高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.2指数函数(一)学案新人教B版必修1

D． ( －∞，－ 3) ∪( － 3,1]
C． ( －∞，－ 3) ∪( － 3,0]
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合
y＝ ax( a＞ 0，且 a≠1) 这一结
构形式，即 ax 的系数是 1，指数是 x 且系数为 1.
2．指数函数 y＝ ax( a＞ 0，且 a≠1) 的性质分底数 a＞ 1,0 ＜ a＜ 1 两种情况，但不论哪种情
x≥－
. 2
1
故所求函数的定义域为
－ ，＋∞ . 2
1 当 x∈ － 2，＋∞ 时，
2x－ 1
3∈
1 ，＋∞
9
.
∴３2x－ 1－
1 9∈[0
，＋∞
)
．
∴原函数的值域为 [0 ，＋∞ ) ．
跟踪训练 3 解 (1) 由 x－1≠０得 x≠1， 所以函数定义域为 { x| x≠1} ．
1
由
x
－
≠０得 1
反思与感悟 根据指数函数的定义， a 是一个常数， ax 的系数为 1，且 a>0， a≠1. 指数位置
是 x，其系数也为 1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数． 要求指数函数 f ( x) ＝ax( a>0，且 a≠1) 的解析式，只需要求出
a 的值，要求 a 的值，只需一
个已知条件即可． 跟踪训练 1 已知指数函数 y＝ (2 b－ 3) ax 经过点 (1,2) ，求 a， b 的值．
跟踪训练 4 已知函数 f ( x) ＝ 4＋ ax＋1 的图象经过定点 P，则点 P 的坐标是 (
)
B． ( －1,4)
A．( － 1,5)
D． (4,0)
C． (0,4)
指数函数图象局部 2命题角度
例 5 若直线 y＝ 2a 与函数 y＝|2 x－ 1| 图象有两个公共点，求实数 a 的取值范围．
3 4的实数，
3 ∴值域为 [ 4，＋∞ ) ．
跟踪训练 2
解
(1) ∵1－
1 2
x≥ 0，∴
1 2
x≤ 1，解得
x≥0，
∴原函数的定义域为 [0 ，＋∞ ) ．
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令
t ＝1－
1 2
x(
x≥0) ，则
0≤ t <1，
∴0≤ t<1 ，
∴原函数的值域为 [0,1) ．
(2) 原函数的定义域为 R.
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答案精析
问题导学
知识点一
思考
y
＝
2
x
.
它的底为常数，自变量为指数，而
y＝ x2 恰好反过来．
梳理 函数 y＝ ax( a>0，且 a≠1) R
知识点二
思考 函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作
图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．
梳理
(0,1) 0 1 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数
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反思与感悟
指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现
了指数函数图象的“原料”作用．
跟踪训练 5 函数 y＝ a| x| ( a>1) 的图象是 (
)
1．下列各函数中，是指数函数的是 ( )
B． y＝－ 3x
A．y＝ ( － 3) x
D．
y＝(
1 )
x
3
C． y＝3x－ 1
y≠1，
所以函数值域为 { y| y>0 且 y≠1} ．
1 (2) 由 5x－1≥０得 x≥ 5，
1 所以函数定义域为 { x| x≥5} ．
由 5x－ 1≥０得 y≥1，所以函数值域为 { y| y≥1} ． 例4 A
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跟踪训练 4 A 1－ 2x， x<0，
例 5 解 y＝ |2 x－ 1| ＝ 2x－ 1，x≥0，
题型探究
例 1 解 设 f ( x) ＝ax，将点 (3 ， π）代入，得到 f (3) ＝ π ，
即 a3＝π ，解得 a＝ ，于是 f ( x) ＝ . 跟踪训练 1 a＝ b＝ 2. 例 2 解 (1) 函数的定义域为 R( ∵对一切 x∈ R, 3x≠－ 1) ．
1＋ 3x － 1
1
∵ y＝ 1＋ 3x ＝ 1－1＋ 3x ，
3．1.2 指数函数 ( 一)
学习目标 1. 理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性 的性质 .3. 会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域．
