高中数学第二章概率2.2条件概率与事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布课堂导学案新人教B版选修2_3

2.2.3 独立重复试验与二项分布
课堂导学
三点剖析
一、独立重复试验与二项分布
【例1】某地区每天保证用水量的概率为0.75，试求：
（1）在最近7天内用水正常的天数的分布；
（2）7天内至少有2天用水正常的概率.
思路分析：7天中用水正常的天数可能是0天，也可能是1天，也可能是2天，...，也可能是7天.设用水正常的天数为X，X取值为0，1， (7)
解析：由题意知，X服从参数n=7,p=0.75的二项分布，即X~B（7，0.75）.
(1)由二项分布的概率分布知
P（X=0）=0
7
C（0.75）0(0.25)7≈0.000 06,
P(X=1)=1
7
C(0.75)1(0.25)6≈0.001 28,
P(X=2)=2
7
C(0.75)2(0.25)5≈0.011 54,
P(X=3)=3
7
C(0.75)3(0.25)4≈0.057 68,
P(X=4)=4
7
C(0.75)4(0.25)3≈0.173 03,
P(X=5)=5
7
C(0.75)5(0.25)2≈0.311 46,
P(X=6)=6
7
C(0.75)6(0.25)1≈0.311 46,
P(X=7)=7
7
C (0.75)7(0.25)0≈0.133 48.
(2)P(X≥2)=∑
==
7
2
) (
k
k X
P
=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)≈0.011 54+0.057 68+0.173 03+0.311 46+0.311 46+0.133 48=0.998 7.
二、求独立事件的概率
【例2】甲、乙两个人独立地破译密码的概率分别为
31和4
1
，求 （1）两个人都译出密码的概率； （2）两个人都译不出密码的概率； （3）恰有一人译出密码的概率. 思路分析：我们把“甲独立地译出密码”记为事件A ，把“乙独立地译出密码”记为事件B ，显然A 与B 相互独立，同时A 与B ，A 与B ，A 与B 亦相互独立. 解析：A=“甲独立地译出密码”，B=“乙独立地译出密码”，且P （A ）=31，P （B ）=4
1
. （1）两个人都译出密码的概率为P （AB ）=P （A ）P （B ）=
41×31=12
1
. (2)两个人都译不出密码的概率为P （AB ）=P （A ）P （B ）=［1-P （A ）］［1-P （B ）］ =（131-
）（1-41）=2
1. （3）恰好1个译出密码可分为两类，即A B 与A B 且两类事件为互斥事件： P （A B +A B ）=P （A B ）+P （A B ） =P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ） =（131-
）×41+31(1-41)=12
5. 【例3】在一次考试中 ，出了六道判断题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号.若某
考生完全随意记上了六个符号，求： （1）全部正确的概率；
（2）正确答案不少于4道的概率.
解析：（1）全部正确的概率是P 6（6）=6
6C ·0.56
=
64
1
. (2)“正确答案不少于4道”包括有4道题正确、有5道题正确或6道题全正确，故所求概率是
P 6（4）+P 6（5）+P 6（6）
=46C ·0.54
·0.52
+56C ·0.55
·0.5+66C ·0.56
=
32
11
. 温馨提示
独立重复试验是同一试验的n 次重复，每次试验结果的概率不受其他次结果的概率的影响，每次试验有两个可能结果：成功和失败.n 次试验中A 恰好出现了k 次的概率为
k n
C p k
(1-p) n-k ，这k 次是n 次中的任意k 次，若是指定的k 次，则概率为p k (1-p)n-k . 各个击破
类题演练 1
某射手每次击中目标的概率为0.6，如果射击5次，试求至少击中2次的概率.
解析：P （至少击中2次）=
∑=5
2
k P (击中k 次)
=1-P （击中0次）-P （击中1次）
=1-C 0
5（0.6）0
·(0.4)5
-1
5C (0.6)1
·(0.4)4
≈0.826.
