + 2 X 1) = 0.954.。
高中数学第二章概率6正态分布教学案北师大版选修2_3
*§6正态分布[对应学生用书P35]1．正态分布正态分布的分布密度函数为：f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中μ表示均值，σ2(σ>0)表示方差．通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．2．正态分布密度函数满足以下性质(1)函数图像关于直线x＝μ对称．(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．(3)正态变量在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%.通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有0.3%.1．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此可把正态分布记作N(μ，σ2)．2．要正确理解μ，σ的含义．若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2，即μ为随机变量X取值的均值，σ2为其方差．[对应学生用书P35][例1] 设X～N(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)．[思路点拨] 首先确定μ＝1，σ＝2，然后根据三个特殊区间上的概率值求解．[精解详析] 因为X ～N (1,22)， 所以μ＝1，σ＝2.(1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2)＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.683. (2)因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)， 所以P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)]＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954) ＝0.023.[一点通] 对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知， (1)对任意的a ，有P (X ＜μ－a )＝P (X ＞μ＋a )； (2)P (X ＜x 0)＝1－P (X ≥x 0)； (3)P (a ＜X ＜b )＝P (X ＜b )－P (X ≤a )．1．已知随机变量X 服从正态分布N (4，σ2)，则P (X ＞4)＝( ) A.15B.14 C.13D.12解析：由正态分布密度函数的性质可知，μ＝4是该函数图像的对称轴，∴P (X ＜4)＝P (X ＞4)＝12.答案：D2．如图所示，是一个正态分布密度曲线．试根据图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差．解：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20，12π·σ＝12π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式为。
北师大版高中数学选修2-3课件：2.6 正态分布(共46张PPT)
重点难点
[重点] 认识分布密度曲线的特点，曲线所表示的意义；正态分布曲线的性质、 标准正态曲线N(0，1) . [难点] 认识分布密度曲线的特点，曲线所表示的意义；通过正态分布曲线的图 形特征，归纳正态分布曲线的性质．
教学建议
如何使学生从抽象转化到具体、直观的问题里来，是我们教学的一个重 点和难点．要借助具体实例及多媒体课件演示，有条件的让学生也上机 进行实习，通过实验了解一些概念的形成过程．具体的方法是利用直方 图来引进正态曲线．
例2 某厂生产的圆柱形零件的外 直径X服从正态分布N(4，0.52)， 质量人员从该厂生产的1000件零 件中随机抽查1件，测得它的外直 径为5.7 cm，试问该厂生产的这 批零件是否合格？
解：由于X服从正态分布N(4，0.52)， 由正态分布的性质可知，正态分布N(4， 0.52)在(4－3×0.5，4＋3×0.5)之外取值 的概率只有0.003，而5.7∉(2.5，5.5)， 这说明在一次试验中，出现了几乎不 可能发生的小概率事件，据此可以认 为这批零件是不合格的．
预习探究
正态分布密度曲线
正态曲线
预习探究
预习探究
预习探究
[思考] 某一集成块使用寿命X可看作是连续型随机变量吗? 解:可以,因为它的可能取值是任何一个非负实数,我们是无法一一列出的.
预习探究
[思考] 正态分布密度函数f(x)有最值吗?
预习探究
[讨论] 正态分布中的参数μ,σ的含义分别是什么?
