材料力学课件 第五章弯曲应力
合集下载
材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
材料力学5弯曲应力_图文
（1）合理安排载荷 （2）分散载荷(从使用方案考虑) （3）调整支座位置（从设计角度）
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排载荷
P
(降低最大弯矩）
P
a
b
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（2）分散载荷(从使用方面考虑)
P P
P
若：
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（3）调整支座位置（从设计角度）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
弯曲切应力强度校核
一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大 截面的中性轴上，且
是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩 。
型钢可查表
切应力强度条件：
梁上的最大切应力max≤[]
例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材
料许用应力[]=160 MPa，[]=100 MPa。试选择工字钢型号。
3950
（3）合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料
z
z
采用关于中性轴对称的截面
y
y
脆性材料
z
采用关于中性轴不对称的截面
y
理想情况： 可调整各部分尺寸，使
z
y
y1 z
y2 y
3、采用变截面梁
以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其
他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。
从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较 小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁 叫变截面梁。 若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁。
正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排载荷
P
(降低最大弯矩）
P
a
b
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（2）分散载荷(从使用方面考虑)
P P
P
若：
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（3）调整支座位置（从设计角度）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
弯曲切应力强度校核
一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大 截面的中性轴上，且
是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩 。
型钢可查表
切应力强度条件：
梁上的最大切应力max≤[]
例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材
料许用应力[]=160 MPa，[]=100 MPa。试选择工字钢型号。
3950
（3）合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料
z
z
采用关于中性轴对称的截面
y
y
脆性材料
z
采用关于中性轴不对称的截面
y
理想情况： 可调整各部分尺寸，使
z
y
y1 z
y2 y
3、采用变截面梁
以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其
他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。
从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较 小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁 叫变截面梁。 若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁。
正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
材料力学第五章 弯曲内力PPT课件
存在平行于截面的内力（剪 力）。
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章 弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图 作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章 弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图 作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
弯曲应力 材料力学PPT课件资料
max Mmax [ ]
W
注意：当截面变化时，还需综合考虑W的值。
19
例 1 ( 书例5.1) 已知：板长3a =150mm，材料 的许用应力[] =140MPa。 求：最大允许 压紧力P。 解： 压板可简化为
如图的外伸梁。
(1) 求弯矩图
由微分关系，AC段、BC段的弯矩图为斜直线2。0
(1) 求弯矩图 由微分关系，AC 段、BC段的弯矩 图为斜直线。 作出弯矩图。
d3
WI
1
32
×(95×103
3)84.1×106
m3
32
I MI 56.1MPa [ ]
WI
II截面
MII 3.42kNm
26
II截面
MII 3.42kNm
d3
WII
2
32
×(85×103
3 )60.3×10 6
m3
32
II MII 56.7 MPa [ ]
WII
III截面 MIII 4.64kNm 27
Iz
