第七章 应力与应变分析

第八章
应力与应变分析
• §8-1 一点的应力状态
• §8-3 平面应力状态分析——解析法
• §8-4 平面应力状态分析——图解法
• §8-5 三向应力状态
第八章
应力与应变分析
• §8-8 广义胡克定律
• §8-9 复杂应力状态下的应变比能 • §8-10 强度理论概述 • §8-11 四种常用强度理论
s x s y ， 0 为圆心， 2
s x s y 2
2 t xy 为半径的圆
2
2．应力圆的绘制
y
t
sa ,taE n G1 t ' 2a D(sx, txy) 2 a0
tyx
sx txy
sy sa
a
txy
sx x
ta sy
tyx txy sx t sy
sy
sx txy tyx
D(sx, txy)
G1 t '
B1 B O s"
2 a0* A s 1 A s' C
C
A
s
5)应力圆确定主平面、主应力 由主平面上切应力t=0，确定D 转过的角度；D转至s轴正向A1 点代表s'所在主平面，其转过角 度为2a0*，转至s轴负向B1点代 表s"所在主平面； 6)确定极值切应力及其作用面 应力圆上纵轴坐标最大的G1 点为t'，纵轴坐标最小的G2 点为t"，作用面确定方法同 主应力。
• 小
结
§8-1
一、一点的应力状态
一点的应力状态
1．一点的应力状态 受力构件一点处各个不同截面上的应力情况 2．研究应力状态的目的 找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方 位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。
二、研究应力状态的方法 ——单元体法
1．单元体 围绕构件内一点截取的微小正六面体。具有以下特点： 1)代表一点的应力状态； 2)每个面上的应力均布，应力正负用箭头方向表示； 3)平行面上的应力大小相同、方向相反； 4)三个相互垂直面上的应力已知。
3)圆轴扭转时，任意点为纯剪切应力状 态，最大拉、压应力在与轴线成45o s3 ABCD s1 斜截面上，它们数值相等，均等于横 截面上的切应力； 4) 对于塑性材料 ( 如低碳钢 ) 抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截 面 5)上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断； 对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与 轴线成45o的螺旋面拉断。
2)a角斜截面应力公式
由三角变换得
σx σy σx σy σα cos2α τ xy sin2α 2 2 τ σ x σ y sin2α τ cos2α α xy 2
4)推导公式时，sx、sy、txy、a 角均假设为正，实际计算时应 代入各参量的正负。
2．单元体上的应力分量 1)单元体上的应力分量共有 九个，独立分量有六个； 2)应力分量的角标规定：
Z
sz tzy
tzx tyx
txy txz
sx
tyz
dz
第一角标表示应力作用 sy sy txz tyx 面，第二角标表示应力 tyz O Y 平行的轴；两角标相同 txy tzx 时，只用一个角标来表 dx sx tzy 示。例如 txy 表示 x 面上 z 平行于 y 轴的切应力， X dy s z sx表示x面上平行于 x轴 y x O 的正应力； 3)面的方位用其法线方向表示，例如x面表示法线平行 于x轴的面；
y
sy
n
sa
a
sx x
ta txy
tyx
D(sx, txy)
应力圆上半径的转 3)转向对应关系： 向与单元体上面的旋向相同；t
4)求外法线与x轴夹角为a 斜 截面上的应力，只要以D为 起点，按a 转动方向同向转 过2a 到E点，E点坐标即为 所求应力值。
sy
(s a , t a )E 2a B
O D' (sy, tyx)


例8-2 分析圆轴扭转时的应力状态。 Me
A B
D C
s1
s3
Me 45o x
解：1) 围绕圆轴外表面一点取单 元 t M e /Wp 体ABCD： 2)求主应力和主单元体 s ' 0 0 2 2 t t s '' 2 2
tan2a 0 t a 0 45o 0 s 1 s 't，s 2 0，s 3 s '' t 主单元体如左
