2017-2018学年广西桂林市第一中学高二下学期期中检测数学(理)试题 Word版

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2017-2018学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

一个选项是符合题目要求的）1．已知=（λ+1，0，2λ），=（6，0，2），∥，则λ的值为（）A．B．5 C．D．﹣52．函数y=cos2x的导数是（）A．﹣sin2x B．sin2x C．﹣2sin2x D．2sin2x3．已知i是虚数单位，则对应的点在复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（）A．192B．202C．212D．2225．若随机变量X的分布列如下表，且EX=6.3，则表中a的值为（）X 4 a 9P 0.5 0.1 bA．5 B．6 C．7 D．86．已知小王定点投篮命中的概率是，若他连续投篮3次，则恰有1次投中的概率是（）A．B．C．D．7．用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时，应假设（）A．x＞0或y＞0 B．x＞0且y＞0 C．xy＞0 D．x+y＜08．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（）A．P（X≥2）B．P（X≥4）C．P（0≤X≤4） D．1﹣P（X≥4）9．由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）A．B．2﹣ln3 C．4+ln3 D．4﹣ln310．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（）A．20 B．21 C．22 D．2412．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（x+3）为偶函数，f（6）=1，则不等式f（x）＞e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知，则P（AB）= ．14．（e x+x）dx= ．15．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S=（a+b+c）r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V= ．16．若关于x的方程xlnx﹣kx+1=0在区间[，e]上有两个不等实根，则实数k的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤））17．（1）已知A=6C，求n的值；（2）求二项式（1﹣2x）4的展开式中第4项的系数．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=﹣与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程．19．设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=a n2﹣na n+1．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想a n的一个通项公式，并用数学归纳法证明．20．某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B 科合格的概率均为．假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（I）求甲恰好3次考试通过的概率；（II）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望．21．如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）是否存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a最小值．2016-2017学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。

2017-2018学年广西桂林市高二(下)期末数学试卷(理科)