引入符号： W Iz 抗弯截面系数 ymax
则有：
max Mmax
W
比较 拉压: max Nmax
A
扭转: max Tmax
W17t
两种常用截面的抗弯截面系数
矩形截面
bh3 Iz ,
12
ymax h 2
bh2
W
6
圆形截面
d4
d
Iz
64
, ymax 2
d3
W
32
18
弯曲强度条件
+yAzdA0 即： Iyz 0
因为y轴是对称轴，上式自然满足。
13
+ + M y Az dA, Mz Ay dA
W
注意：当截面变化时，还需综合考虑W的值。
19
例 1 ( 书例5.1) 已知：板长3a =150mm，材料 的许用应力[] =140MPa。 求：最大允许 压紧力P。 解： 压板可简化为
如图的外伸梁。
(1) 求弯矩图
由微分关系，AC段、BC段的弯矩图为斜直线2。0
(1) 求弯矩图 由微分关系，AC 段、BC段的弯矩 图为斜直线。 作出弯矩图。
d3
WI
1
32
×(95×103
3)84.1×106
m3
32
I MI 56.1MPa [ ]
WI
II截面
MII 3.42kNm
26
II截面
MII 3.42kNm
d3
WII
2
32
×(85×103
3 )60.3×10 6
m3
32
II MII 56.7 MPa [ ]
WII
III截面 MIII 4.64kNm 27
Iz
引入符号： W Iz 抗弯截面系数 ymax
则有：
max Mmax
W
比较 拉压: max Nmax
A
扭转: max Tmax
W17t
两种常用截面的抗弯截面系数
矩形截面
bh3 Iz ,
12
ymax h 2
bh2
W
6
圆形截面
d4
d
Iz
64
, ymax 2
d3
W
32
18
弯曲强度条件
+yAzdA0 即： Iyz 0
因为y轴是对称轴，上式自然满足。
13
+ + M y Az dA, Mz Ay dA
工程力学5第五章弯曲应力 ppt课件
M
dM Iz
S
* z
dF ddx
dM dx = FS
FS
S
* z
Izd
S
* z
b( h 2
h1 2
)[ h1 2
1 2
(h 2
h1 2
)]
d
(
h1 2
y)[ y
1 2
(
h1 2
y)]
1 h2 [b(
h12
)
d ( h12
y2 )]
2 44
2PPT课件
z
280
PPT课件
60
y
4.13MPa 4.34MPa
38
例3：一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁
中1.2.3.4点处分别取四个单元体，试画出单
元体上的应力，并写出应力的表达式。
q
1
A
l /4
2
4 h /4
3
B
l
l /4
h
z τmax
bτ
PPT课件
39
解：(1)求支座反力:
q
3 FA 4 ql
腹板
δ d
yz
FS——横截面上剪力。
y
翼缘
矩形截面的两个假定同样适用。
PPT课件
24
δ
h h1
y
δ
FN1
b
dF z
dx
dF FN 2 FN1
FN2
式中：FN1
dA M
A*
Iz
A*
材料力学第5章弯曲应力
3 R2
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
材料力学 弯曲应力PPT课件
弯曲强度校核仅满足正应力强度条件即可。 56 最新课件
弯曲应力/提高弯曲强度的措施
§5.6 提高弯曲强度的措施
57 最新课件
思考：设计梁的主要依据是什么？ 弯曲正应力的强度条件
max
Mmax[] Wz
提高弯曲强度的措施：
M ma , xW z， []
58 最新课件
弯曲应力/提高弯曲强度的措施
一.合理安排梁的受力情况，尽量减小Mmax值
Wz Iz y max
则公式变为： max Mmax
Wz 25 最新课件
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
常见截面Wz的计算如下：
矩形截面
竖放：
z
Wz 1 bh2
h
6
b
平放：
b z´ h
Wz 1 hb2 6
26 最新课件
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
圆形截面
d
实心：
z
Wz
d3
32
空心：
D dz
Wz D3(14)
32
27 最新课件
三. 弯曲正应力计算练习
简支梁如图所示，截面尺寸如图，单位 为mm，求1-1截面上1、2两点正应力的大小， 并求此截面上的最大正应力。
1 q=60kN/m
180 30
A 1m
B
12
Z
120
2m
1
28 最新课件
1 q=60kN/m
180 30
A 1m
B
12
Z
2m
对比横力弯曲正应力和切应力的分布：
正应力的最大值发生在横截面的上下边缘， 该处的切应力为零；切应力的最大值发生在中性 轴上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各 点，同时存在正应力和切应力。
材料力学《第五章》弯曲应力
O2
1
2
O z
y
距中性层为 y 处纵向纤维 ab的变形：
dx
1
2
弯曲前： ab = O1O2 = dx
弯曲后： ab = (r + y)dq
中性层长度不变：
O1
O2
y
a
b
1
2
O1O2 = O1O2 = dx = r dq ab = dx = r dq
M
dq r
M
1
2
ab 的伸长：
O1
D ab = ab – ab = (r + y)dq –r dq = ydq a
∴ 最大弯曲正应力
σmaxMIm zyaxIz
M ymax
令 Wz = Iz /ymax ，称 Wz 为横截面的抗弯截面系数。
∴
σ max
M Wz
四、公式适用条件
1. 纯弯曲：平面假设条件下；
2. 弹性范围内，且 Ec = Et 3. 对称弯曲，y 轴为梁横截面的纵向对称轴。
∴ 公式 1 M 、σ My
应力s 仍按线性规律分布，纯弯曲正应力公式仍可适用。
2. 当 FS 随截面位置变化时： 因 FS不同，各横截面翘曲程度不同，各纵向纤维将产生附加的 伸长或缩短，将产生附加的正应力s。
但当梁 l > 5h 时，FS产生的附加正应力 s 与 M 引起的 s 相比很小，
在工程计算中可略去，纯弯曲正应力公式仍可适用，误差 <1%。
Oy M
yzz s
s
y
dA
令 Iz = ∫A y2dA，称 Iz 为横截面对 z 轴的惯性矩。
横截面一定时， Iz 一定。
∴
上海交通大学
材料力学课件第五章 弯曲应力
三、作心轴弯矩图： 作心轴弯矩图：
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