6．结合正态分布曲线的图形特征，归纳正态分布曲线的性质．正态分布曲 线的作图较难，教材没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了 解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质．
三维目标
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 6.2正态分布》17
正态分布教学设计一、教学目标1 知识目标：理解并掌握（标准）正态分布和正态曲线的概念、意义及性质，并能简单应用。
2 能力目标：能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法。
3 情感目标：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神。
二、教学重点、难点：重点：正态分布的概念、正态曲线的性质和标准正态分布的一些简单计算。
难点：正态分布的意义和性质。
三、教学设想【一】导入新课1、问题引入：在2021年的高考中，某省全体考生的高考平均成绩是490分，标准差是80，计划本科录取率为，则本科录取分数线可能划在多少分？2、回顾样本的频率分布与总体分布之间的关系．前面我们研究了离散新随机变量，他们只取有限个或可列个值，我们用分布列来描述总体的统计规律；而许多随机现象中出现的一些变量，如上节课研究的某产品的尺寸，它的取值是可以充满整个区间或者区域的，总体分布通常不易知道，我们是用什么去估计总体分布的呢？----用样本的频率分布即频率分布直方图去估计总体分布．回头看上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直方图，发现：横坐标是产品的尺寸；纵坐标是频率与组距的比值，什么才是在各组取值的频率呢？---直方图的面积。
设想：当样本容量无限增大，分组的组距无限的缩小时，这个频率直方图无限接近于一条光滑的曲线-----总体密度曲线。
它能够很好的反映了总体在各个范围内取值的概率。
由概率的性质可以知道（1）整条曲线与轴所夹的总面积应该是？---1（2）总体在任何一个区间内取值的概率等于这个范围内面积下面，同学们一起观察一下总体密度曲线的形状，看它具有什么特征？“中间高，两头低，左右对称”的特征。
像具有这种特征的总体密度曲线一般就是或者近似的是以下函数的图像。
（板书函数、标题）：【二】正态分布1正态总体的函数解析式、正态分布与正态曲线产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的总体密度曲线，一般就是或近似地是以下一个函数的图象：板书),(x ,e 21)x (f 222)x (+∞-∞∈σπ=σμ-- ①这个总体是具有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布，其图像叫做正态曲线。
北师大版高中数学选修2-3课件2.6正态分布
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
3.如果知道了 X 的分布密度曲线,则 X 取值于任何范围(例如{a<X<b})
的概率,都可以通过计算该曲线下相应部分的面积而得到,因此,我们说 X 的
分布密度函数 f(x)完全描述了 X 的规律.计算面积,实际上是计算分布密度
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2 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),P(ξ>1)=p,则 P(-1<ξ<0)等于( )
A.12p
B.1-p
C.1-2p
D.12-p
解析:∵1=P(ξ<-1)+P(-1<ξ<0)+P(0<ξ<1)+P(ξ>1)=2P(ξ>1)+2P(-1<ξ<0)
题型一
题型二
解答此类题目的关键在于充分利用正态分布曲线的对称性,把待求 区间的概率向已知区间内的概率进行转化.
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题型一
题型二
题型二 正态分布的应用
【例 2】 在某次数学考试中,考生的成绩 X 服从一个正态分布,即 X~N(90,100).
=2p+2P(-1<ξ<0),∴P(-1<ξ<0)=12-p. 答案:D
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3 下列曲线可以作为正态分布密度曲线的是( )
答案:D
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高中数学第2章§6正态分布课件北师大选修23
[分析] 正态曲线关于直线 x＝μ 对称，故可利用对称性和 特殊值求解．
[解析] (1)设学生的得分为随机变量 X，则 X～N(70,102)， 其中 μ＝70 分，σ＝10 分．学生的得分在(60,80)内的概率为
P(70－10<X<70＋10)＝0.683， 所以不及格的人数占全班人数的百分比为 12×(1－0.683)＝15.85%. (2)P(70－20<X<70＋20)＝0.954， 成绩在 80～90 分内的学生的人数占全班人数的百分比为 12[P(50< X< 90)－P(60< X< 80)]＝13.55%.
[点评] 本题考查正态分布的性质，考查分析和解决问 题的能力．利用正态曲线的性质求概率，应注意对称性的应 用．正态曲线关于直线x＝μ对称，呈现“中间高，两边低” 的形状．
[点评] 利用样本平均数与样本方差估计总体的期望与 方差，从而得到正态分布的期望与标准差．代入，得到正态 分布密度函数的表达式．
探索延拓创新
正态变量在三个常用区间上的概率的应用
某年级的一次数学测验成绩近似服从参数为 μ ＝70 和 σ2＝102 的正态分布，如果规定低于 60 分为不及格，求： (1)成绩不及格的人数占全班人数的百分比是多少？
[解析] 依题意得 μ＝110(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋ 10.1)＝10. σ2＝110[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋ (9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋ (10.1－10)2]＝0.03. 所以 η 的概率密度函数为 f(x)＝ 160πe－50x－3 102.
2018版高中数学北师大版选修2-3课件：第二章 6 正态分
如图，由正态分布的对称性知，
P(4<x<5)＝P(7<x<8)， 1 ∴P(4<x<5)＝2[P(4<x<8)－P(5<x<7)] 1 ＝2×0.271≈0.136.
解答
类型三 正态分布的应用
例3 设在一次数学考试中，某班学生的分数 X～N(110,202)，已知试卷
解答
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的
零件大约有多少个？ 解 ∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在
16～24 mm间的零零件所占的百分比大约是 99.7%－95.4% ＝ 2 2.15%. 因此尺寸在24～26mm间的零件大约有5 000×2.15%≈107(个).