变式提升 1
某种产品的次品率为5%.现从一大批该产品中抽出20个进行检验，问20个该产品中恰有2个次品的概率是多少？
解析：这里是不放回抽样，由于一批产品的总数很大，且抽出的样品的数量相对而言较小，因而可以当作是有放回抽样处理，这样做会有一些误差，但误差不会太大.抽出20个样品检验，可看作是做了20次独立试验，每一次是否为次品可看成是一次试验的结果，因此20个该产品中恰有两个次品的概率是
P （恰有2个次品）=2
20C （0.05）2
·(0.95)18
≈0.187.
类题演练 2
某单位6个员工借助互联网工展工作，每个员工上网概率都是0.5(相互独立). （1）求至少3人同时上网的概率.
（2）至少几个人同时上网的概率小于0.3?
解析：（1）至少三人上网即恰三人，四人，五人，六人上网，所以至少三个人上网的概率
等于1减去至多两人上网的概率，即1-06C （0.5）6
-1
6C (0.5)6
-26C
(0.5)6
=1-
32
21
641561=++. (2)因为至少4人上网的概率为（46C +56C +6
6C ）(0.5)6
=32
11
＞0.3. 至少5人上网的概率为（56C +66C ）（0.5）6
=
64
7
＜0.3,因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.
变式提升 2
甲、乙、丙三人独立地解同一道数学题，甲能解决这道题的概率是P 1，乙能解决这道题的概率是P 2，丙能解决这道题的概率是P 3，解决下列问题： （1）求没有人能解出这道题的概率；
（2）求至少有一个人能解出这道题的概率； （3）求有人没解出这道题的概率； （4）求恰有一人能解出这道题的概率.
解析：设甲、乙、丙能解出这道题的事件分别为A 1、A 2、A 3，则A 1、A 2、A 3是相互独立事件，但不是互斥事件.
（1）没有人能解出这道题的事件A=1A 2A 3A ∵1A 、2A 、3A 相互独立，
∴P（A ）=P （1A 2A 3A ）=（1-P 1）（1-P 2）（1-P 3）.
（2）至少有一人能解出这道题的事件B=A 1+A 2+A 3，但不能运用互斥事件的和的概率公式，注意到B 与A=1A 2A 3A 是对立事件，
∴P（B ）=1-P （1A 2A 3A ）=1-（1-P 1）（1-P 2）（1-P 3）.
（3）有人没解出这道题的事件为C ，如果直接表达C 比较复杂，由于C 与事件“A 1A 2A 3”是对立事件，
∴P（C ）=1-P （A 1A 2A 3）=1-P 1P 2P 3.
（4）恰有一人能解出这道题的事件D=A 12A 3A +A 21A 3A +A 32A 1A . ∵A 12A 3A ，A 23A 1A 与A 31A 2A 彼此互斥，
∴P（D ）=P （A 12A 3A ）+P （2A 3A 1A ）+P （A 31A 2A ）=P 1(1-P 2)(1-P 3)+P 2(1-P 3)(1-P 1) +P 3(1-P 1)(1-P 2). 类题演练 3
甲、乙两支足球队鏖战90分钟踢成平局，加时赛30分钟后仍成平局，现决定各派5名队员，每人射一点球决定胜负，设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5.
(1)不考虑乙队，求甲队仅有3名队员点球命中，且其中恰有2名队员连续命中的概率； （2）求甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率.
解：（1）甲队3名队员射中，恰有2名队员连续命中的情形有2
3A 种，故所求的概率为P 1=23A ×0.53
×(1-0.5)2
=
16
3
. (2)再次出现平局包括0∶0,1∶1,…,5∶5等6种可能性，故其概率为
P 2=［05C ×0.50
×(1-0.5)5
］2
+［15C ×0.51
×(1-0.5)4
］2
+…+［5
5C ×0.55
×(1-0.5)0
］2
=
256
63
. 变式提升 3
将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k 的值为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：由k
C 5(
21)k (21)5-k =15+k C (21)k+1·(2
1)5-k-1,即k C 5=1
5+k C ,∴k+(k+1)=5,k=2. 答案：C。