九年级数学上册第3章圆的基本性质3.4圆心角课件(新版)浙教版
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浙教版九上 3.3圆心角(2) 课件
Ｏ Ｐ Ｃ Ｄ
例4：⑴如图，顺次连结⊙O的两条直径A 如图，顺次连结⊙ 的两条直径A BD的端点 的端点， Ｃ和BD的端点，所得的四边形是什么特殊 四边形？ 四边形？
Ｄ Ｏ Ｃ
Ａ
Ｂ
⑵如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一 如果要把直径为 的圆柱形原木锯成一 根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能 根横截面为正方形的木材， 地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？ 地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
（3）如果 ）如果AB=CD
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF ______________,__________,____________。 。
（4）如果∠AOB=∠COD，那么 ）如果∠ ∠ ，
⌒ ⌒ _________,________,_________。 OE=OF AB=CD AB=CD 。
如果这根原木长15m 如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为 15m， 多少立方米（树皮等损耗略去不计）？ 多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
Ｄ Ｏ
Ｃ
Ｄ Ｏ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
等对等定理： 等对等定理： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 两个圆心角 条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们 条弦、两个弦心距中有 所对应的其余各对量
E D
Ｃ
例3：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结 ABC内接于 如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结 OA,OB,OC。 OA,OB,OC。 延长AO 分别交BC于点P 延长AO，分别交BC于点P， AO， BC于点 ⌒ BC于点D,连结BD,CD。 于点D,连结BD,CD BC于点D,连结BD,CD。试判 断四边形BDCO 断四边形BDCO是哪一种特殊 BDCO是哪一种特殊 四边形，并说明理由。 四边形，并说明理由。 Ｂ Ａ
浙教版初中九年级上册数学精品教学课件 第3章 圆的基本性质 3.1 圆
圆的特征
（1）圆上任意一点到圆心的距离都等于半径；（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在圆上.
注意 （1）圆是指圆周，是一条封闭的曲线；（2）圆上的点指圆周上的点，圆心不在圆周上.
最早给出圆的定义的是2 000多年前我国的哲学家墨子，他给出的圆的定义是“一中同长也”，意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径
第3章 圆的基本性质
3.1 圆
学习目标
1.理解圆的概念，用符号、字母正确表示弦和弧，掌握点与圆的位置关系.
2.会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系.
3.了解不在同一条直线上的三点确定一个圆,以及过不在同一条直线上的三点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
辨析弦与弧之间的区别与联系
区别
联系
定义
形状
特点
弦
连结圆上任意两点的线段.
直的
只有两个端点在圆上.
每条弧都只对应一条弦，而每条弦都对应两条弧.
弧
圆上任意两点间的部分.
曲的
所有的点都在圆上.
典例2 下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧.其中错误的有( )
4.过不在同一条直线上的三点作圆.
知识点1 圆的定义
圆的定义
描述性定义：在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点所经过的封闭曲线叫做圆，定点叫做圆心，线段叫做圆的半径.
集合性定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中定点就是圆心，定长就是半径.
表示方法
以点为圆心的圆，记做“”，读做“圆”.
2.三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.
3.4 圆心角(课件)九年级数学上册(浙教版)
√，相等的弧（等弧）已经默认“在同圆或等圆中”这个前提条
件
×，在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等
当堂检测
2、若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的
度数是________°．
144
解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数为360°× =144°．
当堂检测
对的优弧和劣弧分别相等”。
讲授新课
要点归纳
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、
所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量
都分别相等．
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等Βιβλιοθήκη 弦心距相等讲授新课
典例精析
【例1】已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，
得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、
弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆
心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
1
= 360 =120 .
3
O
B
C
讲授新课
【例3】如图，AB是⊙O 的直径，
BC =CD = DE， ∠COD=35°，求∠AOE 的
度数．
E
D
解： ∵ BC =CD = DE，
C
BOC COD DOE =35 ，
75 .
不可以，如图.
