高中数学竞赛解题策略-几何分册第13章 根轴

竞赛第13章 根轴定义 从一点P 作一圆周的任一割线PAB ，从点P 起到和圆周相交为止的两线段之积PA PB ⋅，称为点P 对于这个圆周的幂①．由相交弦定理及割线定理，知点P 的幂是定值．若点P 在圆内，则点A 的幂等于以该点为中点的弦半弦长的平方；若点P 在圆外，则点P 的幂等于从该点所引圆周的切线长的平方；若点P 在圆周上，则点P 的幂等于0．由定义，关于圆周的幂有下列结论．结论1 点P 对于以O 为圆心、以R 为半径的圆周的幂，等于OP 及半径R 的关系式22OP R -． 结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条过连心线上一定点且垂直连心线的直线．事实上，设点P 到圆1O 和圆2O 的幂相等，圆1O ，圆2O 的半径分别为1R ，2R （12R R >），则22221122PO R PO R -=-，即22221212PO PO R R -=-=常数如图13-1，设12O O 的中点为D ，12PM O O ⊥于点M ，则2221112PO PD O D O D DM =++⋅2222222PO PD DO DO DM =+-⋅O 1O 2PD M图13-1易得2212122R RDM O O -==常数所以，过定点M 的垂线即是两圆等幂点的轨迹． 这条直线称为两圆的根轴或等幂轴．特别地，若两圆同心，则120O O =．从而，同心圆的根轴不存在；若20R =，圆2O 变成一点2O ，则点A 对于圆2O 的幂是22AO ．此时，直线（轨迹）称为一圆与一定点的根轴． 根轴有下面的性质．性质1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线． 性质2 若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线． 性质3 三个圆，其两两的根轴或相交于一点，或互相平行．事实上，若三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上，这一点，称为三个圆的根心．显然，当三个圆的圆心的一条直线上时，三条根轴互相平行．当三个圆的圆心不共线时，根心存在． 性质4 若两圆相离，则两圆相离，则两圆的四套公切线的中点在根轴上．性质5 一点P 对于不同心两圆11()O r ⊙、22()O r ⊙的幂为1t ，2t ，l 是这两圆的等幂轴，PA l ⊥于A ，则12122t t AP O O -=⋅．即一点对于不同心两圆的幂之差等于等幂轴到该点的距离乘以圆心距之积的2倍．①沈文君. 根轴的性质及应用[J]. 中等数学，2004（1）：6-10.图13-2lf 2f 1ABQ PO 1O 2r 2r 1证明 设12l O O ⊥于Q ，作12PB O O ⊥于B ，便得2222121122()()t t PO r PO r -=---222222221212112112()()()BO BO r r BO O O BO QO QO =---=----22121121212121121121122()()2[()]O O BO O O QO QO QO QO O O BO O O QO O O QO O O =⋅---+=⋅----⋅ 21211212112121121122(2)(22)O O BO O O O O QO O O O O BO O O QO O O =⋅--⋅-=--+121222O O BQ AP O O =⋅=⋅推论 若两圆不同心，则其中一个圆的任何点对于另一圆的幂的绝对值，必等于该点到等幂轴的距离乘以圆心距之积的2倍．即若P 点在2O ⊙上，则20P =，此时1122t AP O O =⋅． 下面给出运用上述性质解题的例子．例1 （IMO50预选题）已知ABC △的内切圆分别与边AB ，AC 切于点Z ，Y ，BY 与CZ 交于点G ，点R ，S 满足四边形BCYR 和四边形BCSZ 式平行四边形．证明：GR GS =．证明 如图13-3，设ABC △的内切圆和A ∠内的旁切圆分别为圆Γ和圆a Γ，圆Γ和圆a Γ与边BC 分别切于点X ，T ，圆a Γ与直线AB ，AC 分别切于点P ，Q ．