材料力学课件 第五章弯曲应力
1 M = ρ EI z
EIz—弯曲刚度。表示梁抵抗弯曲变形的能力。 正应力公式
My y σ=E I zρ
公式适用范围： 1、对称弯曲，且纵向纤维无挤压。 2、线弹性范围，且拉压弹性模量相等。 思考题：若不是对称弯曲，以上正应力公式能 否成立？什么条件下成立？
4、最大正应力
最大正应力在横截面的上、下边缘点处
M B = 2.5kNm M C = −4kNm
9kN
A 2.5kN B
8kN/m
C D 88
80 b
20 z 120 20
I z = 763 × 106 mm 4
M B = 2.5kNm
1m
1m
14.5kN
1m
a
M C = −4kNm
3、确定危险点进行强度计算 C截面a点 C截面b点 B截面a点
[q2 ] = 8Wz [σ ] = 8 × 7.22 × 104 × 10 × 10 −6 = 5.78 kN
m
☻提高弯曲截面系数是提高梁的承载能力的主要 措施之一。
例题：一T型铸铁梁受外力如图所示，已知横截面对 中性轴的惯性矩Iz=763×104mm4，铸铁材料的容许 拉应力[σt]=30MPa，容许压应力[σc] =60MPa。试校 核梁的正应力强度。
梁满足强度条件 ☻非对称截面梁可能有两个危险截面、三个危险点
例题：图示20号槽钢受弯曲变形时，测出边缘点A、 B两点间长度的改变量为Δl=27×10-3mm，材料的弹 性模量E=200GPa。试确定两横截面上的弯矩M。
A M 50 B M
问题分析 边缘点
σ max M 单向应力 = Wz
Δl = ε max l AB
σ t max ≤ [σ t ] σ c max ≤ [σ c ]
材料力学弯曲应力ppt课件
1
第五章 弯曲应力
§5-1 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §5-2 梁横截面上的切应力 §5-3 梁的正应力和切应力强度条件 §5-4 提高梁强度的措施
2
§5-1 平面弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲（Pure Bending）
aF
Fa
C
A
B
AC、BD：
剪力FS D 内力
弯矩M
切应力t 正应力s
M1 ( 2 2 ) x1 60kNm
13
1 q=60kN/m
Mmax qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
A
B 求应力
1m
2m
1
12
z
120
qL2
y
M
M1 8 Mmax
180 30
Iz
bh3 12
1201803 12
1012
5.832 105 m4
横力弯曲：
x dx
M
s
FS
t
切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的
横截面形状不同分别加以讨论。
b
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
1、两点假设： 切应力与剪力平行； 距中性轴等距离处，切应力相等。
h y
FS z
t
y
18
2、研究方法：分离体平衡。
5
纵向对称面 中性层
中性轴
两个概念： 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
6
2.假设 平截面假设：横截面变形后仍为垂直于轴线的平面，只是绕 中性轴发生转动。 纵向纤维互不挤压假设：梁由许多纵向纤维组成，变形时各 纤维层之间没有挤压作用。
第五章 弯曲应力
§5-1 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §5-2 梁横截面上的切应力 §5-3 梁的正应力和切应力强度条件 §5-4 提高梁强度的措施
2
§5-1 平面弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲（Pure Bending）
aF
Fa
C
A
B
AC、BD：
剪力FS D 内力
弯矩M
切应力t 正应力s
M1 ( 2 2 ) x1 60kNm
13
1 q=60kN/m
Mmax qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
A
B 求应力
1m
2m
1
12
z
120
qL2
y
M
M1 8 Mmax
180 30
Iz
bh3 12
1201803 12
1012
5.832 105 m4
横力弯曲：
x dx
M
s
FS
t
切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的
横截面形状不同分别加以讨论。
b
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
1、两点假设： 切应力与剪力平行； 距中性轴等距离处，切应力相等。
h y
FS z
t
y
18
2、研究方法：分离体平衡。
5
纵向对称面 中性层
中性轴
两个概念： 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
6
2.假设 平截面假设：横截面变形后仍为垂直于轴线的平面，只是绕 中性轴发生转动。 纵向纤维互不挤压假设：梁由许多纵向纤维组成，变形时各 纤维层之间没有挤压作用。
第五章 弯曲应力(材料力学)PPT课件
n
作如下假设： (1) 梁的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形
后的轴线，即弯曲变形的平面假设。 (2) 纵向纤维间无挤压作用，各纵向纤维均处于单向
受拉或受压状态。
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 弯曲应力
bb 变形前的长度等于中性层
中性层长度不变, 所以:
bbO 1 O 2 O1O 2 d
纵向线bb变形后的长度为:
纯弯曲和横力弯曲的概念
F
F
在 AC 和 DB 段 ， 梁 的 横 截 面既有弯矩，又有剪力，这 种情况称为横力弯曲（剪切 弯曲）。 在 CD 段 内 ， 梁 的 横 截 面
A C
a
F
+
B
D
a
上剪力为零，而弯矩为常量， 这种情况称为纯弯曲。
+
F. a
F
梁在纯弯曲变形时，横截面
+
上只有与弯矩有关的正应力。
材料力学Ⅰ电子教案
材料力学
第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
четверг, 3 декабря 2020 г.