s 1 s 2 s 3 4)由s '、s "、0按代数值大小排序得出：
5)判断s'、s"作用方位(与两个a0如何对应) 2t xy a)由： 求得一个a0： tg2a 0 45 o a 0 45 o s x s y
s x s y：a 0 *a 0 s '，a 0 90 o s " o s s ： a * a 90 s '，a 0 s " y 0 0 x
t' 2)极值切应力： t "
2 s s x y
2
2 s 's " t xy 2
1 tan 2 a 3)极值切应力方位与主应力方位的关系： 0 tan2a
极值切应力平面与主平面成45o
1
例 8-1 上
图示单元体，试求：① a=30o斜截面
q
§8-4
二向应力状态分析——图解法
平面应力状态分析的图解法——应力圆
1．理论依据 s x s y s x s y s a 2 2 cos2a t xy sin 2a s s y t x sin 2a t xy cos2a a 2 2 2 2 s x s y s x s y 2 2 t xy sa 2 t a 2 以s、t为坐标轴，则任意a 斜截面上的应力sa、ta为
B1 O s"
B
C
A A1 s' s
tyx
D' (sy, tyx)
G2 t "
1)选定坐标及比例尺； 2)取x面的两个应力值，定出D(sx , txy)点， 取y面的两个应力值，定出D'(sy , tyx)点； 3)连DD‘交s 轴于C点，以C为圆心，DD’为直径作圆。
3．应力圆的应用 tyx 应力圆上一点坐标 1)点面对应关系： 代表单元体某个面上的应力； txy 2)角度对应关系： 应力圆上半径转 sx 过2a，单元体上的面转过a ；
F A
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Me
B
Me
s
A
sF/A
B
tMe /Wp
一对横截面，两对纵截面
横截面、周向面、直径面各一对
F C Me
横截面、周向面、直 径面各一对，从上表 面截取
Me
s
t
C
s
F
A
B C
sA
A
sA
B
tB
sC
C
tC
sC
三、应力状态的分类(按主应力)
1．主应力、主单元体、主平面的概念 1)主平面：单元体上切应力为零的平面 2)主单元体：各面均为主平面的单元体，主单元体上 有三对主平面； z
2)平面应力状态： 有二个主应力不为零的应力状态， 也称为二向应力状态； 3)三向应力状态： 三个主应力均不为零的应力状态， 也称为空间应力状态； 4)单向应力状态又称为简单应力状态；平面和空间应 力状态又称为复杂应力状态。
§8-3
平面应力状态分析——解析法
一、平面应力状态分析的解析法
1．平面应力状态的表示方法(一般表现形式)
s"
40 40
的应力；②主应力并画出主单元体； 20 s ' 20 s o a 解：1) a=30 斜截面上的应力 ③极值切应力。 30 o a 14.9 s 30 40 30 40cos60o ( 20)sin60o a 30 2 2 ta 29.8MPa s' t 30 40sin60o ( 20)cos60o 20.3MPa a 2 s MPa " 单位： 2)主应力与主单元体 2 s ' 30 40 2 35.3MPa 30 40 20 s '' 2 2 45.3MPa 3)极值切应力 s 1 s ' 35.3MPa，s 2 0，s 3 s '' 45.3MPa t ' s 's '' 20 o 40.3MPa tan2a 0 a 0 14.9 ，主单元体如上 t '' 2 30 40 同一单元体任意垂直平面上的正应力之和为常数。 4)讨论并证明： s 's "s a s a 90o C
b)txy箭头指向第几象限(一、 四)，则s'(较大主应力) 在第几象限，即先判断s ’ 大致方位，再判断其与算 得的a0相对应，还是与 a0+90o相对应。 6)s 's "s x s y s a s a 90o
s" '
a0* txy a0*
' s"
4．极值切应力 dt x ' y ' s x s y 0得： tan2a 1 1)令 da 2t xy 可求出两个相差90o的a1值，对应两个互相垂直的 极值切应力方位。
0：
n
τ α dA (s y dAsina )cosa (s x dAcosa )sina (t xydAcosa )cosa (t yx dAsina )sina 0