高二数学复数复习题43
高二数学复数试题答案及解析
高二数学复数试题答案及解析1.已知复数，（，是虚数单位）．（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先算出，再根据在复平面上对应的点落在第一象限，可得不等式组，从中求解即可得出的取值范围；（2）根据实系数的一元二次方程有一复数根时，则该方程的另一个根必为，且，从而可先求解出的值，进而求出的值.（1）由条件得 2分因为在复平面上对应点落在第一象限，故有 4分∴解得 6分（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是该方程的一个根根据二次方程根与系数的关系可得，即 10分把代入，则， 11分所以 14分.【考点】1.复数的几何意义；2.实系数的一元二次方程在复数范围内根与系数的关系；3.复数的运算.2.已知复数Z=，则Z在复平面上对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，其对应的点落在第四象限。
故选D。
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．3.设是虚数，是实数，且，则的实部取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于是虚数，是实数，且，=0,则可知b=0,=,则可知其实部取值范围,故答案为B【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的计算的运用，属于基础题。
4.若复数是纯虚数（是虚数单位，为实数），则A．2B．C．D．【答案】A【解析】，复数为纯虚数，则，解得：。
故选A。
【考点】复数的概念点评：在复数中，当时，复数为实数；当时，复数为虚数；当时，复数为纯虚数。
5.若复数是纯虚数（是虚数单位），则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于复数是纯虚数，则可知 (2+ai)(1+i)=，那么可知2-a=0,故可知a=2，答案为D.【考点】复数的概念点评：主要是考查了复数的计算以及概念的运用，属于基础题。
高二数学复数综合运算试题答案及解析
高二数学复数综合运算试题答案及解析1.已知，其中、为实数，则 .【答案】3【解析】由题意可得：，所以.【考点】复数的运算.2.是虚数单位，复数的共轭复数是A．2＋B．2－C．－1＋2D．－1－2【解析】,共轭复数为.【考点】复数的四则运算和共轭复数.3.已知复数z＝，则|z|＝________．【答案】【解析】∵z＝===，所以|z|==.考点:复数的运算，复数的模4.“a = 1”是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由复数(,i为虚数单位)是纯虚数得，解得=1，故是充要条件，故选C.【考点】纯虚数的概念，充要条件5.已知i为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【答案】B【解析】由复数的除法运算得==，所以=，在复平面上的对应点为（，位于第三象限，故选B【考点】复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的点表示6.若则|z|=A．3B．4C．5D．7【答案】C【解析】复数的模长为,所以，故选C【考点】复数模长计算.7.已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，则复数的虚部是。
【考点】复数的除法运算复数的基本概念。
8.已知复数，则 .【答案】5【解析】.【考点】复数的模.9.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1B．2C．1或2D．-1【答案】B【解析】当，时，复数为纯虚数，由解得或，又，所以．【考点】复数的分类．10.复数z满足是虚数单位)，若复数的实部与虚部相等，则等于（）A．12B．4C．D．l2【答案】D.【解析】∵，∴，∵复数的实部与虚部相等，∴.【考点】复数的计算.11.已知是方程的一个根(为实数)．（1）求的值；（2）试说明也是方程的根.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（1）依题意将代入方程化简整理即可得到，然后根据复数相等的条件得到，进而求出即可；（2）根据（1）中确定的方程，将代入方程的左边，化简得到0，即可说明也是方程的一个根.（其实作为实系数的二次方程，若有虚根，则该二次方程的两根必互为共轭复数.）（1）因为是方程的根∴即∴，得∴的值为 5分（2）因为方程为把代入方程左边得，显然方程成立∴也是方程的一个根 10分【考点】1.复数的四则运算；2.两复数相等的条件.12.是虚数单位,复数在复平面上的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】对于在复平面中对应的点为，,可知在平面上的对应点为，在第四象限．【考点】复数的四则运算，复数的几何意义．13.已知是复数，且，则的最大值为．【答案】6【解析】,在复平面中表示的是单位圆，为表示的点与表示的点距离，结合图象可知最大值为6．【考点】复数的几何意义，数形结合的数学思想．14.复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以复数的虚部为1，故选A.【考点】1.复数的运算；2.复数的基本概念.15.已知复数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意【考点】复数的运算16.若是纯虚数，则实数的值是【答案】2【解析】因为是纯虚数，所以，解得【考点】纯虚数概念17.若复数满足，则等于【答案】【解析】设z=a+bi（a，b∈R），由得，，∴，解得a=3，b=4，故选B．【考点】1.复数相等的充要条件；2.复数求模．18.（本小题满分12分）已知复数.（1）实数为何值时，复数为纯虚数？（2）若，计算复数.【答案】（1）m=0；（2）.【解析】（1）若z为纯虚数，则z的实部不为0，虚部为0从而可以建立与m有关的方程与不等式，进而求得m的值；（2）当m=2时，z=2+i，代入计算即可求得.（1）复数z为纯虚数，则， 5分解得m=0 6分（2）若m=2，则z=2+i 7分∴ 12分．【考点】 1、纯虚数的概念；2、复数的计算.19.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是 .【答案】【解析】因为，所以若复数为纯虚数，则有.【考点】1.复数的基本概念；2.复数的四则运算.20.已知复数（为虚数单位），则 .【答案】【解析】因为，所以所以本题也可利用复数模的性质进行求解，即【考点】复数的模21.在复平面内，设(是虚数单位)，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为，所以，该复数对应点的坐标为，落在第一象限，所以选A.【考点】1.复数的四则运算；2.复数的几何意义.22.若复数 (为虚数单位，)是纯虚数，则复数的模是________．【答案】【解析】因为，由复数(为虚数单位，)是纯虚数可得，所以复数的模为.【考点】1.复数的四则运算；2.复数的基本概念.23. 已知a ，b ∈R ，a ＋bi ＝(1＋2i)(1－i) (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ． 【答案】4【解析】根据复数乘法法则，将化为，再由两复数相等，它们实部与虚部分别相等得【考点】复数乘法法则，复数相等概念24. 已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b ＝(a ＋2z )2. 【答案】或【解析】∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i. 而(a ＋2z )2＝[(a ＋2)＋2i]2＝(a ＋2)2＋4(a ＋2)i ＋4i 2 ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵az ＋2b ＝(a ＋2z )2，∴解得或25. 已知复数z 1＝3和z 2＝－5＋5i 对应的向量分别为＝a ，＝b ，求向量a 与b 的夹角．【答案】【解析】设a ，b 的夹角为α，a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)， 则cos α＝，∵0≤α≤π，∴α＝.26. 复数的共轭复数为 ( )．A ．－iB ．iC ．－iD ．i【答案】C 【解析】＝i ，其共轭复数为－i.27. 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，复数z 2的虚 部为2，且z 1z 2为实数，求z 2及|z 2|. 【答案】 【解析】z 1＝＋2＝＋2＝＋2＝2－i ，设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， 由于z 1z 2为实数， ∴4－a ＝0.∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i |z 2|＝. 28.＝( )．A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C【解析】＝＝－2＋i.29.当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于()．A．1B．－1C．i D．－i【答案】D【解析】根据题意，当z＝－时，z100＋z50＋1=的值等于-i，故选D.【考点】导数研究函数的单调性点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题30.在复数范围内解方程.(i为虚数单位)【答案】z=-±i.【解析】本试题主要考查了复数的运算的问题。
