选修2-3课件“杨辉三角”与二项式系数的性质
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《“杨辉三角”与二项式系数的性质》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第1.3.2课时)
人教版高中数学选修2-3
第1章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人： 时间：2020.6.1
课前导入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnranrbr Cnnbn
(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn 即
0=(Cn0+Cn2 +…)-(Cn1+Cn3+…), 所以
Cn0+Cn2 +…= Cn1+Cn3+…, 即得证.
课堂训练
1. 如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__3_4___行中从左到右第14与第15个数的比
为2:3 .
(2)在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 __C_15_0 __；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_C__171_ .
课堂训练
2.选择
（1）( 2 3 3)100 的展开式中，无理项的个数是（ ）
√ A .83 B.84 C.85
D.86
（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ ）
新知探究
由以上分析可以画出如下图:
新知探究
观察 结合杨辉三角和上图来研究二项式系数的一些性质.
新知探究
知识要点 1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式 Cnm=Cnn-m 得到.
新知探究 直线r n 将函数f(r)的图像分成对称的两部分，它是图像的对称轴
第1章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人： 时间：2020.6.1
课前导入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnranrbr Cnnbn
(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn 即
0=(Cn0+Cn2 +…)-(Cn1+Cn3+…), 所以
Cn0+Cn2 +…= Cn1+Cn3+…, 即得证.
课堂训练
1. 如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__3_4___行中从左到右第14与第15个数的比
为2:3 .
(2)在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 __C_15_0 __；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_C__171_ .
课堂训练
2.选择
（1）( 2 3 3)100 的展开式中，无理项的个数是（ ）
√ A .83 B.84 C.85
D.86
（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ ）
新知探究
由以上分析可以画出如下图:
新知探究
观察 结合杨辉三角和上图来研究二项式系数的一些性质.
新知探究
知识要点 1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式 Cnm=Cnn-m 得到.
新知探究 直线r n 将函数f(r)的图像分成对称的两部分，它是图像的对称轴
高中数学选修2-3课件1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件
2.在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数 相同的项是 A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2.在(a＋b)n展开式中，与第k项二项式系数 相同的项是
A. 第n-k项
B. 第n-k-1项
C. 第n-k+1项 C. 第n-k+2项
观察杨辉三角
(a b)1
1.增减性？
(a b)2
C
1 n
x1
C
2 n
x
2
Cnk x k
C
n n
x
n
问题1：此展开式二项式系数之和
_______________________________.
问题2：此展开式系数之和 赋值法求 _____________________________系__数. 和
（a+x)n的二项式展开各项的系数和求 法：只要令自变量为1即可。
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C1n
C2n
C3n
C
n n
2n
1
这是组合总数公式．
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（2）
左增右减
(a b)3 (a b)4
2.在何处取得最大值？(a b)5
11 12 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1
性质2：
当n是偶数时，展开式有n+1项（ n+1是奇数），中间项
2.在(a＋b)n展开式中，与第k项二项式系数 相同的项是
A. 第n-k项
B. 第n-k-1项
C. 第n-k+1项 C. 第n-k+2项
观察杨辉三角
(a b)1
1.增减性？
(a b)2
C
1 n
x1
C
2 n
x
2
Cnk x k
C
n n
x
n
问题1：此展开式二项式系数之和
_______________________________.
问题2：此展开式系数之和 赋值法求 _____________________________系__数. 和
（a+x)n的二项式展开各项的系数和求 法：只要令自变量为1即可。
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C1n
C2n
C3n
C
n n
2n
1
这是组合总数公式．
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（2）
左增右减
(a b)3 (a b)4
2.在何处取得最大值？(a b)5
11 12 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1
性质2：
当n是偶数时，展开式有n+1项（ n+1是奇数），中间项
「精品」人教A版高中数学选修2-3课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质-精品课件
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 与杨辉三角有关的问题
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 下列是杨辉三角的一部分.
(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗? (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律?
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)杨辉三角的两条腰都是由数字 1 组成的,其余的数都等于它肩上 的两个数之和.
∴第四项 T4=C63·(2 3 ������)3·(-1)3=-160x.
答案:-160x
12345
5.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.