件
×，在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等
当堂检测
2、若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的
度数是________°．
144
解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数为360°× =144°．
当堂检测
对的优弧和劣弧分别相等”。
讲授新课
要点归纳
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、
所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量
都分别相等．
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等Βιβλιοθήκη 弦心距相等讲授新课
典例精析
【例1】已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，
得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、
弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆
心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
1
= 360 =120 .
3
O
B
C
讲授新课
【例3】如图，AB是⊙O 的直径，
BC =CD = DE， ∠COD=35°，求∠AOE 的
度数．
E
D
解： ∵ BC =CD = DE，
C
BOC COD DOE =35 ，
75 .
不可以，如图.
浙教版九上 3.3圆心角(2) 课件
∠（_1_A）_O_如_B果_=_A∠_B_C=_OC_DD_，_,那_O_么E_=_O__F__A,⌒_B_=__C⌒_D_______。
∠（_2A_）_O如_B_果=_⌒O∠_E_C=_⌒O_O_FD_，_那,A_么B__=_C_D___,A_⌒B__=_C⌒_D_______。
（3）如果AB=CD 那么
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N .
MPO NPO
OM AB ON CD
OM=ON P
AB=CD.
B
. A M O
C ND
思考：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
BE
M
P
.O
ND
F
BE
.M
CP
O
AN DF
例4：⑴如图，顺次连结⊙O的两条直径A
浙教版九年级上第三章《圆的基本性质》
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所 对应的其余各对量都相等。
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距， 根据本节定理及推论填空：
E
Ｂ
Ｃ
Ｏ Ａ
Ｄ
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结 OA,OB,OC。
Ａ (1)∠AOB、∠COB、∠AOC 的度数分别为_1_2_0_0 ,_1_2_0_0_,1_200
Ｏ
(2)若⊙O的半径为r,则等边 Ｂ
Ｃ
ABC三角形的边长为____3_r__
已知等边三角形ＡＢＣ的边长
为 2 3cm．
∠（_2A_）_O如_B_果=_⌒O∠_E_C=_⌒O_O_FD_，_那,A_么B__=_C_D___,A_⌒B__=_C⌒_D_______。
（3）如果AB=CD 那么
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N .
MPO NPO
OM AB ON CD
OM=ON P
AB=CD.
B
. A M O
C ND
思考：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
BE
M
P
.O
ND
F
BE
.M
CP
O
AN DF
例4：⑴如图，顺次连结⊙O的两条直径A
浙教版九年级上第三章《圆的基本性质》
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所 对应的其余各对量都相等。
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距， 根据本节定理及推论填空：
E
Ｂ
Ｃ
Ｏ Ａ
Ｄ
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结 OA,OB,OC。
Ａ (1)∠AOB、∠COB、∠AOC 的度数分别为_1_2_0_0 ,_1_2_0_0_,1_200
Ｏ
(2)若⊙O的半径为r,则等边 Ｂ
Ｃ
ABC三角形的边长为____3_r__
已知等边三角形ＡＢＣ的边长
为 2 3cm．
浙教版九年级数学上册3.4圆心角课件
∴∠AOC＝120°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∴AB＝BC＝AC，∴△ABC 是等边三角形．
Ⴃ
Ⴃ
Ⴃ
14.如图，等边三角形ABC内接于☉O，求 ， ， 的度数.
A
Ⴃ
Ⴃ
Ⴃ
【答案】 = = =120°.
O
.
B
C
思维拓展，更上一层
⌒
⌒
15.如图，在⊙O中，∠COD=2∠AOB，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成
圆心角及相关概念
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
⌒
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
B
M
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
O
任意给圆心角，对应出现四个量：
弧
圆心角
弦
弦心距
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,
所对两条弦的弦心距相等．
A
夯实基础，稳扎稳打
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
圆心
弧
弦
例1：用直尺和圆规把⊙O四等分.
C
作法：
1.作⊙O的一条直径AB.
2.过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D.
点A，B，C，D就把⊙O四等分.
B
A
D
例2
求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，
OF是弦CD的弦心距. 求证：OE=OF.
A
证明：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）.