高二数学《数系扩充与复数的概念》复习训练题
第1页，共1页 高二数学《数系扩充与复数的概念》复习训练题姓名： 座号： 1. 下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为( C ) 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-(A)23,p p (B)12,p p (C),p p 24 (D),p p 342. 设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i +为纯虚数”的( B ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件3. 若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则( B )(A)3,2==c b (B)3,2=-=c b (C)1,2-=-=c b (D)1,2-==c b4. 方程26130x x ++=的一个根是( A )(A)32i -+ (B)32i + (C)23i -+(D)23i + 5. 已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=10 . 6. 复数i i 21-+2等于 i7. 设z 的共轭复数是z ，或z + z =4,z ·z ＝8，则z z 等于 i ±. 8. 若复数z 满足i2-110z -|z |=,则z 等于 3+4i 9. 已知：R m ∈，复数i m m m m m z )32(1)2(2-++--=，当m 为何值时， (1)R z ∈；(2)z 是纯虚数；(3) z 对应的点位于复平面的第二象限；解：（1）当⎩⎨⎧=-+≠-032012m m m ，即3-=m ；（2）当⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=--03201)2(2m m m m m ，所以当0=m 或2=m ；（3）当 ⎝⎛>-+<--03201)2(2m m m m m 时，3-<m 或21<<m。
高二数学复数试题答案及解析
高二数学复数试题答案及解析1.复数在复平面内对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】则，故选A【考点】复数与平面上的点成一一对应关系2.若z1＝(x－2)＋y i与z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】∵z1与z2互为共轭复数，∴∴z1＝－3－i.3.若复数（是虚数单位），则的模= .【答案】【解析】因为，，所以，的模=。
【考点】复数的代数运算，复数模的计算。
点评：简单题，解答本题可以先计算z，再求|z|,也可以利用复数模的性质。
4.设为实数，复数【答案】1+3i【解析】根据题意，由于设为实数，复数（1-2i）(-1+i)=1+3i，故可知答案为1+3i.【考点】复数的运算点评：主要是考查了复数的运算，属于基础题。
5.已知i为虚数单位，则复数i(i-1)对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】.所以i(i-1)的点位于第四象限.选D.【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数的概念，合理运用复数的几何意义进行解题．6.已知是虚数单位，则=A．B．C．D．【答案】D【解析】=4×4=-4，选D。
【考点】复数的代数运算点评：简单题，注意。
7.已知复数，下列命题中：①不能比较大小；②若，则；③；④若，则.其中正确的命题是A．②③B．①③C．③④D．②④【答案】C【解析】根据题意，由于复数对于①不能比较大小；在实数的情况下可以比较，因此错误，对于②若，则；不成立，对于③；符合复数相等的定义，对于④若，则成立，故答案为③④ ,选C.【考点】复数的概念点评：主要是考查了复数的引入以及概念的运用，属于基础题。
8.复数，则．【答案】【解析】根据题意，由于，则可知，故可知答案为。
高二数学复数练习试题及答案解析
高二数学复数练习试题及答案解析读书使人充实，讨论使人机敏，写作则能使人精确。
高二数学复数练习试题及答案1.如果复数a+bi（a，b isin;R）在复平面内的对应点在第二象限，则（）A.a>0，b<0B.a>0，b>0C.a<0，b<0D.a<0，b>0[答案] D[解析] 复数z=a+bi在复平面内的对应点坐标为（a，b），该点在第二象限，需a<0且b>0，故应选D.2.（20__ bull;北京文，2）在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i[答案] C[解析] 由题意知A（6，5），B（-2，3），AB中点C （x，y），则x=6-22=2，y=5+32=4，there4;点C对应的复数为2+4i，故选C.3.当23A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] D[解析] ∵230，m-1<0，there4;点（3m-2，m-1）在第四象限.4.复数z=-2（sin100 deg;-icos100 deg;）在复平面内所对应的点Z位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[解析] z=-2sin100 deg;+2icos100 deg;.∵-2sin100 deg;<0，2cos100 deg;<0，there4;Z点在第三象限.故应选C.5.若a、b isin;R，则复数（a2-6a+10）+（-b2+4b-5）i 对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] D[解析] a2-6a+10=（a-3）2+1>0，-b2+4b-5=-（b-2）2-1<0.所以对应点在第四象限，故应选D.6.设z=（2t2+5t-3）+（t2+2t+2）i，t isin;R，则以下结论中正确的是（）A.z对应的点在第一象限B.z一定不是纯虚数C.z对应的点在实轴上方D.z一定是实数[解析] ∵2t2+5t-3=（t+3）（2t-1）的值可正、可负、可为0，t2+2t+2=（t+1）2+1 ge;1， there4;排除A、B、D，选C.7.下列命题中假命题是（）A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|[答案] D若z1=z2，则有a1=a2，b1=b2， there4;|z1|=|z2|反之由|z1|=|z2|，推不出z1=z2，如z1=1+3i，z2=1-3i时|z1|=|z2|，故C正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小， there4;D错.8.已知复数z=（x-1）+（2x-1）i的模小于10，则实数x 的取值范围是（）A.-45B.x<2C.x>-45D.x=-45或x=2[答案] A[解析] 由题意知（x-1）2+（2x-1）2<10，解之得-459.已知复数z1=a+bi（a，b isin;R），z2=-1+ai，若|z1|<|z2|，则实数b适合的条件是（）A.b<-1或b>1B.-1C.b>1D.b>0[答案] B[解析] 由|z1|<|z2|得a2+b2there4;b2<1，则-110.复平面内向量OA rarr;表示的复数为1+i，将OA rarr;向右平移一个单位后得到向量O prime;A prime; rarr;，则向量O prime;A prime; rarr;与点A prime;对应的复数分别为（）A.1+i，1+iB.2+i，2+iC.1+i，2+iD.2+i，1+i[答案] C[解析] 由题意O prime;A prime; rarr;=OA rarr;，对应复数为1+i，点A prime;对应复数为1+（1+i）=2+i.二、填空题11.如果复数z=（m2+m-1）+（4m2-8m+3）i（m isin;R）对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________.[答案] - infin;，-1-52 cup;32，+ infin;[解析] 复数z对应的点在第一象限需m2+m-1>04m2-8m+3>0解得：m<-1-52或m>32.12.设复数z的模为17，虚部为-8，则复数z=________.[答案] plusmn;15-8i[解析] 设复数z=a-8i，由a2+82=17，there4;a2=225，a= plusmn;15，z= plusmn;15-8i.13.已知z=（1+i）m2-（8+i）m+15-6i（m isin;R），若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________.[答案] 3[解析] 将复数z变形为z=（m2-8m+15）+（m2-m-6）i ∵复数z对应点位于复平面上的第二象限there4;m2-8m+15<0m2-m-6>0解得314.