等式组 AAkk++11≥≥AAkk+,2确定 k 的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:T6=������n5·(2x)5,T7=������n6·(2x)6,依题意有������n5·25=������n6·26⇒ n=8.
∴(1+2x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=������84·(2x)4=1 120x4. 设第 k+1 项系数最大,则有 ������8k ·2������ ≥ ������8k-1·2������-1, ������8k ·2������ ≥ ������8k+1·2������+1, 解得 5≤k≤6.∴k=5 或 k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).
“杨辉三角”与二项式系数的性质课件
[规律方法] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通 过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相 互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使 问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔 行看，从多角度观察．
题型二 二项展开式的系数和问题
【例2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值． (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|． [思路探索] 本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，赋值法在求二项式系数中的应用以及分析 问题、解决问题的能力．可用赋值法解决各项系数和或部分项系数和，一般令x＝0或x＝±1解决问 题．
题型三 求二项展开式中的最大项问题
【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的 二项式系数和大 992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
审题指导 (1)
(2)
由1知
―→
通项公式
―→
Tr＋1≥首项是 C22，第 2 项是 C21，第 3 项是 C32，第 4 项是 C31，…，第 17 项是 C120，第 18 项是 C110，第 19 项是 C121． ∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C41＋C42)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C32＋…＋C121)＝2＋120×9 ＋C132＝274．
最大项
[规范解答] (1)令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋
3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n．由题意知，
“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件
8－1 k≥k＋2 1， ∴2k≥9－1 k
⇒5≤k≤6.
又∵k∈N*，∴k＝5 或 k＝6.
故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项．
(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项．
20
∴T5＝C48·24·x4－ 2 ＝1120x－6.
(3)由(1)知，展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最
二项式系数的性质
在
x
2 x2
8
的展开式中：
(1)系数绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项；
(3)求系数最大的项；
(4)求系数最小的项． 解析：Tk＋1＝Ck8·( x)8－k－x22k
5k
＝(－1)k·Ck8·2k·x4－ 2 .
(1)设第 k＋1 项系数的绝对值最大， 则CCk8k8··22kk≥≥CCk8k8－＋11··22kk－＋11.，
杨辉三角的变形及引申问题
如图，在“杨辉三角”中，斜线AB
的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿
形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn， 求S19的值．
解 析 ： S19 ＝ (1 ＋ 2) ＋ (3 ＋ 3) ＋ (4 ＋ 6) ＋ … ＋ (10 ＋ 45) ＋
55＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝
大，而第 6 项的系数为负，第 7 项的系数为正．
故系数最大的项为 T7＝C68·26·x－11＝1792x－11.
17
17
(4)系数最小的项为 T6＝－C58·25x－ 2 ＝－1792x－ 2 .
(2)a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝__f_(－__1_)__. (3)a0＋a2＋a4＋a6＋…＝_f_1_＋_2f_－__1_. (4)a1＋a3＋a5＋a7＋…＝_f_1__－_2f_－__1_ _. (5)a0＝__f_(_0_)___.
高二数学《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件
故选 A.
答案：A
课时作业与单元测试
第一章 计数原理
知识点三 杨辉三角
5．(2020·阳春市第一中学高二月考)我国南宋数学家杨辉在
所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项
展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右
依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，
第一章 计数原理
1．在杨辉三角中，在同一行的每行两端都是 1 ，与这两 个 1 等距离的项的系数 相等 ；相邻的两行中，除 1 以外的 每一个数都等于它“肩上”两个数的 和 ，此性质反映组合数的 性质 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn ．
2．二项式的性质 (1)对称性，与首末两端“ 等距离 ”的两个 二项式系数 相等 ，它反映了组合数性质 Cnm＝Cnn－m ．
课时作业与单元测试 数学 选修2-3 RJ·A
第一章 计数原理
课时作业与单元测试
第一章 计数原理
1.3 二项式定理 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数
的性质
课时作业与单元测试
第一章 计数原理
基础知识梳理
知题识点 知点 识判巩断固
提能达标过关
课时作业与单元测试
第一章 计数原理
基础知识梳理
课时作业与单元测试
＋
21
＋
22
＋
…
＋
210)
＋
C
0 11
＝
1－211 1－2
＋
1
＝
211
＝
2
048.