.2. 掌握指数函数图象
知识点一 指数函数
思考 细胞分裂时，第一次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次由 2 个分裂成 4 个，第 3 次由 4 个分
(1) y＝
1 1－ 2 x；
ax － 1
(2)
y＝ax
＋
( 1
a>0，且
a≠1) ．
t 的范围．从而把问题
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命题角度 2 y＝af x 型
例 3 求函数 y＝
1 32x － 1－ 9的定义域、值域．
反思与感悟 y＝ af (x)的定义域即 f ( x) 的定义域，求 y＝ af (x) 的值域可先求 f ( x) 的值域，再利 用 y＝at 的单调性结合 t ＝f ( x) 的范围求 y＝ at 的范围． 跟踪训练 3 求下列函数的定义域、值域：
4. 函数 f ( x) ＝ ax－b 的图象如图所示，其中 a， b 均为常数，则下列结论正确的是 (
)
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A．a>1， b<0
B．a>1， b>0
C． 0<a<1， b>0
D． 0<a<1， b<0
1
5．函数 f ( x) ＝ 1－ 2x＋
的定义域为 ( )
x＋3
B． ( －3,1]
A．( － 3,0]
裂成 8 个，如此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 式是什么？这个函数式与 y＝ x2 有什么不同？
y 与次数 x 的函数关系
梳理 一般地， ________________ 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 ____．
特别提醒： (1) 规定 y＝ ax 中 a>0，且 a≠１ 的理由：①当 a≤０时， ax 可能无意义；②当 a>0
当 x>0 时， ______；
当 x>0 时， ______ ；
当 x<0 时， ______
当 x<0 时， ______
是 R 上的 ________
是 R 上的 ________
类型一 求指数函数的解析式 例 1 已知指数函数 f ( x) 的图象过点 (3 ，π ) ，求函数 f ( x) 的解析式．
图象如下：
由图可知，要使直线 y＝ 2a 与函数 y＝ |2 x－ 1| 图象有两个公共点， 1
需 0<2a<1，即 0<a<2. 跟踪训练 5 B 当堂训练
1． D 2.C 3.C 4.D 5.A
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时， x 可以取任何实数；③当
a＝ 1 时， ax＝ 1 ( x∈ R) ，无研究价值．因此规定
y＝ ax 中
a>0，且 a≠1.
(2) 要注意指数函数的解析式：①底数是大于
0 且不等于 1 的常数．②指数函数的自变量必
须位于指数的位置上．③ ax 的系数必须为 1. ④指数函数等号右边不会是多项式，如
况，指数函数都是单调的． 3．求函数 y＝ af ( x)( a＞ 0，且 a≠1) 的值域的方法如下：
(1) 换元，令 t ＝f ( x) ，并求出函数 t ＝ f ( x) 的定义域；
(2) 求 t ＝f ( x) 的值域 t ∈ M；
t
t
(3) 利用 y＝ a 的单调性求 y＝a 在 t ∈ M上的值域．
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类型二 指数型函数的定义域、值域问题
命题角度 1 y＝f ax 型
例 2 求下列函数的定义域、值域．
(1)
3x y＝1＋ 3x； (2)
y
＝
4
x
－
2
x
＋
1.
反思与感悟 解此类题的要点是设 ax＝ t ，利用指数函数的性质求出 转化为 y＝ f ( t ) 的问题． 跟踪训练 2 求下列函数的定义域与值域．
(1) y＝0.3 ； (2) y＝ 3
.
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类型三 指数函数图象的应用
命题角度 1 指数函数整体图象
例 4 在如图所示的图象中，二次函数
y＝ ax2＋ bx＋ c 与函数 y＝ b x 的图象可能是 (
)
a
反思与感悟 函数 y＝ ax 的图象主要取决于 0<a<1 还是 a>1. 但前提是 a>0 且 a≠1.
又∵３x>0,1 ＋ 3x>1，
1
1
∴0<1＋ 3x<1，∴－ 1<－1＋ 3x<0，
1 ∴0<1－ 1＋ 3x<1，∴值域为 (0,1) ．
(2)
定义域为
R，
y＝
(2
x
)
2
－
x
2
＋
1
＝
(2
x
－
1 2)
2＋
3 4，
x
x1
∵２>0，∴２ ＝ 2，即
x＝－ 1 时， y 取最小值
3 4，同时
y 可以取一切大于
y＝ 2x＋
1 不是指数函数．
知识点二 指数函数的图象和性质