若t isin;R，t ne;-1，t ne;0，复数z=t1+t+1+tti 的模的取值范围是________.[答案] [2，+ infin;）[解析] |z|2=t1+t2+1+tt2 ge;2t1+t bull;1+tt=2.there4;|z| ge;2.三、解答题15.实数m取什么值时，复平面内表示复数z=2m+（4-m2）i的点（1）位于虚轴上；（2）位于一、三象限；（3）位于以原点为圆心，以4为半径的圆上.[解析] （1）若复平面内对应点位于虚轴上，则2m=0，即m=0.（2）若复平面内对应点位于一、三象限，则2m（4-m2）>0，解得m<-2或0（3）若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m2+（4-m2）2=4即m4-4m2=0，解得m=0或m= plusmn;2.16.已知z1=x2+x2+1i，z2=（x2+a）i，对于任意的x isin;R，均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围.[解析] |z1|=x4+x2+1，|z2|=|x2+a|因为|z1|>|z2|，所以x4+x2+1>|x2+a|高考数学不等式复习资料1.不等式的基本性质:性质1:如果a>b，b>c，那么a>c（不等式的传递性）.性质2:如果a>b，那么a+c>b+c（不等式的可加性）.性质3:如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a+c>b+d.性质4:如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.性质5:如果a>b>0，n isin;N，n>1，那么an>bn，且.例1:判断下列命题的真假，并说明理由. 若a>b，c=d，则ac2>bd2；（假）若，则a>b；（真）若a>b且ab<0，则；（假）若a若，则a>b；（真）若|a|b2；（充要条件）命题A:a命题A:，命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程，在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性. a，b isin;R且a>b，比较a3-b3与ab2-a2b的大小.（ ge;）说明:强调在最后一步中，说明等号取到的情况，为今后基本不等式求最值作思维准备.例2：设a>b，n是偶数且n isin;N*，试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小. 说明:本例条件是a>b，与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a，b为正值这一条件，为此我们必须对a，b的取值情况加以分类讨论.因为a>b，可由三种情况（1）a>b ge;0；（2）a ge;0>b；（3）0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.练习: 1.若a ne;0，比较（a2+1）2与a4+a2+1的大小.（>） 2.若a>0，b>0且a ne;b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.（>） 3.判断下列命题的真假，并说明理由. （1）若a>b，则a2>b2；（假）（2）若a>b，则a3>b3；（真）（3）若a>b，则ac2>bc2；（假）（4）若，则a>b；（真）若a>b，c>d，则a-d>b-c.（真）.。
高二数学复数试题答案及解析
高二数学复数试题答案及解析1.若复数z满足z＝ ,则z对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】对应的点为，位于第二象限，故B正确.【考点】复数的运算、复数的几何意义.2.在复平面上，点对应的复数是，线段的中点对应的复数是，则点对应的复数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意有，在复平面内，点的坐标，线段的中点坐标为，设点的坐标为，则有，解得，所以点对应的复数是，选A.【考点】1.复数的几何意义；2.中点坐标公式.3.复数（是虚数单位），则的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以它的共轭复数为，所以它的共轭复数的虚部为，选C.【考点】1.复数的概念；2.复数的四则运算.4.已知复数满足，为虚数单位，则z＝（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于复数满足，则可知，故可知答案为A.【考点】复数的运算点评：主要是考查了复数的计算，属于基础题。
5.设是虚数，是实数，且，则的实部取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于是虚数，是实数，且，=0,则可知b=0,=,则可知其实部取值范围,故答案为B【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的计算的运用，属于基础题。
6.设复数z＝1＋i，则z2－2z等于()A．－3B．3C．－3i D．3i【答案】A【解析】根据题意，由于复数z＝1＋i，则z2－2z=（）-2（）=-3，故可以答案为-3，选A.【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的基本运算，属于基础题。
7.已知是虚数单位，则=A．B．C．D．【答案】D【解析】=4×4=-4，选D。
【考点】复数的代数运算点评：简单题，注意。
8.复数计算：=A．B．C．D．【答案】D【解析】复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。
因为，=，故选D。
【考点】复数的代数运算点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。
高二复数练习题(打印版)
高二复数练习题（打印版）### 高二复数练习题#### 一、选择题1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \in \mathbb{R} \)）在复平面上的对应点位于第二象限，则下列说法正确的是（）。
A. \( a < 0 \)，\( b > 0 \)B. \( a > 0 \)，\( b < 0 \)C. \( a < 0 \)，\( b < 0 \)D. \( a > 0 \)，\( b > 0 \)2. 复数 \( z = 1 + i \) 的模长是（）。
A. \( \sqrt{2} \)B. \( 2 \)C. \( 1 \)D. \( 0 \)#### 二、填空题3. 计算复数 \( z_1 = 3 + 4i \) 和 \( z_2 = 1 - 2i \) 的和，并化简为 \( a + bi \) 的形式，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数。
4. 已知 \( z = 2 + 3i \)，求 \( \overline{z} \)（\( z \) 的共轭复数）。
#### 三、计算题5. 计算复数 \( z = 2 - 3i \) 的模长和辐角，并以 \( r(\cos\theta + i\sin \theta) \) 的形式表示。
6. 已知复数 \( z = 1 + i \)，求 \( z^2 \)。
#### 四、解答题7. 已知复数 \( z_1 = 2 + 3i \) 和 \( z_2 = -1 + 2i \)，求\( z_1z_2 \) 的值，并说明结果在复平面上的位置。
8. 证明对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，复数 \( z = a + bi \) 的模长 \( |z| \) 满足 \( |z|^2 = a^2 + b^2 \)。
答案：1. A2. A3. \( z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = 4 + 2i \)4. \( \overline{z} = 2 - 3i \)5. \( |z| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13} \)，辐角\( \theta = \arctan\left(\frac{-3}{2}\right) \)，所以 \( z \) 可以表示为 \( \sqrt{13}(\cos \theta + i\sin \theta) \)。
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C．复数 的实部为 D．复数 对应复平面上的点在第二象限
28．下面四个命题，其中错误的命题是（）
A． 比 大B．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数
C． 的充要条件为 D．任何纯虚数的平方都是负实数
29．若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C． 为纯虚数D． 的共轭复数为
【详解】
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
故选：D.