2017-2018 学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.已知P（AB）=P A）=，P B =P B|A）=（），（（），则（A. B. C. D.2.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）A. 演绎推理B. 类比推理C. 合情推理D. 归纳推理3.已知 z1=5+3i ，z2=5+4i ，下列各式中正确的是（）A. z1＞z2B. z1＜z2C. |z1|＞|z2|D. |z1|＜|z2|4.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60 °”时，反设正确的是（）A. C.假设三内角至多有两个大于60°假设三内角至多有一个大于 60°B.D.假设三内角都不大于60°假设三内角都大于 60°5.已知，则与向量共线的单位向量可以是（）A. B.C. D.6.设 f（ n）=1+ + + + （ n＞ 2，n∈N），经计算可得 f（ 4）＞ 2，f（ 8）＞，f（ 16）＞ 3， f（32）＞．观察上述结果，可得出的一般结论是（）A.（2n ）＞（，∈ ） B.（n2）≥（ n≥2， n∈N）f n≥2 n N fC. f（2n）＞（ n≥2，n∈N）D. f（2n）≥（ n≥2， n∈N）7.某学校为了提高学生的意识，防止事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天中恰好有 2 天连续的情况有（）A.10种B. 20种C. 25种D.30种8.设随机变量ξN 3 7P ξ a+2=Pξ a-2），则a=）服从正态分布（，），若（＞）（＜（A. 1B. 2C. 3D.49.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（）10.如图，阴影部分的面积为（）A.2B.2-C.D.11.在二项展开式（1+x）10=a0+a1x+a2x2 + +a10x10中， a1+a3+a5+a7+a9=（）A. 1024B. 512C. 256D. 128g x=x3 2，若对，都有 f（ x ）12.已知函数-x1，（）-g（ x2）≥0，则实数a 的取值范围是（）A. [3，+∞）B. [2，+∞）C. [1，+∞）D. [0，+∞）二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.已知i是虚数单位，则复数z=的共轭复数是______．14.某箱子的容积与底面边长x 的关系为 V（ x）=，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为______．15.已知正四棱锥 P-ABCD 的侧棱与底面所成角为60 °， M 为 PA 中点，连接 DM ，则DM 与平面 PAC 所成角的大小是 ______．16.x- a a-x，其中 e 为自然对数的底数，若存已知函数 f（ x）=x+e ， g（ x）=1 n（ x+2） -4e在实数 x0，使 f（ x0） -g（ x0） =3 成立，则实数 a 的值为 ______．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知二项式．（1）求展开式前 2 项的二项式系数之和；（2）求这个展开式中的常数项．3 2（ 2）求 y=f（ x）在 [-3 ， 0]上的最大值．19.某校从学生会宣传部 6 名成员（其中男生 4 人，女生 2 人）中，任选 3 人参加演讲比赛活动．（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；（2）设所选 3 人中女生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．20. 在数列{ a n } ，已知 a = ， an+1=．1（1）求 a2， a3， a4；（2）猜测 { a n} 的通项公式，并用数学归纳法证明之．21.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1 =AB=AC=1，E，F 分别是 CC1， BC 的中点， AE⊥A1B1， D 为棱 A1B1上的点．（ 1）证明： DF ⊥AE；（ 2）已知存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为，请说明点 D 的位置．22.已知函数 f（ x） =1-ax+ln x．（ 1）若存在 x∈（ 0， +∞），使 f（ x）≥0成立，求实数 a 的范围；（ 2）证明：对于任意n∈N*， n≥2，有．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据条件概率公式 P（B|A）=，P（AB）=，P（A）=，∴P（B|A）===，故选：B．根据根据条件概率公式P（B|A）=计算即可．本题主要考查条件概率公式，关键分清是在哪个条件下发生的，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中所有金属都能导电，是大前提铁是金属，是小前提所以铁能导电，是结论故此推理为演绎推理故选：A．本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S是 M 的子集，那么 S 中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情3.【答案】D【解析】解：∵z1=5+3i，z2=5+4i，∴z1与 z2为虚数，故不能比较大小，可排除 A ，B；又 |z1|=，|z2|==，∴|z1|＜|z2|，可排除 C．故选：D．由于虚数不能比较大小，可用排除法，再利用复数的模比较即可．本题考查复数的模的运算，属于基础题．4.【答案】D【解析】分析：本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于 60°”的否定是：三角形的三个内角都大于 60°，由此得到答案 .证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于 60°”的否定是：三角形的三个内角都大于 60°，故选：D．5.【答案】D【解析】解：∵，∴设与向量共线的单位向量=（m，-m，m），则±=1，解得 m=±，∴与向量共线的单位向量=（，-，），或=（-，，-）．故选：D．设与向量共线的单位向量则=1，由此能求出与向=（m ，-m ，m ）， ±量共线的单位向量．本题考查向量共线的单位向量的求法，考查共线向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【答案】 C6.【解析】解：已知的式子 f （4）＞2， f （8）＞， f （16）＞3， f （32）＞，可化为：f （22）＞，f （23）＞，f （24）＞，f （25）＞，以此类推，可得 f （2n）≥ ，故选：C ．已知的式子可化为 f （22）＞，f （23）＞，f （24）＞，f （25）＞，由此规律可得 f （2n）≥．本题考查归纳推理，把已知的式子变形找规律是解决问题的关键，属基础题．7.【答案】 B【解析】解：某学校为了提高学生的意识，防止事故的发生，拟在未来连续 7 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，选择的 3 天中恰好有 2 天连续紧急疏散演练，假设第一天、第二天进行紧急疏散演练，则另外一次的紧急疏散演练应该安排在第四天至第七天的某一天进行，有4种方法，假设第二天、第三天进行紧急疏散演练，则另外一次的紧急疏散演练应该安排在第五天至第七天的某一天进行，有3种方法，假设第三天、第四天进行紧急疏散演练，则另外一次的紧急疏散演练应该安排在第一天或第六天至第七天的某一天进行，有 3 种方法，假设第四天、第五天进行紧急疏散演练，则另外一次的紧急疏散演练应该安排在第一天、第二天或第七天的某一天进行，有3种方法，假设第五天、第六天进行紧急疏散演练，则另外一次的紧急疏散演练应该安排在第一天至第三天的某一天进行，有3种方法，假设第六天、第七天进行紧急疏散演练，则另外一次的紧急疏散演练应该安排在第一天至第四天的某一天进行，有4种方法，∴由加法原理得：选择的 3 天中恰好有 2 天连续的情况有：4+3+3+3+3+4=20．故选：B．利用枚举法和加法计数原理能求出结果．本题考查选择的 3 天中恰好有 2 天连续的情况种数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意枚举法的合理运用．8.【答案】C【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布 N（3，7），∵P（ξ＞a+2）=P（ξ＜a-2），∴a+2与 a-2 关于 x=3 对称，∴a+2+a-2=6，∴2a=6，∴a=3，故选：C．率相等的区间关于 x=3 对称，得到关于 a 的方程，解方程即可．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是理解正态曲线的特点正态曲线关于直线 x=μ对称，这是一部分正态分布问题解题的依据．9.【答案】 B【解析】设则为 1-x ，解：此射手的命中率是 x ，不能命中的概率根据题意，该射手对同一目标独立地进行 4 次射击，已知至少命中一次的概率为，即 4 次射击全部没有命中目标的概率为 1-= ，4有（1-x ）=解可得，x=故选：B ．，，根据题意，设此射手的命中率是x ，则不能命中的概率为 1-x ，又由题意，可得44 次射击全部没有命中目标的概率为，即（1-x ）= ，解可得答案．本题考查相互独立事件的概率计算，注意利用对立事件概率的性质进行分析解题．10.【答案】 C【解析】题积等于（3-x2）解：由意阴影部分的面-2xdx=（3x- x 3-x 2） =（3- -1）-（-9+9-9）= ，故选：C ．确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．本题考查定积分求面积，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．解：令展开式的 x=1 得 210=a 1+a 2+a 3+ +a 9令 x=-1 得 0=a 1-a 2+a 3-a 4+a11109两式相加 2 =2（a1+a3+a5 +a ）∴a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=29=512故选：B ．通过对 x 赋值 1 得各项系数和，通过对 x 赋值 -1 得正负号交替的各项系数和，把所得的两个式子相加，得到下标是奇数的项的系数和的 2 倍，得到结果．本题考查求展开式的有关系数和问题的重要方法是赋值法，本题解题的关键是看出给变量赋值以后，两个式子相加，得到要求的结果的 2 倍．12.【答案】 C【解析】题）在[ ]上的最小值不小于 g （x ）在[]上的最大值，解：由意，f （xg ′（x ）=3x 2-2x=3x （x- ），可知，在（为正，，g （2）=4，即 g （x ）在[] 上的最大值为 4，∴≥4，在[ ] 上恒成立，得 a ≥x -2lnx 在[]上恒成立，令 h （x ）=x-x 2lnx ，，则 h ′（x ）=1-2xlnx-x ，令 p （x ）=1-2xlnx-x ，则 p ′（x ）=-3-2lnx ，可知，∴h ′（x ）在[ ] 上递减，而 h ′（1）=0，∴h （x ）在[ ] 递增，在[1 ，2]递减， ∴h （x ）在[] 上的最大值为 h （1）=1，∴a ≥1，故选：C ．由题意知 f （x ）的最小值大于或等于 g （x ）的最大值，首先找到 g （x ）的最大值，而后结合 f （x ）得到关于a 的不等式恒成立的问题，再引进新的函数，利用导数寻求最值，最终得解．此题考查了不等式恒成立，导数的综合应用，综合性强，难度较大．13.【答案】 -1-i【解析】解 z== = ，则 z 的共轭复数，故答案为：-1-i根据复数的四则运算进行化简，即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念，利用复数的四则运算先进行化简是解决本题的关键，比较基础．14.【答案】 40【解析】解：∵V （x ）=x 2（）（0＜x ＜60），∴V ′ =60x- ，0＜x ＜60，令 V ′=60x- =0，解得 x=0（舍去），或x=40，并求得 V （40）=16000．当 x ∈（0，40）时，V'（x ）＞0，V （x ）是增函数；当 x ∈（40，60）时，V ′（x ）＜0，V （x ）是减函数，V （40）=16000 是最大值．∴当箱子容积最大，箱子的底面边长为 40．故答案为：40．令 V′=60x-=0，解得 x=0（舍去），或x=40，由此能求出当箱子的容积最大时，箱子的底面边长．本题考查函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，容易出错，是高考的重点．解题时要注意导数的灵活运用．【答案】 45°15.【解析】连连解：接 AC 、BD，AC∩BD=O ，接设MO ， AB=a，∵正四棱锥 P-ABCD ，∴PO⊥面 ABCD ，BD? 面 ABCD ，PO⊥BD ，BD⊥AC ，又∵PO∩AC=O ，∴BD ⊥面 PAC，∴∠DMO 即 DM 与平面 PAC 所成角．AB=a，AO=侧棱与底面所成角为60°，即∠PAO=60°，a，又在 Rt△PAO 中，PA=a，M 为 PA 中点，∴OM= PA=a，在Rt△DMO 中，DO=a，OM=a，∴∠DMO=45°，故答案为：45°．要求线面角，关键找到面 PAC 的垂线，即 BD ，从而∠DMO 即是，然后在三角形中计算角的大小．本题考查线面角的计算，关键是作出线面角，属于中档题．16.【答案】-1-ln2【解析】解：令f（x）-g（x）=x+e x-a-1n（x+2）+4ea-x，令 y=x-ln （x+2），y′=1-=，故 y=x-ln （x+2）在（-2，-1）上是减函数，（-1，+∞）上是增函数，故当 x=-1 时，y 有最小值-1-0=-1，而 e x-a +4e a-x≥4，（当且仅当 e x-a =4e a-x，即x=a+ln2 时，等号成立）；故 f （x ）-g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故 x=a+ln2=-1，即 a=-1-ln2．故答案为：-1-ln2．令 f （x ）-g （x ）=x+ex-a -1n （x+2）+4e a-x，从而可证明 f （x ）-g （x ）≥3，从而解得．本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用．1，展开式前 2项的二项式系数之和为 + =1+6=7．17【.答案】解：（）对于二项式（ 2）对于二项式，展开式的通项公式为T r +1= ?，令 6-=0，求得 r=4，故这个展开式中的常数项为 = =15．【解析】（1）由题意可得展开式前 2 项的二项式系数之和为 + ，计算求得结果．（2）在通项公式中，令未知数的幂指数等于零，求得 r 的值，可得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应项项项式系数的性用，二展开式的通公式，二质础题．，属于基18.【答案】解：（ 1322）由 f （ x ）=x +ax +bx+5 得， f ′（ x ）=3x +2ax+b ，∴y=f （x ）在点 P （ 1， f （ 1））处的切线方程为： y-f （ 1） =f ′（ 1）（ x-1），即 y-（ a+b+6） =（ 3+2a+b ）（ x-1），整理得 y=（ 3+2a+b ） x+3-a ．又 ∵y=f （ x ）在点 P （ 1， f （1））处的切线方程为 y=3x+1，∴，解得，∴a=2， b=-4．（ 2）由（ 1）知 f （ x ）=x 3+2x 2-4x+5， 2f'（ x ） =3x +4x-4=（ 3x-2）（ x+2），令 f'（ x ） =0，得 x= 或 x=-2．而 f（ -2） =13 ， f（ -3） =8， f（ 0） =5，∴f（x）在 [-3 ， 0]上的最大值为13．【解析】（1）先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出 a 和 b 的值；（2）由（1）求出f ′（x），再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值对间上的最大值．，比后求出函数在已知区本题考查了导数的几何意义导单调值值关系，属于，数与函数的性、极和最中档题．19.【答案】解：（1）某校从学生会宣传部 6 名成员（其中男生 4 人，女生 2 人）中，任选 3 人参加演讲比赛活动．基本事件总数n= =20，男生甲或女生乙被选中包含的基本事件个数：m==16 ，∴男生甲或女生乙被选中的概率p= = = ．（ 2）设所选3人中女生人数为ξ，则ξ的可能取值为0， 1， 2，P（ξ =0）==，P（ξ =1）== ，P（ξ =2）== ，∴ξ的分布列为：ξ012 P∴Eξ==1．【解析】总=20，男生甲或女生乙被选中包含的基本事件个数 m=（1）基本事件数 n==16，由此能求出男生甲或女生乙被选中的概率．（2）设所选 3 人中女生人数为ξ，则ξ的可能取值为 0，1，2，分别示出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）a1=， a n+1=，∴a2=a1=?a3=?a2 =a4=?a3 = ，（ 2）猜想 a n=，证明如下：①当n=1 时，猜想成立，②假设当 n=k 时，等式成立，即a k=，那么当 n=k+1 时，即 a k+1=?==，由①②可得 a n=，对任意 n∈N* 都成立．【解析】（1）利用已知条件直接求解求 a2，a3，a4的值；（2）通过（1）直接猜想数列{a n} 的通项公式，并利用数学归纳法证明步骤直接证明即可．本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式设 P（n）是关于自然数 n 的命题，若1°P（n ）成立2°假设则（）成立（≥n），可以推出（）成立， P（）00对一切大于等于 n0的自然数 n 都成立．21【. 答案】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA 1⊥AB， AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面 A1ACC1，又∵AC? 面 A1ACC1，∴AB ⊥AC，以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则有 A（ 0，0，0）， E（ 0，1，）， F（，，0），A1（ 0， 0，1）， B1（1， 0， 1），设 D（ x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z-1） =λ（ 1，0， 0），则D（λ 0 1），所以=（，，-1），，，∵=（01?==0DF AE ，，），∴，所以⊥ ；（ 2）结论：存在一点D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为．理由如下：设面 DEF 的法向量为=（ x， y， z），则，∵=（，，）， =（， -1），∴，即，令 z=2（ 1-λ），则 =（ 3， 1+2λ， 2（ 1-λ））．由题可知面 ABC 的法向量 =（ 0，0， 1），∵平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以当 D 为 A1B1中点时满足要求．【解析】（1）先证明 AB ⊥AC ，然后以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz ，则能写出各点坐标，由与共线可得D（λ，0，1），所以?=0，即DF⊥AE ；（2）通过计算，面DEF 的法向量为可写成=（3，1+2λ，2（1-λ）），又面ABC 的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键题，属中档．22.【答案】（）解：存在x ∈（，），使（）成立，?x∈（，），（）10 +∞ f x≥00+∞f x max ≥0．函数 f（ x） =1- ax+ln x（x＞ 0）， f′（ x） =-a+．a≤0时，函数 f（ x）在 x∈（ 0， +∞）上单调递增， x→ +∞时， f（ x）→ +∞，满足题意．a＞ 0 时， f′（ x） =-a+ =．可得 x= 时，函数 f（ x）取得极大值即最大值，=1-1+ln≥0，化为： ln a≤0，解得 0＜ a ≤1．综上可得：实数a 的范围是（ -∞， 1]．（ 2）证明：由（ 1）可得：取 a=1 时， lnx ≤x-1． x ∈（ 0，+∞）．下面证明： x-1＜ -，即证明： x 3-x 2-x+2＞ 0．令 g （ x ）=x 3 -x 2-x+2， x ∈（0， +∞）． g ′（ x ）=3x 2-2x-1=（ 3x+1 ）（ x-1）．可得： x=1 时，函数 g （ x ）取得极小值即最小值，∴g （ x ） ≥g （ 1） =1＞ 0．∴ln x ＜ -，∴ ＜-．取 n ∈N * ， n ≥2．则- ．∴+++＜-= ．∴对于任意 n ∈N * ，n ≥2，有．【解析】（1）存在x ∈（0，+∞），使f （x ）≥0成立，? x ∈（0，+∞），f （x ） ≥0．函数 f （x ）max对类讨论导单调性极=1-ax+lnx （x ＞ 0），f （′x ）=-a+ ． a 分，利用数研究函数的值与最值即可得出．（2）由（1）可得：取a=1 时证 - ，，lnx ≤x -1．x ∈（0，+∞）．下面明：x-1＜即证 x 3 2 3 2 -x+2 ∞ 导明： -x -x+2＞ 0．令g （x ）=x -x ，x ∈（0，+ ）．利用数研究函数的单调性极值与最值．可得 lnx ＜ -，即可得出＜ -．取 n ∈N *，n ≥2．可得-．进而证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2017-2018学年广西桂林市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

