高三数学试题-高三数学课时复习基础过关训练题42 最新
高三数学试题-高三数学课时复习基础过关训练题44 最新
第十一章 计数原理、随机变量及分布列第5课时 独立性及二项分布(理科专用)1. 已知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，13，则P(X ＝2)＝________.答案：80243解析：P(X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243. 2. 如图所示，在两个圆盘中指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．答案：49解析：由独立事件发生的概率得P ＝C 14C 16·C 14C 16＝49.3. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85](g)范围内的概率是________．答案：0.02解析：由互斥事件可得概率为0.32－0.3＝0.02. 4. 在一次考试中出了6道判断题，正确的记“”，不正确的记“”．若某考生完全随意记上了6个符号，则正确答案不少于4道的概率为________．答案：1132解析：“正确答案不少于4道”包括有4道题正确、有5道题正确和有6道题全正确，故所求概率是P 6(4)＋P 6(5)＋P 6(6)＝C 46·⎝ ⎛⎭⎪⎫124·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 56·⎝ ⎛⎭⎪⎫125·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 66·⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132.5. 一个口袋中装有3个白球和2个红球，现从袋中取球，每次任取一个，记下颜色后放回，直到红球出现3次时停止，总取球数记为ξ，则“ξ＝4”的概率为________．答案：72625解析：当ξ＝4时，即前3次取球恰有一次取到白球，因每次取到白球的概率P ＝35，每次取到红球的概率P′＝25，所以P(ξ＝4)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝72625(或前3次取球中恰有两次取到红球，一次取到白球，而第四次又恰好取到红球，因为每次取到红球的概率P ＝25，所以P (ξ＝4)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252·35·25＝72625)． 6. 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且各次射击的结果互不影响，则射手在3次射击中恰有两次连续击中目标的概率是________．答案：0.288(或36125)解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝36125＝0.288.7. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有如下结论：① 他第3次击中目标的概率是0.9；② 他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③ 他至少击中目标1次的概率是1－0.14. 其中正确的结论是________．(填序号) 答案：①③解析：他恰好击中目标3次的概率是C 34×0.93×0.1.8. (改编)某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知某学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且回答两个问题相互之间没有影响．则该学生至少答对第一、二两题中一题的概率为________．答案：0.8 解析：设“该学生答对第一题”为事件A ，“该学生答对第二题”为事件 B.则“该学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为P ＝P(AB ＋AB ＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＋0.5×0.6＝0.8.9. 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1) 求概率P(ξ＝0)； (2) 求ξ的分布列．解：(1) 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴ 共有8C 23对相交棱．∴ P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2) 若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，∴ P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111，P (ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611.∴ 随机变量ξ10. 中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1) 求甲获胜的概率；(2) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列．解：设A k 、B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P(A k )＝13，P(B k )＝12，k ∈(1，2，3)．(1) 记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，P(C)＝P(A 1)＋P(A 1B 1A 2)＋P(A 1B 1A 2B 2A 3)＝P(A 1)＋P(A 1)P(B 1)P(A 2)＋P(A 1)P(B 1)P(A 2)P(B 2)P(A 3)＝13＋23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.