6．B
【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项.
【详解】
由题，得，所以.
故选：B.
解析：B
【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项.
【详解】
由题，得 ，所以 .
故选：B.
7．C
【分析】
根据模的运算可得选项.
【详解】
所以，或，或.
故选：AC
【点睛】
本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
解析：AC
【分析】
令 ，代入原式，解出 的值，结合选项得出答案．
【详解】
令 ，代入 ，
得 ，
解得 ，或 ，或 ，
所以 ，或 ，或 .
故选：AC
【点睛】
本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
19．ACD
【分析】
解析：D
【分析】
先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以其共轭复数为 .
故选：D.
2．C
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．
高二数学复数试题答案及解析
高二数学复数试题答案及解析1.复数（是虚数单位），则的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以它的共轭复数为，所以它的共轭复数的虚部为，选C.【考点】1.复数的概念；2.复数的四则运算.2.若复数是纯虚数，则实数等于（）A．B．2C．D．－2【答案】B【解析】因为，复数=是纯虚数，所以，，a=2，故选B。
【考点】复数的代数运算，复数的概念。
点评：简单题，纯虚数，实部为0，虚部不为0。
3.已知，其中为虚数单位，为实数，则= （）A．-2B．-1C．0D．2【答案】A【解析】因为，，为实数，所以，，=-2，故选A。
【考点】复数的相等点评：简单题，两复数相等，它们的实部、虚部分别相等。
4.已知i为虚数单位，则i++…+=＿＿＿【答案】【解析】【考点】虚数单位i及其性质．点评：本题考查虚数单位的性质及其应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5.设复数z满足＝－3＋2i (i为虚数单位)，则。
【答案】【解析】根据题意，由于复数z满足＝－3＋2i，在可知z=，故可知，故可知答案为。
【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的基本运算，属于基础题。
6.复数的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】==，故选A。
【考点】复数的代数运算点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。
7.若，，是虚数单位，则_________．（用复数代数形式表示）【答案】【解析】因为，，，是虚数单位，所以，=（－1－i）－（3+4i）=－4－5i.【考点】复数的几何意义，向量的几何运算。
点评：简单题，8.复数的共轭复数是 ( )A．2 +i B．2－i C．－1+i (D．－1－i【答案】D【解析】根据题意，由于，那么可知共轭复数是－1－I,故选D【考点】共轭复数点评：主要是考查了复数的基本除法运算，以及共轭复数的概念的运用，属于基础题。
9.已知且|z|=1.若，则的最大值是（）1A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】设，最大值为16最大值为4【考点】复数运算点评：本题中求最大值借助了三角函数有界性，此外还可设利用不等式性质求最值10.复数z＝的共轭复数是（）A．2+i B．2 i C．1+i D．-1-i【答案】D【解析】根据题意，由于复数z＝,因此可知其共轭复数为-1-i，故答案为D.【考点】共轭复数点评：主要是考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念的运用，属于基础题11.设i为虚数单位，则复数= ；【答案】【解析】根据题意，由于,故可知答案为【考点】复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题。
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一、复数选择题1．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5BC ．D ．5i2．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若复数()()24z i i =--，则z =（ ）A ．76i --B ．76-+iC ．76i -D ．76i + 4．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65- 5．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A B C ．3 D ．56．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．已知复数()211i z i-=+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i +D ．1i - 8．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ） A ．1-B ．i -C ．1D ．i 9．若1i i z，则2z z i ⋅-=（ ）A ．B ．4C ．D ．810．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（ ）． A ．1- B ．3 C ．3i D ．i -11．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．复数21i i +的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -13．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ）A B C D14．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（ ）A ．1BCD ．215．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（ ）A ．15BCD ．5二、多选题16．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1- 17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -18．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 19．下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =20．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =21．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点 22．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1- 23．复数z 满足233232i z i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =24．已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限25．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称26．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ）A ．若12z z =，则12=z zB ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z > 27．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线28．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数29．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z += 30．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ）A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅D ．12z z =的充要条件是12=z z【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】，所以，故选：B解析：B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】(2)21z i i i=+=-，所以|z|=故选：B2．D【分析】先由复数的运算化简复数z，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】由已知得，所以复数z在复平面上所对应的点为，在第四象限，故选：D.解析：D【分析】先由复数的运算化简复数z，再运用复数的几何表示可得选项.【详解】由已知得()()()()312317171+21+212555i ii iz ii i i----====--，所以复数z在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫-⎪⎝⎭，在第四象限，故选：D.3．D【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】，.故选：.解析：D【分析】由复数乘法运算求得z，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i=--=-+=-，76z i∴=+.故选：D.4．C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z的虚部是．故选：C．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z后可得其虚部．【详解】因为33(12)366312(12)(12)555i i i iii i i+-===-+--+，所以复数z的虚部是35．故选：C．5．D【分析】求出复数，然后由乘法法则计算．【详解】由题意，．故选：D．解析：D【分析】求出复数z，然后由乘法法则计算z z⋅．【详解】由题意12122iz ii i-==-+=--，22(2)(2)(2)5z z i i i⋅=---+=--=．故选：D．6．A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A解析：A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A7．B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意可得，则.故答案为：B解析：B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z ，然后根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意可得()()()()()212111111i i i z i i i ii i ---===--=--++-，则1z i =-+. 故答案为：B 8．C【分析】求出，即可得出，求出虚部.【详解】，，其虚部是1.故选：C.解析：C【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部.【详解】()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1. 故选：C. 9．A【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得．因为，所以，所以故选：A解析：A【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --．【详解】 因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+，所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-=故选：A10．B【分析】化简，利用定义可得的虚部．【详解】则的虚部等于故选：B解析：B【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部．【详解】()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3故选：B11．A【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.解析：A【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论.()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.12．B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果.【详解】，故虚部为1.故选：B.解析：B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.13．C【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C解析：C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--==故选：C 14．B【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模．【详解】由题意，∴．解析：B【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模．【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．15．B【分析】利用复数除法运算求得，再求得.【详解】依题意，所以.故选：B解析：B【分析】利用复数除法运算求得z ，再求得z .