圆的综合应用 定稿
圆单元整体设计(定稿)精选全文完整版
发现内在关联，促进单元整体学习———《圆》单元整体教学设计一、单元主题解读（一）课程标准《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
同时强调核心素养具有整体性、一致性和阶段性，要重视单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联，促进学生对数学内容的整体理解和把握，逐步培养学生的核心素养。
《圆》这一单元的核心素养表现：运算能力、几何直观、推理意识。
《义务教育数学课程标准2022年版》中明确指出：教学强调在教学的过程中除了要关注数学是什么，更要关注数学的形成和发展，也就是数学从哪里来、怎样发展、到哪里去的问题，这样的思考可以让数学教学变得透彻、聚焦，也更容易帮助学生走向深度学习。
（二）教材的地位与作用“圆”是人教版六年级上册第五单元的内容，这是小学阶段最后一次认识平面图形，是学生已经直观认识了圆，系统学习了长方形、正方形、三角形等平面图形以及它们的周长、面积计算之后，进一步对于圆的计算和图形的特征的深入理解与认识。
“圆”的学习，与以往平面图形的中学习有着显著的不同，它是研究曲线图形的开始，也是后继学习圆柱、圆锥的基础。
它将从对直线图形的研究过渡到曲线图形的研究，无论是研究曲线图形的思想还是方法，对于学生而言都是一种跨越和挑战，因此，通过本单元的学习，不仅要让学生掌握圆的一些基础知识，还要让学生感受与体悟“化曲为直”、“等积变换”、“极限”等数学思想方法，以促进与发展学生的数学思维方法和问题解决的能力。
（三）教材内容本单元的教学内容共分为四个部分。
一是圆的认识，利用学生已有经验，用多种方法画圆，包括用圆规画圆，并利用圆规画圆的方法认识圆心、半径和直径以及半径、直径的关系等。
二是圆的周长，从解决实际问题引入，突出探究圆的周长的必要性，在探究圆的周长和直径的过程中，提升学生的动手实践能力，在变化中发现不变，发展学生的猜想、归纳能力，而对圆周率历史的认识有利于学生对数学文化的理解以及数学学习情感的培养。
圆的应用介绍中学生圆的应用场景
圆的应用介绍中学生圆的应用场景圆，作为几何学中的重要概念之一，拥有广泛的应用场景。
在中学阶段，学生们学习并掌握了很多与圆相关的知识，因此他们需要了解圆的应用，以便将所学运用到实际问题中去。
本文将介绍中学生在日常生活及学习中常见的圆的应用场景。
1. 钟表我们每天都会接触到各种钟表，从手表到挂钟，它们都以圆形的表盘作为主要显示部分。
钟表上的刻度、时针、分针和秒针都围绕着表心做圆周运动，以显示时间的变化。
通过观察钟表，学生可以更加直观地理解圆的运动规律，例如时针每隔一小时绕圆周运动一周。
2. 运动场地中学生热爱各种运动，而许多运动场地也是以圆形为基础建设的。
例如，足球场、篮球场、田径场等都采用了圆形的设计。
圆形的设计可以保证运动员在各个角度都有良好的视觉体验，同时也可以减少角部或者边缘对运动员施加的影响。
3. 滚轮滚轮是运输和交通工具中广泛使用的部件，而滚轮的形状往往是圆形或者近似圆形的。
滚轮的优点是能减少物体在摩擦面上的摩擦力，并且可以轻松地将物体沿着直线方向移动。
学生们可以通过观察和研究滚轮的工作原理，对圆形的特性有更深入的理解。
4. 光学仪器在物理学中，光学是一个重要的学科，而光学仪器中的一些元件通常采用圆形的形状。
例如，光学望远镜的物镜和目镜是圆形的，圆形形状有利于光线的收集和聚焦。