(2) ξ的所有可能值为1，2，3.由独立性知：P(ξ＝1)＝P(A 1)＋P(A 1B 1)＝13＋23×12＝23， P (ξ＝2)＝P(A 1B 1A 2)＋P(A 1B 1A 2B 2) ＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P(A 1B 1A 2B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19.11. 某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8∶00、8∶20、8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为14，8∶20发出的概率为12，8∶40发出的概率为14；第二班客车在9∶00、9∶20、9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为14，9∶20发出的概率为12，9∶40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，张先生预计8∶10到站．(1) 请预测张先生乘到第一班客车的概率； (2) 求张先生候车时间的分布列．解：(1) 第一班若在8∶20或8∶40发出，则张先生能乘到，其概率为P ＝12＋14＝34.(2)。
高三数学练习题含答案
高三数学练习题含答案1. 题目：已知函数$f(x)=2x^2-3x+5$，求函数$f(x)$的最小值及对应的$x$值。
解析：函数$f(x)$是一个二次函数，其对应的抛物线开口朝上。
根据二次函数的性质，最小值出现在抛物线的顶点处。
首先，我们需要找到抛物线的顶点。
对于二次函数$ax^2+bx+c$，其中$a>0$，顶点的横坐标可以通过公式$x=-\frac{b}{2a}$来计算。
根据题目中给出的函数$f(x)=2x^2-3x+5$，可以得到$a=2$，$b=-3$。
代入公式，得到$x=-\frac{-3}{2(2)}=\frac{3}{4}$。
接下来，我们将$x=\frac{3}{4}$代入函数$f(x)$中，计算最小值。
即$f\left(\frac{3}{4}\right)=2\left(\frac{3}{4}\right)^2-3\left(\frac{3}{4}\right)+5=\frac{39}{8}$。
因此，函数$f(x)$的最小值为$\frac{39}{8}$，对应的$x$值为$\frac{3}{4}$。
2. 题目：已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，前三项依次为$a_1=3$，$a_2=6$，$a_3=9$。
求等差数列的通项公式。
解析：等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$。
我们可以利用已知的前三项来确定公差$d$。
根据题目中给出的前三项$a_1=3$，$a_2=6$，$a_3=9$，我们可以得到以下方程组：$a_2=a_1+d$，即$6=3+d$；$a_3=a_1+2d$，即$9=3+2d$。
解方程组，可以得到$d=3$。
将$d=3$代入通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$中，得到$a_n=3+(n-1)3=3n$。
因此，等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n$。
3. 题目：已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$b_1=2$，公比为$r$，前三项的乘积为$64$。
高三数学考试题库及答案
高三数学考试题库及答案一、选择题1. 若函数f(x)=x^2+2x+3，g(x)=x^2-2x+5，那么f(x)-g(x)=（）A. 4x-2B. 4x+2C. 4x-4D. 4x+4答案：A解析：f(x)-g(x) = (x^2+2x+3) - (x^2-2x+5) = 4x-2。
2. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a3=8，那么a5=（）A. 14B. 16C. 18D. 20答案：A解析：设等差数列的公差为d，则a3 = a1 + 2d，即8 = 2 + 2d，解得d = 3。
因此，a5 = a1 + 4d = 2 + 4*3 = 14。
3. 若直线l的方程为x+2y-3=0，那么直线l的斜率k=（）A. 1/2B. -1/2C. 2D. -2答案：B解析：直线l的方程为x+2y-3=0，可以改写为y = -1/2x + 3/2，斜率k = -1/2。
4. 已知函数f(x)=x^3-3x，那么f'(x)=（）A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. -3x^2+3D. -3x^2-3答案：A解析：f'(x) = d/dx(x^3-3x) = 3x^2 - 3。
5. 已知a，b∈R，若a+b=2，那么a^2+b^2的最小值为（）A. 1B. 0C. 2D. 4答案：C解析：根据柯西-施瓦茨不等式，(a^2+b^2)(1^2+1^2) ≥ (a+b)^2，即a^2+b^2 ≥ (a+b)^2/2 = 2^2/2 = 2。
当且仅当a=b=1时，等号成立。
二、填空题6. 已知向量a=(2, -1)，b=(1, 3)，那么向量a+b=（）。
答案：(3, 2)解析：向量a+b = (2+1, -1+3) = (3, 2)。
7. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，那么f(2)=（）。
答案：-1解析：f(2) = (2)^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
高三复习高中数学三角函数基础过关习题(有答案)
