2020年江苏省无锡高二(下)期中数学试卷(理科)

期中数学试卷（理科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题“∀x∈R，x2-x+1＜0”的否定是______．2.已知，则A-1=______．3.若复数z=i（3-2i）（i是虚数单位），则z的虚部为______．4.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为______．5.运行如图所示的程序后，输出的结果为______．6.“x＞0”是“”的______条件．（填充分不必要、必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）7.已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是______．8.已知双曲线x2-=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b=______．9.设X～B（n，p），若D（X）=4，E（X）=12，则n+p=______．10.已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点．若线段AB的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为______．11.随机变量X的概率分布规律为P（X=k）=，k=1，2，3，4，其中c是常数，则P（＜X＜）的值为______．12.若双曲线的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为______．13.设x1为曲线与y=ln x的公切线的一个切点横坐标，且x1＜0，则满足m≥x1的最小整数m的值为______．14.已知函数f（x）=ln x+（e-a）x-2b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，则的最小值等于______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知曲线y2=2x，先将曲线C作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点顺时针（1）求连续两次变换所对应的变换矩阵M；（2）求曲线C在T M作用下得到的曲线C′的方程．16.给定两个命题P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2-x+a=0有实数根；（1）“a=0”是P的什么条件？（2）如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．17.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(Ⅰ)证明：PB∥平面AEC；(Ⅱ)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，，求三棱锥E－ACD的体积．18.袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X 的概率分布与数学期望．19.设椭圆的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且|MA|≤|MO|，求直线l的斜率的取值范围．20.已知函数f（x）=x-1-a（x-1）2-ln x（a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）-x+1既有一个极小值又有一个极大值，求a的取值范围；（3）若存在b∈（1，2），使得当x∈（0，b]时，f（x）的值域是[f（b），+∞），求a的取值范围．答案和解析1.【答案】∃x∈R，x2-x+1≥0【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2-x+1＜0”的否定是：∃x∈R，x2-x+1≥0．故答案为：∃x∈R，x2-x+1≥0．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.【答案】【解析】解：由题意，可设A-1=．则由逆矩阵公式AA-1=E，可得：•=，即：=．∴，解得：．∴A-1=．故答案为：．本题可先设设A-1=．然后根据逆矩阵公式AA-1=E计算出a、b、c、d的值，即可得到A-1．本题主要考查根据逆矩阵公式求一个矩阵的逆矩阵．本题属基础题．3.【答案】3【解析】解：由z=i（3-2i）=2+3i，则z的虚部为：3．故答案为：3．由复数z=i（3-2i）（i是虚数单位），得z=2+3i，则z的虚部可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．4.【答案】【解析】解：甲类试题2道，乙类试题3道，从中随机取2道试题，共有=10种方法，全是甲类试题，有1种方法，∴至少有1道试题是乙类试题的概率为1-=．故答案为：．利用组合的方法求出甲类试题2道，乙类试题3道，从中随机取2道试题的方法，全是甲类试题，有1种方法，利用对立事件的概率公式求出至少有1道试题是乙类试题的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．5.【答案】42【解析】解：模拟执行程序，有i=1，s=0，满足条件i＜8，i=4，s=8，满足条件i＜8，i=7，s=22，满足条件i＜8，i=10，s=42，不满足条件i＜8，退出循环，输出s的值为42．故答案为：42．模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=10时，不满足条件i＜8，退出循环，输出s的值为42．本题考查循环结构框图的应用，注意退出循环的条件，考查计算能力，属于基础题．6.【答案】充分必要【解析】解：当x＞0时，由基本不等式有=2；若，显然x不可能等于0，也不可能为负数，因此x＞0．故“x＞0”是“”的充分必要条件，故答案为：充分必要当x＞0时，由基本不等式可得，而当时，亦能推得x＞0，由充要条件的定义可得．本题考查充要条件的判断，涉及基本不等式的应用，属基础题．7.【答案】2【解析】【分析】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．属于基础题.由一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，先求出m=10，由此能求出这组数据的方差．解：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，∴，解得m=10，∴这组数据的方差S2=[（6-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（10-8）2]=2．故答案为：2．8.