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
§5-4 弯曲切应力
§5-5* 关于弯曲理论的基本假设
§5-6 提高弯曲强度的措施
即：
FN
dA0,
A
My
zdA0,
A
Mz
ydAM
A
材料力学Ⅰ电子教案
第五章 弯曲应力
FN
dA0
A
AdAEAydA0
AydASz 0
z 轴通过形心
材料力学刘鸿文第五版课件第五章弯曲应力.
8
纯弯曲时梁的正应力
横截面对称轴为y 轴，向下为正
中性轴为z轴，位 置待定 x轴暂时认为是通 过原点的横截面的 法线
讨论：距中性层为y处纵向纤维的变形
9
m a o b m
n a o b y
dx
n
中性层曲率半径
纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
10
二、物理关系：
由胡克定律及
E
任意纵向纤维的正应力与
动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线 变形后仍正交。
7
设想梁是由无数层 纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度不 变－－中性层 中间层与横截面的交 线－－中性轴
推 论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。
空心圆截面
IZ
矩形截面
D 4
64
(1 4 )
WZ
D 3
32
(1 4 )
bh 3 IZ 12
3
bh 2 WZ 6
16
空心矩形截面
b0 h0 bh IZ 12 12
3
3
b0 h0 bh 3 WZ ( ) /( h0 / 2) 12 12
横力弯曲正应力
距离成正比； 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
•
•
中性轴上，正应力等于零
Mymax max IZ
IZ WZ ymax
max
M WZ
15
抗弯截面模量
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y dA
2 A
IZ WZ y max
纯弯曲时梁的正应力
横截面对称轴为y 轴，向下为正
中性轴为z轴，位 置待定 x轴暂时认为是通 过原点的横截面的 法线
讨论：距中性层为y处纵向纤维的变形
9
m a o b m
n a o b y
dx
n
中性层曲率半径
纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
10
二、物理关系：
由胡克定律及
E
任意纵向纤维的正应力与
动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线 变形后仍正交。
7
设想梁是由无数层 纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度不 变－－中性层 中间层与横截面的交 线－－中性轴
推 论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。
空心圆截面
IZ
矩形截面
D 4
64
(1 4 )
WZ
D 3
32
(1 4 )
bh 3 IZ 12
3
bh 2 WZ 6
16
空心矩形截面
b0 h0 bh IZ 12 12
3
3
b0 h0 bh 3 WZ ( ) /( h0 / 2) 12 12
横力弯曲正应力
距离成正比； 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
•
•
中性轴上，正应力等于零
Mymax max IZ
IZ WZ ymax
max
M WZ
15
抗弯截面模量
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y dA
2 A
IZ WZ y max
材料力学课件ppt-5弯曲应力-PPT课件-PPT精品文档
x
x
6 61 .710 Pa61 .7MPa （压应力）
28
目录
§5-2
q=60kN/m
横力弯曲正应力
120
180
2. C 截面最大正应力
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
M 60 kN m C
z y
FBY
C 截面惯性矩
5 4 I 5 . 832 10 m Z
FS 90kN
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力 －－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力 －－横力弯曲