高三复习高中数学三角函数基础过关习题(有答案)高三复习高中数学三角函数基础过关习题一、填空题1. sin(π/4)的值是____。
2. tan(π/3)的值是____。
3. cos(2π/3)的值是____。
4. sin^2(π/6) + cos^2(π/6)的值是____。
5. sin(2π/3)的值是____。
二、选择题1. 若tanθ = 3，且θ的范围是(0, π)，则sinθ的值是：A. -3/√10B. 3/√10C. -10/3D. 10/32. 若sinα = -1/2，且α的范围是(π/2, π)，则cosα的值是：A. -√3/2B. -√2/2C. 1/2D. √2/23. 一个角θ的终边过点P(-2, -2)，则sinθ的值是：A. -√2/2B. √2/2C. -2/√2D. 2/√24. 若sinx = -1/2，且x的范围是[π, 3π/2]，则cosx的值是：A. 1/2B. -1/2C. √2/2D. -√2/25. 若sinθ = cosθ，且θ的范围是[0, π/2]，则θ的值是：A. π/4B. π/6C. π/3D. π/2三、解答题1. 求下列三角函数的值：(a) sin(-π/4)(b) cos(7π/6)2. 已知三角形ABC中，∠A=60°，BC=4，AC=6，求AB 的长度。
3. 已知tanθ = 3/4，且θ的范围是(0, π/2)，求cosθ的值。
4. 若sinα = -1/√10，且α的范围是(π/2, π)，求cos(2α)的值。
5. 已知sinx = 2/√5，且x的范围是[π/2, π]，求cos(2x)的值。
参考答案：一、填空题1. sqrt(2)/22. sqrt(3)3. -1/24. 15. sqrt(3)/2二、选择题1. B2. A3. D4. B5. A三、解答题1.(a) sin(-π/4) = -sin(π/4) = -sqrt(2)/2(b) cos(7π/6) = cos(π/6) = sqrt(3)/22. 根据余弦定理，有AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos∠A= 6^2 + 4^2 - 2 * 6 * 4 * cos60°= 36 + 16 - 48 * 1/2= 20所以AB = sqrt(20) = 2 * sqrt(5)3. 根据正切函数的定义，有tanθ = 3/4 = opposite/adjacent假设opposite = 3x，adjacent = 4x，则x > 0则根据勾股定理，有sqrt(opposite^2 + adjacent^2) = sqrt((3x)^2 +(4x)^2) = 5x所以cosθ = adjacent/hypotenuse = 4x/5x = 4/54. 根据余弦函数的定义，有cosα = sqrt(1 - sin^2α) = sqrt(1 - (-1/√10)^2) = sqrt(1 - 1/10) = sqrt(9/10) = 3/√10所以cos(2α) = cos^2α - sin^2α = (3/√10)^2 - (-1/√10)^2 = 9/10 - 1/10 = 8/10 = 4/55. sinx = 2/√5 = 2 * √5/5，且x的范围是[π/2, π]，则可得到一个特解x = 2π/3cos(2x) = cos^2x - sin^2x = (cosx)^2 - (sinx)^2 = (√(1 - (sinx)^2))^2 - (sinx)^2 = 1 - (sinx)^2 - (sinx)^2 = 1 - 2 * (sinx)^2= 1 - 2 * (2 * √5/5)^2 = 1 - 2 * (4/5) = 1 - 8/5 = -3/5。
高三数学题基础练习题
高三数学题基础练习题1. 某商品原价为600元，现在打8折出售，求现价。
解析：打折是指以原价的一定比例进行减价销售，打8折即原价的80%。
所以，现价为600元 × 80% = 480元。
答案：现价为480元。
2. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(-1)的值。
解析：将x = -1代入函数f(x)中，得到f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 -3 + 2 = 0。
答案：f(-1)的值为0。
3. 已知等差数列的前两项为5和10，公差为3，求第n项的通项公式。
解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
根据已知条件：a1 = 5，d = 3。
代入公式得到an = 5 + (n - 1)3 = 5 +3n - 3 = 3n + 2。
答案：第n项的通项公式为3n + 2。
4. 若a + b = 10，a - b = 4，求a和b的值。
解析：可以使用消元法解这个方程组。
将两个方程相加得到2a = 14，解得a = 7。
将a的值代入其中一个方程，可得7 + b = 10，解得b = 3。
答案：a = 7，b = 3。
5. 已知sinθ = 3/5，且θ为第二象限角，求cosθ的值。
解析：根据三角函数的性质，sinθ = 对边/斜边，cosθ = 邻边/斜边。
由于θ为第二象限角，所以cosθ为负数。
根据已知条件，可以先求出斜边，再求出邻边。
根据勾股定理，可得斜边为5。
邻边为√(斜边^2 - 对边^2) = √(5^2 - 3^2) = √16 = 4。
所以，cosθ = 邻边/斜边 = -4/5。
答案：cosθ的值为-4/5。
通过以上五道高三数学基础练习题的解答，希望能够帮助您巩固基础知识，提高解题能力。
请注意题目中的条件限定，合理运用各种数学方法进行解答。
祝您学业进步！。
高三数学复习基础题的练习题
高三数学复习基础题的练习题
1. 设函数 f(x) = 2x + 1，求解方程 f(x) = 5 的解。
2. 已知函数 y = 3x^2 + 4x + 1，求该二次函数的对称轴和顶点坐标。
3. 解方程组：
2x + 3y = 10
4x - 5y = 2
4. 现有一球体，其半径为 r，求球体的体积和表面积。