【详解】 依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z == 故选：B二、多选题16．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题． 解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．17．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.18．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.19．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.20．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 21．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.22．BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A 错误；，B 正确；z 的共轭复数为，C 错误；z 的虚部为，D 正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】 把21iz =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】 解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确；z 的共轭复数为1i -+，C 错误；z 的虚部为1-，D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.23．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.24．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.25．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误； 对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．26．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.27．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.28．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．29．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 30．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确； 由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.。
高二数学复数练习题及答案
高二数学复数练习题及答案复数是数学中的一个重要概念，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
在高二数学中，复数也是一项重要的学习内容，通过掌握复数的性质和运算规则，可以解决各种与实数无法解决的问题。
本文将为同学们提供一些高二数学复数练习题及其答案，帮助巩固复数的知识。
练习题一：1. 计算并写出结果的精确值：(3+2i)+(1-4i)2. 求复数的共轭数：(4+3i)的共轭数是多少？3. 计算并写出结果的精确值：(2-5i)(1+3i)4. 求复数的模：计算|(4-1i)|的值。
5. 求复数的幅角：计算辐角arg(2i)的值。
练习题二：1. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^2的值是多少？2. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^4的值是多少？3. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^5的值是多少？4. 求复数的幂：计算(2+3i)^3的值。
5. 求复数的根：计算方程x^4+1=0的全部根。
练习题三：1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1的图像与坐标轴的交点。
2. 求函数f(x) = (x+1)^2 - 4的图像与坐标轴的交点。
3. 求函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像与坐标轴的交点。
4. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的最小值。
5. 求函数f(x) = -2x^2 + 4x - 3的最大值。
答案及解析：练习题一：1. (3+2i)+(1-4i) = 3+2i+1-4i = 4-2i2. (4+3i)的共轭数为4-3i3. (2-5i)(1+3i) = 2+6i-5i-15i^2 = 2+6i-5i+15 = 17+i4. |(4-1i)| = √(4^2 + (-1)^2) = √175. 辐角arg(2i)的值为π/2练习题二：1. (1+i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1+2i-1 = 2i2. (1+i)^4 = (1^2 + 2i + i^2)^2 = (1+2i-1)^2 = (2i)^2 = -43. (1+i)^5 = (1+i)(1+2i-1)^2 = (1+i)(2i)^2 = (1+i)(-4) = -4-4i4. (2+3i)^3 = (2^2+2*2*3i+(3i)^2)(2+3i) = (4-9+12i)(2+3i) = (-5+12i)(2+3i) = (-34+1i)5. 方程x^4+1=0的全部根为±i，±i^3练习题三：1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到2x^3 - 3x^2 + x + 1 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = 1，所以与y轴的交点为(0, 1)2. 函数f(x) = (x+1)^2 - 4的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到(x+1)^2 - 4 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = -3，所以与y轴的交点为(0, -3)3. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到x^2 - 3x + 2 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = 2，所以与y轴的交点为(0, 2)4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的最小值为函数的顶点坐标的y值，顶点的横坐标为 x = -b/2a = -2/(2*3) = -1/3；将x = -1/3代入函数中，得到f(-1/3) = 3*(-1/3)^2 + 2*(-1/3) - 1 = -8/9，所以最小值为-8/9。
高二数学复数练习试题doc
一、复数选择题1．212i i+=-（ ） A ．1 B ．−1 C ．i - D ．i2．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．z 的实部是1B ．z 的虚部是1C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限3．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ）A B ．1C ．2D ．3 5．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y 6．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）A．1 B ．i C i D i8．若复数1z i =-，则1z z =-（ ）A B ．2C ．D ．4 9．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i10．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．43π 11．122i i-=+（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．-i12．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5BC ．2D 13．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ）A B C D14．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，则z i =（ ） A ．1i -B ．1i --C ．1i -+D ．1i +15．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限二、多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -18．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 19．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为220．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =21．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ） A ．1z i =-+ B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =22．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω> 23．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）． A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线24．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数25．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20z B ．2z z = C ．31z = D ．1z =26．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z = 27．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --28．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于129．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ）A ．1B ．4-C ．0D ．5 30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】，故选：D解析：D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-， 故选：D2．C【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项.【详解】，，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误；，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误.故选：C.【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项.【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正； 2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.3．D【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项.【详解】由已知得，所以复数z 在复平面上所对应的点为，在第四象限，故选：D.解析：D【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项.【详解】由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--， 所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫-⎪⎝⎭，在第四象限， 故选：D. 4．A【分析】利用复数的模长公式结合可求得的值.【详解】，由已知条件可得，解得.故选：A.解析：A【分析】利用复数的模长公式结合0a >可求得a 的值.0a >，由已知条件可得12ai +==，解得a =故选：A.5．C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】 解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 6．A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A解析：A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A7．D【分析】先对化简，求出，从而可求出【详解】解：因为，所以，故选：D解析：D【分析】 先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D 8．A【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解.【详解】由，得，则，故选：A.解析：A【分析】将1z i =-代入1z z-，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】 由1z i =-，得2111z i i i i z i i---===---，则11z i z =--==-，故选：A.9．