4
目录
5
目录
二、 纯弯曲时梁的正应力
（一）实验观察现象：
6
目录
7
目录
8
目录
（二）提出假设：
平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为 平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。
9
目录
假设： 纵向纤维之间没有正压力
3 4 W D ( 1 ) z 32
目录
20
§5-2
横力弯曲
横力弯曲正应力
21
目录
§5-2
横力弯曲正应力
My 弯曲正应力公式 IZ
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
M
2 ql /867.5kN m
x 90kN
C max
M C y max IZ 180 10 3 2 5 . 832 10 5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9NA B8kN/m
C D 88
80
20 z 120 20
1m
FA
1m
FC
1m
解： 1、求约束反力
∑M ∑F
y
A
=0
FC = 14.5kN
FA = 2.5kN
=0
9kN
A B
8kN/m
C D 88
80
20 z 120 20
1m
2.5kN
1m
1m
14.5kN 4kNm
（M） 2.5kNm
2、确定危险截面及弯矩 危险截面为B、C截面
b ——横截面的宽度 I z ——横截面对中性轴的惯性矩
讨论： 切应力分布规律
⎡ 1 ⎛ h ⎛ h ⎞∗ ⎞ ⎤ ⎡ 1 ⎤ h FsyS z⎥y ⎟ ⎥ ⎜ S = b( − y ) ⎢ y + = ⎜ − ⎢ 2 τ 2 +2 ⎟ 2 ⎣ ⎝ ⎝ bI⎠ ⎦ ⎠ ⎦ ⎣ z b ⎛ 2h⎛ bh 2 4 y2 ⎞ 2⎞ = ⎜ ⎜ 1 −y ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜− ⎟ ⎟ 2 28 4 h⎠ ⎠ ⎝ ⎝
1 M = ρ EI z
EIz—弯曲刚度。表示梁抵抗弯曲变形的能力。 正应力公式
My y σ=E I zρ
公式适用范围： 1、对称弯曲，且纵向纤维无挤压。 2、线弹性范围，且拉压弹性模量相等。 思考题：若不是对称弯曲，以上正应力公式能 否成立？什么条件下成立？
4、最大正应力
最大正应力在横截面的上、下边缘点处
12kN A FA 0.4m 8kN 6kN
B 0.8m
C
D
E
0.2m 0.4m FD
解： 1、求约束反力
∑M =0 ∑F = 0
A y
FD = 18kN
FA = 8kN
12kN A 0.4m 8kN
8kN
6kN
B 0.8m
C
D
E
0.2m 0.4m 18kN 2.4kNm
（M）
3.2kNm
2、确定危险截面及弯矩 危险截面为B、D截面
= 7.95 × 10 3 kNmm = 7.95kNm
练习题：外伸梁受力如图所示，AD段为实心圆截 面，直径D=60mm，DE段为空心圆截面，外径 D=60mm，内径d=45mm。已知材料的许用正应力 [σ]=170MPa，弹性模量E=200GPa。试校核梁的正 应力强度并确定AD段下边缘的变形量。
1、几何关系
实验现象： ☻横向线仍为直线， 但相对转过了一个角 度； ☻纵向线变成曲线， 一侧伸长，一侧缩 短，中间有一层长度 不变； ☻变形后的纵向线和 横向线仍保持正交。
M
M
中性层
中性轴
假设： ☻变形后的横截面仍保持为平面，且仍与轴线正 交。——平面假设 ☻梁内各纵向“纤维”只受轴向拉（压）力，相互之 间无挤压。——单向受力假设 ☻材料拉、压弹性模量相同
第五章 弯曲应力
§5-1 梁横截面上的正应力及正应力强度条件 §5-2 梁横截面上的切应力及切应力强度条件 §5-3 梁的合理设计 §5-4 非对称梁的弯曲＊
§5-1 梁横截面上的正应力及正应力强度条件
研究对象：对称弯曲梁
F q M 纵向对称面 轴线 对称轴
梁的内力
剪力Fs 弯矩M
切应力τ 正应力σ
Fs
假设：①切应力沿厚度均匀分布。 ②切应力与截面周边相切。
翼缘 腹板 d z by
δ
h
dFs′
F
∗ N1
∗ FN1 = ∫ ∗ σ 1dA A ∗ FN2 = ∫ ∗ σ 2 dA A
δ
∗ FN 2
dFs′ = τ′ddx
腹板
Fs S z∗ τ= dI z
d z by
δ
h τmax
δτmin
⎡1 ⎛ h h S = d( − y ) ⎢ ⎜ + 2 ⎣2 ⎝ 2
B截面
D截面 σ max
= 165.6 MPa < [σ ]
梁满足正应力强度条件
4、AD段下侧的变形量
12kN A 0.4m 8kN 6kN
