运筹学04对偶问题和灵敏度分析_版28样版
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运筹学 对偶理论和灵敏度分析
对偶理论和灵敏度分析
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
对偶理论与灵敏度分析课件
航空航天领域
飞机和航天器的设计过程中需要 对气动性能、结构性能等进行灵
敏度分析，以优化设计方案。
机械工程领域
在机械设计中，需要对机构性能 、动力学特性等进行灵敏度分析 ，以提高机械设备的性能和稳定
性。
环境工程领域
在环境治理和生态保护方面，需 要对污染物扩散、水体自净等进 行灵敏度分析，以制定有效的环
详细描述
在机器学习中，我们通常会使用各种模型来预测未知数据。对偶理论和灵敏度分析可以 帮助我们理解这些模型的预测能力和泛化性能。例如，通过对偶理论，我们可以将一个 复杂的模型转化为一个更简单的模型，从而更容易理解和使用。同时，灵敏度分析可以
用来研究模型参数变化对预测结果的影响，从而更好地调整模型参数。
详细描述
在优化问题中，对偶理论可以将原问题转化为一个等价的优 化问题，有时这个新问题可能更容易求解。同时，灵敏度分 析可以用来研究原问题的参数变化对最优解的影响，从而更 好地理解问题的性质和最优解的稳定性。
金融问题中的对偶与灵敏度分析
总结词
在金融领域，对偶理论和灵敏度分析可 以用于风险评估、投资组合优化等问题 。
对偶理论的应用场景
资源分配问题
对偶理论可以应用于资源分配问 题，通过求解对偶问题来获得最
优解。
运输问题
对偶理论可以应用于运输问题，通 过求解对偶问题来获得最优解。
投资组合优化
对偶理论可以应用于投资组合优化 问题，通过求解对偶问题来获得最 优解。
02
灵敏度分析简介
灵敏度分析的定义
01
灵敏度分析是指对系统参数变化 引起系统性能变化的程度进行分 析，旨在了解系统对参数变化的 敏感程度。2
灵敏度分析算法的改进
运筹学04-对偶问题
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
约束条件
s.t
如果因为某种原因，不愿意自己生产，而希望通 过将现有资源承接对外加工（或出售）来获得收 益，那么应如何确定各资源的使用价格？
两个原则 1. 所得不得低于生产 的获利 2. 要使对方能够接受
Max Z=CX s.t. AX+XS=b X, XS ≥0
n m XS
X
m Y
A
YS
I
= b
Min W=Yb s.t. ATY-YS=C W, WS ≥0
n
YSX=0 YXS=0
AT
-I
= C
m
n
原始问题的变量
原始问题的松弛变量
x1
xj
xn
xn+1 xn+i xn+m
y1
yi ym
ym+1
ym+j
Max W’ = -30y1- 60y2 - 24y3 +0(y4 + y5 )-M (y6 + y7 ) s.t y1+3y2 + 0y3 – y4 + y6 = 40 2y1+2y2 + 2y3 – y5 + y7 = 50 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
C CB -M -M -Z yB y6 y7 b 40 50 -90M -30 y1 1 2 -30 +3M -60 y2 3 2 -60 +5M -24 y3 0 2 -24 +2M 0 y4 -1 0 -M 0 y5 0 -1 -M -M y6 1 0 0 -M y7 0 1 0 40/3 25 θ
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
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通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
运筹学对偶理论与灵敏度分析
y3 2 2 y2 y3
－4
y1－y2
y3
1
y1 0, y2 0, y3无约束
10
2、对偶问题的基本定理
（1）（对称性）对偶问题的对偶是原问题。
（2）（弱对偶定理）若X (0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶问题的可行解， 则有C X (0) ≤Y(0)b。