学生们通过学习光学的知识，可以了解到圆形在光学仪器中的应用，并掌握相关的计算方法。
5. 平面几何在数学学科中，平面几何是中学生学习的一部分内容，而圆是其中重要的几何形状之一。
学生们需要掌握圆的性质和计算方法，例如圆的周长、面积等等。
通过将所学知识运用到实际问题中，例如计算圆形篮球场的面积等，可以提升学生的数学运算能力和几何思维能力。
总结起来，圆在中学生的学习和日常生活中有着广泛的应用场景。
通过了解和学习这些应用场景，学生们可以更好地理解和运用圆的相关知识，提升数学和几何学科的学习成绩，同时也培养了他们的实际应用能力和问题解决能力。
《圆面积的综合应用(例3)》参考教案
《圆面积的综合应用》参考教案教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第69～70页例3及相关练习。
教学目标：1．结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
2．在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3．结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。
教学重点：掌握计算组合图形面积的方法，并能准确计算。
教学难点：对组合图形进行分析。
教学准备：课件、学具、作业纸。
教学过程：一、创设情景，谈话引入1．师：古时候，由于人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，看到眼前的地面是平的，以为整个大地是平的，并且把天空看作是倒扣着的一口巨大的锅。
我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法。
（结合课件出示）虽然这种说法是错误的，却产生了深远的影响，尤其体现在建筑设计上。
2．课件展示：鸟巢和水立方等建筑，精美的雕窗。
【设计意图】由传统文化对建筑设计产生的影响导入课堂，自然地引出例题的教学，极大地激发了学生学习的兴趣和探索的热情。
二、探究新知，解决问题1．实践操作（课件出示教材例3中的雕窗插图）师：谁能说说这两种设计有什么联系和区别？预设1：左边的雕窗外面是方的里面是圆的；右边的雕窗外面是圆的里面是方的。
师：我们可以将上述特征分别概括地称为外方内圆、外圆内方。
预设2：都是由圆和正方形这两个图形组成的。
师：也就是我们以前学过的什么图形？（组合图形）你能用学具组合出这两个图形吗？学生操作，作品展示。
【设计意图】动手操作的过程是从实物中抽象出图形的过程，使学生充分体会图形的组合与位置关系，理解组合图形面积的产生。
与此同时，激活了原有的关于组合图形的认识，找到了新知的生长点。
2．解决问题（1）阅读与理解师：怎样计算正方形和圆之间部分的面积？需要什么条件？先想一想，再同桌交流。
预设1：正方形的面积减去圆的面积；圆的面积减去正方形的面积。
圆的综合应用
圆的综合应用教学设计
一．教学目标
1.知识与技能目标：掌握与切线有关的证明及计算以及解决圆综合应用题的思想与方法；
2.过程与方法目标：通过经典真题讲解及变式训练应用，使学生掌握应用数形结合以及转化与划归的思想解决圆的综合题；
3.情感态度与价值观目标：培养学生相互交流、相互协作的意识以及综合分析问题的能力.
二.教学重难点
1.教学重点：掌握解决圆综合应用题的思想与方法；
2.教学难点：能够运用圆有关知识进行综合应用.
