2019年高中全程复习方略数学课件：第三章三角函数、解三角形3.8
推荐2019版高中全程复习方略数学(文)课件第三章 三角函数、解三角形 3.1
4．任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，
那么
定义
y 叫做 α 的正弦， 记作 sinα
x
叫做 α 的余弦， 记作 cosα
yx叫做 α 的正切， 记作 tanα
各象 限符
号
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
正 正 负 负
正
正
负
负
负
正
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数 线
有 向线段 MP 为正弦
线
有
向线段 OM 为余 有向线段 AT 为
弦线
正切线
二、必明 3●个易误点 1．易混概念：第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的 三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角． 2．利用 180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用． 3．三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sinα＝y，
悟·技法 1.终边在某直线上角的求法 4 步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．
2.确定 kα，αk(k∈N*)的终边位置 3 步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角 α 的范围； (2)再写出 kα 或αk的范围； (3)然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或αk的终边所在位置.
[变式练]——(着眼于举一反三) 1．已知角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则 sinα 等于( ) A．sin2 B．－sin2 C．cos2 D．－cos2
2019-2020年高中全程复习方略数学课件：第三章 三角函数、解三角形 3.2
6．若 tanα＝3，求2ssiinnαα＋－ccoossαα＝________.
解析：法一：∵tanα＝csoinsαα＝3∴sinα＝3cosα ∴原式＝36ccoossαα＋－ccoossαα＝45
＝196，所以 2sinθcosθ＝79，则(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθ·cosθ
＝1－2sinθcosθ＝29.
又因为 θ∈0，π4，所以 sinθ<cosθ，即 sinθ－cosθ<0，
所以 sinθ－cosθ＝－ 32.
悟·技法 同角三角函数关系式的应用方法
解析：tan56π＋α＝tanπ－6π＋α＝tanπ－6π－α
＝－tanπ6－α＝－
3 3.
答案：－
3 3
3．(易错题)设 f(α)＝12＋sisninπ2＋α＋αccooss3π2π－＋αα－－csoins2ππ2＋＋αα sinα≠－12，则 f－263π＝________.
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
高中全程复习方略数学课件：第三章 三角函数、解三角形 3.8
定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，
则 A，B 两点的距离为( )
A．50 2 m B．50 3 m
C．25 2 m
25 2 D. 2 m
解析：由正弦定理得
AB＝AC·ssinin∠BACB＝50×1
2 2 ＝50
2(m)．
2
答案：A
3．一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰 好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏 西 60°，另一灯塔在船的南偏西 75°，则这艘船的速度是每小时( )
A．10 km B．10 3 km C．10 5 km D．10 7 km
解析：由余弦定理可得 AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos120° ＝102＋202－2×10×20×－12＝700. ∴AC＝10 7(km)． 答案：D
2. 如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选
(2)在△ABC 中，因为 AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA
＝α，
由正弦定理，得sAinBα＝sinB1C20°，
即
sinα＝ABsBinC120°＝12×28
3 2 ＝3143.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
(100 2)2＋2002－2×100 2×200×cos135°，所以 v＝50710≈22.6， 所以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s.
答案：22.6
悟·技法 求解高度问题的注意事项 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是 在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角． (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图，转化为 解三角形问题． (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题 的答案，注意方程思想的运用.
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课件文 共57页
[条件探究 1] 将本典例条件变为“若 2sinAcosB＝
sinC”，那么△ABC 一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 解法一：由已知得 2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB，即 sin(A－B)＝0，
则 cosA＝
1－sin2A＝
3 3.
由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 化简，得 b2－2b－15＝0，
解得 b＝5(b＝－3 舍去)．
所以 S△ABC＝12bcsinA＝21×5×
3×
36＝5
2
2 .
题型 2 利用正、余弦定理判断三角形的形状
典例 (2017·陕西模拟)设△ABC 的内角 A，B，C 所对 的边分别为 a，b，c，若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为( )
角度 2 与三角形内角有关的最值 典例 (2017·庄河市期末)在△ABC 中，a，b，c 分别为 角 A，B，C 的对边，设 f(x)＝a2x2－(a2－b2)x－4c2. (1)若 f(1)＝0，且 B－C＝π3，求角 C 的大小； (2)若 f(2)＝0，求角 C 的取值范围．
本题采用放缩法．
题型 3 与三角形有关的最值 角度 1 与三角形边长有关的最值
典例 (2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形 ABC 的内
角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，且
a＝bcosC＋
3 3 csinB.