( 3）（无界性）若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题） 无可行解。
11
（1）（对称性）对偶问题的对偶是原问题。
证：设原问题是
max Z=C X； AX≤b； X ≥0
其对偶问题为
min W= Y b； YA ≥ C； Y ≥ 0
两边取负号，因min W＝ max（-W），得到
max（-W）= -Y b；-YA ≤ -C，Y ≥ 0
对称变换，上式的对偶问题是
min(w) CX ;AX b; X 0
13
（3）（无界性）若原问题（对偶问题）为无界解，
则其对偶问题（原问题）无可行解。
证：由弱对偶性C X (0) ≤Y(0)b，显然得。
注意：不存在逆。 当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原 问题）或具有无界解或无可行解。
第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶理论
1
一、对偶问题的提出
在同一企业的资源状况和生产条件下产生的，且是同 一个问题从不同角度考虑所产生的，因此两者密切相 关-----两个LP问题是互为对偶
max S 2
3
x1 x2
y1
minW 15
12
14
y2
y3
6
对于一般情况下线性规划问题如何写出对偶问题。对于等 式约束可以把它写成两个不等式约束，对于“≥”的不等式，可 以两边同乘“－1”，再根据对称形式的对偶关系写出对偶问题 ，然后进行适当的整理，使式中出现的所有系数与原问题中的 系数相对应。
运筹学精品课件之 对偶问题和灵敏度分析
82 0 0 -10/3 0 -11/3 -2产品工艺结构改变) (1)、非基变量Xj工艺改变 只影响单纯形表Pj 列， σ j .
关键看σ j 0? 还是>0? . 用(三)类似方法解决。
(2)、基变量Xj工艺改变，复杂
例：产品A工艺改变，对甲、乙需求变为2，2。 利润为7，问最优方案如何？
0 X4 2 8 X2 10
80
1 0 0 1 -1/2 1 1 1 0 1/2 -5 0 -2 0 -7/2
这时最优方案发生了改变。
基变量Xj工艺改变
•也可能 B-1 b出现负数
•检验数与基变量均不满足最优解要求
例 p1’ = 1
3
C1’ = 7
p一1’ = B-1 p1’ = σ一1’= -4
(2)、 b1改变, b1=30 ，B-1 b= 2 -1
30 40 =
-1 1 20 -10
5 X1 40 1 0 0 2 -1 8 X2 -10 0 1 1 (-1) 1
120 0 0 -2 -2 -3
5 X1 20 1 2 2 0 1 0 X4 10 0 -1 -1 1 -1
100 0 -2 -4 0 -5
问：如何安排产品产量，可获最大利润？
解 maxZ=5X1 +8X2 +6X3
X1+ X2 + X3+X4 = 12 X1+2X2+2X3 +X5 =20
X1 … X5 0
58 60 0
X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 12 1 1 1 1 0 0 X5 20 1 2 2 0 1
058 60 0
② C1改变 C1=10， σ 5 =2>0 ,换基
关键看σ j 0? 还是>0? . 用(三)类似方法解决。
(2)、基变量Xj工艺改变，复杂
例：产品A工艺改变，对甲、乙需求变为2，2。 利润为7，问最优方案如何？
0 X4 2 8 X2 10
80
1 0 0 1 -1/2 1 1 1 0 1/2 -5 0 -2 0 -7/2
这时最优方案发生了改变。
基变量Xj工艺改变
•也可能 B-1 b出现负数
•检验数与基变量均不满足最优解要求
例 p1’ = 1
3
C1’ = 7
p一1’ = B-1 p1’ = σ一1’= -4
(2)、 b1改变, b1=30 ，B-1 b= 2 -1
30 40 =
-1 1 20 -10
5 X1 40 1 0 0 2 -1 8 X2 -10 0 1 1 (-1) 1
120 0 0 -2 -2 -3
5 X1 20 1 2 2 0 1 0 X4 10 0 -1 -1 1 -1
100 0 -2 -4 0 -5
问：如何安排产品产量，可获最大利润？
解 maxZ=5X1 +8X2 +6X3