由BX CT =，得ZP ZB BP XB BT BX CX ZS =+=+=+=，CQ CT BX BZ CZ ====．因此，对于点Z ，C ，它们到点S 的距离等于它们向圆a Γ所引的切线段的长．从而，ZC 是点圆S 和圆a Γ的根轴．Γ图13-3G ABCI aPXS YZ RT同理，BY 是点圆R 和圆a Γ的根轴．于是，ZC 与BY 的交点G 为圆S ，圆R ，圆a Γ的根心．所以GR GS =．例2 （2007年第45届越南数学奥林匹克题）已知下底边为BC （即BC AD ∥，且BC AD >）的梯形ABCD 内接于O ⊙．P 是在直线BC 上移动的点，且使得PA 不与O ⊙相切．以PD 为直径的圆交O ⊙于点()E E D ≠，记BC 与DE 交于点M ，N 是PA 与O ⊙的交点（N A ≠）．求证：直线MN 通过一定点． 证明 如图13-4，记A 关于O 的对称点为A '．A 'OPNA BC DEF M Γ1Γ2图13-4下面证明：N 、M 、A '三点共线，也就是直线MN 通过定点A '． 记以PD 为直径的圆为1Γ，以PA '为直径的圆为2Γ，注意到90PNA '∠=︒，则直线DE 、NA '分别为O ⊙与1Γ，2Γ的根轴．记以PD 为直径的圆为1Γ，以PA '为直径的圆为2Γ，注意到90PNA '∠=︒，则之心啊DE 、NA '分别为O ⊙与1Γ，2Γ的根轴．记DA '与直线BC 交于点F ，由90ADA '∠-︒，知90PFA '∠=︒，而90PNA '∠=︒，于是，知点F 在圆2Γ上，从而，直线BC 是1Γ、2Γ的根轴．由根心定理，知三个圆O ⊙、1Γ、2Γ的根轴DE 、BC 、NA '交于点M ．因此，M 、N 、A '三点共线．例3（2009年美国数学奥林匹克题）如图13-5，设圆1ω和2ω交与点X 、Y ．过1ω的圆心的直线1l 交圆2ω于点P 、Q ，过2ω的圆心的直线2l 交1ω于点R 、S ．证明：若P 、Q 、R 、S 四点共圆，则该圆的圆心在直线XY 上．PQ图13-5XYH R SOωω2ω1O 2O 1证明 设1O 、2O 分别为圆1ω、2ω的圆心，联结12O O ，过1O 作RS 的垂线3l ，过2O 作PQ 的垂线4l ，设3l 与4l 交于点O ．记过P 、Q 、R 、S 的圆为ω，则O 为ω的圆心．注意到PQ 、RS 、XY 分别为圆ω与2ω，圆ω与1ω，圆1ω与2ω的根轴．于是，直线PQ 、RS 、XY 共点，设为H （当PQ 、RS 、XY 两两平行时，视H 为无穷远点）． 由1O O PS ⊥知12O O O H ⊥．同理，21O O O H ⊥．于是，知O 为12O O H △的垂心（当H 为无穷远点时，O 在12O O 所在直线上）． 因此，12OH O O ⊥．又H 为XY 上一点，而12XY O O ⊥．故O 在直线XY 上．例4（2006年第19届韩国数学奥林匹克题）在ABC △中，B C ∠≠∠，ABC △的内切圆I ⊙与BC ，CA ，AB 的切点分别为D ，E ，F ．记AD 与I ⊙的不同于点D 的交点为P ，过点P 作AD 的垂线交EF 于点Q ，X ，Y 分别是AQ 与直线DE ，DF 的交点．求证：A 是线段XY 的中点． 证明 如图13-6．ω2ω1IV Y U (Q )'Q P ABCDE FX图13-6记过点A 且平行于BC 的直线与过点P 且垂直AD 的直线交点为Q '，直线DI 与AQ '的交点为U ，直线PQ '与I ⊙的交点为()V V P ≠．由90VPD ∠=︒，知D ，I ，V ，U 共线． 由90BDI ∠=︒，知90AUI ∠=︒．又90AFI AEI ∠=∠=︒，知A ，U ，F ，I ，E 五点共圆．记此圆为1ω． 由90APV AUV ∠=︒=∠，知A ，U ，V ，P 四点共圆，记此圆为2ω．由根轴性质3，知I ⊙，圆1ω，圆2ω两两相交的根轴EF ，PV ，AU 交于点Q '，而之间EF 与PV 相交于Q ，从而Q 与Q '重合．于是，由AXE CDE △∽△，有1AX CDAE CE==，即知AX AE =． 