B
dx
0.8m
C
D
E
0.2m 0.4m 2.4kNm
（M） 3.2kNm
σ Δl = ∫ d (Δl ) = ∫ εdx = ∫ dx = l l lE
M ∫l EW z dx
q
30 30 200 50 30
1m
30
解： 1、确定危险截面及相应的弯矩 危险截面在跨中 M max
q = ( kNm ) 8
2、确定截面的弯曲截面系数 平板平放 槽形截面 ①取参考轴z1如图，确定形心
30 × 100 × 15 + 30 × 50 × 55 × 2 yc = = 35mm 200 × 30 bh 2 200 × 4 2 3 30 Wz = = 3 × 10 mm 6 6
200
30
30 35 30 z1 50 z 30
②求截面对形心轴的惯性矩Iz
3 ⎛ 100 × 30 3 ⎞ ⎛ 30 × 50 2⎞ 2 ⎜ + 30 × 50 × 20 ⎟ × 2 + 100 × 30 × 20 ⎟ + ⎜ Iz = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 12 12 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ = 32.5 × 10 5 mm 4
[q2 ] = 8Wz [σ ] = 8 × 7.22 × 104 × 10 × 10 −6 = 5.78 kN
m
☻提高弯曲截面系数是提高梁的承载能力的主要 措施之一。
例题：一T型铸铁梁受外力如图所示，已知横截面对 中性轴的惯性矩Iz=763×104mm4，铸铁材料的容许 拉应力[σt]=30MPa，容许压应力[σc] =60MPa。试校 核梁的正应力强度。
③求弯曲截面系数Wz
Iz 32.5 × 10 5 Wz = = = 7.22 × 10 4 mm 3 ymax 45
平板平放
W z = 3 × 10 4 mm 3
槽形截面 W z = 7.22 × 104 mm 3 3、确定许可载荷
M max = q ≤ W z [σ ] 8
m
平板平放 槽形截面
[q1 ] = 8W z [σ ]= 8 × 3 × 104 × 10 × 10 −6 = 2.4 kN
应变分布规律： 取微段dx研究 y——纵向对称轴 z——中性轴
M dx M
dθ
z
中性层
ρ
x dx y
Α m
m dx
n
×
z
y
Β Β1 n
x
y
距中性轴为y的一层纤维的伸长量
Δ ( dx ) = ( ρ + y )dθ − ρdθ
线应变
( ρ + y )dθ − ρdθ y ε= = dx ρ
中性层 m
M B = 3.2kNm M D = −2.4kNm
3、校核强度
σ max M B 3.2 × 106 × 32 = = = 150.9 MPa < [σ ] 3 Wz 3.14 × 60 MD = = Wz
2.4 × 106 × 32 ⎡ ⎛ 45 ⎞ 4 ⎤ 3.14 × 60 3 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 60 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
dFs′ = τ′bdx
平衡
F + dFs′ = F
∗ N1
∗ N2
∫
A
∗
ydA
τ′bdx = τ′ =
dM Iz
∫
A∗
ydA
dFs′
∗ FN 1
1 dM ∗ F s S z ∗ ydA bI z dx ∫A
τ′ τ
Fs S z∗ τ= bI z
Fs ——所求横截面上的剪力
dx
b
∗ FN 2
S z∗ ——横截面上所求点一侧的截面对中性轴的静矩
10 6 × 32 ⎛ 3.2 × 0.4 3.2 × 0.8 2.4 × 0.2 ⎞ = 0.40mm Δl = ⎜ + − ⎟× 3 2 2 2 ⎝ ⎠ 200 × 3.14 × 60
§5-2 梁横截面上的切应力及切应力强度条件 一、梁横截面上的切应力
研究对象：对称弯曲梁 研究方法：局部平衡 1、矩形截面梁 假设：①横截面上各点的切应力与剪力方向相同。 ②切应力沿截面宽度均匀分布。
∗ z
h δ ⎞⎤ y ⎟ ⎥ + bδ ( + ) 2 2 ⎠⎦
一、梁纯弯曲时横截面上的正应力
纯弯曲：梁段内各横截 面上的剪力为零，弯矩 为常数，则该梁段的弯 曲称为纯弯曲。 剪力弯曲：梁段内剪力 不为零的弯曲称为剪力 弯曲。（也称横力弯 曲）
（Fs） F 剪弯 纯弯 剪弯 F
a
F
l
F
a
F
﹣
F Fa
﹢ ﹣
Fa
（M）
纯弯曲时正应力研究方法
几何关系 适 用 条 件 应变规律 物理关系 应力规律 静力学关系 应力公式
σ max = My max M = Iz Wz