X1+ X2 + X3+X4 = 12 X1+2X2+2X3 +X5 =20
X1 … X5 0
58 60 0
X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 12 1 1 1 1 0 0 X5 20 1 2 2 0 1
058 60 0
② C1改变 C1=10， σ 5 =2>0 ,换基
运筹学课件第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
第二章 线性规划对偶理论与灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题 若例1工厂的决策者不生产产品，有另一企业租赁 其所有资源。厂方为了在谈判时心中有数，需掌握 资源的最低价码，以便衡量对方出价，对出租与否 做出抉择。 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题： ①合理安排生产能取得多大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是
CX Yb
推论1 极大化原问题任意一个可行解的目标函数值 是其对偶问题目标函数值的下界。反之极小化问 题任意一个可行解的目标函数值是其原问题目标 函数值的上界。
推论2 若原问题(对偶问题)具有无界解，则其对偶 问题（原问题）无可行解。
推论3 若原问题(对偶问题)有可行解而其对偶问题 （原问题）无可行解，则其对偶问题（原问题） 目标函数值无界。
我们称这个线性规划问题为例1线性规划问题（我们 称为原问题）的对偶问题。
二、对称形式对偶问题
根据上述例题可见，对于对称形式的线性规划问题 ，
我们可以马上得出它的对偶问题：
Max Z C X
Min w Y 'b
AX b
X
0
A'Y C Y 0
三、非对称形式对偶问题
原问题（对偶问题）
约束条件系数矩阵 约束条件右端项向量 目标函数中价格系数向量
重复步骤2-4。
若 br 0，而对所有j，有aij 0，则原问题无可行解。
第四节 对偶单纯形法
例题：P61
练习题： minω=2x1+3x2+4x3 x1+2x2+ x3 ≥3 2x1– x2+3x3 ≥4 x1 , x2 , x3 ≥0
第五节 灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题 若例1工厂的决策者不生产产品，有另一企业租赁 其所有资源。厂方为了在谈判时心中有数，需掌握 资源的最低价码，以便衡量对方出价，对出租与否 做出抉择。 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题： ①合理安排生产能取得多大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是
CX Yb
推论1 极大化原问题任意一个可行解的目标函数值 是其对偶问题目标函数值的下界。反之极小化问 题任意一个可行解的目标函数值是其原问题目标 函数值的上界。
推论2 若原问题(对偶问题)具有无界解，则其对偶 问题（原问题）无可行解。
推论3 若原问题(对偶问题)有可行解而其对偶问题 （原问题）无可行解，则其对偶问题（原问题） 目标函数值无界。
我们称这个线性规划问题为例1线性规划问题（我们 称为原问题）的对偶问题。
二、对称形式对偶问题
根据上述例题可见，对于对称形式的线性规划问题 ，
我们可以马上得出它的对偶问题：
Max Z C X
Min w Y 'b
AX b
X
0
A'Y C Y 0
三、非对称形式对偶问题
原问题（对偶问题）
约束条件系数矩阵 约束条件右端项向量 目标函数中价格系数向量
重复步骤2-4。
若 br 0，而对所有j，有aij 0，则原问题无可行解。
第四节 对偶单纯形法
例题：P61
练习题： minω=2x1+3x2+4x3 x1+2x2+ x3 ≥3 2x1– x2+3x3 ≥4 x1 , x2 , x3 ≥0
第五节 灵敏度分析
运筹学-对偶理论及灵敏度分析
1 − 2 ≥
1, 2 ≥ 0
max =
=
≥0
s.t.ቊ
原问题
原问题与对偶问题
综上所述，我们可以归纳
原问题与对偶问题
= 21 + 32
1 + 22 ≤ 8
41
≤ 16
s. t.