由AYF BDF △∽△，有1AY BDAF BF==，即知AY AF =．注意懂啊AE AF =，故AX AY =，即A 是线段XY 的中点．例5（2007年第45届越南数学奥林匹克题）已知下底边为BC （即BC AD ∥，且B C A D >）的题型ABCD内接于O ⊙．P 是在直线BC 上移动的点，且使得PA 不与O ⊙相似．以PD 为直径的圆交O ⊙于点()E E D ≠，记BC 与DE 交于点M ，N 是PA 与O ⊙的交点（N A ≠）．求证：直线MN 通过一定点． 证明 如图13-7，记A 关于O 对称的点为A '．B图13-7下面证明：N 、M 、A '三点共线，也就是直线MN 通过顶点A '． 注意到直线DE 是O ⊙和以PD 为直径的圆（记为圆1Γ）的根轴，由于90PNA '∠=︒，因此直线NA '是O ⊙和以PA '为直径的圆（记为圆2Γ）的根轴．记DA '与直线BC 交于点F ，由90ADA '∠=︒，得90PFA '∠=︒，而90PNA '∠=︒，于是，知点F 在圆1Γ上，从而，直线BC 是圆1Γ和2Γ的根轴．由根轴定理，知三个圆O ⊙，1Γ，2Γ的根轴DE ，BC ，NA '交于根心M ．因此，M 、N 、A '三点共线．例6（2009土耳其国家队选拔赛题）以O 为圆心，r 为半径的圆为四边形ABCD 的内切圆．设P ，Q 分别为AB 与CD 、AD 与BC 的交点，E 为对角线AC 与BD 的交点．证明：2OE d r ⋅=，其中d 为点O 到直线PQ 的距离．证明 如图13-8，设K ，L ，M ，N 分别为四边形ABCD 与内切圆相切的切点，且分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上．A 图13-8过O 作OS QP ⊥于S ，则E 在OS 上．一方面，由牛顿定理，知KM 与LN 的交点和对角线AC 与BD 的交点重合，即KM 与NL 的交点为E ． 另一方面，O ，K ，P ，M 和O ，L ，Q ，N 分别四点共圆，S 为这两个圆的另一交点，因此，直线OS ，KM ，LN 分别为这两个圆和四边形ABCD 内切圆的根轴，从而由根轴定理，E 为其根心． 故222222()+OE d OE OS OE OE ES OE OE ES OE LE EN OE r OE r ⋅=⋅=+=⋅=+⋅=--=．例7（2003年第29解俄罗斯数学奥林匹克题）如图13-9，在锐角APD △的边AP 和PD 上各取一点B 和C ，四边形ABCD 的两条对角线相于点Q ．APD △和BPC △的垂心分别为1H ，2H ．证明：如果直线12H H 经过ABQ △和CDQ △的外接圆的交点X ，那么它必定经过BQC △和AQD △的外接圆的交点(,)Y X Q Y Q ≠≠．B 1ω1C 1D 1H 2H 1QPN ABCDMY X图13-9证明 分别以对角AC 、BD 为直径作圆1ω和圆2ω．设1BB ，1CC ，1AA 、1DD 分别是BPC △和APD △的高，其中1A ，1C 在圆1ω上，点1B 、1D 在圆2ω上．于是，A 、D 、1A 、1D 四点共圆．从而111111H A H A H D H D ⋅=⋅，即点1H 位于圆1ω和圆2ω的根轴上． 同理，点2H 也位于圆1ω和圆2ω的根轴上．于是，该根轴就是直线12H H取对角线AC 、BD 的中点分别为M 、N ，则M 、N 分别为圆1w 、圆2w 的圆心．根据题设，点X 位于圆1ω和圆2ω的根轴上，所以2222XM CM XN DN -=-．（*） 注意到同弧上的圆周角相等，有XAQ XBQ ∠=∠，XCQ XDQ ∠=∠． 所以，XAC XBD △∽△． 因此，（*）式中的平方差或者等于0，或者是它们的相似比的平方．若该平行差为0，有90AXC BXD ∠=∠=︒，于是AB CD ⊥，这与APD △为锐角三角形矛盾．故该平方差相似比的平方，又由XM CMk XN DN==有2222222()XM CM k XN DN XN DN -=-=-．从而有21k =，故XAC XBD △≌△，于是，知AC BD =．同样，由YAQ YDQ ∠=∠，YCQ YBQ ∠=∠，有YA C YB D △≌，亦有YM YN =．