5. 计算下列三角函数的值：
(a) sin(π/3)
(b) cos(π/4)
(c) tan(π/6)
6. 已知三角形 ABC，边长分别为 AB = 5，BC = 12，AC = 13。
判
断该三角形是否为直角三角形，并给出理由。
7. 求解不等式 2x^2 - 5x - 3 > 0 的解集。
8. 已知函数 f(x) = 2x + 1，求函数 g(x) = |f(x)| 的表达式。
9. 已知直线 L1 过点 A(-1, 2) 和点 B(3, 4)，直线 L2 过点 C(5, -1) 和
点 D(-2, 0)。
判断 L1 和 L2 是否平行，并给出理由。
10. 求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1 的极值点。
以上是一些高三数学复习基础题的练习题，希望能够帮助你加深对数学知识的理解和掌握。
如果有任何问题，请随时向我提问。
高三数学练习题(附答案)
高三数学练习题(附答案)一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。
A. 1B. 1C. 3D. 52. 若 $ a^2 + b^2 = 1 $，则 $ a^2 + b^2 + 2ab $ 的最大值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 2 $，$ a_3 = 8 $，求 $ a_5 $。
A. 10B. 12C. 14D. 164. 已知圆的方程为 $ x^2 + y^2 = 4 $，求圆的半径。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若 $ \log_2(8) = x $，则 $ x $ 的值为多少？A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题6. 若 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，求 $ a^2 + b^2 $ 的值。
7. 已知等比数列 $ \{b_n\} $，若 $ b_1 = 2 $，$ b_3 = 8 $，求 $ b_5 $。
8. 若 $ x^2 + y^2 = 1 $，则 $ x^2 + y^2 + 2xy $ 的最大值为多少？9. 已知函数 $ g(x) = \sqrt{1 x^2} $，求 $ g(0) $ 的值。
10. 若 $ \log_3(27) = x $，则 $ x $ 的值为多少？三、解答题11. 已知函数 $ f(x) = x^3 3x^2 + 2x $，求 $ f(x) $ 的极值点。
12. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 3 $，$ a_5 = 11 $，求 $ a_n $ 的通项公式。
13. 已知圆的方程为 $ (x 1)^2 + (y 2)^2 = 4 $，求圆的圆心坐标。
14. 已知等比数列 $ \{b_n\} $，若 $ b_1 = 1 $，$ b_3 = 8 $，求 $ b_n $ 的通项公式。
15. 已知函数 $ h(x) = \frac{1}{x + 1} $，求 $ h(x) $ 的单调区间。
高三数学试题-高三数学课时复习基础过关训练题54 最新
第四章 平面向量与复数第4课时 复 数1. (2013·南通期末)已知复数z ＝3－2ii (i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限． 答案：三解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ）＝－2－3i.2. (2013·苏州期末)设复数z 满足z(2＋i)＝1－2i(i 为虚数单位)，则|z|＝________．答案：1解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝0－5i5＝－i ，故|z|＝1.3. (2013·徐州三模)已知i 是虚数单位，若a ＋3ii ＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________．答案：－3解析：由a ＋3ii ＝b ＋i(a 、b ∈R )，得a ＋3i ＝bi －1，根据复数相等的条件得a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.4. (2013·常州期末)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，计算：z·z－z －z－＝________． 答案：－i解析：z ＝－1＋i ，z·z －z －z － ＝（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）－（－1－i ）＝22i＝－i.5. (2013·苏锡常镇一模)若实数a 满足2＋ai1－i＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________．答案：2解析：由2＋ai1－i＝2i 得2＋ai ＝(1－i)2i ，即2＋ai ＝2＋2i ，根据实部、虚部分别相等，可知a ＝2.6. 若z －·z ＋z ＝154＋2i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________．答案：－12＋2i解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由z －·z ＋z ＝154＋2i ，得x 2＋y 2＋x ＋yi ＝154＋2i ，所以⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝154，y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝2，所以z ＝－12＋2i.7. 若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z|的最大值为________．