C【分析】求出，即可得出，求出虚部.【详解】，，其虚部是1.解析：C【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部.【详解】()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1. 故选：C. 10．C【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解.【详解】,,所以复数在第二象限，设幅角为，故选：C【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】 11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cossin )332Z i O OZ ππ=+=2111()2222z z i --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴= 故选：C在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.11．D【分析】利用复数的除法求解.【详解】.故选：D解析：D【分析】利用复数的除法求解.【详解】()()()()12212222i i i i i i i ---==-++-. 故选：D12．B【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以.故选：B.解析：B【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B . 13．C【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C解析：C首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--==故选：C 14．A【分析】根据复数对应的点的坐标是，得到,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是，所以,所以,故选：A解析：A【分析】根据复数z 对应的点的坐标是(1,1)，得到1z i =+,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，所以1z i =+,所以11i i i z i+==-, 故选：A 15．A【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A. 解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+，所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.二、多选题16．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z5z z ⋅=，故选：AD17．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.18．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.19．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 20．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.21．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题22．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，32111312244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，2111102222ωω++=---++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．23．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误；令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.24．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.25．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．26．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．27．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-，对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.28．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 29．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
高二数学人教新版(2019)专题复习《复数》
复数一．选择题（共8小题）1．（2022春•鼓楼区校级期中）若复数z＝，则|z﹣i|＝（）A．2B．C．4D．52．（2022•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数z对应的点在第二象限，且|z|＝|z﹣i|＝1，则z＝（）A．+i B．﹣﹣i C．﹣﹣i D．﹣+i3．（2022•福州模拟）设复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则复平面内与z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件5．（2022•福州模拟）若复数z满足z（1﹣i）＝4i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2021秋•福州期末）已知z＝3﹣4i，则|z|+zi＝（）A．1+3i B．8﹣4i C．9+3i D．20+3i7．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．i C．﹣2D．﹣2i8．（2020秋•福州月考）已知复数z＝1+i，为z的共轭复数，则＝（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•鼓楼区校级三模）设复数z＝（a∈R），当a变化时，下列结论正确的是（）A．|z|＝||恒成立B．z可能是纯虚数C．可能是实数D．|z|的最大值为（多选）10．（2022春•鼓楼区校级期中）设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则|z1z3|＝|z2z3|B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若z1＝，则＝z2D．若z12+z22＞0，则z12＞﹣z22（多选）11．（2022春•仓山区校级期中）设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2（多选）12．（2022春•花都区校级期中）设复数z满足z＝﹣1﹣2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A．B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为﹣1+2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝﹣2x上三．填空题（共4小题）13．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i＝1﹣bi，则（a+bi）2＝．14．（2021春•鼓楼区校级期中）z∈C，若，则z＝．15．（2021秋•福州期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将z 1绕着原点逆时针旋转165°得到z2，则z2＝．16．（2022春•仓山区校级期中）在复数范围内，﹣4的所有平方根为，并由此写出﹣4的一个四次方根．四．解答题（共4小题）17．（2022春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若存在实数t，使＝﹣3ati成立．（1）求2a+b的值；（2）求|z﹣2|的最小值．18．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且•（1+3i）为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）求复数z的模；（2）复数z1＝在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．19．（2022春•项城市校级月考）当实数a取何值时，在复平面内与复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i对应点满足下列条件？（1）在第三象限；（2）在虚轴上；（3）在直线x﹣y+3＝0上．20．（2021春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝3+bi（b＝R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若，求复数ω以及模|ω|．高二数学人教新版（2019）专题复习《复数》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2022春•鼓楼区校级期中）若复数z＝，则|z﹣i|＝（）A．2B．C．4D．5【考点】复数的模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论．【解答】解：复数z＝＝＝＝1﹣i，则|z﹣i|＝|1﹣2i|＝＝，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2022•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数z对应的点在第二象限，且|z|＝|z﹣i|＝1，则z＝（）A．+i B．﹣﹣i C．﹣﹣i D．﹣+i【考点】复数的模；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：设z＝x+yi（x＜0，y＞0），∵|z|＝|z﹣i|＝1，∴，解得x＝，y＝，∴z＝．故选：A．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．3．（2022•福州模拟）设复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则复平面内与z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：∵（1﹣i）z＝3+i，∴，∴复平面内与z对应的点（1，2）位于第一象限．故选：A．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．4．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件【考点】虚数单位i、复数；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】对应思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【分析】根据充分必要条件的定义以及虚数的定义判断即可．【解答】解：a，b∈R，若b≠0，则复数a+bi是虚数，是充分条件，反之，若复数a+bi为虚数，则b≠0，是必要条件，∴“b≠0”是“复数a+bi是虚数”的充分必要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件和虚数的定义，是基础题．5．（2022•福州模拟）若复数z满足z（1﹣i）＝4i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．【解答】解：∵z（1﹣i）＝4i，∴，∴z在复平面内对应的点（﹣2，2）位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6．（2021秋•福州期末）已知z＝3﹣4i，则|z|+zi＝（）A．1+3i B．8﹣4i C．9+3i D．20+3i【考点】复数的模．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据题意，求出|z|和zi的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，z＝3﹣4i，则|z|＝＝5，zi＝（3﹣4i）i＝4+3i，则|z|+zi＝9+3i，故选：C．【点评】本题考查复数的计算，注意复数的模，属于基础题．7．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．i C．﹣2D．﹣2i【考点】复数的运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】推导出z＝1﹣2i，由此能求出复数z的虚部．【解答】解：∵复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝＝1﹣2i，∴复数z的虚部为﹣2．故选：C．【点评】本题考查复数的虚部求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2020秋•福州月考）已知复数z＝1+i，为z的共轭复数，则＝（）A．B．C．D．【考点】复数的运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据z，求出z的共轭复数，代入化简计算即可．【解答】解：∵z＝1+i，∴＝1﹣i，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•鼓楼区校级三模）设复数z＝（a∈R），当a变化时，下列结论正确的是（）A．|z|＝||恒成立B．z可能是纯虚数C．可能是实数D．|z|的最大值为【考点】复数的模；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】首先根据得到z＝，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可．