而CM DN =，则2222=YM CM YN DN --，即Y 关于圆1ω和圆2ω的幂相等．故点Y 在圆1ω和圆2ω的根轴上．练习十三1．从半圆上的一点C 向直径AB 引垂线，设垂足为D ，作圆1O 分别切BC 、CD 、DB 于点E ，F ，G ．求证：AC AG =． 2．（1992年中国台北数学奥林匹克）设I 是ABC △的内心，过I 作AI 的垂线分别交边AB ，AC 于点P ，Q ．求证：分别与AB 、AC 相切于P 、Q 的圆L 必与ABC △的外接圆圆O 相切． 3．（1972年全苏数学奥林匹克竞赛试题）凸四边形ABCD 的两条对角线交于点O ，AOB △和COD △的垂心分别为1M 和2M ，BOC △和AOD △的重心分别为1H 和2H ．证明：1212M M H H ⊥．4．在凸五边形ABCDE 中，AB BC =，90BCD EAB ∠=∠=︒，P 为形内一点，使得AP BE ⊥，CP BD ⊥．证明：BP DE ⊥． 5．（第30届俄罗斯数学奥林匹克竞赛试题）设锐角ABC △的外心为O ，BOC △的外心为T ，点M 边BC 的中点，在边AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得ADM AEM BAC ∠=∠=∠．证明：AT DE ⊥． 6．（1995年第36届IMO 试题）设A ，B ，C ，D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC ，BD 为直径的圆交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z ．若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆交于C 及M ，直线BP 与以BD Wie 直径的圆交于B 及N ．试证：AM ，DN 和XY 共点． 7．（1998年第35届IMO 预选题）已知一圆圆O 切于两条平行线1l 和2l ；第二个圆圆1O 切1l 于A ，外切圆O 于C ；第三个圆圆2O 切2l 于B ，外切圆O 于D ，外切圆1O 于E ，AD 交BC 于Q ，求证：Q 是CDE △的外心． 8．（2004~2005年第22届伊朗数学奥林匹克题）ABC △的外接圆的圆心为O ，A '是边BC 的中点，AA '与外接圆交于点A ''，a A Q AO '⊥，点a Q 在AO 上，过点A ''的外接圆的切线与a A Q '相交于点a P ．用同样的方式，可以构造点b P 和c P ，证明：a P ，b P ，c P 三点共线． 9．（2006年第9届香港数学奥林匹克题）凸四边形ABCD 的外接圆的圆心为O ，已知AC BD ≠，AC 与BD 交于点E ，若P 为四边形ABCD 内部一点，使得90PAB PCB PBC PDC ∠+∠=∠+∠=︒． 求证：O ，P ，E 三点共线． 10．（2005年第31届俄罗斯数学奥林匹克11年级题）已知非等腰锐角ABC △，1AA ，1BB 是它的两条高，又线段11A B 与平行于AB 的中位线相交于点C '，证明：经过ABC △的外心和垂心的直线与直线CC '垂直． 11．（2009年国家队集训测试题）设D ，E 分别为ABC △的边AB ，BC 上点，P 是ABC △内一点，使得PE PC =，且DEP PCA △∽△，求证：BP 是PAD △的外接圆的切线． 12．（2006年意大利国家队选拔考试题）已知圆1Γ，2Γ交于点Q ，R ，且内切圆Γ，切点分别为1A 、2A ．P 为圆Γ上的任意一点，线段1PA ，2PA 分别与圆1Γ，2Γ交于1B ，2B ，证明：（1）与圆1Γ切于点1B 的直线和与圆2Γ切于点2B 的直线平行．（2）12B B 是圆1Γ与2Γ的公切线的充要条件是P 在直线QP 上． 13．（2006年意大利国家队选拔试题）已知ABC △的垂心为H ，边AB ，BC ，CA 的中点分别为L 、M 、N ，证明：当且仅当ABC △是锐角三角形时，有222222HL HM HN AL BM CN ++<++．。