答案：2解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2.8. 已知x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，则a ＋b ＝________.答案：19解析：∵ x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，∴ (－3－2i)2＋a(－3－2i)＋b ＝0，化为5－3a ＋b ＋(12－2a)i ＝0.根据复数相等即可得到⎩⎪⎨⎪⎧5－3a ＋b ＝0，12－2a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝13，∴ a ＋b ＝19. 9. 已知复数z 的共轭复数是z －，且满足z·z －＋2iz ＝9＋2i.求z.解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z －＝a －bi ， ∵ z ·z －＋2iz ＝9＋2i ，∴ (a ＋bi)(a －bi)＋2i(a ＋bi)＝9＋2i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2ai ＝9＋2i ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9，2a ＝2.①② 由②，得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0， 解得b ＝－2或b ＝4.∴ z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.10. 已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋yi(x 、y ∈R )，所以z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.因为z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i.由题意得x ＝4，所以z ＝4－2i.所以(z ＋ai)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，由于(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0，解得2<a<6，故实数a 的取值范围是(2，6)．11. 设复数z 满足4z ＋2z －＝33＋i ，w ＝sin θ－icos θ，求z 的值和|z －w|的取值范围．解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )， 则z －＝a －bi.代入4z ＋2z －＝33＋i ，得4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝33＋i ， 即6a ＋2bi ＝33＋i.∴ ⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.∴ z ＝32＋12i.|z －w|＝|32＋12i －(sin θ－icos θ)|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋cos θ2＝2－3sin θ＋cos θ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.∵ －1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6≤1，∴ 0≤2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6≤4，∴ 0≤|z －w|≤2.。
高三复习高中数学三角函数基础过关习题有复习资料
2021 年高三复习高中数学三角函数根底过关习题一．选择题〔共15小题〕5．〔2021•宝鸡二模〕函数y=2sin〔2x+〕的最小正周期为〔〕A．4πB．πC．2πD．6．〔2021•宁波二模〕将函数y=sin〔4x﹣〕图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是〔〕A．B．x=C．x=D．x=﹣7．〔2021•邯郸二模〕函数f〔x〕=2sin〔x+φ〕，且f〔0〕=1，f'〔0〕＜0，那么函数图象的一条对称轴的方程为〔〕A．x=0 B．x=C．x=D．x=8．〔2021•上海模拟〕将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得函数图象的一条对称轴是〔〕A．B．C．x=πD．x=1．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x﹣〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π2．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x+〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π3．〔2021•香洲区模拟〕函数是〔〕A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数4．〔2021•浙江模拟〕函数f〔x〕=sin〔2x+〕〔x∈R〕的最小正周期为〔〕A．B．4πC．2πD．π9．〔2021•云南模拟〕为了得到函数y=sin x的图象，只需把函数y=sinx图象上全部的点的〔〕A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变10．〔2021•陕西〕设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设bcosC+ccosB=asinA，那么△ABC的形态为〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定11．