三.教学过程设计
的直径，CD与⊙O相切的延长线交于点D，DE⊥AD且
四.板书设计
一．切线的性质与判定：例1：方法：作过切点的半径；半径相等；
二．锐角三角函数：例2：方法：构造直角三角形；转化思想；
三．三角形相似：
四．勾股定理：
五.教学反思
本堂课内容是中考必考的知识点，综合性较强，难度较大，对中上等学生来说可以尝试做一做，对下等生来说难度太大，所以本堂课的不足之处在于：1.题目较难，没有照顾到中下等学生；2.题目设置的没有梯度，不是由简单到难逐渐递进，而是平行难度；3.在与切线有关的证明与计算的例题与变式训练之后没有形成总结性的文字，使学生更清晰方法与思路.本节课的成功之处在于：1.没有老师一言堂，而是给学生说话的权利，不断的引导学生，最后由学生得到结论；2.例1的变式应用很好，把平常不常见的类型拿出来让学生巩固，以免复习时漏掉相关知识点。
以后教学时一定要改掉这些不足，吸取成功的经验，继续努力，不断进步。
平面几何中的圆与圆的综合应用(续)
平面几何中的圆与圆的综合应用（续）在平面几何中，圆与圆的综合应用是一个重要且广泛应用的领域。
继上一篇文章中讨论了圆与圆的基本性质和常见应用之后，本文将继续深入探讨更多关于圆与圆的综合应用的内容。
一、圆的内切与外切1. 内切圆内切圆是指一个圆与一个多边形的所有边都有且仅有一个切点的情况。
在实际应用中，内切圆经常用于优化装配和设计。
例如，当设计一个多边形的围墙时，我们可以通过内切一个圆来减少围墙的材料使用量，提高建筑效果。
2. 外切圆外切圆是指一个圆与一个多边形的所有边都切于一点的情况。
在实际应用中，外切圆也有其独特的用途。
例如，在环形道路的设计中，我们可以利用外切圆来确保道路的流线型，提高交通效率。
二、圆的相切与相离1. 相切圆相切圆是指两个圆正好有一个公共切点的情况。
相切圆的应用在现实生活中非常广泛。
例如，在车辆转弯半径的设计中，我们可以通过相切圆来确定车辆的最小转弯半径，以确保安全性和稳定性。
2. 相离圆相离圆是指两个圆互不相交的情况。
相离圆的应用也非常常见。
例如，在草坪或花坛的设计中，我们可以通过相离圆的布局来创造出美观而富有层次感的景观效果。
三、圆的包络与几何生成1. 包络圆包络圆是指一组几何图形中正好能够恰好将其外接的圆。
在机械设计中，包络圆经常用于确定一组运动零件的公共外形。
例如，在倒车机构的设计中，我们可以通过包络圆来确定各个零件的最大外形尺寸，以确保倒车机构的正常运行。
2. 几何生成几何生成是指通过旋转、移动或变换等操作生成一组与原始几何图形相关的几何图形。
在圆与圆的应用中，几何生成常常用于复杂曲线的绘制和计算。
例如，在数控机床的刀具路径规划中，我们可以通过几何生成来生成刀具的切削轨迹，以实现高效率的加工。
总结：通过以上对平面几何中圆与圆的综合应用的探讨，我们可以看到圆与圆在日常生活、建筑设计、工程制图等领域中都有非常广泛的应用。
掌握了这些基本原理和方法，我们可以更好地应用圆与圆的知识解决实际问题，提高工作效率和质量。
给幼儿讲解圆形在生活中的应用的实践性教案
尊敬的老师，这里为您提供一份关于给幼儿讲解圆形在生活中应用的实践性教案。
一、教学目标：1. 能够认识和辨认圆形并了解圆形的特点；2. 能够认识不同场景中的圆形物体；3. 能够通过实践学习圆形的应用；4. 能够通过游戏巩固所学内容。
二、教学准备：1. 教材：圆形的图片资料、圆形物品实物、水果、球等；2. 工具：纸、笔、剪刀、胶水、粘土、绳子、橡皮泥等；3. 环境：教室、户外地面、游戏场所；4. 教学媒体：游戏、视频、音乐等。
三、教学内容：1. 介绍圆形（1）物理定义：圆形是一个平面上的一条曲线，其上所有点到该曲线中心的距离都相等。
（2）现实应用：饼干、硬币、水果、球等。
2. 圆形的应用（1）活动1：“环绕我一圈”：老师将绳子制成一个大圆，幼儿踏上绳圈走一圈。
（2）活动2：“画一个完美的圆”：老师向幼儿展示如何画一个完美的圆，让幼儿自己尝试画一个完美的圆，比较谁画的圆形更完美。
（3）活动3：“我最喜欢的圆形物体”：幼儿们带来自己最喜欢的圆形物体，并介绍它的用途。
3. 游戏巩固（1）游戏1：“圆圆球”：幼儿围成一圈，带头的幼儿手持一个球，开始传球，完成一个完美的圆形传球游戏。
（2）游戏2：“寻找圆形物体”：老师在教室里放置不同的圆形物体，家长则需要让幼儿通过发现不同的圆形物品来判断物品是否为圆形。