【答案】2【解析】解：该双曲线的渐近线方程为，即y=±bx，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，又b＞0，可以得出b=2．故答案为：2．利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程是解决本题的关键，根据已知给出的一条渐近线方程对比求出b的值．本题考查根据双曲线方程求解其渐近线方程的方法，考查学生对双曲线标准方程和渐近线方程的认识和互相转化，考查学生的比较思想，属于基本题型．9.【答案】【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的期望和方差，解题时要注意二项分布的性质和应用．由X～B（n，p），EX=12，DX=4，知np=12，np（1-p）=4，由此能求出n和p．【解答】解：∵EX=12，DX=4，∴np=12，np（1-p）=4，∴n=18，p=．则n+p=故答案为．10.【答案】【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减可得，，∵线段AB的中点坐标为（1，-1），∴=，∵直线的斜率为=，∴=，∵右焦点为F（3，0），∴a2=18，b2=9，∴椭圆方程为：．故答案为：．设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为（1，-1），求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b 的值，即可得出椭圆的方程．本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：∵P（X=k）=）=，k=1，2，3，4，∴=1，∴c=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=；故答案为：．根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出a的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，关键是利用概率的性质求出c．12.【答案】2【解析】解：双曲线的一条渐近线方程设为bx-ay=0，圆（x-2）2+y2=4的圆心为（2，0），半径r=2，可得圆心到渐近线的距离为d=，则2=2，化为3a2=b2=c2-a2，即4a2=c2，e=，解得e=2．故答案为：2．求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a，b的关系，即可得到所求离心率公式．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．13.【答案】-2【解析】解：的导数为y′=，y=ln x的导数为y′=，设与y=ln x相切的切点的横坐标为n，由切线方程y=x+l n n-1，以及y=-，可得=，l n n-1=-，消去n，可得=2ln（-x1）-1，设t=-x1（t＞0），可得=2ln t-1，设f（t）=2ln t-1-，可得f（2）=2ln2-2＜0，f（3）=2ln3-＞0，且f（t）在（2，3）递增，可得=2ln t-1的根介于（2，3），即有x1∈（-3，-2），m≥x1恒成立，可得m≥-2，即m的最小值为-2．故答案为：-2．求得两个函数的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，可得=2ln（-x1）-1，设t=-x1（t＞0），可得=2ln t-1，设f（t）=2ln t-1-，判断单调性和零点范围，由不等式恒成立可得m的最小值．本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和构造函数法，考查函数零点存在定理和不等式恒成立思想，属于中档题．14.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=ln x+（e-a）x-2b，其中e为自然对数的底数，f′（x）=+（e-a），x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，由题意当x=时，f（x）取最大值0，可得ln（a-e）+2b+1≥0，即2b≥-1-ln（a-e），则，令h（x）=，（x＞e）则h′（x）=，令H（x）=（x-e）ln（x-e）-e，H′（x）=ln（x-e）+1，当x∈（e+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（e，e+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=e+时，H（x）取最小值H（e+）=-e-．∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）=0，∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，∴x=2e时，F（x）取最小值，即F（2e）=．得的最小值为．故答案为．求f′（x）=+（e-a），x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，当a ＞e时，令f′（x）=0，得x=，由题意当x=时，f（x）取最大值0，可得ln（a-e）+2b+1≥0，即2b≥-1-ln（a-e），则，构造新函数，利用导数性质求新函数最大值，可得的最小值．本题考查两数比值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．15.【答案】解：（1）由题意，可知：反射变换对应的矩阵为，旋转变换对应的矩阵为．（2）由题意，可设在曲线C上任取一点P（x，y），在T M作用下对应点为P′（x′，y′），则有：=．整理，得：=．即：．∴．∵点P（x，y）在曲线C上，∴可将代入y2=2x，得：（-x′）2=2•（-y′）．整理，得：．∴曲线C′的方程为：．【解析】本题第（1）题可根据反射变换和旋转变换的定义写出相应的矩阵；第（2）题可先设出曲线C上的任意一点P（x，y），再设出这点经过两种变换后得到的对应点P′（x′，y′）．然后根据变换对应的矩阵找到两个点的坐标的关系表达式，再根据点P （x，y）在曲线C上，将两个点的坐标的关系表达式代入曲线C的方程即可得到曲线C′的方程．本题第（1）题主要考查根据反射变换和旋转变换的定义写出相应的矩阵；第（2）题主要考查一条直线经过一定的变换得到对应的曲线，已知其中一条曲线方程求另一条曲线方程，本题可通过设对应点和变换对应的矩阵找到两个点的坐标的关系表达式来求出．本题属基础题．16.【答案】解：（1）若a=0，ax2+ax+1＞0等价为1＞0恒成立，若a≠0，则ax2+ax+1＞0恒成立等价为判别式△=a2-4a＜0，且a＞0，则0＜a＜4，综上，P：0≤a＜4，即“a=0”是P的充分不必要条件；（答充分条件也对）…（2分）（2）对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔0≤a＜4；…（5分）关于x的方程x2-x+a=0有实数根；…（7分）如果P正确，且Q不正确，有；…（9分）如果Q正确，且P不正确，有．