∵OE⊥AB，AE=BE=
1
AB（等腰三角形三线合一）.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∴AB＝BC＝AC，∴△ABC 是等边三角形．
Ⴃ
Ⴃ
Ⴃ
14.如图，等边三角形ABC内接于☉O，求 ， ， 的度数.
A
Ⴃ
Ⴃ
Ⴃ
【答案】 = = =120°.
O
.
B
C
思维拓展，更上一层
⌒
⌒
15.如图，在⊙O中，∠COD=2∠AOB，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成
圆心角及相关概念
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
⌒
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
B
M
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
O
任意给圆心角，对应出现四个量：
弧
圆心角
弦
弦心距
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,
所对两条弦的弦心距相等．
A
夯实基础，稳扎稳打
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
圆心
弧
弦
例1：用直尺和圆规把⊙O四等分.
C
作法：
1.作⊙O的一条直径AB.
2.过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D.
点A，B，C，D就把⊙O四等分.
B
A
D
例2
求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，
OF是弦CD的弦心距. 求证：OE=OF.
A
证明：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）.
∵OE⊥AB，AE=BE=
1
AB（等腰三角形三线合一）.
九年级数学上册浙教版：第三章-圆的基本性质复习PPT课件
-
1
知识体系
圆
基本性质
概
对
念
称
性
垂 圆心角、 径 弧、弦之 定 间的关系 理 定理
-
圆周角与 圆心角的 关系
弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算
2
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段
OA叫做半径，以点O为圆心的圆，
-
5
圆的有关性质
过三点的圆
-
6
思考：确定一条直线的条件是什么？
类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？
-
7
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
CCC
B
M
A
P
关于弦的问题，常常需
O
要过圆心作弦的垂线段，
这是一条非常重要的辅 助线。
圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形，
便将问题转化为直角三
角形的问题。
-
15
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
A
E
C
O
D
-
16B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？
E
A
1
知识体系
圆
基本性质
概
对
念
称
性
垂 圆心角、 径 弧、弦之 定 间的关系 理 定理
-
圆周角与 圆心角的 关系
弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算
2
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段
OA叫做半径，以点O为圆心的圆，
-
5
圆的有关性质
过三点的圆
-
6
思考：确定一条直线的条件是什么？
类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？
-
7
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
CCC
B
M
A
P
关于弦的问题，常常需
O
要过圆心作弦的垂线段，
这是一条非常重要的辅 助线。
圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形，
便将问题转化为直角三
角形的问题。
-
15
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
A
E
C
O
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16B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？
E
A
3.4 圆心角
教学课件
数学 九年级上册 浙教版
第3章 圆的基本性质
3.4 圆心角
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的弧.
逆定理1: 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,
并且平分弦所对的弧.
逆定理2: 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合。
A
∠AOB=∠COD,
∴ 当点A与点C重合时，
点B与点D也重合。
∴ AB=CD
o
弦AB和弦ＣＤ对应的 弦心距有什么关系？
B C
D
圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。
我们把顶点在圆心的周角等分成360份,则 每一份的圆心角是1º.因为在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所以整 个圆也被等分成360份.我们把每一份这样 的弧叫做1º的弧.
180°
所以圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心.
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
数学 九年级上册 浙教版
第3章 圆的基本性质
3.4 圆心角
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的弧.
逆定理1: 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,
并且平分弦所对的弧.
逆定理2: 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合。
A
∠AOB=∠COD,
∴ 当点A与点C重合时，
点B与点D也重合。
∴ AB=CD
o
弦AB和弦ＣＤ对应的 弦心距有什么关系？
B C
D
圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。
我们把顶点在圆心的周角等分成360份,则 每一份的圆心角是1º.因为在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所以整 个圆也被等分成360份.我们把每一份这样 的弧叫做1º的弧.
180°
所以圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心.