〔2021•湖南〕在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．假设2asinB=b，那么角A等于〔〕A．B．C．D．12．〔2021•天津模拟〕将函数y=cos〔x﹣〕的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将所得图象向左平移个单位，那么所得函数图象对应的解析式是〔〕A．y=cos〔﹣〕B．y=cos〔2x﹣〕C．y=sin2x D．y=cos〔﹣〕13．〔2021•安庆三模〕将函数f〔x〕=sin〔2x〕的图象向左平移个单位，得到g〔x〕的图象，那么g〔x〕的解析式为〔〕A．g〔x〕=cos2x B．g〔x〕=﹣cos2x C．g〔x〕=sin2x D．g〔x〕=sin〔2x+〕14．〔2021•泰安一模〕在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，那么BC的长为〔〕A．B．3C．D．715．〔2021•杭州一模〕函数，下面四个结论中正确的选项是〔〕A．函数f〔x〕的最小正周期为2πB．函数f〔x〕的图象关于直线对称C．函数f〔x〕的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数二．解答题〔共15小题〕18．〔2021•长安区三模〕函数f〔x〕=sin〔2x﹣〕+2cos2x﹣1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f〔A〕=，求△ABC的面积．19．〔2021•诸暨市模拟〕A、B是直线图象的两个相邻交点，且．〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，假设的面积为，求a的值．16．〔2021 •重庆一模〕函数f〔x〕=cosx•sin〔x+〕﹣cos2x+．〔1〕求f〔x〕的最小正周期；〔2〕假设f〔x〕＜m在上恒成立，务实数m的取值范围．17．〔2021•东莞二模〕函数．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求f〔x〕的最大值和最小正周期；〔Ⅲ〕假设，α是第二象限的角，求sin2α．20．〔2021•广安一模〕函数f〔x〕=sin2x+2cos2x+1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f〔C〕=3，假设向量=〔sinA，﹣1〕及向量=〔2，sinB〕垂直，求a，b的值．21．〔2021•张掖三模〕f〔x〕=sinωx﹣2sin2〔ω＞0〕的最小正周期为3π．〔Ⅰ〕当x∈[，]时，求函数f〔x〕的最小值；〔Ⅱ〕在△ABC，假设f〔C〕=1，且2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕，求sinA的值．22．〔2021•漳州三模〕在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，假设向量=〔1，sinA〕，=〔2，sinB〕，且∥．〔Ⅰ〕求b，c的值；〔Ⅱ〕求角A的大小及△ABC的面积．23．〔2021•青岛一模〕a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满意，函数f〔x〕=sinωx〔ω＞0〕在区间上单调递增，在区间上单调递减．〔Ⅰ〕证明：b+c=2a；〔Ⅱ〕假设，证明：△ABC为等边三角形．24．〔2021•南昌模拟〕函数．〔1〕假设f〔α〕=5，求tanα的值；〔2〕设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f〔x〕在〔0，B]上的值域．25．〔2021•河北区一模〕函数．〔Ⅰ〕求f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，成等差数列，且=9，求a的值．26．〔2021•韶关一模〕函数f〔x〕=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1〔ω＞0〕的最小正周期为π．〔1〕求f〔〕的值；〔2〕求函数f〔x〕的单调递增区间及其图象的对称轴方程．27．〔2021•杭州一模〕函数f〔x〕=．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期、对称轴方程及单调区间；〔Ⅱ〕现保持纵坐标不变，把f〔x〕图象上全部点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h〔x〕；〔ⅰ〕求h〔x〕的解析式；〔ⅱ〕△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满意，h〔A〕=，c=2，试求△ABC的面积．28．〔2021•辽宁〕△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕假设c2=b2+a2，求B．29．〔2021•合肥二模〕将函数y=f〔x〕的图象上各点的横坐标缩短为原来的〔纵坐标不变〕，再向左平移个单位后，得到的图象及函数g〔x〕=sin2x的图象重合．〔1〕写出函数y=f〔x〕的图象的一条对称轴方程；〔2〕假设A为三角形的内角，且f〔A〕=•，求g〔〕的值．30．〔2021•河池模拟〕△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=〔sinB，1﹣cosB〕及向量n=〔2，0〕的夹角为，求的最大值．2021 年高三复习高中数学三角函数根底过关习题〔有答案〕参考答案及试题解析一．选择题〔共15小题〕1．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x﹣〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：依据复合三角函数的周期公式得，函数f〔x〕=cos〔2x﹣〕的最小正周期是π，应选B．