2.正态分布密度函数满足以下性质 (1)函数图像关于直线 x＝μ 对称. (2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的 “胖”“瘦”. (3)随机变量在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X<μ＋σ)＝ 68.3% . ②P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝ 95.4% . ③P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7% . 通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的 概率只有 0.3% .
第二章 概
率
*§6 正态分布
学习目标
1. 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲
线所表示的意义.
2. 了解变量落在区间 (μ － σ ， μ ＋ σ] ， (μ － 2σ ， μ ＋ 2σ]， (μ －
2019-2020学年高中北师大版数学选修2-3学案：2.6正态分布 含解析
§6正态分布Q错误!错误!高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线,这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中,对人类文明影响最大的是“正态分布"．那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？X错误!错误!1．正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝错误!e－错误!,x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ（σ〉0）为参数，我们称φμ，σ(x）的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线．(2）正态曲线的性质:①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称;③曲线在x＝μ处达到峰值__错误!__；④曲线与x轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示;⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大,曲线越“矮胖”，总体分布越分散;σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示．甲乙2．正态分布一般地,如果对于任何实数a，b（a<b)，随机变量X满足P（a<X≤b)＝错误!φμ，σ（x）d x，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution）．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N（μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X~N（μ，σ2)．3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ〈X≤μ＋σ)＝__0。
682 6__;②P(μ－2σ〈X≤μ＋2σ)＝__0.954 4__；③P（μ－3σ<X≤μ＋3σ）＝__0。
997 4__.4．3σ原则通常服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取（μ－3σ,μ＋3σ)之间的值．Y错误!错误!1．（2019·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N（μ,σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6）＝0。
15,则P(2≤ξ＜4)等于( B )A．0.3 B．0.35C．0。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 6.2正态分布》
正态分布教学目标1．知识与技能①通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的线特点，掌握利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题2．过程与方法①通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法②通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力3、情感态度与价值观①通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣②通过σ3原则的学习，充分感受数学的对称美教学重点、难点重点：正态分布密度曲线的特点，利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题难点：正态分布密度曲线的特点教法与学法1、教法本节课是概念课教学，我采取直观教学法、探究教学法和多媒体辅助教学法。
通过“观察—探究—再观察—再探究”等思维途径完成整个教学过程。
而多媒体的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性。
2、学法纵观整堂课的设计，我注重培养学生以下学习方法：⑴观察探究：观察探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。
（如利用高尔顿板探究正态曲线的归纳，能缩短解决问题的时间，锻炼数学思维。
（如通过几何画板的观察，归纳分析参数μ、σ对图像的影响）⑶理解应用在应用中体会到数学受到数学的价值，提高学习数学的兴趣。
教学过程通过对高尔顿板试验进行演示。
1．用频率分布直方图从频率角度研⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。
连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图。
⑶将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线。
式中含有两个参数μ和σ。
下面结合函数解析式研究曲线特点，并分析参数μ和σ对曲线的影响：⑴固定σ的值，观察μ对图像的影响教学内容μ的值，观察σ对图像的影⑵固定响⑶综合以上图像，你还能得到正态曲线的哪些特点？探 论 证()6826.0=+≤-σμσμX P ＜()9544.022=+≤-σμσμX P ＜()9974.033=+≤-σμσμX P ＜有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。
北师大版数学【选修2-3】练习：2.6 正态分布(含答案)