数，若存在实数 x0，使 f（x0）﹣g（x0）＝3 成立，则实数 a 的值为
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10 分）已知二项式．
（1）求展开式前 2 项的二项式系数之和；（2）求这个展开式中的常数项． 18．（12 分）已知函数 f（x）＝x +ax +bx+5（a，b∈R），曲线 y＝f（x）在 x＝1 处的切线方程为 y＝3x+1．（1）求 a，b 的值；（2）求 y＝f（x）在[﹣3，0]上的最大值． 19．（12 分）某校从学生会宣传部 6 名成员（其中男生 4 人，女生 2 人）中，任选 3 人参加演讲比赛活动．（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；（2）设所选 3 人中女生人数为 ξ，求 ξ 的分布列和期望． 20．（12 分）在数列{an}，已知 a1＝，an+1＝（1）求 a2，a3，a4；（2）猜测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明之． 21．（12 分）在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F 分别是 CC1，BC 的中点，AE⊥A1B1，D 为棱 A1B1 上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）已知存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为明点 D 的位置．，请说．
10．（5 分）如图，阴影部分的面积为（
A．2
B．2﹣
10
C．
2 10
D．）
11．（5 分）在二项展开式（1+x）＝a0+a1x+a2x +…+a10x 中，a1+a3+a5+a7+a9＝（ A．1024 12．（5 分）已知函数 B．512 C．256 ，g（x）＝x ﹣x ，若对） D．[0，+∞）

广西桂林市2017-2018学年高二下学期期末考试(理)数学试题及答案解析

广西桂林市2017-2018学年高二下学期期末考试(理)第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知3()10P AB =，3()5P A =，3()4P B =，则(|)P B A =（） A ．12 B ．950C ．25D ．910 2.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”.此推理类型属于（）A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理3.已知复数153z i =+，254z i =+，下列选项中正确的是（）A ．12z z >B ．12z z <C ．12z z <D ．12z z >4.用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）A ．假设三内角至多有一个大于60︒B ．假设三内角至多有两个大于60︒C ．假设三内角都不大于60︒D ．假设三内角都大于60︒5.已知()1,1,1a =-，则与向量a 共线的单位向量可以是（）A ．()1,1,1n =-B ．111,,333n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．333,,333n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭D ．333,,333n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭6.设()()11112,23f n n n N n =+++⋅⋅⋅+>∈，经计算可得(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >.观察上述结果，可得出的一般结论是（） A ．()()2122,2n f n n n N +>≥∈ B ．()()222,2n f n n n N +>≥∈ C ．()()2122,2nnf n n N +>≥∈ D ．()()222,2n n f n n N +>≥∈7.某学校为了提高学生的安全意识，防止事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的情况有（）A ．10种B ．20种C ．25种D ．30种8.设随机变量ξ服从正态分布(3,7)N ，若(2)(2)P a P a ξξ>+=<-，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．49.对同一目标独立地进行四次射击，至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为（） A ．13 B ．23 C ．14 D ．1510.如图，阴影部分的面积是（）A ．32 B ．23- C ．353 D ．32311.在二项展开式1021001210(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+中，13579a a a a a ++++=（）A ．1024B ．512C ．256D ．12812.已知函数()ln 3af x x x x =++，()32g x x x =-，若对121,,23x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，都有()()120f x g x -≥，则实数a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i 是虚数单位，则复数32iz i -+=+的共轭复数是．14.某箱子的容积与底面边长x 的关系为()()()21600602V x x x x =-<<，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为． 15.已知正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成角为60︒，M 为PA 的中点，连接DM ，则DM 与平面PAC 所成角的大小是．16.已知函数()x a f x x e -=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （1）求展开式前2项的二项式系数之和；（2）求这个展开式中的常数项.18.已知函数32()5(,)f x x ax bx a b R =+++∈，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为31y x =+.（1）求a ，b 的值；（2）求 ()y f x =在[]3,0-上的最大值.19.某校从学生会宣传部6名成员（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加演讲比赛活动.（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；（2）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列和期望.20.在数列{}n a ，已知112a =，()*12n n n a a n N n +=∈+. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜测{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明之.21.在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1CC ，BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点.（1）证明：DF AE ⊥；（2）已知存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414，请说明点D 的位置.22.已知函数()1ln f x ax x =-+.（1）若存在()0,x ∈+∞，使()0f x ≥成立，求实数a 的范围；（2）证明：对于任意*n N ∈，2n ≥，有22222ln 2ln3ln 4ln 12342(1)4n n n n +++⋅⋅⋅+<-+.。