四、教学评价：1. 老师观察学生参与活动的积极性和创造性；2. 老师评估学生是否真正掌握了圆形的特点；3. 老师评估学生是否能够通过实践来学习圆形的应用；4. 老师评估学生是否在游戏中真正巩固了所学的内容。
五、教学反思：通过给幼儿讲解圆形的特点并进行实践和游戏，使他们更好地认识了圆形的应用。
同时，教学过程中，老师还需要注意幼儿的情绪和行为，保证他们的安全和健康。
结合不同主题，可以适当调整教学内容和形式，丰富教学内容，提升幼儿的兴趣与参与度。
圆的实际运用范文
圆的实际运用范文圆是几何学中最基本的图形之一，具有广泛的实际运用。
在日常生活和各个领域中，我们可以看到圆的身影。
本文将介绍圆的一些实际运用，并分别从日常生活、建筑、机械、电子和艺术等方面进行探讨。
首先，我们从日常生活中的实际运用开始。
在生活中，我们常常会遇到一些圆形的物体，比如杯子、碗、盘子等。
这些物体的形状是由圆形所构成的，这是因为圆形的形状具有稳定性和均匀性，使得物体更加稳固和美观。
此外，在日常生活中，我们还会用到圆形的器具，比如钟表、圆规、圆珠笔等。
这些器具的制作和使用都与圆形相关，因为圆形的形状可以帮助我们测量和绘制各种图形。
其次，圆在建筑领域也有着广泛的实际运用。
建筑中的很多结构和装饰元素都是圆形的，比如圆顶、圆柱、拱门等。
这是因为圆形的形状具有一定的力学特性，可以提供更好的支撑和均衡力。
此外，圆形的结构也具有美观和艺术性，使得建筑更加富有魅力和个性。
机械领域也是圆的重要应用领域之一、在机械设备中，很多零部件都采用圆形的形状，比如齿轮、滚动轴承等。
圆形的形状可以提供更好的传动效率和稳定性，使得机械设备更加可靠和高效。
此外，圆形的形状还可以用来调整机械设备的转速和力度，提供更好的控制和操作性。
电子领域也是圆的重要应用领域之一、在电子器件和电路中，我们常常会看到一些圆形的元件，比如电阻、电容等。
这些圆形元件的形状是根据电流流动和电场分布的需要而设计的。
圆形的形状可以提供更好的导电和分布电场效果，使得电子器件和电路具有更好的性能和稳定性。
最后，圆也在艺术领域中得到了广泛的运用。
圆形的形状在艺术作品中可以提供更好的视觉效果和构图平衡。
比如在绘画和雕塑中，艺术家经常使用圆形元素来构建画面和形象。
圆形的形状还可以在摄影中用来提供焦点和构图的引导。
此外，圆形的形状还可以用来设计和制作一些艺术品和装饰品，比如首饰、摆件等。
综上所述，圆是一个非常重要和实用的几何形状，具有广泛的实际运用。
在日常生活和各个领域中，我们可以看到圆的身影。
圆的基本性质的综合运用
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(O°<α<90°)后，记 为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线 MN 段 E E OM AD1的中点，则 = C C
1 1 1
1
N A
D
M
A
N1
D1 M1 O
O B
B
分析：问题1.怎样证明三点共线问题？
分析：认真读题，看图，审题，然后思考
圆的基本性质 的综合运用
2.【活动3】：小试牛刀，巩固基础。
(1).有下列四个命题：①经过三点一定可以画一个圆；‚ 同弧 （或等弧）所对的圆周角相等；③垂直于弦的直径平分弦 并平分弦所对的两条弧；④圆心和切点的连线垂直于圆 的切线；其中正确的有（ ）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
(2).如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形AEOD是正方形。 （3）.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线， 点P为切点，求证PA＝PB．
1.（2010•南通）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于M，且M是半径
OB的中点，CD=8cm，求直径AB的长．
2.如图，AD、BE是△ABC的高，AD与BE交于H点，AD的延长线 交△ABC的外接圆⊙O于G点. （1）求证：DH=DG； （2）若∠ABC=45°，BD=12，CD=5，求⊙O的半径.