(1)求 B；
(2)若 b＝2，求 ac 的最大值．
本题采用转化法．
解 (1)在△ABC 中，∵a＝bcosC＋ 33csinB， ∴sinA＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， 化为 cosBsinC＝ 33sinCsinB，sinC≠0， 可得 tanB＝ 3，B∈(0，π)，∴B＝π3.
2019版高中全程复习方略数学(文)课件：第三章 三角函数、解三角形 3.4
6．函数
π f(x)＝－cos－2x＋3的单调递增区间为________．
π π 解析：f(x)＝－cos－2x＋3＝－cos2x－3，
[小题热身]
π 1．y＝2sin2x＋4的振幅、频率和初相分别为(
)
1 π A．2，π，4 1 π C．2，π，8
1 π ＝2sin2x＋4的
解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数 1 π 振幅为 2，频率为π，初相为4. 答案：A
[变式练]——(着眼于举一反三) 1．(2016· 新课标全国卷Ⅰ)将函数
π y＝2sin2x＋6的图象向右平
1 移4个周期后，所得图象对应的函数为( ) π π A．y＝2sin2x＋4 B．y＝2sin2x＋3 π π C．y＝2sin2x－4 D．y＝2sin2x－3
π y＝sin2x－3的图象，只需
)
π 解析：将 y＝sin2x 的图象向右平行移动6个单位长度得到 y＝ π π sin 2 x－6 ＝sin 2x－3的图象，故选 D. 答案：D
4．(2016· 浙江卷)函数 y＝sinx2 的图象是(
2．函数 f(x)＝ π A.2 C．2π B．π
x π 3sin2－4，x∈R
的最小正周期为(
)
D．4π
2π 解析：最小正周期为 T＝ 1 ＝4π. 2 答案：D
3．(2016· 四川卷，3)为了得到函数 把函数 y＝sin2x 的图象上所有的点( π A．向左平行移动3个单位长度 π B．向右平行移动3个单位长度 π C．向左平行移动6个单位长度 π D．向右平行移动6个单位长度
2019版数学一轮高中全程复习方略课件：第三章 三角函
π f(x)＝sin2－xsinx－
3cos2x.
(1)求 f(x)的最小正周期和最大值； π 2π (2)讨论 f(x)在6， 3 上的单调性．
思维点拨：(1)讨论形如 y＝asinωx＋bcosωx 型函数的性质， 一律化成 y＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)型的函数． (2)研究 y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将 ωx＋φ 视为一个整体，换元后结合 y＝sinx 的图象解决．
(2)当
π 2π π x∈6， 3 时，0≤2x－3≤π，
π π 从而当 0≤2x－3≤2， π 5π 即6≤x≤12时，f(x)单调递增， π π )单调递减． π 5π 5π 2π 综上可知， f(x)在6，12上单调递增； 在12， 3 上单调递减．
温馨提醒：(1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化 成 y＝Asin(ωx＋φ)，φ 的确定一定要准确． (2)将 ωx＋φ 视为一个整体，设 ωx＋φ＝t，可以借助 y＝sint 的图象讨论函数的单调性、最值等．
方法与技巧：1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数 名称、式子结构之间的联系，然后进行变换． 2．利用三角函数值求角要考虑角的范围． 3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角 恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为 f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的形式，然后借助三角函数图象解决． 失误与防范：1.利用辅助角公式，asinx＋bcosx 转化时一定 要严格对照和差公式，防止搞错辅助角． 2．计算形如 y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时， 不要将 ωx＋φ 的范围和 x 的范围混淆．
π 解析：(1)f(x)＝sin2－xsinx－
高中全程复习方略数(理) 第3章 三角函数、解三角形_配套练习 课时提能演练 3.8
课时提能演练(二十四)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.如果在测量中，某渠道斜坡坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( )(A)35 (B)45 (C)34 (D)432.线段AB 外有一点C ，∠ABC＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始几小时后，两车的距离最小( ) (A)6943 (B)1 (C)7043(D)2 3.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( ) (A)102海里 (B)103海里 (C)202海里 (D)203海里4.(易错题)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)由增加的长度决定5.某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )(A)15米 (B)5米 (C)10米 (D)12米6.一船向正北方向匀速航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )(A)5海里 (B)53海里(C)10海里 (D)103海里二、填空题(每小题6分，共18分)7.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C 的仰角为30°，塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为米.8.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝.9.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·乌鲁木齐模拟)为了测量河对岸的塔高h，某人沿着河岸从点A走到点B，已知该人手中有一只测角仪，可以测水平面的夹角和铅直平面的仰角.已知AB＝m，若要测出塔高，还需要测量哪些角？利用已知和测得的数据如何计算塔高？请你设计一个方案，包括：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)写出计算塔高的步骤(用字母和公式表示即可).11.如图甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？【探究创新】(16分)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ(其中sin θ＝2626，0°<θ<90°)且与点A 相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.答案解析1.【解题指南】坡度34是坡角α的正切值，可根据同角三角函数关系式求出 cos α.【解析】选B.因为tan α＝34，则sin α＝34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得：cos α＝45.2. 【解析】选C.