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
浙教版九年级数学上册全册完整精品课件
浙教版九年级数学上册全册完整精品课件一、教学内容1. 第1章：二次函数1.1 二次函数的概念与图像1.2 二次函数的性质1.3 二次函数的解析式1.4 二次函数的应用2. 第2章：一元二次方程2.1 一元二次方程的概念与解法2.2 一元二次方程的根的判别式2.3 一元二次方程的根与系数的关系2.4 一元二次方程的应用3. 第3章：圆3.1 圆的基本概念与性质3.2 直线和圆的位置关系3.3 三角形的圆心角、弧、弦的关系3.4 圆的应用4. 第4章：统计与概率4.1 数据的收集与整理4.2 频数与频率4.3 概率的基本概念4.4 统计与概率的应用二、教学目标1. 理解并掌握二次函数、一元二次方程、圆的基本概念、性质和应用。
2. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学思维能力。
3. 学会使用统计与概率知识分析问题，培养数据分析能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数的性质、一元二次方程的解法、圆的性质、统计与概率的计算。
2. 教学重点：二次函数的应用、一元二次方程的根的判别式、圆与直线的位置关系、数据的收集与整理。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：课本、练习本、圆规、三角板、计算器等。
五、教学过程1. 导入：通过实际问题引入二次函数、一元二次方程、圆等概念，激发学生学习兴趣。
2. 新课讲解：详细讲解各章节知识点，结合例题进行讲解。
3. 随堂练习：设计具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 课后作业：布置适量的作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数的图像与性质2. 一元二次方程的解法与根的判别式3. 圆的基本性质与位置关系4. 统计与概率的计算方法七、作业设计1. 作业题目：画出二次函数y=x^22x3的图像，并求出其顶点坐标。
解一元二次方程x^23x+2=0，并说明其根的情况。
证明圆的直径所对的圆周角是直角。
收集某班学生的身高数据，计算平均身高和身高的方差。
新浙教版九年级上册初中数学 3.4 圆心角 教学课件
第四页，共二十二页。
新课讲解
知识点1 圆心角
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如AOB, 圆心角 AOB 所对
的弧为 AB，所对的弦为AB；
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 图1 中，OM为AB弦的弦心距。
OM是唯一的。
第五页，共二十二页。
B
M
A
O
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
第十三页，共二十二页。
新课讲解
条件 在同圆或等圆中 如果圆心角相等
那么
结论
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 那么 如果弧相等
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
第十四页，共二十二页。
新课讲解
条件
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
第十二页，共二十二页。
图5
新课讲解
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 .
AOB AOB， OB与 OB重合. OA OA,OB OB， A与 A重 合 ,B与 B重合. AB AB, AB AB.
A．60C° B．90° C．120° D．180°
第二十一页，共二十二页。
拓展与延伸
已知：如图，在⊙O中，∠AOD＝∠BOC.求证：AB＝CD. 证明：∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD－∠AOC＝∠BOC－ ∠AOC，即∠AOB＝∠COD.∴AB＝CD
第二十二页，共二十二页。
新课讲解
知识点1 圆心角
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如AOB, 圆心角 AOB 所对
的弧为 AB，所对的弦为AB；
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 图1 中，OM为AB弦的弦心距。
OM是唯一的。
第五页，共二十二页。
B
M
A
O
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
第十三页，共二十二页。
新课讲解
条件 在同圆或等圆中 如果圆心角相等
那么
结论
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 那么 如果弧相等
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
第十四页，共二十二页。
新课讲解
条件
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
第十二页，共二十二页。
图5
新课讲解
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 .
AOB AOB， OB与 OB重合. OA OA,OB OB， A与 A重 合 ,B与 B重合. AB AB, AB AB.
A．60C° B．90° C．120° D．180°
第二十一页，共二十二页。
拓展与延伸
已知：如图，在⊙O中，∠AOD＝∠BOC.求证：AB＝CD. 证明：∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD－∠AOC＝∠BOC－ ∠AOC，即∠AOB＝∠COD.∴AB＝CD
第二十二页，共二十二页。
浙教版九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.5 圆周角 课件(共22张PPT)
P
O
A
B
C
2. 已知Rt △ABC中，∠ABC＝90°，D是AC 中点，⊙O经过A、D、B三点，CB延长线交 ⊙O于E，求证：CE=AE
3.如图,在△ABC中,以BC边为直径画圆,分别交
AB,AC于点D,E,连结BE,CD.已知BE=CD，
求证:△ABC是等腰三角形.