2016-2017年广西桂林中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年广西桂林中学高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x2﹣2x＜0}，N＝{x|x≤1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．（0，1] 2．（5分）已知复数（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（）A．B．C．D．3．（5分）等差数列{a n}中，a7+a9＝16，a4＝1，则a12＝（）A．15B．30C．31D．644．（5分）在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z＝2x+y的最大值是（）A．6B．4C．2D．05．（5分）“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与y＝垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知△ABC的边BC上有一点D满足＝3，则可表示为（）A．＝﹣2+3B．＝+C．＝+D．＝+8．（5分）如图曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n为（）A．9B．11C．13D．1510．（5分）已知x＞0，y＞0，x+y+＝2，则x+y的最小值是（）A．B．1C．D．11．（5分）函数f（x）在定义域（0，+∞）内恒满足：①f（x）＞0；②2f（x）＜xf′（x）＜3f（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜12．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为M．直线FM交抛物线y2＝﹣4cx于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos2θ＝．14．（5分）将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为．15．（5分）如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为．16．（5分）已知函数f（x）＝﹣kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b sin A （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c＝5，求b．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝2a n﹣1（1）求证数列{a n﹣1}是等比数列（2）设b n＝n•（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x（1）若x＝﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[﹣1，a]上的最大值和最小值．（2）若f（x）在区间上[1，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．20．（12分）在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，AB∥EF，∠BAD ＝∠ADC＝，平面ADE⊥平面ABCD，EF＝2DC＝4AB＝4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．21．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）和直线l：﹣＝1，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点E（﹣1，0），若直线m过点P（0，2）且与椭圆相交于C，D 两点，试判断是否存在直线m，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝（m，n为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝；（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）＝f′（x）•（其中f'（x）为f（x）的导函数），证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．2016-2017学年广西桂林中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x2﹣2x＜0}，N＝{x|x≤1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．（0，1]【解答】解：M＝{x|0＜x＜2}；∴M∩N＝（0，1]．故选：D．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（）A．B．C．D．【解答】解：复数＝＝，那么z的共轭复数为＝．故选：B．3．（5分）等差数列{a n}中，a7+a9＝16，a4＝1，则a12＝（）A．15B．30C．31D．64【解答】解：方法一：设公差等于d，由a7+a9＝16可得2a1+14d＝16，即a1+7d ＝8．再由a4＝1＝a1+3d，可得a1＝﹣，d＝．故a12 ＝a1+11d＝﹣+＝15，方法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a p+a q＝a m+a n，即p+q＝m+n∵a7+a9＝a4+a12∴a12＝15故选：A．4．（5分）在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z＝2x+y的最大值是（）A．6B．4C．2D．0【解答】解：根据不等式，画出可行域，由，可得x＝3，y＝0平移直线2x+y＝0，∴当直线z＝2x+y过点A（3，0）时，z最大值为6．故选：A．5．（5分）“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与y＝垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＝2时直线y＝﹣ax+2的斜率是﹣2，直线y＝的斜率是2，满足k1•k2＝﹣1∴a＝2时直线y＝﹣ax+2与y＝垂直，直线y＝﹣ax+2与y＝垂直，则﹣a•a＝﹣1，解得a＝±2，“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与y＝垂直”的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═＝．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．7．（5分）已知△ABC的边BC上有一点D满足＝3，则可表示为（）A．＝﹣2+3B．＝+C．＝+D．＝+【解答】解：由＝3，则＝+＝+＝+（﹣）＝+，故选：B．8．（5分）如图曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由于曲线y＝x2（x＞0）与y＝的交点为（），而曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形（阴影部分）的面积为S＝，所以围成的图形的面积为S＝＝（x﹣x3）| +（x3﹣x）|＝．故选：D．9．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n为（）A．9B．11C．13D．15【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足S＝1•…＜的最大的正整数n+2的值，∵S＝1•3•…•13＞2017∴输出n＝13．故选：C．10．（5分）已知x＞0，y＞0，x+y+＝2，则x+y的最小值是（）A．B．1C．D．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y+＝2，∴由基本不等式可得x+y+＝2≤x+y+，∴x+y≥．故选：C．11．（5分）函数f（x）在定义域（0，+∞）内恒满足：①f（x）＞0；②2f（x）＜xf′（x）＜3f（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜【解答】解：令g（x）＝，x∈（0，+∞），g′（x）＝，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴f（x）＞0，0＜，∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴g（1）＜g（2），即4f（1）＜f（2），＜；令h（x）＝，x∈（0，+∞），h′（x）＝，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴h′（x）＝＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（1）＞h（2），即f（1）＞，＞，故选：D．12．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为M．直线FM交抛物线y2＝﹣4cx于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵若，∴M是FN的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．∵OM为△NF2F1的中位线．|OM|＝a，∴|NF1|＝2 a．∵OM⊥MF，∴NF2⊥NF1，于是可得|NF|＝2b，设N（x，y），则c﹣x＝2a，于是有x＝c﹣2a，y2＝﹣4c（c﹣2 a），过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a．由勾股定理得y2+4a2＝4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4 a2＝4（c2﹣a2），变形可得c2﹣a2＝ac，两边同除以a2有e2﹣e﹣1＝0，所以e＝，负值已经舍去．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos2θ＝．【解答】解：∵，则cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×＝，故答案为：．14．（5分）将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为50．【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n ﹣1）＝＝个数，∴第n行从左向右的第5个数为+5，把n＝10代入可得第10行从左向右的第5个数为50，故答案为：50．15．（5分）如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，它由正方体的后上部分的三棱柱，切去一个同底同高的三棱锥得到，故体积V＝×（1﹣）×2×2×2＝故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝﹣kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（0，）．【解答】解：由f（x）＝﹣kx＝0，得＝kx，∵x≠0，∴k＝，令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝1，当x＞2或x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴当x＝2时，函数有极小值，即g（2）＝，且当x＜0，时，g（x）∈（0，+∞），∵函数f（x）＝﹣kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，结合图象可得，∴0＜k＜，故答案为：（0，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b sin A （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c＝5，求b．【解答】解：（Ⅰ）由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝27+25﹣45＝7．所以，．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1＝2a n ﹣1 （1）求证数列{a n ﹣1}是等比数列（2）设b n ＝n •（a n ﹣1），求数列{b n }的前n 项和S n ．【解答】解：（1）证明：∵a n +1＝2a n ﹣1，变形为：a n +1﹣1＝2（a n ﹣1）， ∴数列{a n ﹣1}是等比数列，首项为1，公比为2， ∴a n ﹣1＝2n ﹣1，即a n ＝1+2n ﹣1．（2）b n ＝n •（a n ﹣1）＝n •2n ﹣1，∴数列{b n }的前n 项和S n ＝1+2×2+3×22+…+n ×2n ﹣1，① ∴2S n ＝2+2×22+…+（n ﹣1）×2n ﹣1+n •2n ，② 由①﹣②，得﹣S n ＝1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n ＝﹣n •2n ＝（1﹣n ）•2n ﹣1．∴S n ＝（n ﹣1）•2n +1．19．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣ax 2﹣3x（1）若x ＝﹣是f （x ）的极值点，求f （x ）在[﹣1，a ]上的最大值和最小值．（2）若f （x ）在区间上[1，+∞）是增函数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f ′（x ）＝3x 2﹣2ax ﹣3，x ＝﹣是f （x ）的极值点，则f ′（﹣）＝3×+2a ×﹣3＝0，解得a ＝4，f （x ）＝x 3﹣4x 2﹣12，f ′（x ）＝3x 2﹣8x ﹣3＝（x ﹣3）（3x +1）＝0，解得x ＝﹣，3，x ，f （x ），f ′（x ）变化如下表：）所以f（x）max＝f（﹣）＝，f（x）min＝f（3）＝18（2）函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x求导得f′（x）＝3x2﹣2ax﹣3，f（x）在区间上[1，+∞）是增函数，则f′（x）＝3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）恒成立，即a在[1，+∞）恒成立，a，y＝x﹣在[1，+∞）为增函数，则（x﹣）min＝0∴a≤0，∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]20．（12分）在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，AB∥EF，∠BAD ＝∠ADC＝，平面ADE⊥平面ABCD，EF＝2DC＝4AB＝4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，4，），＝（﹣1，﹣1，），＝（﹣1，4，），＝（﹣2，2，0），＝1﹣4+3＝0，＝2﹣2＝0，∴BE⊥AF，BE⊥AC，又AF∩AC＝A，∴BE⊥平面ACF．解：（Ⅱ）＝（﹣2，1，0），＝（﹣1，3，），设平面BCF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣），平面ABC的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为﹣．21．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）和直线l：﹣＝1，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点E（﹣1，0），若直线m过点P（0，2）且与椭圆相交于C，D 两点，试判断是否存在直线m，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由直线，∴，即4a2b2＝3a2+3b2﹣﹣①又由，得，即，又∵a2＝b2+c2，∴﹣﹣②将②代入①得，即，∴a2＝3，b2＝1，c2＝2，∴所求椭圆方程是；（Ⅱ）①当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x＝0，则直线m与椭圆的交点为（0，±1），又∵E（﹣1，0），∴∠CED＝90°，即以CD为直径的圆过点E；②当直线m的斜率存在时，设直线m方程为y＝kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），由得（1+3k2）x2+12kx+9＝0，由△＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝36k2﹣36＞0，得k＞1或k＜﹣1，∴，，∴y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4∵以CD为直径的圆过点E，∴EC⊥ED，即，由，，得（x1+1）（x2+1）+y1y2＝0，∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5＝0，∴，解得，即；综上所述，当以CD为直径的圆过定点E时，直线m的方程为x＝0或．22．（12分）已知函数f（x）＝（m，n为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝；（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）＝f′（x）•（其中f'（x）为f（x）的导函数），证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【解答】解：（Ⅰ）由得（x＞0）．由已知得，解得m＝n．又，即n＝2，∴m＝n＝2．…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令p（x）＝1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，p（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，p（x）＜0，又e x＞0，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调增区间是（0，1），f（x）的单调减区间是（1，+∞）．…（8分）（Ⅲ）证明：由已知有，x∈（0，+∞），于是对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2等价于，由（Ⅱ）知p（x）＝1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴p'（x）＝﹣lnx﹣2＝﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞）．易得当x∈（0，e﹣2）时，p'（x）＞0，即p（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，p'（x）＜0，即p（x）单调递减．所以p（x）的最大值为p（e﹣2）＝1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．设q（x）＝x﹣ln（1+x），则，因此，当x∈（0，+∞）时，q（x）单调递增，q（x）＞q（0）＝0．故当x∈（0，+∞）时，q（x）＝x﹣ln（1+x）＞0，即．∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜．∴对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．…（14分）。

2016-2017年广西桂林一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年广西桂林一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）在复平面内，复数z＝（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A．B．个C．个D．个5．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个6．（5分）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种7．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4 8．（5分）曲线y＝在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2＝0B．x+y﹣2＝0C．x+4y﹣5＝0D．x﹣4y﹣5＝09．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A．300种B．240种C．144种D．96种11．（5分）若函数f（x）＝kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）已知点P在曲线y＝上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0，）B．[，）C．（，]D．[，π）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m ＝．14．（5分）设z＝（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为．15．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）．x＝0是f（x）的极值点，则m＝，函数的增区间为减区间为．16．（5分），曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处切线为y＝e（x﹣1）+2，则a+b＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）有8件产品，其中一等品3件，二等品3件，三等品2件，从中任意抽取4件．（1）没有一等品的不同抽法有多少种？（2）一等品，二等品，三等品至少一件的不同抽法有多少种？18．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+2．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝DC＝AB＝1，M为PB中点．（1）证明：CM∥平面P AD；（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：P A⊥BD；（II）若PD＝AD，求AD与平面P AB所成角的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f（x）在点（0，f （0））处切线方程为y＝4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．22．（12分）设a为实数，函数f（x）＝e x﹣2x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．2016-2017学年广西桂林一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝（1，3），B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）＝2i，∴z＝＝﹣1+i故选：A．3．（5分）在复平面内，复数z＝（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z＝＝＝i+1的共轭复数1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．4．（5分）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A．B．个C．个D．个【解答】解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为∴由分步计数原理可得不相同的牌照号码共个故选：A．5．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，各位数字之和为奇数的有两类：①两个偶数一个奇数：有C31A33＝18个；②三个都是奇数：有A33＝6个．∴根据分类计数原理知共有18+6＝24个．故选：B．6．（5分）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【解答】解：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种．故选：D．7．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【解答】解：∵z＝＝＝﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．8．（5分）曲线y＝在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2＝0B．x+y﹣2＝0C．x+4y﹣5＝0D．x﹣4y﹣5＝0【解答】解：y＝的导数为y′＝＝﹣，可得在点（1，1）处的切线斜率为﹣1，则所求切线的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即为x+y﹣2＝0．故选：B．9．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB＝a，AA1＝2a，∴A1B＝C1B＝a，A1C1＝a，∠A1BC1的余弦值为，故选：D．10．（5分）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A．300种B．240种C．144种D．96种【解答】解：根据题意，由排列公式可得，首先从6人中选4人分别到四个城市游览，有A64＝360种不同的情况，其中包含甲到巴黎游览的有A53＝60种，乙到巴黎游览的有A53＝60种，故这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有360﹣60﹣60＝240种；故选：B．11．（5分）若函数f（x）＝kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：f′（x）＝k﹣，∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y＝在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．12．（5分）已知点P在曲线y＝上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0，）B．[，）C．（，]D．[，π）【解答】解：因为y＝上的导数为y′＝﹣＝﹣，∵e x+e﹣x≥2＝2，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴π≤α＜π．即α的取值范围是[π，π）．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m ＝﹣2．【解答】解：∵复数z＝（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2＝0，m2﹣1≠0，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2．14．（5分）设z＝（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．【解答】解：z＝（2﹣i）2＝4﹣4i+i2＝3﹣4i．所以，|z|＝＝5．故答案为5．15．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）．x＝0是f（x）的极值点，则m＝1，函数的增区间为（0，+∞）减区间为（﹣1，0）．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），∴f′（x）＝e x﹣，又∵x＝0是f（x）的极值点，∴f′（0）＝1﹣＝0，解得m＝1．（2）由（1）知，函数f（x）＝e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵f′（x）＝．设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+1）+e x＞0，则g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）＝0，∴当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．故f（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；故答案为：1，（0，+∞），（﹣1，0）．16．（5分），曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处切线为y＝e（x﹣1）+2，则a+b＝3．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝ae x lnx+•e x﹣•e x﹣1+•e x﹣1，由题意可得f（1）＝2，f′（1）＝e，故a＝1，b＝2；故a+b＝3，故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）有8件产品，其中一等品3件，二等品3件，三等品2件，从中任意抽取4件．（1）没有一等品的不同抽法有多少种？（2）一等品，二等品，三等品至少一件的不同抽法有多少种？【解答】解：（1）根据题意，有8件产品，其中一等品3件，二等品3件，三等品2件，没有一等品，即在3件二等品、2件三等品中任取4件即可，有C54＝5种取法，则没有一等品的不同抽法有5种，（2）根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4件产品中有2件一等品、1件二等品、1件三等品，有C32C31C21＝18种取法；②、取出的4件产品中有1件一等品、2件二等品、1件三等品，有C31C32C21＝18种取法；③、取出的4件产品中有1件一等品、1件二等品、2件三等品，有C31C31C22＝9种取法；则不同的取法有18+18+9＝45种；故一等品，二等品，三等品至少一件的不同抽法有45种．18．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+2．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值．【解答】解：（1）由f（x）＝x3﹣3x2+2，所以f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．…（2分）由f′（x）＞0知：x＜0或x＞2时；由f′（x）＜0知：0＜x＜2时．…（5分）所以，函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0），（2，+∞）．单调递减区间是（0，2）．…（6分）（2）f′（x）＝3x2﹣6x．令f′（x）＝0，解得x＝2或x＝0，…（7分）当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：…（10分）因此，当x＝2时，f（x）有极小值，且f（2）＝﹣2当x＝0时，f（x）有极大值，且f（0）＝2…（12分）19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝DC＝AB＝1，M为PB中点．（1）证明：CM∥平面P AD；（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点N，连结MN，CN，∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝DC＝AB＝1，M为PB中点，∴MN∥P A，CN∥AD，∵MN∩CN＝N，P A∩AD＝A，MN，CN⊂平面MNC，P A，AD⊂平面P AD，∴平面MNC∥平面P AD，∵CM⊂平面MNC，∴CM∥平面P AD．解：（2）以A为原点，AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），M（0，1，），＝（1，0，﹣），＝（0，﹣1，﹣），＝（0，1，﹣），设平面AMC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝2，得＝（1，﹣1，2），设平面BMC的法向量＝（a，b，c），则，取c＝2，得＝（1，1，2），设二面角A﹣MC﹣B的平面角为θ，则cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：P A⊥BD；（II）若PD＝AD，求AD与平面P AB所成角的正弦值．【解答】解：令AB＝2AD＝2，（Ⅰ）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，由余弦定理得DB＝，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥PD，∵AD∩PD＝D，∴BD⊥平面P AD，∵P A⊂平面P AD，∴P A⊥BD．（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）．C（﹣1，，0），D（0，0，0），则，，，设平面P AB的法向量为＝（x，y，z），则，因此可取），cos＜，＞＝﹣，∴AD与平面P AB所成角的正弦值为21．（12分）已知函数f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f（x）在点（0，f （0））处切线方程为y＝4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）＝e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4∴f（0）＝4，f′（0）＝4∴b＝4，a+b＝8∴a＝4，b＝4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）＝4e x（x+2）﹣2x﹣4＝4（x+2）（e x﹣），令f′（x）＝0，得x＝﹣ln2或x＝﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）＝4（1﹣e﹣2）．22．（12分）设a为实数，函数f（x）＝e x﹣2x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）＝e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）＝e x﹣2，x∈R．令f′（x）＝0，得x＝ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x＝ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）＝e ln2﹣2ln2+2a＝2（1﹣ln2+a），无极大值．（Ⅱ）证明：设g（x）＝e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）＝e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）＝2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）＝0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．。