答案：2 048
谢谢观看！
1
024，则该展开式中常数项是( )
A．－270
B．270
【课件】人教版高中数学选修2-3：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质-课件(共91张PPT)
2n C0n C1n C2n L Cnn.
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和.已知
1 23L
C1 n1
____C_2n_____ ，
1 3 6 L
C2 n1
____C_3n_____ ，
1 4 10 L
C3 n1
___C_4n______ ，
一般地，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
__________(n
r).
根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：
1 23L
C1 n1
C10
C11
C02 C12 C22
规律是什么？ 为什么？
(a+b)3 …………………
C30
C13 C32
C33
(a+b)4 ………………… C04 C14 C24 C34 C44
(a+b)5 …………
C50 C15
C52 C35 C54
C55
(a+b)6 …………
C06
C16
C62 C36
C64
C56
大家可以结合资料，探究一下开方 算法的具体操作及其中蕴含的算法思想， 感受我国古代数学的独特风格.
对于a bn展开式的二项式系数
C0n，C1n，Cn2，L ，Cnn，
我们还可以从函数角度来分析它们.
Crn可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，
其定义域是{0，1，2，…，n }.对于确
定的 n ，我们还可以画出它的图象.
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r2
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r3
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和.已知
1 23L
C1 n1
____C_2n_____ ，
1 3 6 L
C2 n1
____C_3n_____ ，
1 4 10 L
C3 n1
___C_4n______ ，
一般地，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
__________(n
r).
根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：
1 23L
C1 n1
C10
C11
C02 C12 C22
规律是什么？ 为什么？
(a+b)3 …………………
C30
C13 C32
C33
(a+b)4 ………………… C04 C14 C24 C34 C44
(a+b)5 …………
C50 C15
C52 C35 C54
C55
(a+b)6 …………
C06
C16
C62 C36
C64
C56
大家可以结合资料，探究一下开方 算法的具体操作及其中蕴含的算法思想， 感受我国古代数学的独特风格.
对于a bn展开式的二项式系数
C0n，C1n，Cn2，L ，Cnn，
我们还可以从函数角度来分析它们.
Crn可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，
其定义域是{0，1，2，…，n }.对于确
定的 n ，我们还可以画出它的图象.
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r2
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r3
“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件
(2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐渐 增大 的．由对称性知它的后半
部分是逐渐 减小 的，且在中间取得最大值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数
π C2n 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数
Cn－2 1n，Cn＋2 1n
相
等，且同时取得最大值．
3．二项式系数的和
[解析] 由题意及杨辉三角的特点可得： S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) ＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C29＋C19) ＝(C22＋C23＋C24＋…＋C29)＋(2＋3＋…＋9) ＝C310＋8×22＋9 ＝164.
求解二项展开式的系数和问题的方法： “赋值法”是解决二项展开式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母所 取的不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项， 令 x＝1 可得所有项系数之和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
探究三 二项展开式系数最值问题 [典例 3] (1＋2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最 大的项和系数最大的项． [解析] T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有 C5n25＝C6n26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5＝C48·(2x)4＝1 120x4. 设第 r＋1 项系数最大，则有CC8r8r··22rr≥≥CC88rr＋－11··22rr＋－11， ⇒5≤r≤6. ∵r∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5 或 r＝6. ∴系数最大的项为 T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
求解二项展开式系数最值问题： (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式 系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的 正、负变化情况求解，一般采用解不等式组的方法求得．
【数学课件】选修2-3第一章1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质人教A版
例1 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
（4） a7 a6 a1 a0 .
思考
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C0n
,
C1n
,
C
2 n
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5
赋值法
课堂练习
题型二 求展开式的各项系数和
例2 设 (3x 1)7 a7 x7 a6 x6 a1x a0 ，求 （1） a7 a6 a1 ； （2） a7 a5 a3 a1 ； （3） a6 a4 a2 a0 ；
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
（4） a7 a6 a1 a0 .
思考
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C0n
,
C1n
,
C
2 n
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5
赋值法
课堂练习
题型二 求展开式的各项系数和
例2 设 (3x 1)7 a7 x7 a6 x6 a1x a0 ，求 （1） a7 a6 a1 ； （2） a7 a5 a3 a1 ； （3） a6 a4 a2 a0 ；
“杨辉三角”与二项式系数的性质课件
灵活!