Ａ ＤE
Ｏ Ｂ
Ｃ
试一试
只给你一把三角尺，你能找出一个 圆（如图）的圆心吗？
DA
∠D
∠DAC
B
∠DAB
C ∠BAC
∠B
画一画
请画出AB所对的圆心角以及圆周角.
O
A
B
一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系？
画一画
C
O
A
B
⑴
C O
A
B
⑵
C
O
A
B
⑶
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/112021/8/11Wednesday, August 11, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/112021/8/112021/8/112021/8/118/11/2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 11日星 期三2021/8/112021/8/112021/8/11
2
A C
●O
B
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,
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那么AB=?A'B' 、AB=?A'B' 、OM?=O'M',
为什么？
已知：如图, ∠AOB = ∠A'OB'
,
OM、OM'
圆心角定理:在同圆或 等圆中，相等的圆心角
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 所对的弧相等，所对的
求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
由把定此圆义可O：的以顶半看点径出在O，圆N点心绕NN的圆' '仍角心N落叫'O旋在做N'转圆圆任上心意.角N一'．N个' 角度， N
O
如把图圆绕中圆所心示旋，转任∠意NO一N个'角就度是后一，个仍圆与心原角来. 的圆重合.
顶点在圆心的角,叫圆心角， 如AOB , 圆心角AOB所对 的弧为AB， 所对的弦为AB；
C
作法： １、作⊙Ｏ的直径ＡＢ.
A
Ｏ
B
２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于
D
点Ｃ和Ｄ.
∴点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ就把⊙Ｏ四等分.
想一想:如何用直尺和圆规把⊙Ｏ八等分?
我们把顶点在圆心的周角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º.因为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所以整个圆也被等分成360份.我们把每一份这样的 弧叫做1º的弧.
弦的弦心距 OM、OM之间的关
系.
猜想：
? 1. 若AOB AOB，则AB AB， ? ? AB AB ，OM OM .
2 . 若AOB AOB ，情况又如何？
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 , 则：
1 . 射线OB与射线OB'重合吗?为什么?
2. 若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆 8等分,那么每 一份弧是多少度?
2、如图:⊙Ｏ的直径AB垂直于弦CD,
AB与CD相交于点E，
∠COD＝1000，求BC,AD的度数
解:∵OC=OD,OE⊥CD
A ∴∠1= ∠2
∵∠COD=1000
C
O
12 E
D
∴∴∠B⌒C1==∠5020=500B⌒D=500 ∴A⌒D=A⌒DB-B⌒D
这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
n°弧 n° 1°
1°弧
⌒⌒
1. 在半径相等的⊙O和⊙O´ 中,AB和 A´B´所对的圆心角都是60°.
(1)⌒AB和 A⌒´B´各是多少度? (2)A⌒B和 A⌒´B´相等吗?
弦相等，所对的弦的弦 心距相等.
使射线OA与射线OA' 重合 .
AOB AOB
OB与OB重合
OA OA, OB OB
A与A重合 , B与B重合
AB AB, AB AB
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
例1 如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径. 求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
AB=BC=CD=DA.
A
B
O
D
分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学 C
的圆心角定理，应先证明什么相等？
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º ∴ A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A AB=BC=CD=DA(圆心角定理 )
例2: 用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 右图中 ，OM为AB弦的弦心距.
OM是唯一的.
B M
O
A
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
① 不是 ③ 不是
②
不是
是 ④
2、下列图中弦心距作对了的是（ ④ ）
┐
①
②
┐
③
④
也就是在右图中研究不同的圆 心角 AOB、 AOB， 以及它们 所对的弧AB 、AB, 弦 AB 、AB,
3.4 圆心角
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的弧.
逆定理1: 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的
弧.
逆定理2: 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重 合.
A
B
A
O
. 180°
B
O
.
所以圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心.