广西桂林市第一中学2017-2018年高二下学期期中检测数学文试题含答案精品

桂林市第一中学2017～2018学年度下学期期中质量检测高二数学(文科)（用时120分钟，满分150分）注意事项：1．试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无效．．．．．．．．．．； 2．考试结束后，只将答题卡交回，试题卷不用交．．．．．．．．．．．．．．，自己保管好以备讲评使用。

⊙7.已知3.121-⎪⎭⎫⎝⎛=a ，1.02=b ，3log 21=c ，则（）A. c b a >>B. c a b >>C. b a c >>D.a b c >>8.等差数列{}n a 的公差为2，若842,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和为（）A. n n -2B.n n +2C. 22n n +D.22nn -9.将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin 2)(πx x f 向左平移4π个单位长度后，所得图象对应的函数为（） A.)122sin(2π+=x yB.)1252sin(2π-=x yC.)62cos(2π-=x yD.)322sin(2π-=x y 10.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（） A .81 B. 71 C. 61 D.5111.若曲线⎪⎭⎫⎝⎛∈=ππ,2,cos x x y 在点P 处的切线与直线02=+y x 平行，则点P 的坐标为（）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,65π B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,65π C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,6π D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,6π 12. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆1:2222=+by a x C ()0>>b a 的左焦点，B A 、分别是C左、右顶点， P 为C 上一点，且x PF ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（） A. 31 B. 21 C. 32 D. 43二、填空题（每题5分，共20分）13.若y x ,满足约束条件,,0303,01⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥++≥+-x y x y x 则y x z 2-=的最小值为 .14.函数1ln )(+-=x x x f 的单调递减区间为 . 15 .若直线01=-+ny mx )0,0(>>n m 被圆()()11122=-+-y x 截得的弦长为2，则nm 21+的最小值为 . 16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知.,1,312++∈+==N n S a S n n 则该数列的通项公式为 .三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos cos 2B a A b C c +=(1)求角C 的大小；(2)若ABC ∆的内切圆半径为2，且34=b ，求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中,所有选报某类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 等的考生有10人.(1)若等级E D C B A ,,,,分别对应分，分，分，分，分，12345求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;(2)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数;(3)如果参加本场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,求所抽取的两人的两科成绩均为A 的概率.19．(本小题满分12分）已知A B 、为椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：的左、右顶点，||4AB =，且点⎛ ⎝⎭在椭圆M 上.（1）求椭圆M 的标准方程.（2）若点000(,)(0)P x y y ≠为直线4x =上任意一点，PA PB 、交椭圆M 于C D 、两点，求四边形ACBD 面积的最大值．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AC ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AC ，P A=AD=2. 四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB=BC=1.点E 、F 分别为侧棱PB 、PC 上的点,且E D C B AE D C B A(0).PE PF PB PCλλ==≠ (1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)当λ=12时，求点D 到平面AFB 的距离.21.(本小题满分12分）已知函数11()ln (0).f x a x x a a x ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭（1）若12a =，求()f x 的极值点. （2）若曲线()y f x =上总存在不同两点()()1122,(),,()P x f x Q x f x ，使得曲线()y f x =在P 、Q 两点处的切线平行，求证：122x x +>.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标糸与参数方程](本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2ρ=.(1)分别写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知M 、N 分别为曲线C 1的上、下顶点，点P 为曲线C 2上任意一点，求PM PN +的最大值.桂林一中2018年高二下段考文科数学参考答案二．填空题（每题5分，共20分）13.14. 15.16.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）解：（1）由正弦定理及已知有2分3分,5分6分（2）等面积法有…………………………………………7分即化简得：①8分由余弦定理得：，②………………………………………………………………9分联立①②得………………………………………………………………10分因此的面积为12分18.(本小题满分12分）.解: (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,所以该考场有人．2分该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为4分(2)依题意知该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为6分(3)因为两科考试中,共有6人次得分为A,又恰有两人的两科成绩均为A,所以还有2人只有一个科目得分为A．8分设这４人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是A的同学,在至少一科成绩为A的4位考生中,随机抽取2人进行访谈包含的基本事件有：共6个．10分“两人的两科成绩均为A”为基本事件{甲，乙},11分所以“所抽取的两人的两科成绩均为A”的概率为12分19.(本小题满分12分）.解：（1）由题意得a＝21分点在椭圆Ｍ上，代入椭圆方程可得：2分解得…………………………………………………………………………3分所以椭圆方程为……………………………………………………………4分（2）设(不妨设则直线AP的方程为即：代入椭圆方程化简得解得6分同理得 8分…10分令，又在上单调递减，故…12分20.(本小题满分12分）解：(1)证明:因为==λ(λ≠0),所以EF∥BC.………………2分因为BC∥AD,所以EF∥AD.………………………………………3分而EF⊄平面P A D,AD⊂平面P AD,所以EF∥平面P AD.………………………………5分(2)因为λ=，所以F是PC中点，在中，(3)7分9分连接BD，设D到平面AFB的距离为，10分由等体积法：11分解得即D到平面AFB的距离为12分21.(本小题满分12分）解：的定义域为１分2分（1）当时，，4分5分6分（2）由题意知，即8分，则有结合题意10分12分22.(本小题满分10分）解：(1)曲线的普通方程为.2分曲线的直角坐标方程为4分(2)解法一:由曲线,可得其参数方程为(α为参数), 设P点坐标为又由题意可知5分因此所以…8分所以当时,有最大值28.因此的最大值为.10分解法二:设P点坐标为则又由题意可知5分因此所以. 8分所以当时, 有最大值28.因此的最大值为10分。

广西桂林市第一中学高二数学下学期期中检测试题文

广西桂林市第一中学2017-2018年高二数学下学期期中检测试题文（用时120分钟，满分150分）注意事项：1．试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无效．．．．．．．．．．； 2．考试结束后，只将答题卡交回，试题卷不用交．．．．．．．．．．．．．．，自己保管好以备讲评使用。