…（11分）所以实数a的取值范围为．…（12分）【解析】（1）若a=0，求出P成立的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断．（2）根据复合命题之间的关系分P真Q假和P假Q真，进行求解即可．本题主要考查复合命题的真假关系，利用分类讨论是解决本题的关键．17.【答案】解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，又∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连接DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，CD⊥AD，AD PA=A,∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥AM，又AM⊥MD，MD CD=D,∴AM⊥平面CMD，∴AM⊥CM，∵二面角D-AE-C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E-ACD的体积为：==．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角的应用，考查逻辑思维能力，属于中档题．（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连接DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积．18.【答案】解：（1）两个球颜色不同的情况共有⋅42=96（种）．（2）随机变量X所有可能的值为0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．所以随机变量X的概率分布列为：X0 1 2 3P所以E（X）=0×+1×+2×+3×=．【解析】（1）两个球颜色不同的情况共有⋅42（种）．（2）随机变量X所有可能的值为0，1，2，3．可得P（X=0）=，P（X=1）=，P （X=2）=，P（X=3）=．本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）设F（c，0），由得，，可得a2-c2=3c2，又a2-c2=b2=3，可得c2=1，a2=4，∴椭圆方程为：；（2）设直线l的方程为y=k（x-2），k≠0，B（x B，y B），由方程组得，（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0，解得x=2，或x=，由题意可知，进而得，由（1）知，F（1，0），设H（0，y H），则，=，由题意得，==0，解得y H=，∴直线MH的方程为y=，与直线l的方程联立，可得点M的横坐标x M=，在△MAO中，由|MA|≤|MO|，得（x M-2）2=，得x M≥1，∴≥1，解得k，或，故直线l的斜率的取值范围为：（-]．【解析】（1）由所给等式建立a，c的关系式，再利用b2=3=a2-c2即可得解；（2）设直线l的方程，与椭圆方程联立得B点坐标，再利用BF⊥HF，数量积为0，得H得坐标，从而得MH的方程，由MH与l得交点M的坐标，最后利用|MA|≤|MO|，建立不等式可解．此题考查了椭圆方程得求法，直线与椭圆的综合，难度较大．20.【答案】解：（1）a=0时，函数f（x）=x-1-ln x，（x＞0），f′（x）=1-=，可得：f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（2）g（x）=-a（x-1）2-ln x，则g′（x）=-2a（x-1）-=-，令h（x）=2ax2-2ax+1（x＞0），若函数g（x）有两个极值点，则方程h（x）=0必有两个不等的正根，设两根为：x1，x2．于是，解得a＞2．h（x）=0时有两个不相等的正实数根，不妨设x1＜x2．g′（x）=-=-．当0＜x＜x1时，h（x）＞0，g′（x）＜0，g（x）在（0，x1）上为减函数；当x1＜x＜x2时，h（x）＜0，g′（x）＞0，g（x）在（x1，x2）上为增函数；当x＞x2时，h（x）＞0，g′（x）＜0，函数g（x）在（x2，+∞）上为减函数．由此，x=x1是函数g（x）的极小值点，x=x2是函数g（x）的极大值点．符合题意．综上，所求实数a的取值范围是（2，+∞）．（3）f′（x）=1-2a（x-1）-=-，①当a≤0时，＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上为增函数．所以，当x∈（0，b）（1＜b＜2）时，f（x）min=f（1）=0＜f（b），f（x）的值域是[0，+∞），不符合题意．②当a＞0时，f′（x）=-，（i）当＜1，即a时，当x变化时，如下表格：x1（1，+∞）f′（x）-0+0-f（x）减函数极小值增函数极大值减函数若满足题意，只需满足＞f（2），即-1-a-ln＞1-a-ln2，整理得+ln2a+ln2-1＞0，令F（a）=+ln2a+ln2-1，（a）．当a时，F′（a）=-=＞0，∴F（a）在上为增函数，当a时，F（a）＞=ln2-＞ln-=0．可得：当a时，F（a）＞恒成立．故当a时，当x∈（0，b]（1＜b＜2）时，f（x）的值域是[f（b），+∞），故当a时，满足题意．（ii）当=1，即a=时，f′（x）=-，当且仅当x=1时取等号，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数，从而f（x）在（0，b]上为减函数，符合题意；（iii）当＞1，即时，当x变化时，变化情况如下表：x（0，1）1f′（x）-0+0-f（x）减函数极小值0增函数极大值减函数若满足题意，只需满足f（2）＜f（1），且＜2（若≥2，不符合题意），即a＞1-ln2，且a，又1-ln2，所以a＞1-ln2，此时，1-ln2＜a＜，综上，a＞1-ln2，所以，实数a的取值范围是（1-ln2，+∞）．【解析】（1）a=0时，函数f（x）=x-1-ln x，（x＞0），f′（x）=1-=，可得：f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（2）g（x）=-a（x-1）2-ln x，则g′（x）=-2a（x-1）-=-，令h（x）=2ax2-2ax+1（x＞0），若函数g（x）有两个极值点，则方程h（x）=0必有两个不等的正根，设两根为：x1，x2．于是，解得a．h（x）=0时有两个不相等的正实数根，不妨设x1＜x2．g′（x）=-=-．对x分类讨论即可得出单调性．（3）f′（x）=1-2a（x-1）-=-，对a分类讨论，利用导数研究函数单调性值域即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。