练习 2. 已知an是等比数列,公比为q
求
a1C
0 n
a2Cn1
a3C
2 n
an
1C
n n
的值.
a1 (1 q)n
3.设an为等差数列, Sn 为其前 n 项的和( n N * )
求证:
a1Cn0
a2Cn1
a3C
2 n
an1C
n n
Sn1 2n n1
倒序相加法
运用二项式定理可解决许多问题，下面我们来做几个思考：
21
所以
1
2n1
3
1
2 (1
)n
3
n
思考3.求 9192 除以100的余数.
注:整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特 点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，这是解此 类问题的最常用技巧.(余数要为正整数)
思考4.求证：3n ＞2n1 (n 2) (n∈N，且n≥2)
思考 5.求证:当 n N*且n 1 时, 2 (1 1 )n 3 . n
证明
(1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
n
1 1 Cn2
1 n2
2
通项C
k h
1 nk
n(n 1) (n k k!
1) 1 nk
≤
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1 )n n
1
Cn1
1 n
Cn2
1 n2
Cnn
1 nn
≤2
1 2!
1 3!
1 n!
2
1 2
1 22
1 2n1
2
n(n 2
练习 2. 已知an是等比数列,公比为q
求
a1C
0 n
a2Cn1
a3C
2 n
an
1C
n n
的值.
a1 (1 q)n
3.设an为等差数列, Sn 为其前 n 项的和( n N * )
求证:
a1Cn0
a2Cn1
a3C
2 n
an1C
n n
Sn1 2n n1
倒序相加法
运用二项式定理可解决许多问题，下面我们来做几个思考：
21
所以
1
2n1
3
1
2 (1
)n
3
n
思考3.求 9192 除以100的余数.
注:整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特 点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，这是解此 类问题的最常用技巧.(余数要为正整数)
思考4.求证：3n ＞2n1 (n 2) (n∈N，且n≥2)
思考 5.求证:当 n N*且n 1 时, 2 (1 1 )n 3 . n
证明
(1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
n
1 1 Cn2
1 n2
2
通项C
k h
1 nk
n(n 1) (n k k!
1) 1 nk
≤
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1 )n n
1
Cn1
1 n
Cn2
1 n2
Cnn
1 nn
≤2
1 2!
1 3!
1 n!
2
1 2
1 22
1 2n1
2
n(n 2
选修2-3.1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质
2019/4/10
v:pzyandong
19
知识点
二项式系数的性质
[问题] (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成
如下形式：
2019/4/10
v:pzyandong
20
问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系
数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩 上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
2019/4/10 v:pzyandong 5
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九 章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还 说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉 指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11
13
知识对接测查2 1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是 二项式系数最大的项是第 3 项. 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 ， ；
C
6 11
.
2. 在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。
C 462
5 11
6 最大的系数呢？ C11
462
2019/4/10
2019/4/10
n1
倒序相加法
v:pzyandong
18
0 1 n ( a b ) C , C , C 一般地， 展开式的二项式系数 n n n 有如下性质：
n
（ 1） C C
人教A版选修2-3----“杨辉三角”与二项式系数的性质---课件(47张)
【解】 令 x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n，
又展开式中二项式系数和为 2n，
∴22n－2n＝992，n＝5.
(1)∵n＝5，展开式共 6 项，二项式系数最大的项为第三、四两
项，
2
∴T3＝C25(x 3 )3(3x2)2＝90x6，
2
22
T4＝C35(x 3 )2(3x2)3＝270x 3 .
解：(1)由(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11， 令 x＝1，得 26×(－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋…a11， 即 a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－26①， 又令 x＝0，得 a0＝1. 所以 a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－26－1＝－65.
(2)令 x＝－1，得
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 杨辉三角的特点
[填一填] (1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项 相等．
(2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上”
两个数的 和
，即 Crn＋1＝ Crn－1＋Cnr .
[答一答] 1．二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？
故 S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C41＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C31＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C32＋…＋C211)＝2＋120×9＋C312 ＝274.