如图所示，设过x h 后两车距离为y ，则BD ＝200－80x ，BE ＝50x ， ∴y 2＝(200－80x)2＋(50x)2 －2×(200－80x)·50x ·cos60°，整理得y 2＝12 900x 2－42 000x ＋40 000(0≤x ≤2.5)，∴当x ＝7043时y 2最小，即y 最小.3. 【解析】选A.如图所示， 由已知条件可得，∠CAB ＝30°， ∠ABC ＝105°， AB ＝40×12＝20(海里)，∴∠BCA ＝45°， ∴由正弦定理可得：ABsin45°＝BCsin30°， ∴BC ＝20×1222＝102(海里).4. 【解析】选A.设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b>c.新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最长边，其对应角最大.而(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝x 2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，则为锐角，那么它为锐角三角形. 5. 【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得.【解析】选C.如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h.在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10， 由余弦定理得：OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD ·cos ∠OCD ， 即(3h)2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去).6. 【解析】选C.如图，依题意有∠BAC ＝60°， ∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10海里，在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5海里，于是这只船的速度是50.5＝10(海里/小时).7. 【解析】如图，用AD 表示楼高，AE 与水平面平行， E 在线段BC 上， 设塔高为h ，因为∠CAE ＝30°，∠BAE ＝15°，AD ＝BE ＝60，则AE ＝BE tan15°＝602－3＝120＋603，在Rt △AEC 中，CE ＝AE ·tan30°＝(120＋603)×33＝60＋403，所以塔高为60＋403＋60＝(120＋403)米.答案：120＋4038.【解析】在△ABC 中，BC ＝ABsin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin15°sin(45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BCsin ∠CBDCD ＝50(6－2)sin45°50＝3－1，结合题图知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.答案：3－19. 【解析】在△ABD 中，设BD ＝x ， 则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ， 即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°， 整理得x 2－10x －96＝0， 解之得x 1＝16，x 2＝－6(舍去).由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin135°·sin30°＝82.答案：82【方法技巧】三角形中的几何计算问题以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之即可. 10.【解析】(1)需要测量的角有：∠BAD ＝α， ∠DBA ＝β，∠CAD ＝θ(或∠CBD ＝θ). (2)第一步：在△ADB 中，由正弦定理可求出：AD ＝msin βsin(α＋β)(或BD ＝msin αsin(α＋β)).第二步：在Rt △CDA 中，可求出：h ＝AD ·tan θ＝msin βsin(α＋β)·tan θ.(或在Rt △CDB 中，h ＝BD ·tan θ＝msin αsin(α＋β)·tan θ).11. 【解题指南】只需求出B 1B 2的长就可以了，可连接A 1B 2，先求A 1B 2，再在△A 1B 2B 1中，由余弦定理求B 1B 2.【解析】如图，连接A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120° ＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝102.由已知A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 12＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝102.因此，乙船的速度的大小为10220×60＝302(海里/小时).即乙船每小时航行302海里.【探究创新】【解析】(1)AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626，由于0°<θ<90°，所以cos θ＝1－(2626)2＝52626. 由余弦定理得：BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5 所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时). (2)方法一：如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D.由题设得，x 1＝y 1＝22AB ＝40， x 2＝ACcos ∠CAD＝1013cos(45°－θ)＝30，y 2＝ACsin ∠CAD＝1013sin(45°－θ)＝20.所以过点B 、C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40，即2x －y －40＝0.又点E(0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35<7.所以船会进入警戒水域.方法二：设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010， 从而sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010. 在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝ABsin ∠ABC sin(45°－∠ABC)＝402×101022×21010＝40. 由于AE ＝55>40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15.过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离. 在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin ∠PQE ＝QE ·sin ∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC)＝15×55＝35<7.所以船会进入警戒水域.。