有趣的一笔画

二年级尖子班第二讲 有趣的一笔画 【例 1】你能试着用一笔把下列 图形画出来吗？如果可以，说说 你是怎样画的？
【分析】 首先老师给学生时间让学生充 分动脑动手，看看哪个图形能一 笔画出．然后再来研究这些能一 笔画成的图形有什么特点．在这


些图形中可以一笔画出的是： (1)、(2)、(3)、(6)、(7)；不 可以一笔画出的是：(4)、(5)． 我们观察图形不难发现，图形都 是由点和线构成的． （这里所说 的“线” ，可以是直线段，也可 以是一段曲线． ）每个图中的每 一个点都有线与它相连；有的点 与一条线相连，有的点与两条线 相连，有的点与三条线相连等 等．一个图形是否能一笔画成跟 这些点有什么关系？ (1)从一点出发的线的条数是偶 数（双数） ，这点称为偶点（双


数点） ． (2)从一点出发的线的条数是奇 数（单数） ，这点称为奇点（单 数点） ． 再观察此题的每个图： (1)有 2 个奇点，能一笔画成． (2)都是偶点，能一笔画成． (3)都是偶点，能一笔画成． (4)有 4 个奇点， 不能一笔画成． (5)有 4 个奇点， 不能一笔画成． (6)有 2 个奇点，能一笔画成． (7)有 2 个奇点，能一笔画成． 最后总结出： 有 0 个或 2 个奇点的连通图能够


一笔画成，否则不能一笔画成． 【例 2】下列图形能一笔画成吗？ 为什么？
⑴ 【分析】
⑵
⑶
⑷
(1)、 (2)、 (3)可以， (4)不可以； 其实我们不必把所有奇点都找 出来，只要发现图中的奇点多于 2 个就不能一笔画成了． 【例 3】下面的图形都不能一笔 画成，请你分别在各图中添上一 条线段，使它能一笔画成．


⑴
⑵
⑶
【分析】( (1)图(1)中有四个点是 中有四个点是 奇点，所以不能一笔画成 所以不能一笔画成， ，要想 使这个图形能一笔画成 可以添 使这个图形能一笔画成，可以添 加一条线段 使这个图形的奇点 加一条线段，使这个图形的奇点 变成两个． ． 如下图 （答案不唯一 答案不唯一） ： (2)图(2)和图 和图(1)相似， 因为有四 个点是奇点 所以不能一笔画成， 个点是奇点， 所以不能一笔画成 要想使这个图形能一笔画成 要想使这个图形能一笔画成，可 以添加一条线段 使这个图形的 以添加一条线段，使这个图形的 奇点变成两个 奇点变成两个．如下图（答案不 答案不 唯一） ：


(3)图(3)中有四个点是奇点，所 以不能一笔画成，要想使这个图 形一笔画成， 可以添加一条线段， 使这个图形的奇点变成两个．如 下图（答案不唯一） ：
【例 4】下面的图形都不能一笔 画成，请你在各个图中去掉一条 线，使它能一笔画成．
⑴
⑵
⑶


【分析】 （1）图（1）中有四个 点是奇点，所以不能一笔画成， 要想使这个图形能一笔画成，就 要使这个图形的奇点变成两 个．如下图：
（2）图（2）和图（1）相似， 因为有四个点是奇点， 所以不能 一笔画成， 要想使这个图形能一 笔画成， 就要使这个图形的奇点 变成两个．如下图：
（3） 图 （3） 中有四个点是奇点， 所以不能一笔画成， 要想使这个


图形一笔画成 就要使这个图形 图形一笔画成， 的奇点变成两个 的奇点变成两个．如下图： ：
【例 5】你知道哥尼斯堡城七桥 你知道哥尼斯堡城七桥 为什么就不能找到一条不重复 地一次走遍七座桥的路线吗 地一次走遍七座桥的路线吗？
【分析】欧拉解决这个问题的方 欧拉解决这个问题的方 法非常巧妙 法非常巧妙．他认为：人们关心 人们关心 的只是一次不重复地走遍这七 座桥，而并不关心桥的长短和岛 而并不关心桥的长短和岛


的大小，因此 因此，岛和岸都可以看 岛和岸都可以看 作一个点， ，而桥则可以看成是连 而桥则可以看成是连 接这些点的一条线 接这些点的一条线．这样， ，一个 实际问题就转化为一个几何图 形（如下图 如下图）能否一笔画出的问 能否一笔画出的问 题了．因为图 因为图 b 有 4 个奇点，所 个奇点 以不能一笔画成 也就没有这样 以不能一笔画成，也就没有这样 一条路线存在了 一条路线存在了．
(a )
(b)



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