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
如下图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，在哪一行中 从左至右第 14 个数与第 15 个数的比为 2 3?
提示：设第 r＋1 项的二项式系数最大． 则CCrrnn≥≥CCnnrr＋－11， ， 即rr！ ！nnnn！ － ！ －rr！ ！≥ ≥rr－ ＋11！ ！nnnn！ ！－ －rr＋ －11！ ！ ⇔nr＋－1r＋ ≥1n≥ －rr ⇔n－2 1≤r≤n＋2 1.
“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件
n 1
Cn2 、
n1
Cn2 ，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大
值.
(3)各二项式系数和：C0n C1n C2n 源于Cnn(a+2nb)n= C0nan C1nan－1b中，令Cnnab=n 1,b=1，即可得到.
类型一 与杨辉三角有关的问题 【典型例题】 1.(南充高二检测)如图所示，满足如下条件： (1)第n行首尾两数均为n. (2)表中的递推关系类似杨辉三角. 则第10行的第2个数是______． 第n行的第2个数是______.
(3)令x=-1,
得32013=a0-a1+a2-a3+…+a2012-a2013①. 令x=1,
得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2012+a2013②.
由②-①得,-1-32013=2(a1+a3+…+a2013),
所以
a1
a3
a5
a 2013
1 2
(1
32013 ).
【互动探究】若题3的条件不变，求|a0|+|a1|+|a2|+…+ |a2 013|的值. 【解题指南】由二项式(1－2x)2 013可知，展开式中a0，a2， a4，a6，…,a2 012大于零，而a1，a3，a5，a7，…,a2 013小于 零，将|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 013|去掉绝对值并利用赋值法 求解.
数和为99-n，令x=1，可知99-n=3n,所以18-2n=n,n=6,那么可
知 (x 展x2 )6开式中第r+1项的系数为
C6r x
高中数学人教A版选修2-3课件1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质
10-
∴Tr+1=C10
2
2
2x
10-5
r
=C10
2 2
r -2r
(0≤r≤10,且 r∈N),
10-5
要求该展开式中的有理项,只需令
2
∴r=0,2,4,6,8,10.∴有理项的个数为 6.
∈Z.
探究一
探究二
探究三
规范解答
(2)设第 Tr+1 项的系数最大,
-1
C10
2 ≥ C10 2-1 ,
+1
2
.
时,二项式系数是逐渐增大的,由对称
性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是偶数
-1
2
+1
2
时,中间的一项取得最大值;当 n 是奇数时,中间的两项C 和C
相等,且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和.
C0 + C1 + C2 +…+C =2n.
思路分析:由数列的项在杨辉三角中的位置,将项还原为二项式
系数,结合组合数的性质求和.
探究一
探究二
探究三
规范解答
当堂检测
解:由杨辉三角可知,数列中的首项是C22 ,第 2 项是C12 ,第 3 项是C32 ,
2
1
2
第 4 项是C13 ,…,第 17 项是C10
,第 18 项是C10
,第 19 项是C11
.
1
2
2
故 S19=(C12 + C22 )+(C13 + C32 )+(C14 + C42 )+…+(C10
∴Tr+1=C10
2
2
2x
10-5
r
=C10
2 2
r -2r
(0≤r≤10,且 r∈N),
10-5
要求该展开式中的有理项,只需令
2
∴r=0,2,4,6,8,10.∴有理项的个数为 6.
∈Z.
探究一
探究二
探究三
规范解答
(2)设第 Tr+1 项的系数最大,
-1
C10
2 ≥ C10 2-1 ,
+1
2
.
时,二项式系数是逐渐增大的,由对称
性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是偶数
-1
2
+1
2
时,中间的一项取得最大值;当 n 是奇数时,中间的两项C 和C
相等,且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和.
C0 + C1 + C2 +…+C =2n.
思路分析:由数列的项在杨辉三角中的位置,将项还原为二项式
系数,结合组合数的性质求和.
探究一
探究二
探究三
规范解答
当堂检测
解:由杨辉三角可知,数列中的首项是C22 ,第 2 项是C12 ,第 3 项是C32 ,
2
1
2
第 4 项是C13 ,…,第 17 项是C10
,第 18 项是C10
,第 19 项是C11
.