二、新知学习，能力提升
【活动4】：例1.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C 为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． (1)求证：CD为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求 p AB的长度。
初三圆的定理综合运用
切线长定理一．复习：1．切线的判定：1） 定义：直线与圆有唯一的公共点 2）OD l Dl O OD O ⊥⎫⇒⎬⎭于是圆的切线是圆半径3） 的切线是圆O l r OA l OA ⇒⎭⎬⎫=⊥ 2．切线的性质：⎪⎩⎪⎨⎧+（一条）垂直于切线（一个）经过圆心（只有一个）经过切点的切线为圆AT OA O A O AT 后三者中二条成立，另一条也成立二．从原有的认知结构提出问题：1．右图中，直线l 过圆O 上一点A 且OA l ⊥， 直线l 是⊙O 的切线，这条切线能度量吗？不能2．如果在这条直线上截取一条线段，使它的一个端点是切点，那么这条线段就可以度量了，如何度量这条线段？它又有什么性质？这就是我们这节课要学习的主要内容。
三．提出问题，证明猜想，形成定理： 过圆上一点作圆的切线过圆外一点作圆的切线（让学生来试）1．切线长的概念。
教师边画边讲解，指出： P 是⊙O 外一点，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，我们把PA 、PB 的长 叫做点P 到⊙O 的切线长。
切线长定义：在经过圆外一点的切线上，这一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长要区别切线与切线长是两个不同的概念，切线是线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
右图中：AB 不是切线长2．提出猜想：引导学生继续观察，直观判断，猜想图中PA 是否等于PB容易得到PA=PB3．证明猜想，形成定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
已知：PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，连结PO 求证：PA=PB ，BPO APO ∠=∠ 证明：连结AO 、BOlLLA C A BO基本图形：结论：1）PA=PB2）BPO APO ∠=∠OBA OAB ∠=∠= 3）P 、A 、B 、O 四点共圆4）OP 是AB 的中垂线（要证一下）5）三对全等三角形6）2222,BP PO PC AP OB OP OC OA =⋅==⋅= PC OC BC AC ⋅==22四．基本作图：怎样过已知点作已知圆的切线？ 点与圆的位置关系⎪⎩⎪⎨⎧点在圆外点在圆上点在圆内1）点在圆内，如图，P 在⊙O 内，易得，不能过P 作⊙O 的切线2） 点在圆上时已知：⊙O 及⊙O 上一点P ，求作：经过点P 作⊙O 的切线作法：1）连结OP2）经过点P 作OP l⊥，则l 即为所作的直线3）点在圆外时已知：⊙O及⊙O 外一点P求作：经过点P 的⊙O 的切线关键：在圆上找一点，使它与已知点及圆心的连线成Rt ∠ 作法： 五．应用1．已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，BC 是直径求证：AC//OP 证法一。
第14讲 圆的综合应用
第十四讲 与圆有关的综合问题考点一 与圆有关的定点问题【例1】 已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |、Q 点的坐标以及直线MQ 的方程； (2)求证：直线AB 恒过定点．【例2】 已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴交于A 、B 两点，P 是该圆上任意一点，AP 、PB 的延长线分别交直线l ：x ＝2于M 、N 两点．(1)求MN 的最小值； (2)求证：以MN 为直径的圆恒过定点，并求出该定点的坐标．规律方法 与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程．考点二 与圆有关的定值问题【例3】已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，直线l ：x －2y ＝0． (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB PA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．【例4】在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得弦长为6．