一、选择题（每题5分，共60分）1.已知函数()f x A ，集合{},052≤-=x x x B ，则=B A ( ) A. (]4,∞- B. ()5,0 C. []4,0 D. ()5,4 2.复数i z 32+= ()为虚数单位i 对应的点位于复平面内（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知α为第三象限角，若21tan =α，则=α2cos ( ) A.522 B.524 C. 53- D.534..设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-0,30,1)(x x x x f x ，则=-))2((f f ( )A. 21+B. 2-C.91 D. 325.命题2,:00>∈∃x R x p 的否定是( )A. 2,:≤∈∀⌝x R x pB.2,:≤∈∃⌝x R x pC. 2,:<∈∀⌝x R x pD.2,:<∈∃⌝x R x p6.已知向量b a ,满足：,3,,3,1π===b a b a 则=-b a 2（）A. 7B. 7C. 19D. 17.已知3.121-⎪⎭⎫⎝⎛=a ，1.02=b ，3log 21=c ，则（）A. c b a >>B. c a b >>C. b a c >>D.a b c >>8.等差数列{}n a 的公差为2，若842,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和为（）A. n n -2B.n n +2C. 22n n +D.22nn -9.将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin 2)(πx x f 向左平移4π个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A.)122sin(2π+=x yB.)1252sin(2π-=x y C.)62cos(2π-=x yD.)322sin(2π-=x y 10.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（） A .81 B. 71 C. 61 D.5111.若曲线⎪⎭⎫⎝⎛∈=ππ,2,cos x x y 在点P 处的切线与直线02=+y x 平行，则点P 的坐标为（）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,65πB. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,65πC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,6πD.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,6π 12. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆1:2222=+by a x C ()0>>b a 的左焦点，B A 、分别是C左、右顶点， P 为C 上一点，且x PF ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（） A. 31 B. 21 C. 32 D. 43二、填空题（每题5分，共20分）13.若y x ,满足约束条件,,0303,01⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥++≥+-x y x y x 则y x z 2-=的最小值为 .14.函数1ln )(+-=x x x f 的单调递减区间为 . 15 .若直线01=-+ny mx )0,0(>>n m 被圆()()11122=-+-y x 截得的弦长为2，则nm 21+的最小值为 . 16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知.,1,312++∈+==N n S a S n n 则该数列的通项公式为 .三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.c os c os c os 2B a A b C c +=(1)求角C 的大小；(2)若ABC ∆的内切圆半径为2，且34=b ，求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中,所有选报某类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 等的考生有10人.(1)若等级E D C B A ,,,,分别对应分，分，分，分，分，12345求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;(2)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数;(3)如果参加本场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中,E D C B AE D C B A随机抽取两人进行访谈,求所抽取的两人的两科成绩均为A 的概率.19．(本小题满分12分）已知A B 、为椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：的左、右顶点，||4AB =，且点⎛ ⎝⎭在椭圆M 上.（1）求椭圆M 的标准方程.（2）若点000(,)(0)P x y y ≠为直线4x =上任意一点，PA PB 、交椭圆M 于C D 、两点，求四边形ACBD 面积的最大值．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AC ，PA=AD=2. 四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB=BC=1.点E 、F 分别为侧棱PB 、PC 上的点,且(0).PE PFPB PCλλ==≠ (1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)当λ=12时，求点D 到平面AFB 的距离.21.(本小题满分12分）已知函数11()ln (0).f x a x x a a x ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭（1）若12a =，求()f x 的极值点. （2）若曲线()y f x =上总存在不同两点()()1122,(),,()P x f x Q x f x ，使得曲线()y f x =在P 、Q 两点处的切线平行，求证：122x x +>.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标糸与参数方程](本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2ρ=.(1)分别写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知M 、N 分别为曲线C 1的上、下顶点，点P 为曲线C 2上任意一点，求PM PN +的最大值.参考答案二．填空题（每题5分，共20分）13. 14. 15.16.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）解：（1）由正弦定理及已知有2分3分,5分6分（2）等面积法有…………………………………………7分即化简得：①8分由余弦定理得：，②………………………………………………………………9分联立①②得………………………………………………………………10分因此的面积为12分18.(本小题满分12分）.解: (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,所以该考场有人．2分该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为4分(2)依题意知该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为6分(3)因为两科考试中,共有6人次得分为A,又恰有两人的两科成绩均为A,所以还有2人只有一个科目得分为A．8分设这４人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是A的同学,在至少一科成绩为A的4位考生中,随机抽取2人进行访谈包含的基本事件有：共6个．10分“两人的两科成绩均为A”为基本事件{甲，乙}, 11分所以“所抽取的两人的两科成绩均为A”的概率为12分19.(本小题满分12分）.解：（1）由题意得a＝21分点在椭圆Ｍ上，代入椭圆方程可得：2分解得…………………………………………………………………………3分所以椭圆方程为……………………………………………………………4分（2）设(不妨设则直线AP的方程为即：代入椭圆方程化简得解得6分同理得8分…10分令，又在上单调递减，故…12分20.(本小题满分12分）解：(1)证明:因为==λ(λ≠0),所以EF∥BC.………………2分因为BC∥AD,所以EF∥AD.………………………………………3分而EF⊄平面PA D,AD⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD.………………………………5分(2)因为λ=，所以F是PC中点，在中，(3)7分9分连接BD，设D到平面AFB的距离为，10分由等体积法：11分解得即D到平面AFB的距离为12分21.(本小题满分12分）解：的定义域为１分2分（1）当时，，4分5分6分（2）由题意知，即8分，则有结合题意10分12分22.(本小题满分10分）解：(1)曲线的普通方程为.2分曲线的直角坐标方程为4分(2)解法一:由曲线,可得其参数方程为 (α为参数), 设P点坐标为又由题意可知5分因此所以…8分所以当时,有最大值28.因此的最大值为.10分解法二:设P点坐标为则又由题意可知5分因此所以. 8分所以当时, 有最大值28.因此的最大值为 10分。

广西桂林市第一中学2017-2018年高二第二学期期中检测数学试卷文

广西桂林市第一中学2017-2018年高二第二学期期中检测数学试卷理

广西桂林市第一中学2017-2018年高二数学下学期期中检测试题理（用时120分钟，满分150分）注意事项：1．试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无效．．．．．．．．．．； 2．考试结束后，只将答题卡交回，试题卷不用交．．．．．．．．．．．．．．，自己保管好以备讲评使用。

广西桂林市高二数学下学期期中试卷理(含解析)