【解答】解：z＝＝＝﹣，对于A，＝，|z|＝||＝，故A正确；对于B，z＝﹣，当a＝0时，z＝﹣是纯虚数，故B正确；对于C，z+＝＝（）+（2﹣）i，令2﹣＝0，即a2+3＝0无解，故C错误；对于D，|z|2＝+＝，当且仅当a＝0时，取等号，∴|z|的最大值为，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（2022春•鼓楼区校级期中）设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则|z1z3|＝|z2z3|B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若z1＝，则＝z2D．若z12+z22＞0，则z12＞﹣z22【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：对于A，由复数模的性质可得，|z1z3|＝|z1||z3|，|z2z3|＝|z2||z3|，∵|z1|＝|z2|，∴|z1z3|＝|z2z3|，故A正确，对于B，∵z1z2＝z1z3，∴z1（z2﹣z3）＝0，∵z1≠0，∴z2＝z3，故B正确，对于C，∵z 1＝，∴，故C正确，对于D，令，，满足z12+z22＞0，但z12＞﹣z22不成立，故D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查复数模的性质，共轭复数的定义，属于基础题．（多选）11．（2022春•仓山区校级期中）设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数的乘积运算法则，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但，故A错误，对于B，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z1≠±z2，故B错误，对于C，∵z1，z2是复数，z1z2＝0，∴由复数的乘积运算法则可知，z1＝0或z2＝0，故C正确，对于D，∵|z1﹣z2|＝0，∴z1﹣z2＝0，即z1＝z2，故D正确．故选：CD．【点评】本题主要考查复数的乘积运算法则，以及特殊值法，属于基础题．（多选）12．（2022春•花都区校级期中）设复数z满足z＝﹣1﹣2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A．B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为﹣1+2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝﹣2x上【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学抽象；数学运算．【分析】根据复数的模、复数的几何意义、共轭复数等知识，逐一判断各选项即可．【解答】解：由z＝﹣1﹣2i，得，故A正确：复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限，故B不正确：z的共轭复数为﹣1+2i，故C正确：复数z在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）不在直线y＝﹣2x上，故D不正确．故选：AC．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，复数的模和共轭复数，属基础题．三．填空题（共4小题）13．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i＝1﹣bi，则（a+bi）2＝﹣2i．【考点】复数的运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】利用复数相等的条件求得a与b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简求解（a+bi）2．【解答】解：由a+i＝1﹣bi，得a＝1，b＝﹣1，∴（a+bi）2＝（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．故答案为：﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．14．（2021春•鼓楼区校级期中）z∈C，若，则z＝．【考点】复数的运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入，整理后利用复数相等的条件求解a与b的值，则z可求．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由，得，即，∴，解得，∴z＝，故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，考查复数相等的条件，是基础题．15．（2021秋•福州期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将z 1绕着原点逆时针旋转165°得到z2，则z2＝﹣﹣i．【考点】复数的运算．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．【解答】解：在复平面内对应的点为（1，），将其逆时针旋转165°后落在第三象限，且与x轴负半轴的夹角为45°，所以对应的点为（﹣，﹣），所以z2＝﹣﹣i．故答案为：﹣﹣i．【点评】本题考查复数的几何意义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16．（2022春•仓山区校级期中）在复数范围内，﹣4的所有平方根为±2i，并由此写出﹣4的一个四次方根1+i．【考点】虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】由题意利用虚数单位i的运算性质，复数的开方运算，得出结论．【解答】解：在复数范围内，∵（±2i）2＝﹣4，故﹣4的所有平方根为±2i．∵﹣4＝4（cosπ+i sinπ），故它的四次方根为（cos+i sin），故它的一个四次方根（+i）＝1+i，故答案为：±2i；1+i．【点评】本题主要考查复数的开方运算，虚数单位i的运算性质，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2022春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若存在实数t，使＝﹣3ati成立．（1）求2a+b的值；（2）求|z﹣2|的最小值．【考点】复数的运算；复数的模．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）由复数的运算化简，再由复数相等得到2a+b的值；（2）由模长公式结合二次函数的性质得出最值．【解答】解：（1）＝＝＝2+4i，＝，∴，∴，∴2a﹣6＝﹣b，解得2a+b＝6．（2）|z﹣2|＝|（a﹣2）+（6﹣2a）i|＝＝＝≥，∴|z﹣2|的最小值为．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且•（1+3i）为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）求复数z的模；（2）复数z1＝在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】（1）结合复数的四则运算进行化解，然后结合纯虚数概念可求m，进而可求；（2）先结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的几何意义可求．【解答】解：（1）•（1+3i）＝（m+i）（1+3i）＝m﹣3+（3m+1）i为纯虚数，则m＝3，z＝3﹣i，所以|z|＝；（2）z1＝＝＝＝在复平面对应的点在第一象限，所以3a+1＞0且a﹣3＞0，所以a＞3，故a的取值范围为（3，+∞）．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义的应用，属于基础题．19．（2022春•项城市校级月考）当实数a取何值时，在复平面内与复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i对应点满足下列条件？（1）在第三象限；（2）在虚轴上；（3）在直线x﹣y+3＝0上．【考点】虚数单位i、复数．【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．【分析】复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i，对应点的坐标为Z（m2﹣4m，m2﹣m﹣6）．（1）点Z在第三象限，则，解得即可．（2）点Z在虚轴上，则，或m2﹣4m＝m2﹣m﹣6＝0，解得m即可．（3）点Z在直线x﹣y+3＝0上，则（m2﹣4m）﹣（m2﹣m﹣6）+3＝0，解出即可．【解答】解：复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i，对应点的坐标为Z（m2﹣4m，m2﹣m﹣6）．（1）点Z在第三象限，则，解得，∴0＜m＜3．（2）点Z在虚轴上，则；或m2﹣4m＝m2﹣m﹣6＝0解得m＝0，或m＝4；无解；因此m＝0，或m＝4．（3）点Z在直线x﹣y+3＝0上，则（m2﹣4m）﹣（m2﹣m﹣6）+3＝0，即﹣3m+9＝0，∴m＝3．【点评】本题考查了复数的有关概念、复数相等、几何意义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（2021春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝3+bi（b＝R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若，求复数ω以及模|ω|．【考点】复数的模．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】（1）根据复数分类可解决此问题；（2）根据复数除法运算法则先求得复数ω，然后可求得|ω|．【解答】解：（1）∵z＝3+bi（b＝R），∴（1+3i）•z＝3﹣3b+（9+b）i，又∵（1+3i）•z为纯虚数，∴9+b≠0且3﹣3b＝0，解得b＝1，∴z＝3+i；（2）＝＝﹣i，∴|ω|＝＝．【点评】本题考查复数分类、复数运算，考查数学运算能力，属于基础题．考点卡片1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．虚数单位i、复数【虚数单位i的概念】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．【复数的运算】①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．【例题解析】例：定义运算，则符合条件的复数z为．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．3．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的知识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．4．复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则5．复数的模【知识点的知识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．。
高二数学复数综合运算试题答案及解析
高二数学复数综合运算试题答案及解析1.设复数满足（为虚数单位），则的共轭复数．【答案】【解析】因为，则的共轭复数。
【考点】复数的除法运算与共轭复数的概念。
2.若是虚数单位，复数满足,则的虚部为_________．【答案】.【解析】，，则的虚部为.【考点】复数的除法.3.已知，其中为虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对整理得，所以a=-1,b=1,则b-a=2.故选D.【考点】复数的运算.4.设则复数为实数的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由复数的运算律可知，当时复数为实数，当复数为实数时，，因此复数为实数的充要条件是，答案选D.【考点】复数的运算5.已知复数z=1﹣i（i是虚数单位）（Ⅰ）计算z2；（Ⅱ）若z2+a，求实数a，b的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】解题思路：（Ⅰ）利用两数差的完全平方公式求解即可；（Ⅱ）先代入化简等式的左边，再利用复数相等的定义列出关于的方程组即可.规律总结：复数的考查，以复数的代数形式运算（加、减、乘、除）为主，灵活正确利用有关公式和复数相等的定义进行求解.试题解析：（Ⅰ）;（Ⅱ）由得，即，所以，解得，.【考点】1.复数的运算；2.复数相等的定义.6.若x+yi=1+2xi（x，y∈R），则x﹣y等于（）A．0B．﹣1C．1D．2【答案】B【解析】∵x+yi=1+2xi（x，y∈R），∴，解得x=1，y=2，则x-y=-1．故选：B．【考点】复数相等．7.已知i为虚数单位，a∈R，若(a-1)(a+1+i)=a2-1+（a-1）i是纯虚数，则a的值为（）A．-1或1B．1C．3D．-1【答案】D【解析】由于为纯虚数,则且,因此,答案选D.【考点】复数的概念与分类8.计算：12|3＋4i|－10（i2010+i2011+i2012＋i2013）＝______ . （其中i为虚数单位）【答案】60【解析】∵，∴=-1-i+1+i=0，且|3+4i|=5，∴12×|3+4i|-10×（i2010+i2011+i2012+i2013）=60，故答案：60．【考点】虚数单位i及其性质．9.已知复数z＝，则|z|＝________．【答案】【解析】∵z＝===，所以|z|==.考点:复数的运算，复数的模10.设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于复数是纯虚数，所以，故选D．【考点】复数的概念及运算．11.若，则z的共轭复数的虚部为（）.A．i B．-i C．1D．-1【答案】C【解析】，，则z的共轭复数的虚部为1.【考点】复数的除法、共轭复数.12.已知复数，.（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）当=1时，若，请问复数在复平面内对应的点在第几象限？【答案】（1）；（2）第四象限【解析】（1）弄清楚纯虚数的概念，纯虚数是实部为0，虚部不为0的复数。