Iz Wz = ymax
——弯曲截面系数
常用截面的抗弯截面系数 h b D z
α=d D
z
d
z
Iz
bh 12
3
πd 4 64 πd 32
3
πD 4 ( 1 − α 4 ) 64 πD 3 ( 1 − α 4 ) 32
Wz
bh 6
2
二、剪力弯曲时横截面上的正应力
dθ ρ n dx Α m
×
z
y
☻结论：横截面上任意点 的线应变与点到中性层的 距离成正比。
Β Β1 n
x
y
2、物理关系
若材料在线弹性范围内，且拉压弹性模量相同。
C D 88
80
20 z 120 20
1m
FA
1m
FC
1m
解： 1、求约束反力
∑M ∑F
y
A
=0
FC = 14.5kN
FA = 2.5kN
=0
9kN
A B
8kN/m
C D 88
80
20 z 120 20
1m
2.5kN
1m
1m
14.5kN 4kNm
（M） 2.5kNm
2、确定危险截面及弯矩 危险截面为B、C截面
b ——横截面的宽度 I z ——横截面对中性轴的惯性矩
讨论： 切应力分布规律
⎡ 1 ⎛ h ⎛ h ⎞∗ ⎞ ⎤ ⎡ 1 ⎤ h FsyS z⎥y ⎟ ⎥ ⎜ S = b( − y ) ⎢ y + = ⎜ − ⎢ 2 τ 2 +2 ⎟ 2 ⎣ ⎝ ⎝ bI⎠ ⎦ ⎠ ⎦ ⎣ z b ⎛ 2h⎛ bh 2 4 y2 ⎞ 2⎞ = ⎜ ⎜ 1 −y ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜− ⎟ ⎟ 2 28 4 h⎠ ⎠ ⎝ ⎝
1 M = ρ EI z
EIz—弯曲刚度。表示梁抵抗弯曲变形的能力。 正应力公式
My y σ=E I zρ
公式适用范围： 1、对称弯曲，且纵向纤维无挤压。 2、线弹性范围，且拉压弹性模量相等。 思考题：若不是对称弯曲，以上正应力公式能 否成立？什么条件下成立？
4、最大正应力
最大正应力在横截面的上、下边缘点处
12kN A FA 0.4m 8kN 6kN
B 0.8m
C
D
E
0.2m 0.4m FD
解： 1、求约束反力
∑M =0 ∑F = 0
A y
FD = 18kN
FA = 8kN
12kN A 0.4m 8kN
8kN
6kN
B 0.8m
C
D
E
0.2m 0.4m 18kN 2.4kNm
（M）
3.2kNm
2、确定危险截面及弯矩 危险截面为B、D截面
= 7.95 × 10 3 kNmm = 7.95kNm
练习题：外伸梁受力如图所示，AD段为实心圆截 面，直径D=60mm，DE段为空心圆截面，外径 D=60mm，内径d=45mm。已知材料的许用正应力 [σ]=170MPa，弹性模量E=200GPa。试校核梁的正 应力强度并确定AD段下边缘的变形量。
1、几何关系
实验现象： ☻横向线仍为直线， 但相对转过了一个角 度； ☻纵向线变成曲线， 一侧伸长，一侧缩 短，中间有一层长度 不变； ☻变形后的纵向线和 横向线仍保持正交。
M
M
中性层
中性轴
假设： ☻变形后的横截面仍保持为平面，且仍与轴线正 交。——平面假设 ☻梁内各纵向“纤维”只受轴向拉（压）力，相互之 间无挤压。——单向受力假设 ☻材料拉、压弹性模量相同
第五章 弯曲应力
§5-1 梁横截面上的正应力及正应力强度条件 §5-2 梁横截面上的切应力及切应力强度条件 §5-3 梁的合理设计 §5-4 非对称梁的弯曲＊
§5-1 梁横截面上的正应力及正应力强度条件
研究对象：对称弯曲梁
F q M 纵向对称面 轴线 对称轴
梁的内力
剪力Fs 弯矩M
切应力τ 正应力σ
Fs
假设：①切应力沿厚度均匀分布。 ②切应力与截面周边相切。
翼缘 腹板 d z by
δ
h
dFs′
F
∗ N1
∗ FN1 = ∫ ∗ σ 1dA A ∗ FN2 = ∫ ∗ σ 2 dA A
δ
∗ FN 2
dFs′ = τ′ddx
腹板
Fs S z∗ τ= dI z
d z by
δ
h τmax
δτmin
⎡1 ⎛ h h S = d( − y ) ⎢ ⎜ + 2 ⎣2 ⎝ 2
B截面
D截面 σ max
= 165.6 MPa < [σ ]
梁满足正应力强度条件
4、AD段下侧的变形量
12kN A 0.4m 8kN 6kN
B
dx
0.8m
C
D
E
0.2m 0.4m 2.4kNm
（M） 3.2kNm
σ Δl = ∫ d (Δl ) = ∫ εdx = ∫ dx = l l lE
M ∫l EW z dx
q
30 30 200 50 30
1m
30
解： 1、确定危险截面及相应的弯矩 危险截面在跨中 M max
q = ( kNm ) 8
2、确定截面的弯曲截面系数 平板平放 槽形截面 ①取参考轴z1如图，确定形心