第二章 §6一、选择题1．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 由正态分布的性质及条件P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)得，(c ＋1)＋(c －1)＝2×2，∴c ＝2.2．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585[答案] B[解析] P (X >4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7.3．已知ξ～N (2，σ2)，P (ξ<4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84[答案] A[解析] 因为ξ～N (2，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝1－P (ξ<4)＝1－0.84＝0.16，故选A.二、填空题4．已知随机变量X ～N (3，σ2)，且P (X ≥4)＝0.16，则P (2<X ≤3)＝________. [答案] 0.34[解析] 如图可知P (X ≤2)＝P (X ≥4)＝0.16，所以P (2<X <4)＝1－P (X ≤2)－P (X ≥4)＝1－0.16－0.16＝0.68， 所以P (2<X ≤3)＝12P (2<X <4)＝12×0.68＝0.34.5．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．[答案] 0.8[解析] 由X ～N (1，σ2)可知，密度函数关于x ＝1对称，从而X 在(0,1)内取值的概率就等于在(1,2)内取值的概率．∵X ～N (1，σ2)，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示，故X 落在(0,1)内的概率为P (0<X <1)＋P (1<X <2)＝0.4＋0.4＝0.8. 三、解答题6．某糖厂用自动打包机打包，每包质量X (单位：kg)服从正态分布N (100,1.22)，一公司从该糖厂进货1500包，试估计质量在下列范围内的糖包数量：(1)(100－1.2,100＋1.2)； (2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．[解析] 因为X ～N (100,1.22)，所以μ＝100，σ＝1.2.(1)由于随机变量X 在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.683，而该正态分布中，μ－σ＝100－1.2，μ＋σ＝100＋1.2.于是糖包质量位于区间(100－1.2,100＋1.2)内的概率为0.683.所以估计质量在(100－1.2,100＋1.2)范围内的糖包数量为1500×0.683≈1025包．(2)由于随机变量X 在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为0.997，而该正态分布中，μ－3σ＝100－3×1.2，μ＋3σ＝100＋3×1.2.于是糖包质量位于区间(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的概率为0.997.所以估计质量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)范围内的糖包数量为1500×0.997≈1496包.一、选择题1．设随机变量ξ服从标准正态分布N (0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P (|ξ|<1.96)＝( ) A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.975[答案] C[解析] P (|ξ|<1.96)＝P (－1.96<ξ<1.96)＝P (ξ<1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－P (ξ≥1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ<－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.2．若Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ(1－μσ)D ．2Φ(μ＋σ)[答案] B[解析] P (|ξ－μ|<σ)＝P (－σ<ξ－μ<σ)＝P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝P (ξ<μ＋σ)－P (ξ≤μ－σ)＝Φ(μ＋σ－μσ)－Φ(μ－σ－μσ)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B.3．已知ξ～N (0，σ2)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4[答案] A[解析] P (ξ>2)＋P (0≤ξ≤2)＋P (－2≤ξ≤0)＋P (ξ<－2)＝1，P (ξ>2)＝P (ξ<－2)，P (0≤ξ≤2)＝p (－2≤ξ≤0)，所以P (ξ>2)＝12×[1－2P (－2≤ξ≤0)]＝0.1.4．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可知选A.5．某地区数学考试的成绩X 服从参数为σ2＝64的正态分布，其正态分布密度函数图像如图所示，则成绩X 位于区间(52,68)内的概率为( )A ．0.954B ．0.997C ．0.683D ．不确定[答案] C[解析] 观察图中正态分布密度函数图像可知，对称轴为x ＝60，由正态分布密度函数图像的性质可知μ＝60.又σ2＝64，所以X 服从正态分布N (60,64)，由于52＝60－8,68＝60＋8，则成绩X 位于区间(52,68)内的概率为P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683.二、填空题6．如图所示为两条正态分布曲线．①为fμ1，σ1(x )的图像； ②为fμ2，σ2(x )的图像．μ1________μ2，σ1________σ2(填“<”、“>”或“＝”)． [答案] < >[解析] 根据图像关于直线x ＝μ对称可知μ1<μ2，又由σ(σ>0)的大小决定图像的“胖瘦”，σ越小，图像越“高瘦”，可知σ1>σ2.7．某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(单位：小时)为随机变量Y ，已知Y ～N (1 000,302)，要使灯管的平均寿命在1 000小时的概率为99.7%，问灯管的最低寿命应控制在________小时．[答案] 910[解析] 因为P (μ－3σ<Y <μ＋3σ)＝99.7%，又Y ～N (1 000,302)，所以Y 在(μ－3σ，μ＋3σ)即(910,1 090)内取值的概率为99.7%，故最低寿命应控制在910小时．三、解答题8．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X (万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (7,12)．投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，那么他应该选择哪一个方案？[解析] 对于第一种方案有X ～N (8,32)其中μ＝8，σ＝3， P (X >5)＝1－P (5<X ≤11)2＋P (5<X ≤11)＝1＋P (5<X ≤11)2＝1＋0.6832对于第二种方案有X ～N (7,12)，其中μ＝7，σ＝1 P (X >5)＝1－P (7－2<X ≤7＋2)2＋P (7－2<X ≤7＋2)＝1＋P (7－2<X ≤7＋2)2＝1＋0.9542比较知，“利润超过5万元”的概率以第二种方案为大，可选第二个方案．