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一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 2．复数11z i =-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1122i + D ．1122i - 3．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-4．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 5．212i i+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i 6．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 8．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．9．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i --C ．3i +D ．3i -+ 10．已知复数z 满足22z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ）A ．恒在实轴上B ．恒在虚轴上C ．恒在直线y x =上D ．恒在直线y x =-上 11．若复数()41i 34i z +=+，则z =（ ）A ．45B ．35C ．25D ．512．复数2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ．3513．31-（ ）A ．i -B ．iC ．iD ．i -14．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ）A ．-1B ．1C ．i -D ．i 15．题目文件丢失！二、多选题16．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1- 17．下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z = 18．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 19．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数 B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 20．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 21．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12-22．复数z 满足233232i z i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =23．下列结论正确的是（ ）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥24．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为225．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20z B ．2z z = C ．31z = D ．1z =26．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =27．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于128．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=29．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】.故选：C解析：C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-. 故选：C2．D【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以其共轭复数为.故选：D.解析：D先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】 因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.3．D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】，它为纯虚数，则，解得．故选：D ．解析：D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-． 故选：D ．4．C【分析】根据复数的几何意义得．【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴，∴．故选：C ．解析：C【分析】根据复数的几何意义得,a b ．【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．5．D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】，故选：D解析：D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-， 故选：D6．B【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限.故选：B.解析：B【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限.【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.7．D【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵，，∴，，∴，，∴，解析：D【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--，)()51711+=--+=-，∴))55121-+=--， 故选：D.8．B【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项.【详解】由题，得，所以.故选：B.解析：B【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项.【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i 5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B. 9．A【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为，所以，复数的共扼复数是，故选：A解析：A根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133i z i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-，故选：A10．A【分析】先由题意得到，然后分别计算和，再根据得到关于，的方程组并求解，从而可得结果．【详解】由复数在复平面内对应的点为得，则，，根据得，得，.所以复数在复平面内对应的点恒在实轴上，故解析：A【分析】先由题意得到z x yi =+，然后分别计算2z 和2z ，再根据22z z =得到关于x ，y 的方程组并求解，从而可得结果．【详解】由复数z 在复平面内对应的点为(),x y 得z x yi =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+， 根据22z z =得222220x y x y xy ⎧-=+⎨=⎩，得0y =，x ∈R . 所以复数z 在复平面内对应的点(),x y 恒在实轴上，故选：A ．11．A【分析】首先化简复数，再计算求模.【详解】，.解析：A【分析】首先化简复数z ，再计算求模.【详解】()()()2242112434343434i i i z i i i i ⎡⎤++⎣⎦====-++++ ()()()()43443412163434252525i i i i i --=-=-=-++-，45z ∴==. 故选：A12．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为.故选：C【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .13．B【分析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】复数.故选：B解析：B首先3i i=-，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】133i ii+====.故选：B14．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．【详解】由，得，，则的虚部是1．故选：．解析：B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z，则答案可求．【详解】由(12)43i z i+=+，得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i iz ii i i++--====-++-，∴2z i=+，则z的虚部是1．故选：B．15．无二、多选题16．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A正确；，故B正确；的共轭复数为，故C正确；的虚部为，故D正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.17．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB 【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.18．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.19．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误； 复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.20．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.21．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.22．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.23．ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 24．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围25．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．26．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．27．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 28．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
高二选修复数单元测试卷及其答案
复数单元测试题一、选择题。
（每小题5分，共60分） 把本题正确答案填入下列框中。
1．若i为虚数单位，则=+i i )1(（ ）A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --12．0=a 是复数(,)a bia b R +∈为纯虚数的（ ）A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件3．在复平面内，复数ii +-12对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．下列命题中，假命题是( )（A ）两个复数不可以比较大小 （ B ）两个实数可以比较大小 （ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小5．设R ,,,∈d c b a ，则复数))((di c bi a ++为实数的充要条件是（ ）A ．0ad bc -=B ．0ac bd -=C ．0ac bd +=D ．0ad bc +=6．如果复数ibi 212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ）A ．32-B ．32C ．2D ．27．若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ）A ．22± B ．22- C ．i 22± D ．i 22-8．已知z+5-6i=3+4i ，则复数z 为（ ） A.-4+20iB.-2+10iC. -8+20iD. -2+20iA ．0B ．1C ．iD ．i - 10．复数8)11(i+的值是（ ）A ． i 16B ．i 4C ．16D ． 411．对于两个复数i 2321+-=α，i 2321--=β，有下列四个结论：①1=αβ；②1=βα；③1=βα；④133=β+α，其中正确的结论的个数为（ ）A ． 1B ．2C ． 3D ．412．若C z ∈且1||=z ，则|22|i z --的最小值是 （ ）A ．22B ．122+C ．122-D ．2二、填空题。
（每小题5分，共20分） 13．已知ni im-=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=-ni m 14．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = 15．若2z =且1-=+z i z ，则复数z =16．对于非零实数b a ,，以下四个命题都成立：①012>+a ；②2222)(b ab a b a ++=+；③若ba =，则b a ±=；④若ab a =2，则b a =。