30 × 100 × 15 + 30 × 50 × 55 × 2 yc = = 35mm 200 × 30 bh 2 200 × 4 2 3 30 Wz = = 3 × 10 mm 6 6
200
30
30 35 30 z1 50 z 30
②求截面对形心轴的惯性矩Iz
3 ⎛ 100 × 30 3 ⎞ ⎛ 30 × 50 2⎞ 2 ⎜ + 30 × 50 × 20 ⎟ × 2 + 100 × 30 × 20 ⎟ + ⎜ Iz = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 12 12 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ = 32.5 × 10 5 mm 4
[q2 ] = 8Wz [σ ] = 8 × 7.22 × 104 × 10 × 10 −6 = 5.78 kN
m
☻提高弯曲截面系数是提高梁的承载能力的主要 措施之一。
例题：一T型铸铁梁受外力如图所示，已知横截面对 中性轴的惯性矩Iz=763×104mm4，铸铁材料的容许 拉应力[σt]=30MPa，容许压应力[σc] =60MPa。试校 核梁的正应力强度。
③求弯曲截面系数Wz
Iz 32.5 × 10 5 Wz = = = 7.22 × 10 4 mm 3 ymax 45
平板平放
W z = 3 × 10 4 mm 3
槽形截面 W z = 7.22 × 104 mm 3 3、确定许可载荷
M max = q ≤ W z [σ ] 8
m
平板平放 槽形截面
[q1 ] = 8W z [σ ]= 8 × 3 × 104 × 10 × 10 −6 = 2.4 kN
应变分布规律： 取微段dx研究 y——纵向对称轴 z——中性轴
M dx M
dθ
z
中性层
ρ
x dx y
Α m
m dx
n
×
z
y
Β Β1 n
x
y
距中性轴为y的一层纤维的伸长量
Δ ( dx ) = ( ρ + y )dθ − ρdθ
线应变
( ρ + y )dθ − ρdθ y ε= = dx ρ
中性层 m
M B = 3.2kNm M D = −2.4kNm
3、校核强度
σ max M B 3.2 × 106 × 32 = = = 150.9 MPa < [σ ] 3 Wz 3.14 × 60 MD = = Wz
2.4 × 106 × 32 ⎡ ⎛ 45 ⎞ 4 ⎤ 3.14 × 60 3 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 60 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
dFs′ = τ′bdx
平衡
F + dFs′ = F
∗ N1
∗ N2
∫
A
∗
ydA
τ′bdx = τ′ =
dM Iz
∫
A∗
ydA
dFs′
∗ FN 1
1 dM ∗ F s S z ∗ ydA bI z dx ∫A
τ′ τ
Fs S z∗ τ= bI z
Fs ——所求横截面上的剪力
dx
b
∗ FN 2
S z∗ ——横截面上所求点一侧的截面对中性轴的静矩
10 6 × 32 ⎛ 3.2 × 0.4 3.2 × 0.8 2.4 × 0.2 ⎞ = 0.40mm Δl = ⎜ + − ⎟× 3 2 2 2 ⎝ ⎠ 200 × 3.14 × 60
§5-2 梁横截面上的切应力及切应力强度条件 一、梁横截面上的切应力
研究对象：对称弯曲梁 研究方法：局部平衡 1、矩形截面梁 假设：①横截面上各点的切应力与剪力方向相同。 ②切应力沿截面宽度均匀分布。
∗ z
h δ ⎞⎤ y ⎟ ⎥ + bδ ( + ) 2 2 ⎠⎦
一、梁纯弯曲时横截面上的正应力
纯弯曲：梁段内各横截 面上的剪力为零，弯矩 为常数，则该梁段的弯 曲称为纯弯曲。 剪力弯曲：梁段内剪力 不为零的弯曲称为剪力 弯曲。（也称横力弯 曲）
（Fs） F 剪弯 纯弯 剪弯 F
a
F
l
F
a
F
﹣
F Fa
﹢ ﹣
Fa
（M）
纯弯曲时正应力研究方法
几何关系 适 用 条 件 应变规律 物理关系 应力规律 静力学关系 应力公式
σ max = My max M = Iz Wz
Iz Wz = ymax
——弯曲截面系数
常用截面的抗弯截面系数 h b D z
α=d D
z
d
z
Iz
bh 12
3
πd 4 64 πd 32
3
πD 4 ( 1 − α 4 ) 64 πD 3 ( 1 − α 4 ) 32
Wz
bh 6
2
二、剪力弯曲时横截面上的正应力
dθ ρ n dx Α m
×
z
y
☻结论：横截面上任意点 的线应变与点到中性层的 距离成正比。
Β Β1 n
x
y
2、物理关系
若材料在线弹性范围内，且拉压弹性模量相同。