42 ≤ 12
1 , 2 ≥ 0
min = 81 + 162 + 123
恒有cx≤ yb
③最优性：x是原问题的可行解，y是对偶问题的可行
解，且有cx=yb，则x是原问题的最优解，y是对偶问题
的最优解
④强对偶性：若原问题及对偶问题均有可行解，
则两者均具有最优解，且最优解的目标函数值相同
⑤松紧定理：在线性规划问题的最优解中，对应
某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取
40
X1
15
1
3/2
0
-1/2
1/2
0
0
X5
9
0
3/2
0
-3/2
1/2
1
50
x2
15/2
0
-1/4
1
3/4
-1/4
0
用x1‘替换x1
以x1‘作为换入变量，x1作为换出变量
灵敏度分析
增加一个约束条件的变化
计划生产如下所示：
产品
资源
产品A
产品B
资源总量
煤
1
2
30
劳动日
3
2
60
仓库
0
2
24
利润
40
50
产品A、B增加一道检验程序，A检测3小时/件，B检测2小时/件，
《运筹学》胡运权 第4版 第二章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析
b1
s.t.a2a1x211x1 a2a2x222x2 a2a3x233x3 a2a3x233x3b2b2
a
31
x 1
a 32
x 2
a x 33 3
a x 33 3
b3
x1
0，x 2
0，x 3
0，x 3
0
对偶变量 y1 y2′ y2″ y3′
非 对 偶 形 式 的 原对 偶 问 题
例2-4
令各约束对应的对偶变量分别为y1、y2′、y2″、 -y3′
规 划 问
m W b 1 i y 1 n b 2 y 2 b m y m
a11y1 a21y2 am1ym (,)c1
a1
2y1
a22y2
am2
ym
(,
)c2
题 的 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amnym (,)cn
题
yj 0(符号不限,或 0)i 1~ m
对偶问题对应表
7/2
3/2
原问题变量
x1
x2
对
偶
1.弱对偶性
问
如果xj（j=1，...，n）是原问题的可行解， yi（i=1，...，m）是其对偶问题的可行解，
题
则恒有
的 基
n
m
c x jj
bi yi
j1
i1
本
性
质
对
偶
弱对偶性的推论：
问
(1) 原问题任一可行解的目标函数值是其
题
对偶问题目标函数值的下界；反之对偶
6y2 y3 y4 2
性
s.t.5y12y2 y3 y5 1
x1 x2
质
yi 0(i 1,...,5)
运筹学：对偶理论与灵敏度分析习题与答案
一、填空题1、对偶问题的对偶问题是（）。
正确答案：原问题2、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y﹡b。
正确答案：=3、若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX（）Yb。
正确答案：<=4、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y*b。
正确答案：=5、设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（）。
正确答案：min=Yb YA>=c Y>=06、影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的（）的数量表现。
正确答案：对偶变量7、线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（）。
正确答案：AT8、在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，…n)，则原问题（）。
正确答案：无解二、选择题1、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A. “≥”B. “≤”C. “>”D. “=”正确答案：A2、如果z*是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡满足（）。
A.W﹡=Z﹡B.W﹡≠Z﹡C.W﹡≤Z﹡D.W﹡≥Z﹡正确答案：A3、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B4、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A.≥B.≤C. >D. =正确答案：A5、对偶单纯形法的迭代是从（）开始的。
A.正则解B.最优解C.可行解D.可行解正确答案：A6、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B7、线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（）的影响。