B
=1800-500
=1300
小结: 通过这节课的学习，你学到了什么知识？
1.圆的性质在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦、两个弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余 的各组量都相等。
2.运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简 单的几何问题.
2 . 点A与A' ，点B与B'重合吗？ 为什么？
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗？为什么？
4 . OM 与OM' 呢？为什么？
于是，若∠AOB = ∠A'OB'， 则 AB=A'B'， AB= A'B'，OM=OM' .
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果∠AOB= ∠ A'O'B'
为什么？
已知：如图, ∠AOB = ∠A'OB'
,
OM、OM'
圆心角定理:在同圆或 等圆中，相等的圆心角
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 所对的弧相等，所对的
求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
由把定此圆义可O：的以顶半看点径出在O，圆N点心绕NN的圆' '仍角心N落叫'O旋在做N'转圆圆任上心意.角N一'．N个' 角度， N
O
如把图圆绕中圆所心示旋，转任∠意NO一N个'角就度是后一，个仍圆与心原角来. 的圆重合.
顶点在圆心的角,叫圆心角， 如AOB , 圆心角AOB所对 的弧为AB， 所对的弦为AB；
C
作法： １、作⊙Ｏ的直径ＡＢ.
A
Ｏ
B
２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于
D
点Ｃ和Ｄ.
∴点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ就把⊙Ｏ四等分.
想一想:如何用直尺和圆规把⊙Ｏ八等分?
我们把顶点在圆心的周角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º.因为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所以整个圆也被等分成360份.我们把每一份这样的 弧叫做1º的弧.
弦的弦心距 OM、OM之间的关
系.
猜想：
? 1. 若AOB AOB，则AB AB， ? ? AB AB ，OM OM .
2 . 若AOB AOB ，情况又如何？
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 , 则：
1 . 射线OB与射线OB'重合吗?为什么?
2. 若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆 8等分,那么每 一份弧是多少度?
2、如图:⊙Ｏ的直径AB垂直于弦CD,
AB与CD相交于点E，
∠COD＝1000，求BC,AD的度数
解:∵OC=OD,OE⊥CD
A ∴∠1= ∠2
∵∠COD=1000
C
O
12 E
D
∴∴∠B⌒C1==∠5020=500B⌒D=500 ∴A⌒D=A⌒DB-B⌒D
这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
n°弧 n° 1°
1°弧
⌒⌒
1. 在半径相等的⊙O和⊙O´ 中,AB和 A´B´所对的圆心角都是60°.
(1)⌒AB和 A⌒´B´各是多少度? (2)A⌒B和 A⌒´B´相等吗?
弦相等，所对的弦的弦 心距相等.
使射线OA与射线OA' 重合 .
AOB AOB
OB与OB重合
OA OA, OB OB
A与A重合 , B与B重合
AB AB, AB AB
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
例1 如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径. 求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
AB=BC=CD=DA.
A
B
O
D
分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学 C
的圆心角定理，应先证明什么相等？
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º ∴ A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A AB=BC=CD=DA(圆心角定理 )
例2: 用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 右图中 ，OM为AB弦的弦心距.
OM是唯一的.
B M
O
A
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
① 不是 ③ 不是
②
不是
是 ④
2、下列图中弦心距作对了的是（ ④ ）
┐
①
②
┐
③
④
也就是在右图中研究不同的圆 心角 AOB、 AOB， 以及它们 所对的弧AB 、AB, 弦 AB 、AB,
3.4 圆心角
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的弧.
逆定理1: 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的
弧.
逆定理2: 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重 合.
A
B
A
O
. 180°
B
O
.
所以圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心.
B
=1800-500
=1300
小结: 通过这节课的学习，你学到了什么知识？
1.圆的性质在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦、两个弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余 的各组量都相等。
2.运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简 单的几何问题.
2 . 点A与A' ，点B与B'重合吗？ 为什么？
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗？为什么？
4 . OM 与OM' 呢？为什么？
于是，若∠AOB = ∠A'OB'， 则 AB=A'B'， AB= A'B'，OM=OM' .
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果∠AOB= ∠ A'O'B'