1
2
2
故 S19=(C12 + C22 )+(C13 + C32 )+(C14 + C42 )+…+(C10
原创1：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
例1 已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a6 x6 a7 x7
求 （1）a0
（2） a1 a2 a6 a7
赋值法
解：设 f (x) (1 2x)（7 1）令x=0,即 f (0) (1 2 0)7 1 展开式右边即为 a0 所以 a0 f (0) 1 （2）令x=1, f (1) (1 2 1)7 1 a0 a1 a2 a6 a7
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn
当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大
当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大
最大项与增减性
增减性的实质是Cnk 与 Cnk1 比较的大小.
C
k n
n! k ! (n
课堂小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合 数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意 “系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只 有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不 一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法， 它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.
4.在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnr x r
Cnn x n
思考探究
1.展开式的二项式系数 Cn0,Cn1,Cn2 Cnr , Cnn 有什么变化 规律？ 2.二项式系数最大的是哪一项？
新课引入
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件(新人教A版选修2-3)
1 7 21 35 35 21 7 1 这样,就可以将二项式系数表延伸下去, 从而可根据这个表来求二项式系数.
例3 试证 : 在a bn的展开式中,奇数项的二项式
系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 分析 奇数项二项式系数的和为
Cn0 Cn2 Cn4 , 偶数项二项式系数的和为C1n Cn3 Cn5 ,
由于 a b n Cn0an C1nan1b Cn2an2b2 Cnnbn
中的a,b可以取任意实数,因此我们可以通过对a,b 适当赋值来得到上述两个系数和. 实际上,a,b 既可以取任意实数,也可以取任意多 项式,还可以是别的.我们可以根据具体问题的需 要灵活选取a,b的值.
证明 在展开式 a b n Cn0an C1nan1b Cn2an2b2 Cnnbn中,令a 1,b 1,则得 1 1n Cn0 C1n Cn2
1.3 二项式定理
1.3.2 "杨辉三角"与二项式系数的性质
探究 用计算器计算a bn 展开式的二项
式系数并填入下表.
n
a bn 展开式的二项式系
1
2
3
4
5
6
通过计算填表,你发现了什么规律?
从上表可以发现 ,每一行中的系数具有对称性.
除此之外还有什么规律呢 ?为了方便,可将上表
写成如下形式:
Cnnm得 到.
直 线 x n 将 函 数fr的 图 象分 成 对 称 的两 部分,
2 它 是 图 象 的 对 称 轴.
2增减性与最大值 因为
Ckn
பைடு நூலகம்
nn 1n 2 n k k 1!k
1
Ckn1
n k
k
1,
所
以Ckn相
例3 试证 : 在a bn的展开式中,奇数项的二项式
系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 分析 奇数项二项式系数的和为
Cn0 Cn2 Cn4 , 偶数项二项式系数的和为C1n Cn3 Cn5 ,
由于 a b n Cn0an C1nan1b Cn2an2b2 Cnnbn
中的a,b可以取任意实数,因此我们可以通过对a,b 适当赋值来得到上述两个系数和. 实际上,a,b 既可以取任意实数,也可以取任意多 项式,还可以是别的.我们可以根据具体问题的需 要灵活选取a,b的值.
证明 在展开式 a b n Cn0an C1nan1b Cn2an2b2 Cnnbn中,令a 1,b 1,则得 1 1n Cn0 C1n Cn2
1.3 二项式定理
1.3.2 "杨辉三角"与二项式系数的性质
探究 用计算器计算a bn 展开式的二项
式系数并填入下表.
n
a bn 展开式的二项式系
1
2
3
4
5
6
通过计算填表,你发现了什么规律?
从上表可以发现 ,每一行中的系数具有对称性.
除此之外还有什么规律呢 ?为了方便,可将上表
写成如下形式:
Cnnm得 到.
直 线 x n 将 函 数fr的 图 象分 成 对 称 的两 部分,
2 它 是 图 象 的 对 称 轴.
2增减性与最大值 因为
Ckn
பைடு நூலகம்
nn 1n 2 n k k 1!k
1
Ckn1
n k
k
1,
所
以Ckn相