点评：此题考察了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于根底题．2．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x+〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：依据复合三角函数的周期公式得，函数f〔x〕=cos〔2x+〕的最小正周期是π，应选：B．点评：此题考察了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于根底题．3．〔2021•香洲区模拟〕函数是〔〕A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简函数，然后干脆求出周期，和奇偶性，确定选项．解答：解：因为：=2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：π应选B．点评：此题考察三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考察计算实力，是根底题．4．〔2021•浙江模拟〕函数f〔x〕=sin〔2x+〕〔x∈R〕的最小正周期为〔〕A．B．4πC．2πD．π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件利用利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期为，求得结果．解答：解：函数f〔x〕=sin〔2x+〕〔x∈R〕的最小正周期为T==π，应选：D．点评：此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期性，利用了函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期为，属于根底题．5．〔2021•宝鸡二模〕函数y=2sin〔2x+〕的最小正周期为〔〕A．4πB．πC．2πD．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：依据y=Asin〔ωx+φ〕的周期等于T=，得出结论．解答：解：函数y=2sin〔2x+〕的最小正周期为T==π，应选：B．点评：此题主要考察三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin〔ωx+φ〕的周期等于T=，属于根底题．6．〔2021•宁波二模〕将函数y=sin〔4x﹣〕图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是〔〕A．B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin〔8x﹣〕，利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin〔4x﹣〕图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g〔x〕=sin〔2x ﹣〕，再将g〔x〕=sin〔2x﹣〕的图象向左平移个单位〔纵坐标不变〕得到y=g〔x+〕=sin[2〔x+〕﹣]=sin〔2x+﹣〕=sin〔2x+〕，由2x+=kπ+〔k∈Z〕，得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是改变后的函数图象的一条对称轴的方程，应选：A．点评：此题考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考察正弦函数的对称性的应用，属于中档题．7．〔2021•邯郸二模〕函数f〔x〕=2sin〔x+φ〕，且f〔0〕=1，f'〔0〕＜0，那么函数图象的一条对称轴的方程为〔〕A．x=0 B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由题意可得2sinφ=1，且2cosφ＜0，可取φ=，可得函数f〔x〕的解析式，从而得到函数的解析式，再依据z余弦函数的图象的对称性得出结论．解答：解：∵函数f〔x〕=2sin〔x+φ〕，且f〔0〕=1，f'〔0〕＜0，∴2sinφ=1，且2cosφ＜0，∴可取φ=，函数f〔x〕=2sin〔x+〕．∴函数=2sin〔x+〕=2cosx，故函数图象的对称轴的方程为x=kπ，k∈z．结合所给的选项，应选：A．点评：此题主要考察三角函数的导数，余弦函数的图象的对称性，属于根底题．8．〔2021•上海模拟〕将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得函数图象的一条对称轴是〔〕A．B．C．x=πD．x=考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件依据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律可得得函数图象对应的函数解析式为y=cosx，再利用余弦函数的图象的对称性求得所得函数图象的一条对称轴方程．解答：解：将函数的图象向左平移个单位，可得函数y=cos[2〔x+〕﹣]=cos2x的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得函数图象对应的函数解析式为y=cosx，故所得函数的对称轴方程为x=kπ，k∈z，应选：C．点评：此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于根底题．9．〔2021•云南模拟〕为了得到函数y=sin x的图象，只需把函数y=sinx图象上全部的点的〔〕A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件依据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数y=sinx图象上全部的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，可得函数y=sin x的图象，应选：A．