第3章 不等式 §3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 §3.3.2 简单的线性规划问题(二)

§3．3.2 简单的线性规划问题(二)对点讲练一、实际应用中的最优解问题例1 某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 解(1)设只生产书桌x 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤902x ≤600z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300⇒x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤901·y ≤600z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600⇒y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：80x+120y=0，即直线l ：2x+3y=0.把直线l 向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z=80x+120y 取得最大值．由2900,2600,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得点M 的坐标为(100,400)．所以当x=100，y=400时，zmax=80×100+120×400=56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．总结 利用图解法解决线性规划实际问题，要注意合理利用表格，处理繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题的要求，如果要求整点，则用逐步平移法验证．►变式训练1 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品 吨，乙产品 吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．答案 20 24 解析设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元， 依题意约束条件为：94300,45200,310300,15,15,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 目标函数为S=7x+12y从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝03x ＋10y －300＝0得A (20,24)，故当x ＝20，y ＝24时，S max ＝7×20＋12×24＝428(万元) 二、实际应用中的最优整数解问题例2 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？分析 解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束条件和目标函数；(2)准确画出可行域；(3)利用几何意义，求出最优解．解 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．215,218,327,0,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩ 作出可行域(如图)：(阴影部分) 目标函数为z=x+y作出一组平行直线x+y=t ，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A 1839,55⎛⎫⎪⎝⎭ ，直线方程为x+y=575.由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y)中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点1839,55⎛⎫⎪⎝⎭不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．总结 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析．►变式训练2 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件51122,239,211,x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z ＝10x ＋10y 的最大值是________． 答案 90 解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x ，y ∈N*，计算区域内与点119,22⎛⎫⎪⎝⎭最近的整点为(5,4)，当x=5，y=4时，z 取得最大值为90.课堂小结：1．解答线性规划的实际应用问题应注意的问题：(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要； (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；(3)结合实际问题，未知数x 、y 等是否有限制，如x 、y 为正整数、非负数等；(4)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．当可行域的边界顶点不是整点(横纵坐标均为整数)，则它不是最优整数解，此时必须在可行域内该点的附近调整为整点．常用调整方法有：(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l ，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解．(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解．(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优整数解．课时作业一、选择题1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ≥c 1，b 1x ＋b 2y ≥c 2，x ≥0，y ≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ＝c 1，b 1x ＋b 2y ＝c 2，x ≥0，y ≥0答案 C解析 比较选项可知C 正确．2.如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z=ax+y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35C ．4 D.53答案 B解析 由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35.3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元 答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则60,2,25,5,x y x y x y +≤⎧⎪⎪≥⎪⎨⎪≥⎪≥⎪⎩z=0.4x+0.6y. 由图象知，目标函数z=0.4x+0.6y 在A 点取得最大值．∴ymax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元)．4．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，仅点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为()A ． 2,23⎛⎫⎪⎝⎭B.⎝⎛⎭⎫1，53C.⎝⎛⎭⎫－2，－23D.⎝⎛⎭⎫－3，－43 答案 C解析 y ＝kx －z .若k >0，则目标函数的最优解是点A (4,0)或点C (0，4)，不符合题意．∴k <0，∵只有点(3,2)是目标函数的最优解．∴k AB <k <k BC ，即－2<k <－23.二、填空题 5．(2009·山东)某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元．6．已知平面区域D 由以A (1,3)、B (5,2)、C (3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(x ，y )可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.答案1解析 如图所示，目标函数可化为1,z y x m m=-+ 若m>0，则z 的最小值对应截距的最小值，可知m=1，满足题意；若m <0，则z 的最小值对应截距的最大值，m ＝－1及－2均不合题意． 三、解答题7．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l0：x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M 点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点．解方程组10,0.30.1 1.8,x y x y +=⎧⎨+=⎩得x=4，y=6，此时z=1×4+0.5×6=7(万元)．∵7>0，∴当x=4，y=6时，z 取得最大值．答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．8．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28解 设A ，B 两种药品分别为x 片和y 片，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥125x ＋7y ≥70x ＋6y ≥28x ≥0，y ≥0，两类药片的总数为z=x+y ，两类药片的价格和为k=0.1x+0.2y.如图所示，作直线l ：x+y=0，将直线l 向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A ，且与原点最近． 解方程组212,5770,x y x y +=⎧⎨+=⎩，得交点A 坐标1480,99⎛⎫⎪⎝⎭由于A 不是整点，因此不是z 的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x+y=11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z 的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x=3，y=8时，k 取最小值1.9，因此当A 类药品3片、B 类药品8片时，药品价格最低．。