三角函数第一章 章末测试

三角函数第一章 章末测试一、选择题1．集合A ＝{x |x ＝k π＋π2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k π－π2，k ∈Z }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆BB ．B ⊇AC ．A ＝BD ．以上都不对2．如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是( )A ．－α为第二象限角B ．180°－α为第二象限角C ．180°＋α为第一象限角D ．90°＋α为第四象限角 3．f (sin x )＝cos19x ，则f (cos x )＝( ) A ．sin19xB ．cos19xC ．－sin19xD ．－cos19x4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π4的最小正周期是( ) A ．πB ．2πC ．4πD.π25．如图所示是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝43，φ＝－π6B ．A ＝1，T ＝43π，φ＝－34πC ．A ＝1，T ＝23π，φ＝－34πD ．A ＝1，T ＝43π，φ＝－π66．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．－310B.310 C ．±310D.347．已知α＝5π8，则点P (sin α，tan α)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知角θ在第四象限，且⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则θ2是( ) A ．第一象限或第三象限 B ．第二象限或第四象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0<x <π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值C ．既有最大值又有最小值 D ．既无最大值又无最小值 10．函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是( ) A ．98πB ．98.5πC ．99.5πD ．100π11．已知x ∈[0，π]，f (x )＝sin(cos x )的最大值为a ，最小值为b ，g (x )＝cos(sin x )的最大值为c ，最小值为d ，则( )A ．b <d <a <cB ．d <b <c <aC ．b <d <c <aD ．d <b <a <c12.（09全国Ⅰ）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称,那么||ϕ的最小值为（ ）A.6πB.4πC.3πD. 2π二、填空题13．已知关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，则实数k 的取值范围是________． 14．已知函数f (x )＝tan ωx (ω<0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 15．已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，则实数a 的值为________． 16．已知f (n )＝sin ⎝⎛⎭⎫n π2＋π4 (n ∈N ＋)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________. ＝f (1)＋f (2)＝cos π4－sin π4＝0.三 解答题17扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .18(1)已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f (－31π3)的值(2)．求sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )的值．(3)已知α为第三象限角，且f(α)＝sin(π－α)cos(2π―α).tan(―α＋3π2)cot α.sin(π＋α)．(1)化简f(α)； (2)若cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值； (3)若α＝－1860°，求f(α)的值．19已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值．20已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数． 21．已知函数f （x ）=2a sin （2x －3π）+b 的定义域为［0，2π］，值域为［－5,1］，求a 和b 的值．22函数f （x ）＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f （x ）≤417对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．三角函数第一章 章末测试答案1[答案] C[解析] 在坐标系中画出两个集合中的角的终边可知A ＝B . 2[答案] B[解析] －α与α终边关于x 轴对称；180°＋α终边与α终边关于原点对称；∵180°－α终边与－α终边关于原点对称，∴180°－α终边与α终边关于y 轴对称．3[答案] C[解析] f (cos x )＝f (sin(90°－x ))＝cos19(90°－x )＝cos(270°－19x )＝－sin19x . 4[答案] C 5[答案] B[解析] 最大值3，最小值1，∴A ＝3－12＝1，T 2＝5π6－π6＝2π3，T ＝4π3∴ω＝32， ∴y ＝sin(32x ＋φ)＋2，又∵过⎝⎛⎭⎫π6，1点， ∴sin(φ＋π4)＝－1，∴φ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z )，令k ＝0得φ＝－3π4，故选B.6[答案] B[解析] 由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2得，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 7[答案] D[解析] ∵π2<5π8<π，∴sin α>0，tan α<0，∴点P 在第四象限． 8[答案] D[解析] ∵θ在第四象限，∴θ2在二或四象限，又∵⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2， ∴sin θ2≤0，∴θ2在第四象限．9[答案] B[解析] 令t ＝sin x ，∵0<x <π，∴t ∈(0,1]，则函数f (x )＝sin x ＋a sin x (0<x <π)的值域为函数y ＝1＋a t ，t ∈(0,1]的值域，又a >0，所以y ＝1＋at，t ∈(0,1]是一个减函数，故选B.10[答案] C[解析] ∵函数在[0,1]上至少有50个最小值， ∴至少有4934个周期，∵⎝⎛⎭⎫49＋34T ≤1， ∴1994·2πω≤1，∴ω≥99.5π.11[答案] A[解析] ∵x ∈[0，π]，∴sin x ∈[0,1]，cos x ∈[－1,1]，∴sin(cos x )∈[sin(－1)，sin1]， 即a ＝sin1，b ＝－sin1，cos(sin x )∈[cos1,1]， ∴c ＝1，d ＝cos1.又sin1>cos1，∴b <d <a <c . 12 A13[答案] 1≤k < 2[解析] 令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，(0≤x ≤π)，y 2＝k ，在同一坐标系内作出它们的图象如图，由图象可知，当1≤k <2时，直线y 2＝k 与曲线y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 (0≤x ≤π)有两个公共点，即1≤k <2时，原方程有两解．14[答案] 0[解析] 由相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4知，周期T ＝πω＝π4，∴ω＝4，故f (x )＝tan4x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝tanπ＝0. 15[答案] 2或－1[解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1. 16[答案] 0[解析] f (n )的周期T ＝2ππ2＝4，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π4＝cos π4－sin π4－cos π4＋sin π4＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝502×(f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4))＋f (2009)＋f (2010) 17解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝2r ＋αr ＝8，∴r ＝82＋α.∴S 扇＝12αr 2＝12α·64(2＋α)2＝32α＋4α＋4≤4， 当且仅当α＝4α，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r ＝82＋2＝2 (cm)，∴|AB |＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．18 (1)解析：∵f (α)＝sin α·cos α·cot α－cos α＝－cos α，∴f (－313π)＝－cos π3＝－12.答案：－12(2)解：(1)当n 为奇数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos[(n ＋1)π＋π3]＝sin(π－π3)·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.(2)当n 为偶数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos 4π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·(－cos π3)＝32×(－12)＝－34. (3) (1)f(α)＝－cos α． (2) f(α)＝265．(3) f(α)＝－12．19解：(1)由最低点为M (2π3，－2)得 A ＝2.由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M (2π3，－2)在图象上得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，∴4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵x ∈[0，π12]，∴2x ＋π6∈[π6，π3]，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.20解：法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|<π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]，g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12.法二：(1)同法一．(2)由(1)得 ，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]．g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，亦即sin(－3x ＋3m ＋π4)＝sin(3x ＋3m ＋π4)对x ∈R 恒成立．∴sin(－3x )cos(3m ＋π4)＋cos(－3x )·sin(3m ＋π4)＝sin3x cos(3m ＋π4)＋cos3x sin(3m ＋π4)，即2sin3x cos(3m ＋π4)＝0对x ∈R 恒成立．∴cos(3m ＋π4)＝0，故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.21 解∵0≤x ≤2π,∴－3π≤2x －3π≤π－3π=32π. ∴－23≤sin （2x －3π）≤1. 当a >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+.5312b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=.312233612b a当a <0时，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+,1352b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.312193612b a22解析： 设t ＝sin x ，x ∈R ，f （x ）=y ，则－1≤t ≤1y ＝－t 2＋t ＋a ＝－（t －21）2＋a ＋41当t ＝21时，y 取到最大值a ＋41;当t ＝－1时，y 取到最小值a －2.则⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+1241741a a ， 解得3≤a ≤4。