[点评] 本题是利用正态曲线的对称性结合三个特殊区间概率的值求概率，要体会应用方法．9．设ξ～N (1,22)，试求： (1)P (－1<ξ≤3)；(2)P (3<ξ≤5)； (3)P (ξ≥5)．[分析] 由ξ～N (1,22)知，μ＝1，σ＝2， ∴正态密度曲线关于直线x ＝1对称． [解析] ∵ξ～N (1,22)知，μ＝1，σ＝2.(1)P (－1<ξ≤3)＝P (1－2<ξ≤1＋2)＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.683. (2)∵P (3<ξ≤5)＝P (－3<ξ≤－1)，∴P (3<ξ≤5)＝12[P (－3<ξ≤5)－P (－1<ξ≤3)]＝12[P (1－4<ξ≤1＋4)－P (1－2<ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ<μ＋σ)] ＝12[0.954－0.683]＝0.135 5. (3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)， ∴P (ξ≥5)＝12[1－P (－3<ξ≤5)]＝12[1－P (1－4<ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954)＝0.023. 10．乘出租车从学校到汽车站有两条路线可走，第一条路线的路程较短，但交通拥挤，所需的时间(单位：min)服从正态分布N (50,102)；第二知路线的路程较长，但阻塞较少，所需时间服从正态分布N (60,42)．问：如果有65min 时间可以利用，应走哪一条路线？[分析] 有关正态分布的概率问题，均应化为标准正态分布去处理． [解析] 设ξ为行走的时间，如有65min 时间可利用，则： (1)若走第一条路线，ξ～N (50,102)，及时赶到汽车站的概率为 P (ξ≤65)＝Φ(65－5010)＝Φ(1.5)＝0.933 2；(2)若走第二条路线，ξ～N (60,42)，及时赶到汽车站的概率为 P (ξ≤65)＝Φ(65－604)＝Φ(1.25)＝0.894 4.显然走第一条路线及时赶到汽车站的概率大于第二条路线，故应走第一条路线． [点评] 利用标准正态分布表可以顺利地求出服从正态分布的随机变量的概率，进而可使实际问题得到顺利地解决．。
高中数学 2.6.正态分布(二)教案 北师大选修2-3
2.6.正态分布教学目标（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（3）会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率． 重点，难点（1） 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（2） 求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率．教学过程一．问题情境1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；回顾曲边梯形的面积()ba S f x dx =⎰的意义．2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm ）： 164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182上述数据的分布有怎样的特点？二．学生活动为了研究身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图．第一步 对数据分组（取组距4d =）；第二步 列出频数（或频率）分布表；第三步 作出频率分布直方图，如图2-6-2．由图2-6-2可以看出，上述数据的分布呈“中间高，两边底，左、右大致对称”的特点．可以设想，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．再观察此概率密度曲线的特征．三．建构数学1． 正态密度曲线：函数22()2(),x P x x R μσ--=∈的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参数（ 0σ>，R μ∈）．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．2．正态密度曲线图象的性质特征：（1）当x μ<时，曲线上升；当x μ>时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x 轴为渐进线；（2）正态曲线关于直线x μ=对称；（3）σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；（4）在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1．3．正态分布：若X 是一个随机变量，对任给区间(,],()a b P a x b <≤恰好是正态密度曲线下方和X 轴上(,]a b 上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为2~(,)X N μσ．4． 正态总体在三个特殊区间内取得的概率值：具体地，如图所示，随机变量X 取值（1）落在区间(,)μσμσ-+上的概率约为 0068.3，即()0.683P X μσμσ-<≤+=；（2）落在区间(2,2)μσμσ-+上的概率约为0095.4，即(22)0.954P X μσμσ-<≤+=；（3）落在区间(3,3)μσμσ-+上的概率约为0099.7，即(33)0.997P X μσμσ-<≤+=．5． 3σ原则： 服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称为3σ原则．6．标准正态分布：事实上，μ就是随机变量X 的均值，2σ就是随机变量X 的方差，它们分别反映X 取值的平均大小和稳定程度．我们将正态分布(0,1)N 称为标准正态分布．通过查标准正态分布表（见附表1）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．7．非标准正态分布转化为标准正态分布：非标准正态分布2(,)X N μσ可通过X z μσ-=转化为标准正态分布(0,1)z N ．四．数学运用1．例题：例1．一台机床生产一种尺寸为10mm 的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm ）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y 服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式． 解：由题意得1(10.210.1109.89.910.39.7109.910.1)1010μ=+++++++++=， 22222221[(10.210)(10.110)(1010)(9.810)(9.910)(10.310)10σ=-+-+-+-+-+- 2222(9.710)(1010)(9.910)(10.110)]0.03+-+-+-+-=，即10μ=，20.03σ=．所以Y 的概率密度函数为250(10)3(),xP x x R --=∈． 例2．若随机变量~(0,1)Z N ，查标准正态分布表，求：（1）( 1.52)P Z ≤；（2）( 1.52)P Z >；（3）(0.57 2.3)P x <≤；（4）( 1.49)P Z ≤-．