2021届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数课件文北师大版2

[破题技法] 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问 题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考点三 三角函数的定义
挖掘1 用三角函数的定义求值/ 互动探究
B．cos α<sin α<tan α
C．sin α<cos α<tan α
D．tan α<sin α<cos α
[解析] 如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得， AT>OM>MP，故有sin α<cos α<tan α.
[答案] C
︵︵︵︵ (2)(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中AB，CD，EF，GH是圆 x2＋y2＝1 上的
(2)(2020·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧
长是( )
A．2
B．sin 2
2 C.sin 1
D．2 sin 1
[解析] 如图：∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D.则 ∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1， 在Rt△AOC中，AO＝sin∠ACAOC＝sin1 1， 即r＝sin1 1，从而弧AB的长为l＝α·r＝sin2 1. [答案] C
(2)根据α终边上P的坐标符号：正弦值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横
纵坐标同号，正切值为正；异号正切值为负．
考点四 三角函数线的应用
[例] (1)(2020·石家庄模拟)若－34π<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，
cos α，tan α的大小是( )
A．sin α<tan α<cos α
时，12α为第三象限角，故选C. [答案] C
[破题技法] 象限角的两种判断方法 (1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知 角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已 知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
挖掘2 已知角α的象限，求分角αn的象限/ 自主练透
[例2] 已知sin α＞0，cos α＜0，则12α所在的象限是( )
A．第一象限
B．第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
[解析] 因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，
k∈Z，则π4＋kπ＜12α＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，12α为第一象限角；当k为奇数
②利用三角函数定义求解．
挖掘2 三角函数值符号的判断/ 自主练透
[例2] (1)(2020·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
[解析] ∵π2<2<3<π<4<32π.
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.
∴sin 2·cos 3·tan 4<0.
第三章 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
[基础梳理] 1．任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆__时__针____方向旋转形成的角； ②负角：按__顺__时__针____方向旋转形成的角； ③零角：如果一条射线__没__有__作__任__何__旋__转____，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为： __{β_|_β_＝__α_＋__2_k_π_，__k_∈__Z_}___．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限 答案：C
D．第四象限
4．(基础点：三角函数定义)已知角α的终边过点(－4，3)，则cos α＋sin α＝
________． 答案：－15
考点一 终边相同的角及象限角 挖掘1 求写终边相同的角或区域角/ 自主练透 [例1] (1)(2020·福州模拟)与－2 010°终边相同的最小正角是________． [解析] 因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°， 所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在 0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是 150°. [答案] 150°
︵
︵
在EF上，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，且 cos α＞tan α，满足；在GH上，tan α
＞0，sin α＜0，cos α＜0，不满足．
[答案] C
(3)y＝ sin x－ 23的定义域为________． [解析] ∵sin x≥ 23，作直线 y＝ 23交单位圆于 A、B 两点，连接 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终边的范围，故满足条件的角 x 的集合为 x2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，k∈Z. [答案] x2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，k∈Z
[例1] (1)(2020·大同模拟)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－153，则
x的值为________． [解析] ∵cos α＝ （－x）－2＋x （－6）2＝ x－2＋x36＝－153，
∴xx>2＋x02，36＝12659，解得x＝52.
[答案]
5 2
(2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋co3s α的值为________． [解析] 设α终边上任一点为P(k，－3k)，
④{α|－π2＋kπ≤α≤kπ＋π4，k∈Z}．
[破题技法] 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写 出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得 所需角． 2．表示区间角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写 出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
(4)扇形的弧长及面积公式：
弧长公式：l＝____α_·r_____． 面积公式：S＝___12_l_·r_____＝12α·r2.
3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝__y___， cos α＝_____x_____，tan α＝___xy_(_x_≠__0_)_．
4．四种角的终边关系
(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
[四基自测]
1．(基础点：弧长公式)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )
[答案] A
(2)已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]
由题意可得cos tan
αα<<00，，则scions
αα><00，，所以角α的终边在第二象限，故选B.
[答案] B
[破题技法] 判断三角函数值符号的关键点 (1)确定α的终边所在的象限位置．
则r＝ k2＋（－3k）2＝ 10|k|.
当k＞0时，r＝ 10k，
∴sin α＝－130kk＝－
3， 10
1 cos
α＝
1k0k＝
10，
∴10sin α＋co3s α＝－3 10＋3 10＝0；
当k＜0时，r＝－ 10k，
∴sin α＝－－31k0k＝
3， 10
1 cos
பைடு நூலகம்
α＝－
k10k＝－
10，
A．10π
B．9π
C.91π0
D．109π
答案：D
2．(易错点：终边相同的角的概念)下列与94π的终边相同的角的表达式中正确的是 () A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋54π(k∈Z) 答案：C
3．(基础点：象限符号)若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( )
四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角 α 以 Ox 为始边，OP 为终边．若 tan α＜cos
α＜sin α，则 P 所在的圆弧是( )
︵ A.AB
︵ B.CD
︵ C.EF
︵ D．GH
[解析] 由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，
︵ 在AB上，tan α＞sin α，不满足；
︵ 在CD上，tan α＞sin α，不满足；
(3)(2020·成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数 是________． [解析] 设圆的半径为R，则圆内接正方形的边长为 2R，因此该圆心角的弧度数 是α＝Rl ＝ R2R＝ 2. [答案] 2
(4)若扇形的周长为20，当扇形所在圆的半径为________时， 扇形面积最大，最大值为________． [解析] 由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r， 故S扇＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25， 当r＝5时，S的最大值为25. [答案] 5 25
∴10sin α＋co3s α＝3 10－3 10＝0.
[答案] 0
[破题技法] 1.利用角α终边上一点的坐标求三角函数值，由于点P象限不定，故 讨论象限位置． 2．已知角α的终边求三角函数值，其关键点为： (1)已知角α终边上点P的坐标 ①求P到原点的距离． ②利用三角函数定义求解．