(1)求圆O 的方程；(2)若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于点D 、E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；(3)设M 、P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交x 轴于点(m ，0)和(n ，0)，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．规律方法解与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明．这里是采用的另外一种方法，即先设出定值，再通过比较系数法求得．考点三与圆有关的最值与范围问题【例5】已知⊙C：x2＋(y－1)2＝1和直线l：y＝－1，由⊙C外一点P(a，b)向⊙C引切线PQ，切点为Q，且满足PQ等于P到直线l的距离．(1)求实数a，b满足的关系式；(2)设M为⊙C上一点，求线段PM长的最小值；(3)当P在x轴上时，在l上求一点R，使得|CR－PR|最大．规律方法解与圆有关的最值与范围问题，可以通过建立目标函数求得，还可以用基本不等式和圆的几何意义求解．考点四用方程的思想解决圆过定点的问题【例6】已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3，0)，且与圆O相切．(1)求直线l1的方程；(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．。
圆的实际应用和理解数学作文
圆的实际应用和理解数学作文你知道吗，圆在我们生活中无处不在。
从咱们吃的水果到咱们穿的衣服，再到咱们住的房子，都离不开圆。
今天，我就来给大家讲讲圆的实际应用和理解数学。
咱们来说说圆在吃的东西上的应用。
你们知道吗，苹果、橙子、葡萄这些水果都是圆形的。
这是因为圆形的水果更容易滚动，方便运输和销售。
而且，圆形的水果摘下来后，果皮和果肉之间的连接也比较紧密，不容易破碎。
所以，圆形的水果更适合保存和运输。
接下来，咱们说说圆在穿的衣服上的应用。
你们有没有发现，现在的鞋子、袜子、帽子等都是圆形的？这是因为圆形的鞋子、袜子等穿起来更舒服，不会挤脚。
而且，圆形的帽子戴起来更稳，不容易掉下来。
所以，圆形的衣服和鞋子更受欢迎。
再来说说圆在住的房子上的应用。
你们知道吗，咱们的房子都是方形的或者长方形的。
这是因为方形和长方形的房子更稳定，不容易倒塌。
而且，方形和长方形的房子更容易搭建，节省材料。
所以，方形和长方形的房子更实用。
除了这些实际应用之外，圆在数学上也有很多有趣的知识。
比如说，圆的周长和面积是怎么计算的？其实很简单，圆的周长就是圆周率(π)乘以直径，圆的面积就是圆周率(π)乘以半径的平方。
π是一个神奇的数，它表示的是圆的周长和直径之间的关系。
虽然我们不知道π到底是多少，但是我们可以通过实验和计算得到它的值。
圆在咱们生活中有很多实际应用，也有很多有趣的数学知识。
希望通过我的介绍，大家能更加了解圆的作用和魅力。
下次你们再看到圆形的东西时，不妨想想它们是如何应用到生活中的，这样你就会更加珍惜它们了。
圆的综合应用
圆的综合应用
一、新知建构
1.请画出圆周角、圆心角、同弧所对的圆周角、弦切角、圆内接四边形、周角定理，勾股定理，垂径定理，切割线定理，射影定理，切线长定理的基本图形，并写出数量关系．
2.判断直线与圆的位置关系一般有三种方法，一是可通过观察两圆是否有交点来确定，一个交点是相切，两个交点是相交，没有交点是相离．二是可以根据圆心到直线的距离与半径的大小关系来确定．三是联立直线和圆的方程，根据方程的解答个数来确定。
这三种判断方法都是互逆的．
3.两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．
二、经典例题
例1. 下列命题中，正确的是（）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A．①②③B．③④⑤C．①②⑤D．②④⑤
例2. 如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半
圆O交对角线BD于E．则直线CD与⊙O的位置关系
是，阴影部分面积为(结果保留π) ．
例3.如图，已知半圆O的直径AB＝10，⊙O1与半圆O内切干点C，与AB相切干点D．(1）求证：CD平分∠ACB；
(2）若AC：CB=1：3，求△CDB的面积S△CDB；
（3）设AC：CB＝x（x＞0），⊙O1的半径为y，请用含x
的代数式表示y．。
整理圆的综合应用说课稿
圆的综合应用说课稿20 年月日A4打印/ 可编辑《圆的周长》说课稿一说教材今天我说的课题是人教版六年级小学数学第十一册《圆的周长》。
圆的周长是在学生初步认识了圆，掌握长（正）方形周长计算方法的基础上学习的，它又是学生初步研究曲线图形的基本方法的开始，为以后学习圆柱、圆锥等知识打好基础。
根据以上结构特点的分析和学生的认知规律，我确定了本节课的教学目标如下：(1)认知目标： (2)能力目标： (3)情感目标：本节课的教学重点：教学难点：二．说教学环节为了完成教学任务，达成教学目标，本节课教学我预设了五个教学环节：第一个环节：认识圆的周长。
创设情景，演示周长的意义：从而得出圆的周长就是围成圆曲线的长。