解：（1）( 1.52)0.9357P Z ≤=．（2）( 1.52)1( 1.52)P Z P Z >=-≤10.93570.0643=-=．（3）(0.57 2.3)( 2.3)(0.57)0.98930.71570.2736P x P Z P Z <≤=≤-≤=-=；（4）( 1.49)( 1.49)P Z P Z ≤-=≥1( 1.49)10.9319P Z =-≤=-0.0681=． 例3．在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即(90,100)X N ．试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？解： 法一（将非标准正态分布转化为标准正态分布）：70909011090(70110)()(22)(2)(2)101010X P X P P Z P Z P Z ---<<=<<=-<<=≤-≤- [](2)1(2)2(2)120.977210.95440.954P Z P Z P Z =≤--≤=≤-=⨯-=≈．法二（3σ原则）：因为(90,100)X N ，所以90,10μσ===． 由于正态变量在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率是0.954，而该正态分布29021070μσ-=-⨯=，290210110μσ+=+⨯=，所以考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率就是0.954．。
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*§6正态分布
[对应学生用书P35]
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝
1
σ2π
e－
(x－μ)2
2σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中μ表示均
值，σ2(σ>0)表示方差．通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．2．正态分布密度函数满足以下性质
(1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．
(3)正态变量在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；
P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%.
通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有0.3%.
1．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此可把正态分布记作N(μ，σ2)．
2．要正确理解μ，σ的含义．若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2，即μ为随机变量X取值的均值，σ2为其方差．
[对应学生用书P35]
[例1]设X～N
(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)．
[思路点拨]首先确定μ＝1，σ＝2，然后根据三个特殊区间上的概率值求解．
[精解详析]因为X～N(1,22)，
所以μ＝1，σ＝2.
(1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2)＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.683. (2)因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)， 所以P (X ≥5)＝1
2[1－P (－3＜X ≤5)]
＝1
2[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝1
2[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝1
2(1－0.954) ＝0.023.
[一点通] 对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知， (1)对任意的a ，有P (X ＜μ－a )＝P (X ＞μ＋a )； (2)P (X ＜x 0)＝1－P (X ≥x 0)； (3)P (a ＜X ＜b )＝P (X ＜b )－P (X ≤a )．
1．已知随机变量X 服从正态分布N (4，σ2)，则P (X ＞4)＝( ) A.1
5 B.14 C.13
D.12
解析：由正态分布密度函数的性质可知，μ＝4是该函数图像的对称轴，∴P (X ＜4)＝P (X ＞4)＝12
.
答案：D
2．如图所示，是一个正态分布密度曲线．试根据图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差．
解：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为1
2π，所以μ
＝20，
12π·σ＝1
2π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式为 f (x )＝1
2π
e －(x －20)2
4，x ∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.
[例2](8X～N(90,100)．
(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)之间的考生大约有多少人？
[思路点拨]
正态
分布―→确定μ，σ
的值―→
正态分布在三个特
殊区间上的概率―→
求
解
[精解详析]∵X～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝100＝分)
(1)P(70<X<110)＝P(90－2×10<X<90＋2×10)＝0.954，
即成绩X位于区间(70,110)内的概率为0.954. (5分)
(2)P(80<X<100)＝P(90－10<X<90＋10)＝0.683，
∴2 000×0.683＝1 366(人)．
即考试成绩在(80,100)之间的考生大约有1 366人．(8分) [一点通]解答此类问题的关键有两个：
(1)熟记随机变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值；
(2)根据已知条件确定问题所在的区间，并结合三个特殊区间上的概率值求解．
3．一批电阻的阻值X服从正态分布N(1 000,52)(Ω)．今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为()
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂
D．甲电阻箱不可出厂，乙电阻箱可出厂
解析：∵X～N(1 000,52)，
∴μ＝1 000，σ＝5，
∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985，
μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015.。