运筹学第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
现在换个角度分析这个问题。假若由于 某种原因，该企业（称为甲方）打算放弃 这些生产项目，而另一家企业（称为乙方）
希望收购这些资源。那么，如何确定三种
资源的转让价格，在自己方不受损失的前
提下、又要乙方愿意接受，使买卖能够成
交？
设三种资源的定价分别为y1，y2，y3 （单位：百元）。对甲方来说，企业甲利用 1吨原料A和5吨原料B，生产一单位甲产品， 收入2百元。转让这些原料的收入不能低于2
对偶问题的特点
•若原问题目标是求极大化，则对偶问 题的目标是极小化，反之亦然 •原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵 •极大化问题的每个约束对应于极小化 问题的一个变量，其每个变量对应于对 偶问题的一个约束。
一 般 线 性 规 划 问 题 的 对 偶 问 题
对偶问题对应表
max z CX AX b X 0
这个性质说明，原问题与对偶问题是 相互对偶的。
定理2（弱对偶定理） 设
X ( x1 , x2 ,, xn )T
与 Y ( y1 , y2 ,, ym ) 分别是（ 2.3）与（2.4） 的可行解，则
C X Yb
。
推论1 极大化问题的任意一个可行解所 对应的目标函数值是其对偶问题最优目标 函数值的一个下界。 推论2 极小化问题的任意一个可行解所对 应的目标函数值是其对偶问题最优目标函 数值的一个上界。
i 1
m
m aij yi c j i 1 y 0 i
j 1,2,, n i 1,2,, m
（2.4）
我们称线性规划（2.4）为线性规划（2.3） 的对偶规划。
写成矩阵形式，原问题
max z CX AX b X 0 它的对偶问题
运筹学线性规划的灵敏度分析与对偶
7
(2) 若 ck 是基变量的系数
设
c
' k
ck
Δc k , 为基变量的价值系数，
则
C
' B
c1
c k Δc k
C B 0
Δc k
σ
' j
cj
C
' B
B
1
P
j
cj
C
' B
P
' j
c j C B 0
Δc k
P
' j
σ j 0
Δc k
P
' j
σ j Δc k a rj
当 所有的
s.t 2x1 x2 3x3 x5 4 x1~x5 0
试求 c3 在多大范围内变动时，原最优解保持不变。
解：最优单纯形表
CI
-2 -3 -4
0
0
CB
XB
b
x1 x2
x3
x4
x5
-3
X2
2/5
0 1 -1/5 -2/5 1/5
-2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
-z
28/5 0 0 -9/5 -8/5 -1/5
10
7
-1
-2
-z
43
0
0 22
-5
-7
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
-3 x2 5/7 -4/7 1
0
-3/7 1/7
-2 x1 11/7 1/7 0
1
-1/7 -2/7
-z
37/7 -24/7 0
0 -11/7 -1/7
管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿
2. 初始单纯表中的基变量Xs=b，迭代后的单 纯形表中为XB= B-1b
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
运筹学线性规划对偶理论和灵敏度分析
建立非对称形式线性规划问题旳对偶模型可采用下 列环节： （1）经过变换，把线性规划问题化为具有对称形式 旳原问题。 （2）根据原问题，写出对偶问题。（此时旳对偶并 非是原线性规划问题旳对偶） （3）经过变量代换等，把参数还原为最初旳形式 （必须做）。
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
对偶问题与灵敏度分析课件
第三章 对偶问题与 灵敏度分析
第一讲 对偶理论 第二讲 灵敏度分析
对偶问题与灵敏度分析
第一一讲、对偶对问偶题 理论
车间
产品 工时单耗
甲
乙
生产能力
A
1
0
8
B
0
2
12
C
3
4
36
单位产品获利 3
5
• 例1中该厂的产品销售，现有另一企业想租赁其设备。 厂方为了在谈判时心中有数，需掌握设备台时费用的 最低价码，以便衡量对方出价，对是否出租做出抉择。
• 对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/2，y3=1 对应于原问题最优 单纯型法表中，初始基变量x3 , x4 , x5的检验数的负值。
对偶问题与灵敏度分析
对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式：变量均为非负，其约束条件当目标函数求极
大时均取“≤”，当目标函数取极小时均取“≥”。
线性规划原问题（P）
S.t. 4x1 +x2 - x3 ≤10 x1 + x2 - x3 = 4 x1 ≥0, x2 ≤0, x3 无限制
Max W= 5y1+10y2+4y3
S.t.