2016-2017学年广西桂林市高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x2﹣2x＜0}，N={x|x≤1}，则M∩N=（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（0，1]2．已知复数（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（）A．B．C．D．3．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15 B．30 C．31 D．644．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．6 B．4 C．2 D．05．“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．已知△ABC的边BC上有一点D满足=3，则可表示为（）A． =﹣2+3B． =+C． =+D． =+8．如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．9．执行如图的程序框图，则输出的n为（）A．9 B．11 C．13 D．1510．已知x＞0，y＞0，x+y+=2，则x+y的最小值是（）A．B．1 C．D．11．函数f（x）在定义域（0，+∞）内恒满足：①f（x）＞0；②2f（x）＜xf′（x）＜3f （x），其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜12．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M．直线FM交抛物线y2=﹣4cx于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若，则cos2θ= ．14．将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为．15．如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为．16．已知函数f（x）=﹣kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．18．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n﹣1（1）求证数列{a n﹣1}是等比数列（2）设b n=n•（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在上的最大值和最小值．（2）若f（x）在区间上【考点】1E：交集及其运算．【分析】可求出集合M={x|0＜x＜2}，然后进行交集的运算即可．【解答】解：M={x|0＜x＜2}；∴M∩N=（0，1]．故选D．【点评】考查描述法和区间表示集合的概念，交集及其运算．2．已知复数（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==，那么z的共轭复数为=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15 B．30 C．31 D．64【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，或根据等差中项的定义，a p+a q=a m+a n，从而求得a12的值．【解答】解：方法一：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣，d=．故 a12 =a1+11d=﹣+=15，方法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a p+a q=a m+a n，即p+q=m+n∵a7+a9=a4+a12∴a12=15故选：A．【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题．4．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．6 B．4 C．2 D．0【考点】7C：简单线性规划．【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y的最优解，然后求解z最大值即可．【解答】解：根据不等式，画出可行域，由，可得x=3，y=0平移直线2x+y=0，∴当直线z=2x+y过点A（3，0）时，z最大值为6．故选：A．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，考查数形结合的数学思想，属于中档题．5．“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当a=2时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足k1•k2=﹣1即可．利用直线的垂直求出a的值，然后判断充要条件即可．【解答】解：当a=2时直线y=﹣ax+2的斜率是﹣2，直线y=的斜率是2，满足k1•k2=﹣1∴a=2时直线y=﹣ax+2与y=垂直，直线y=﹣ax+2与y=垂直，则﹣a•a=﹣1，解得a=±2，“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．7．已知△ABC的边BC上有一点D满足=3，则可表示为（）A． =﹣2+3B． =+C．=+D． =+【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量的三角形法则和向量的几何意义即可求出．【解答】解：由=3，则=+=+=+（﹣）=+，故选：B【点评】本题考查了向量的三角形法则和向量的几何意义，属于基础题．8．如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．【考点】67：定积分．【分析】先联立y=x2与y=的方程得到交点，继而得到积分区间，再用定积分求出阴影部分面积即可．【解答】解：由于曲线y=x2（x＞0）与y=的交点为（），而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为S=，所以围成的图形的面积为S==（x﹣x3）|+（x3﹣x）|=．故答案选D．【点评】本题考查了定积分在研究平面几何中的应用，主要是利用定积分求曲线围成的图形面积，关键是要找到正确的积分区间．9．执行如图的程序框图，则输出的n为（）A．9 B．11 C．13 D．15【考点】EF：程序框图．【分析】算法的功能是求满足S=1•…＜的最大的正整数n+2的值，验证S=1•3•…•13＞2017，从而确定输出的n值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足S=1•…＜的最大的正整数n+2的值，∵S=1•3•…•13＞2017∴输出n=13．故选：C．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，关键框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．10．已知x＞0，y＞0，x+y+=2，则x+y的最小值是（）A．B．1 C．D．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用基本不等式，结合条件，即可得出结论．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y+=2，∴由基本不等式可得x+y+=2≤x+y+，∴x+y≥．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是解题的关键．11．函数f（x）在定义域（0，+∞）内恒满足：①f（x）＞0；②2f（x）＜xf′（x）＜3f （x），其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．＜＜B．＜＜ C．＜＜D．＜＜【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】分别构造函数g（x）=，x∈（0，+∞），h（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：令g（x）=，x∈（0，+∞），g′（x）=，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴f（x）＞0，0＜，∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴g（1）＜g（2），即4f（1）＜f（2），＜；令h（x）=，x∈（0，+∞），h′（x）=，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴h′（x）=＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（1）＞h（2），即f（1）＞，＞，故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M．直线FM交抛物线y2=﹣4cx于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】说明M是FN的中点．设抛物线的焦点为F1，说明OM为△NF2F1的中位线．通过NF2⊥NF1，于是可得|NF|=2b，设P（x，y），推出 c﹣x=2a，利用双曲线定义结合勾股定理得y2+4a2=4b2，然后求解离心率即可．【解答】解：∵若，∴M是FN的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．∵OM为△NF2F1的中位线．|OM|=a，∴|NF1|=2 a．∵OM⊥MF，∴NF 2⊥NF 1，于是可得|NF|=2b ，设N （x ，y ），则 c ﹣x=2a ，于是有x=c ﹣2a ，y 2=﹣4c （c ﹣2 a ），过点F 作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ．由勾股定理得 y 2+4a 2=4b 2，即﹣4c （c ﹣2a ）+4 a 2=4（c 2﹣a 2），变形可得c 2﹣a 2=ac ，两边同除以a 2有 e 2﹣e ﹣1=0，所以e=，负值已经舍去．故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若，则cos2θ=．【考点】GT ：二倍角的余弦．【分析】直接利用利用二倍角的余弦公式 cos2θ=1﹣2sin 2θ，把代入运算求得结果．【解答】解：∵，则cos2θ=1﹣2sin 2θ=1﹣2×=，故答案为：．【点评】本题主要考查利用二倍角的余弦公式化简求值，属于基础题．14．将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为 50 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】先找到数的分布规律，求出第n ﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n 行从左向右的第5个数，代入n=10可得．【解答】解：由排列的规律可得，第n ﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n ﹣1）==个数，∴第n 行从左向右的第5个数为+5，把n=10代入可得第10行从左向右的第5个数为50，故答案为：50．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15．如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，画出几何体的直观图，进而可得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，它由正方体的后上部分的三棱柱，切去一个同底同高的三棱锥得到，故体积V=×（1﹣）×2×2×2=故答案为：．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，难度中档．16．已知函数f（x）=﹣kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（0，）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】把函数f（x）=﹣kx有且只有一个零点转化为方程k=有且只有一根，构造函数g（x）=，求出函数的导函数，再求其极值，数形结合得答案．【解答】解：由f（x）=﹣kx=0，得=kx，∵x≠0，∴k=，令g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=1，当x＞2或x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴当x=2时，函数有极小值，即g（2）=，且当x＜0，时，g（x）∈（0，+∞），∵函数f（x）=﹣kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，结合图象可得，∴0＜k＜，故答案为：（0，）．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用导数求函数的极值，熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．【考点】HQ：正弦定理的应用；HS：余弦定理的应用．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形中正余弦定理应用的很广泛，一定要熟练掌握公式．18．（12分）（2017春•秀峰区校级期中）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n﹣1（1）求证数列{a n﹣1}是等比数列（2）设b n=n•（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由a n+1=2a n﹣1，变形为：a n+1﹣1=2（a n﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n=n•（a n﹣1）=n•2n﹣1，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）证明：∵a n+1=2a n﹣1，变形为：a n+1﹣1=2（a n﹣1），∴数列{a n﹣1}是等比数列，首项为1，公比为2，∴a n﹣1=2n﹣1，即a n=1+2n﹣1．（2）b n=n•（a n﹣1）=n•2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①∴2S n=2+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n•2n，②由①﹣②，得﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1．∴S n=（n﹣1）•2n+1．【点评】本题考查了错位相减法、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017春•秀峰区校级期中）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在上的最大值和最小值．（2）若f（x）在区间上【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求极值、单调性、最值，属于中档题．20．（12分）（2017•安庆二模）在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥平面ACF．（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，4，），=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，4，），=（﹣2，2，0），=1﹣4+3=0， =2﹣2=0，∴BE⊥AF，BE⊥AC，又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．解：（Ⅱ） =（﹣2，1，0），=（﹣1，3，），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，﹣），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）（2017•大东区一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）和直线l：﹣=1，椭圆的离心率e=，坐标原点到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点E（﹣1，0），若直线m过点P（0，2）且与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在直线m，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率e=，坐标原点到直线l：﹣=1的距离为，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x=0，以CD为直径的圆过点E；当直线m的斜率存在时，设直线m方程为y=kx+2，由，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出当以CD为直径的圆过定点E时，直线m的方程．【解答】解：（Ⅰ）由直线，∴，即4a2b2=3a2+3b2﹣﹣①又由，得，即，又∵a2=b2+c2，∴﹣﹣②将②代入①得，即，∴a2=3，b2=2，c2=1，∴所求椭圆方程是；（Ⅱ）①当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x=0，则直线m与椭圆的交点为（0，±1），又∵E（﹣1，0），∴∠CED=90°，即以CD为直径的圆过点E；②当直线m的斜率存在时，设直线m方程为y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），由，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，由△=144k2﹣4×9（1+3k2）=36k2﹣36＞0，得k＞1或k＜﹣1，∴，，∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4∵以CD为直径的圆过点E，∴EC⊥ED，即，由，，得（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0，∴，解得，即；综上所述，当以CD为直径的圆过定点E时，直线m的方程为x=0或．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查条件的直线是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、根的判别式、韦达定理、直线性质的合理运用．22．（12分）（2017春•秀峰区校级期中）已知函数f（x）=（m，n为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=；（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=f′（x）•（其中f'（x）为f（x）的导函数），证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，利用函数的切线方程的斜率，与切线方程即可求m，n的值；（Ⅱ）利用导函数直接求出导函数的大于0以及小于0的x的范围即可求f（x）的单调区间；（Ⅲ）化简g（x）=f′（x）•（其中f'（x）为f（x）的导函数），通过构造新函数p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），通过导数求出p（x）的最大值为p（e ﹣2），得到1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．再构造函数q（x）=x﹣ln（1+x），利用对数的单调性推出q （x）＞q（0）=0，然后证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【解答】解：（Ⅰ）由得（x＞0）．由已知得，解得m=n．又，即n=2，∴m=n=2．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，p（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，p（x）＜0，又e x＞0，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调增区间是（0，1），f（x）的单调减区间是（1，+∞）．…（8分）（Ⅲ）证明：由已知有，x∈（0，+∞），于是对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2等价于，由（Ⅱ）知p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴p'（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞）．易得当x∈（0，e﹣2）时，p'（x）＞0，即p（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，p'（x）＜0，即p（x）单调递减．所以p（x）的最大值为p（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．设q（x）=x﹣ln（1+x），则，因此，当x∈（0，+∞）时，q（x）单调递增，q（x）＞q（0）=0．故当x∈（0，+∞）时，q（x）=x﹣ln（1+x）＞0，即．∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜．∴对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．…（14分）【点评】本题考查函数的单调性，函数的最值的应用，构造法以及函数的导数的多次应用，题目的难度大，不易理解．。

广西桂林市第一中学高二数学下学期期中检测试题文(1)

⊙⊙A. c b a >>B. c a b >>C. b a c >>D.a b c >>8.等差数列{}n a 的公差为2，若842,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和为（）A. n n -2B.n n +2C. 22n n +D.22nn -9.将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin 2)(πx x f 向左平移4π个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A.)122sin(2π+=x yB.)1252sin(2π-=x y C.)62cos(2π-=x yD.)322sin(2π-=x y 10.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（） A .81 B. 71 C. 61 D.5111.若曲线⎪⎭⎫⎝⎛∈=ππ,2,cos x x y 在点P 处的切线与直线02=+y x 平行，则点P 的坐标为（）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,65πB. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,65πC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,6πD.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,6π 12. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆1:2222=+by a x C ()0>>b a 的左焦点，B A 、分别是C左、右顶点， P 为C 上一点，且x PF ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（） A. 31 B. 21 C. 32 D. 43二、填空题（每题5分，共20分）13.若y x ,满足约束条件,,0303,01⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥++≥+-x y x y x 则y x z 2-=的最小值为 .14.函数1ln )(+-=x x x f 的单调递减区间为 . 15 .若直线01=-+ny mx )0,0(>>n m 被圆()()11122=-+-y x 截得的弦长为2，则nm 21+的最小值为 . 16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知.,1,312++∈+==N n S a S n n 则该数列的通项公式为 .三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.c os c os c os 2B a A b C c +=(1)求角C 的大小；(2)若ABC ∆的内切圆半径为2，且34=b ，求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中,所有选报某类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 等的考生有10人.(1)若等级E D C B A ,,,,分别对应分，分，分，分，分，12345求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;(2)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数;(3)如果参加本场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,求所抽取的两人的两科成绩均为A 的概率.19．(本小题满分12分）已知A B 、为椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：的左、右顶点，||4AB =，且点⎛ ⎝⎭在椭圆M 上.（1）求椭圆M 的标准方程.（2）若点000(,)(0)P x y y ≠为直线4x =上任意一点，PA PB 、交椭圆M 于C D 、两点，求四边形ACBD 面积的最大值．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AC ，PA=AD=2. 四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB=BC=1.点E 、F 分别为侧棱PB 、PC 上的点,且(0).PE PFPB PCλλ==≠ (1)求证：EF ∥平面PAD ；E D C B AE D C B A(2)当λ=12时，求点D 到平面AFB 的距离.21.(本小题满分12分）已知函数11()ln (0).f x a x x a a x ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭（1）若12a =，求()f x 的极值点. （2）若曲线()y f x =上总存在不同两点()()1122,(),,()P x f x Q x f x ，使得曲线()y f x =在P 、Q 两点处的切线平行，求证：122x x +>.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标糸与参数方程](本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2ρ=.(1)分别写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知M、N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求PM PN的最大值.桂林一中2018年高二下段考文科数学参考答案二．填空题（每题5分，共20分）13. 14. 15.16.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）解：（1）由正弦定理及已知有2分3分,5分6分（2）等面积法有…………………………………………7分即化简得：①8分由余弦定理得：，②………………………………………………………………9分联立①②得………………………………………………………………10分因此的面积为12分18.(本小题满分12分）.解: (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,所以该考场有人．2分该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为4分(2)依题意知该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为6分(3)因为两科考试中,共有6人次得分为A,又恰有两人的两科成绩均为A,所以还有2人只有一个科目得分为A．8分设这４人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是A的同学,在至少一科成绩为A的4位考生中,随机抽取2人进行访谈包含的基本事件有：共6个．10分“两人的两科成绩均为A”为基本事件{甲，乙}, 11分所以“所抽取的两人的两科成绩均为A”的概率为12分19.(本小题满分12分）.解：（1）由题意得a＝21分点在椭圆Ｍ上，代入椭圆方程可得：2分解得…………………………………………………………………………3分所以椭圆方程为……………………………………………………………4分（2）设(不妨设则直线AP的方程为即：代入椭圆方程化简得解得6分同理得8分…10分令，又在上单调递减，故…12分20.(本小题满分12分）解：(1)证明:因为==λ(λ≠0),所以EF∥BC.………………2分因为BC∥AD,所以EF∥AD.………………………………………3分而EF⊄平面PA D,AD⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD.………………………………5分(2)因为λ=，所以F是PC中点，在中，(3)7分9分连接BD，设D到平面AFB的距离为，10分由等体积法：11分解得即D到平面AFB的距离为12分21.(本小题满分12分）解：的定义域为１分2分（1）当时，，4分5分6分（2）由题意知，即8分，则有结合题意10分12分22.(本小题满分10分）解：(1)曲线的普通方程为.2分曲线的直角坐标方程为4分(2)解法一:由曲线,可得其参数方程为 (α为参数), 设P点坐标为又由题意可知5分因此所以…8分所以当时,有最大值28.因此的最大值为.10分解法二:设P点坐标为则又由题意可知5分因此所以. 8分所以当时, 有最大值28.因此的最大值为 10分。