（插入2008课件）经过第一环节的教学，把概念形象化了，学生已经初步形成了圆周长概念，为下面探究圆周长的测量方法奠定了基础。
第二个环节：小组合作，探究圆周长的测量方法然后汇报测量的方法：最后总结归纳常用的绳绕法和滚动法。
这个教学环节，通过对周长测量方法的探讨和实践，既让学生掌握了测量圆周长的基本方法和技巧，也渗透了“化曲为直”的数学转化思想，为下一步研究圆周率做好了铺垫。
第三个环节：探究圆周率的意义，推导圆周长的计算方法。
这个环节是教学的重点，也是学生学习的难点。
主要分四步进行：1、第一步：创设探究情境。
其实，生活中有很多的圆，没有办法直接去测量它的周长，那该怎么办呢？从而引出探究圆周长计算方法的必要性。
2、第二步：实验探究“圆周长与直径的关系（圆周率）”：每组同学用准备好的三个大、中、小不同的圆片作为测量材料，分工合作，分别测量各圆片周长，并用课件演示规范测量的方法。
将数据填入下表：（插入2008课件）当学生测量和计算完毕后，让学生仔细观察测量和计算结果，经过充分的交流后，归纳出所测量的圆周长和直径的倍数关系：“圆的周长总是直径的3倍多一些”这个结论。
那是不是所有圆的周长和他的直径都存在这种关系呢？为了体现穷尽的思想我推出了几何画板。
圆的综合运用DOC
圆的综合（一）、知识要点1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。
构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型：半径相等圆周角=圆周角圆心角=2圆周角弦切角=圆周角射影定理模型综合利用各种方法2、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时；(1)因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线段的长度，常见情形如下；(2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线段长度，常见的圆中相似情形如下：△ADE ∽△ACBEDCBA△ADE ∽△BCE EDCBA△ABD ∽△CAD ∽△CBA△ABC ∽△ADB ∽△BDCA△ABO ∽△ADB ∽△BDO△ABC∽△OBD二、典型例题能力提升类例1 如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°，若228PE PF +=，求直径AB 。
评析：解答此题需注意应用数形结合的思想，熟练运用勾股定理和完全平方公式。
例2 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若Q P Q O =，求QCQA的值。
评析：本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被该点所分得的两线段的长的乘积相等”。
熟记并灵活应用定理是解答本题的关键。
综合运用类例3 如图，已知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆与三角形的AB 边和BC 边相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G ，求∠DEF 的度数。
例4 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM 、BN分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F。
《圆在生活中的应用》
《圆在生活中的应用》研究性学习设计方案研究课题名称：圆在生活中的应用设计者姓名所在学校所教年级研究学科联系电话电子邮件一、课题背景、意义及介绍1、背景说明（怎么会想到本课题的）：圆在生活中的应用随处可见，比如轮胎、闹钟、钮扣等。
为了有效于增长学生的数学知识。
体现数学源于生活，人人学以有用的数学，也为了提高学生的学习兴趣和实践能力，也为了提高学生的学习兴趣和实践能力，因此我想到这个课题。
2、课题的意义（为什么要进行本课题的研究）：让学生通过搜集资料，调查信息，统计数据，了解数学来源于生活而又服务于生活，从而发散学生的思维能力和提高学习数学的兴趣。
3、课题介绍圆的有在知识是初中几何的一个重要内容，它经常与三角函数、抛物线等数学知识综合起来解决实际问题，且应用于社会产品的模型设计而服务于社会。
二、研究性学习的教学目的和方法（可按新课程标准的三维目标（或布鲁姆目标分类法）进行研究性学习的教学目和方法的阐述）（三维目标要求配上思维导图）一、知识与技能：1、了解圆的有关概念、性质、定理2、熟悉性质、定理的应用二、过程与方法：1、让学生通过数据收集与整理、调查、自学、记录、交流等活动，对各种资源进行筛选、整理、分析。
2、经历发现问题、分析问题、解决问题的研究过程，初步学会探究学习的方法，能写出学习过程。
3、经历小组合作学习，明确活动的目标，共同探究。
三、情感态度与价值观：1、使学生经历收集、分析、处理信息的过程，培养学生分析、比较、抽象、概括的能力和与人交流合作的能力，促进个性化的教学理解与表达，初步建立自我评价与反思意识。