y1+ 4y2+ 1y3 ≤ 5 -y1+ y2+ y3 ≥ 3
2y1 - y2 - y3 =-1
y1≥0, y2≤0, y3 无限制
对偶问题与灵敏度分析
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
对偶问题与灵敏度分析
第一讲 对偶理论 第二个问题：出让定价
• 假设出让设备A、B、C所得利润分别为y1、y2、y3
• 原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于自行生 产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有对甲产品
第一讲 对偶理论 第二讲 灵敏度分析
对偶问题与灵敏度分析
第一一讲、对偶对问偶题 理论
车间
产品 工时单耗
甲
乙
生产能力
A
1
0
8
B
0
2
12
C
3
4
36
单位产品获利 3
5
• 例1中该厂的产品销售，现有另一企业想租赁其设备。 厂方为了在谈判时心中有数，需掌握设备台时费用的 最低价码，以便衡量对方出价，对是否出租做出抉择。
• 对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/2，y3=1 对应于原问题最优 单纯型法表中，初始基变量x3 , x4 , x5的检验数的负值。
对偶问题与灵敏度分析
对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式：变量均为非负，其约束条件当目标函数求极
大时均取“≤”，当目标函数取极小时均取“≥”。
线性规划原问题（P）
S.t. 4x1 +x2 - x3 ≤10 x1 + x2 - x3 = 4 x1 ≥0, x2 ≤0, x3 无限制
Max W= 5y1+10y2+4y3
S.t.
y1+ 4y2+ 1y3 ≤ 5 -y1+ y2+ y3 ≥ 3
2y1 - y2 - y3 =-1
y1≥0, y2≤0, y3 无限制
对偶问题与灵敏度分析
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
对偶问题与灵敏度分析
第一讲 对偶理论 第二个问题：出让定价
• 假设出让设备A、B、C所得利润分别为y1、y2、y3
• 原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于自行生 产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有对甲产品
管理运筹学课件第04-05章对偶问题与灵敏度分析
s.t. X1十2X2－3X3 ≥5
2X1 － 3X2 －2X3≤3
X1十X2十X3 =2 X1，X2，X3 ≥0
(2) max Z=X1十2X2十3X3十4X4 s.t.
－X1十X2－X3 －3X4 =5
6X1十7X2十3X3－5X4 ≥8
12X1－ 9X2 － 9X3十9X4≤20
X1，X2，X3 ，X4≥0
≤
bm
13
二、原问题不符合建立规则的处理
1.原问题为“max ≥”形式
约束条件方程
两端乘以-1
原问题为“max ≤”形式
2.原问题为“min 约束条件方程
≤”形式
两端乘以-1
原问题为“min ≥”形式
3.原问题的每一个约束条件方程对应对偶问题的一 个决策变量qi
➢若第i个约束条件为不等式,则限定qi≥0
7
LP1与LP2的关系：
min Z=6X1十3X2十2X3
s.t. X1十X2十X3
≥20
1/2X1十1/2X2十1/4X3 ≥6
2X1十X2十X3
≥10
X1，X2，X3 ≥0
max w=20q1十6q2十10q3 s.t. q1十1/2q2十2q3 ≤6 q1十1/2q2十q3 ≤3 q1十1/4q2十q3 ≤2 q1 ， q2 ， q3 ≥0
2.将问题变换为统一形式，其中b可以为负数
➢原问题“max ≤” ➢原问题“min ≥”
对偶问题“min ≥” 对偶问题“max ≤”
3.原问题目标函数求max，则对偶问题求min;反之依然
4.对偶问题的目标函数的系数是原问题约束方程的右端 值bi 5.对偶问题的系数矩阵是原问题的系数矩阵的转置矩阵
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检验数为 CN CB B1N与 CB B1
当CN CB B 1N 0并且 CB B 1 0时 线性规划问题有获得最 优解
令Y CB B 1，称为单纯形乘子
sfsf 6
(1) ( 2) (3)
CB B 1 0 C CB B A 0 Y CB B
1 1
Y 0 YA C Yb CB B b z
1
因为Yb的上界 Yb YA C s.t. Y 0
sfsf 7
§4 线性规划的对偶理论
原问题与对偶问题的数学模型
标准对偶问题