广西桂林市高二数学下学期期中试题理

广西桂林市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）第Ⅰ卷选择题一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≤，则M N ⋂= （） A 。

()0,1 B. ()1,2 C. (]0,1 D. ()0,2 2．已知复数2i1iz +=-（i 为虚数单位），那么z 的共轭复数为（） A. 33i 22+ B 。

13i 22- C. 13i 22+ D. 33i 22-3．在等差数列{}n a 中，已知79416,1a a a +==，则12a = （ ) A. 15 B. 30 C 。

31 D. 464．在平面内的动点(),x y 满足不等式30100x y x y y +-≤-+≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值是（）A. 6B. 4C. 2 D 。

0 5．“2a =”是“直线2y ax =-+与14ay x =-垂直”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分也不必要条件 6．在长方体1111CD C D AB -A B 中,AB ＝BC ＝2,11AA =，则1C B 与平面11D D BB 所成角的正弦值为（ )A．5 B．5 C．5 D．57．已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（ )A. 23AD AB AC =-+B. 3144AD AB AC =+ C. 1344AD AB AC =+ D 。

2133AD AB AC =+8．曲线2y x =和直线0x =，1x =，14y =所围成的图形的面积为（） A 。

23 B.13 C 。

12 D 。

广西桂林市数学高二下学期理数期中考试试卷

广西桂林市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则等于A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·海淀期中) 复数1﹣ i的虚部为（）A . iB . 1C .D . ﹣3. （2分）(2012·辽宁理) 在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A . 58B . 88C . 143D . 1764. （2分）将4本不同的书全发给3名同学，则每名同学至少有一本书的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·芮城期末) 独立检验中，假设：变量与变量没有关系，则在成立的情况下，表示的意义是（）A . 变量与变量有关系的概率为1%B . 变量与变量没有关系的概率为99.9%C . 变量与变量没有关系的概率为99%D . 变量与变量有关系的概率为99%6. （2分）直线通过的交点，且平分线段AB，其中，则直线l的方程是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·新乡期中) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A . ，k∈ZB . ，k∈ZC . ，k∈ZD . ，k∈Z8. （2分）前12个正整数组成一个集合，此集合的符合如下条件的子集的数目为：子集均含有4个元素，且这4个元素至少有两个是连续的．则等于（）A . 126B . 360C . 369D . 4959. （2分）已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=an+2，bn=bn+1(a，b是常数，且a>b)，那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 无穷多个10. （2分） (2016高一下·新化期中) 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .11. （2分）已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为A .B .C .D .12. （2分）没函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，恒有，则（）A . K的最大值为B . K的最小值为C . K的最大值为2D . K的最小值为2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·枣庄模拟) 一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是________．14. （1分）在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为________ （结果用数值表示）．15. （1分）(2020·新沂模拟) 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_________.16. （1分） (2018高三上·湖北月考) 抛物线的焦点为为抛物线上一点，若的外接圆与抛物线的准线相切( 为坐标原点)，且外接圆的面积为，则 ________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2017·合肥模拟) 已知△ABC中，D为边AC上一点，BC=2 ，∠DBC=45°．（1）若CD=2 ，求△BCD的面积；（2）若角C为锐角，AB=6 ，sinA= ，求CD的长．18. （10分） (2016高二上·晋江期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．（1）求a1的值，并用an﹣1表示an；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设Tn= + + +…+ ，求证：Tn＜．19. （15分） (2018高三上·辽宁期末) 在如图所示的四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面PAB,且分别为的中点， .证明：（1）平 ;（2）若，求二面角的余弦值.20. （10分） (2020高二上·青铜峡期末) 已知椭圆的焦距为，短轴长为（1）求椭圆的方程（2）直线与椭圆相交于两点，且直线、（是坐标原点）的斜率之和为3,求的值21. （15分）今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：完成被调查人员的频率分布直方图；22. （5分） (2019高三上·德州期中) 已知函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，若，都有，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

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桂林市第一中学2017～2018学年度下学期期中质量检测
高二数学(理科) （用时120分钟，满分150分）
注意事项：1．试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无效．．．．．．．．．．
； 2．考试结束后，只将答题卡交回，试题卷不用交．．．．．．．．．．．．．．，自己保管好以备讲评使用。

一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知集合{}()(){}
260120,M x Z x x N x x x =∈--<=++=，则M N =
A ．{}1-
B ．{}21012--，，，，
C ．{}
21x x -<<-
D ．{}
23x x -≤<
2．已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若22z z z z i +=-=，，那么z =
A ．i
B ．1
C
D ．2
3．已知向量a=(2,t )，b=(t,2)，且+=0a b b a ,
则实数t=
A ．2
±
B ．2
-
C ．0
D ．2
4．已知实数,x y 满足约束条件3,
1,39,x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩+≥-≥-≤则22
z x y =+的最小值是
A ．
12
B ．
92
C ．5
D ．9
5．已知函数x x x f cos 2)(=，则函数)(x f 的部分图象可以为
A ．
B ．
C ．
D ．
6.设1a >，0b >，若2a b +=，则
12
1a b
+-的最小值为 A
．3+ B ．6 C
． D
． 7．已知数列
{}n a 的前n 项和为2
n
，数列
{}n b 的前n 项和为21n -，则数列{}n n a b 的前n
项和
为
A ．1
(1)21n n +-+ B ．()2323n n -+
C
．
(21)21n n --
D ．(2)23n
n -+
8．半径为6cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm 的小圆. 现将半径为1cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为
A ．
21
25
B ．
34 C ．59
D ．12
9．函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪
⎝⎭
的图像与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()sin g x x ω=的图像，只需将函数()f x 的图像 A ．向右平移512π个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度 C ．向左平移
3
π
个单位长度 D ．向右平移
6
π
个单位长度
10．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 中点，用平面1AEC 截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正（主）视图为
A.
B. C. D.
11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任
意一点，若2
12||||
PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是
A ．()1+∞，
B ．(]1,2
C ．(
D ．(]1,3 12. 对任意0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，不等式()()sin cos x f x x f x '⋅<⋅恒成立，则下列不等式错误．．
的是 1 E (第10题图）
1
A. 34f ππ⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. ()cos113f f π⎛⎫
>2⋅
⎪⎝⎭
C. ()14f f π⎛⎫
<⋅
⎪⎝⎭
D. 426f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）
14. 我国南宋时期的数学家秦九韶在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的算法，被称为秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入,n x
的值分别为3,4，则输出v 的值为．
15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A,B 两点，
O 为坐标原点，若
6AB =，则△AOB 的面积为．
16.在数列{}n a 中,()23312,3,11,n n n a a a a ++==+-= 则18
17a
a -= ．
三、解答题（共70分）
17．（本题10分）为了解一家企业生产的某类产品的使用寿命(单位：小时)，现从中随机抽
取一定数量的产品进行测试，绘制频率分布直方图如图所示. （1）求使用寿命大于60小时的概率；
(2)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估算这批产品的平均使用寿命.
（第14题图）
18.（本题12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a 、b 、c ，
已知sin cos .c C c B - (1)求B 的大小；
(2)若△ABC
的面积为求△ABC 的周长的最小值.
19. （本题12分）已知数列{}n a 的首项t a =10>，1321
n n n a a a +=
+，*
N n ∈
（1）若53
=
t ，求证11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列；（2）求出{}n a 的通项公式.
20. （本题12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，,BC AC ⊥,1==BC AC 21=CC ，
点D 是1AA 的中点。

（1）证明：平面1BC D ⊥平面BCD ；（2）求CD 与平面D BC 1所成角的正切值.
21.（本题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C 的标准方程；
A
B
C
A 1
B 1
C 1
D
（2）若直线l :y=kx+m 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.
22.（本题12分）已知函数2ln )1()(+-+=ax x x x f
（1）若函数f (x )在定义域上具有单调性，求实数a 的取值范围；（2）求证：
*),1ln(2
1
121715131N n n n ∈+<+++++。