2、使学生在主动积极的思维和情感活动中加深理解和体会，有所感悟和思考，受到情感熏陶，获得思想启迪，激发学生学习数学浓厚兴趣，感受数学魅力。
三、参与者特征分析（重点分析学生有哪些共性、有哪些差异，尤其对开展研究性学习有影响的因素。
）1、学生是九年级的学生；2、学生已经有一定交流、归纳统计水平、想象思维及解决问题能力；3、学生对生活中的一些圆现象较为熟悉；4、学生思维活跃，会和同学交流，乐于表达自己，渴望达到同学和教师的赞许；5、学生对研究问题有兴趣。
专题(4)以圆为背景的综合应用
以圆为背景的综合应用一．圆与切线有关的问题1．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．圆与三角函数结合问题3.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AE=4，cosA=，求DF的长．圆与相似结合问题4.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．（1）求证：CE=CB；（2）若AC=2，CE=，求AE的长．5.如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC 的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG．（1）求证：AB=CD；（2）求证：CD2=BE•BC；（3）当CG=，BE=时，求CD的长．6.图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）过C作CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=，CQ=5，求AF的值．7.如图（1），AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD，若OB=6，OC=8，（1）求BC和OF的长；（2）求证：E、O、G三点共线；（3）小叶从第（1）小题的计算中发现：等式成立，于是她得到这样的结论：如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，CD=h，则有等式成立．请你判断小叶的结论是否正确，若正确，请给予证明，若不正确，请说明理由．圆与函数8.如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．。
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圆的综合应用
江苏省海州高级中学 陶飞
【考纲要求】：圆的标准方程与一般方程 C 级 直线与圆、圆与圆的位置关系 B 级
【基础知识】
1.过直线02=-+y x 上点P 作圆O:122=+y x 的两条切线，切点分别为A,B ，若0
60=∠APB ,则点P 的坐标为 .
2.已知圆的方程为08622=--+y x y x ，该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为
AC,BD ，则四边形ABCD 的面积为 .
3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a ＞0)的公共弦的
长为23，则a ＝________.
4.过直线02=-+y x 上点P 作圆O :122=+y x 的两条切线，切点分别为A,B ，
则四边形P AMB 面积的最小值为 .
5.在平面直角坐标系中，设直线l ：kx －y ＋2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交
于A 、B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆O 上，则实数k ＝________.
【精讲点拨】
例1：已知圆O 的方程为122=+y x ，若直线)2-(x k y =上存在一点P ，过P 作圆的
两条切线切点分别
为A 、B,若0
120=∠APB 求实数k 的取值范围.
例2.在平面直角坐标系xoy 中，已知点)0,3(P 在圆C ：02842222=-+--+m y mx y x 内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A,B 两点，若ABC ∆的面积的最大值为16，求实数m 的取值范围.
【拓展提升】
1.已知点()03，
-A ,若在直线l :)2(+=x k y 上存在点P ,使得PO PA 2=(O 为坐标原点),求k 的取值范围是 .
2.直线x y 2=和圆122=+y x 交于A,B 两点，以Ox 为始边OA 、OB 为终边的角分别为βα，，则
)sin(βα+的值为 .
3.若直线变为b x y +=2呢？
4.已知圆O ：122=+y x ，点),(00y x P 在直线l :02=-+y x 上，AB 为圆M 的任意一条直径，问
⑴若点()02，
P ,⋅是否为定值,若是请求出该定值; ⑵当点P 在直线l 上运动时,求出⋅的最小值.
【小结反思】。