原问题标准形式： 对偶问题标准形式：
max z CX AX b s.t. X 0 X ( x1 , x2 ,, xn )T , A (aij ) mn
§3 线性规划的对偶问题的提出
实际问题提出： 某厂生产甲、乙两种产品，产量、利润、设备台时如 下模型所示
甲
乙
资源限量 8 台时 16kg 12kg
矩阵形式
设备 1 台时 2 台时 4 0 原材料 A 0 4 原材料 B
max z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4 x 16 1 s.t. 4 x2 12 x1 , x2 0
sfsf
迭代运算 •. 用非基变量xk替换基变量xs; . • 对主元素行(第s行)，令 bs/ask→bs;asj/ask→asj •. 对主元素列(第k列)，令1→ask；0→其它元素 • 表中其它行列元素 令 aij-asj/ask· aik→aij
bi-bs/ask· aik→bi
1
单纯形表的矩阵表达形式 基变量 非基变量 等式右端
sfsf
min
8 y1 16 y2 12 y3
2 y1 4 y2 s.t. 2 y1 4 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
5
• 理论上
max Z CX AX b s.t X 0 max Z CX
AX IX s b s.t X , Xs 0
甲 乙 资源限量 8 台时 16kg 12kg 设备 1 台时 2 台时 4 0 原材料 A 0 4 原材料 B
min
8 y1 16 y2 12 y3
2 y1 4 y2 s.t. 2 y1 4 y3 3 sfsf y , y , y 0 1 2 3
4
每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相 关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系。
为什么目标取最小？租金定的越高就不会有人来租，问
题就没有实际意义，工厂和接受者都愿意的条件为上述规划 问题的解。 其中Y=（y1，y2，y3）
max z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4 x 16 1 s.t. 4 x2 12 x1 , x2 0
''
原问题（或对偶问题） 目标函数 max z
对偶问题（或原问题） 目标函数 min
n个 0 变量 0 无约束
n个 约束条件
m个 约束条件
约束条件右端项 目标函数变量的系数
变量 无约束 m个 0 0
XB
系数矩阵 检验数 I 0
XN1
B-1N1
XS
B-1 B-1b -CBB-1b
1 ( B 1b)i ( B b) s 1 min 1 ( B Pk )i 0 1 i ( B Pk ) i ( B Pk ) s
CN1-CBB-1N1 -CBB-1
sfsf 2 N1 : 系数矩阵中对应于非基变量中决策变量的子矩阵
添加松弛变量、人工变 量, 列出初始单纯形表 计算非基变量 对应的检验数j 所有j0
复习上次内容：人工变量法
Y
N 对某j0 有aij≤0 N
令k=max{j}
Y
基 变 量 中 有 非 零 的 Y 人无可行解 工 变 量
无界解
N
某非基变 量检验数 为零
N
唯一最优解
Y
无穷多最优解
对 所 有 aik>0 计 算 i=bi/aik 令s=min{i} xs为换出变量 ask为主元素
原关系
≤ ≤ ┇ ≤ max Z= minω
min ω b1 b2 ┇ bm
sfsf
9
如果原问题约束条件是等式约束
max Z CX AX b s.t. X 0
min y ' y s.t. ' y
sfsf
max Z CX AX b s.t. AX b X 0
甲产品：获利2元 乙产品：获利3元
max s.t.
z CX AX b X 0
3
sfsf
从另一个角度讨论这个问题：工厂决定转让设备并 出让原材料收取租金，如何确定租价？ 设y1为出租单位 设备台时的租价， y2，y3分别出让单位原材料Ａ、Ｂ的 附加额。
生产每件产品I的设备台时和原材料出让的所有收入 生产每件产品I的利润！
min ( y ' y '' )b
' '' ( y y )A C s.t. ' '' y , y 0
y' y ''
'
b y b
''
min Yb YA C s.t. Y 自由
11
A y A C y '' 0
min Yb YA C s.t. Y 0 Y ( y1 , y2 ,, ym )
sfsf
8
标准形式下原问题与对偶问题的对应关系
xj yi y1 y2 ┇ ym 对偶关系 maxZ
x1 a11 a21 ┇ am1 ≥ c1
x2 ┅ xn a12 ┅ a1n a22 ┅ a2n ┇ ┇ am2 ┅ amn ≥ ┅ ≥ c2 ┅ cn