点评：此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．10．〔2021•陕西〕设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设bcosC+ccosB=asinA，那么△ABC的形态为〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形态．解答：解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，那么由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin〔B+C〕=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，应选B．点评：此题主要考察正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，依据三角函数的值求角，属于中档题．11．〔2021•湖南〕在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．假设2asinB=b，那么角A等于〔〕A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．应选D．点评：此题考察正弦定理，将“边〞化所对“角〞的正弦是关键，属于根底题．12．〔2021•天津模拟〕将函数y=cos〔x﹣〕的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将所得图象向左平移个单位，那么所得函数图象对应的解析式是〔〕A．y=cos〔﹣〕B．y=cos〔2x﹣〕C．y=sin2x D．y=cos〔﹣〕考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件利用y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，可得结论．解答：解：将函数y=cos〔x﹣〕的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，可得函数y=cos〔x﹣〕的图象再将所得图象向左平移个单位，那么所得函数图象对应的解析式是y=cos[〔x+〕﹣]=cos〔x ﹣〕，应选：D．点评：此题主要考察y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．13．〔2021•安庆三模〕将函数f〔x〕=sin〔2x〕的图象向左平移个单位，得到g〔x〕的图象，那么g〔x〕的解析式为〔〕A．g〔x〕=cos2x B．g〔x〕=﹣cos2x C．g〔x〕=sin2x D．g〔x〕=sin〔2x+〕考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像及性质．分析：干脆利用平移原那么，左加右减上加下减，化简求解即可．解答：解：将函数f〔x〕=sin〔2x〕的图象向左平移个单位，得到g〔x〕=sin[2〔x+〕+]=sin〔2x+〕=cos2x，g〔x〕的解析式：g〔x〕=cos2x，应选A．点评：此题考察三角函数的平移．三角函数的平移原那么为左加右减上加下减．以及诱导公式的应用．14．〔2021•泰安一模〕在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，那么BC的长为〔〕A．B．3C．D．7考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由△ABC的面积S△ABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案．解答：解：∵S△ABC==×AB×ACsin60°=×2×AC×，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，应选A．点评：此题考察三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出AC，是解题的关键．15．〔2021•杭州一模〕函数，下面四个结论中正确的选项是〔〕A．函数f〔x〕的最小正周期为2πB．函数f〔x〕的图象关于直线对称C．函数f〔x〕的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性；余弦函数的对称性．专题：计算题．分析：由f〔x〕=2cos〔2x+〕可求得周期T=π，从而可推断A的正误；将代入f〔x〕=2cos〔2x+〕可得f〔〕的值，看是否为最大值或最小值，即可推断B的正误；y=2cos2x的图象向左平移个单位得到y=2cos2〔x+〕=2cos〔2x+〕，明显C不对；f〔x+〕=2cos〔2x+〕=﹣2sinx，可推断D的正误．解答：解：∵f〔x〕=2cos〔2x+〕，故周期T=π，可解除A；将代入f〔x〕=2cos〔2x+〕可得：f〔〕=2cos=0≠±2，故可解除B；y=2cos2x的图象向左平移个单位得到y=2cos2〔x+〕=2cos〔2x+〕，故可解除C；f〔x+〕=2cos〔2x+〕=﹣2sinx，明显为奇函数，故D正确．应选D．点评：此题考察余弦函数的奇偶性及对称性及其周期的求法，关键是娴熟驾驭三角函数的性质，易错点在于函数图象的平移变换的推断，属于中档题．二．解答题〔共15小题〕16．〔2021 •重庆一模〕函数f〔x〕=cosx•sin〔x+〕﹣cos2x+．〔1〕求f〔x〕的最小正周期；〔2〕假设f〔x〕＜m在上恒成立，务实数m的取值范围．考点：三角函数的最值；两角和及差的正弦函数．专题：三角函数的图像及性质．分析：〔1〕由条件利用三角函数的恒等变换求得f〔x〕的解析式，再依据正弦函数的周期性求得f〔x〕的最小正周期．〔2〕由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f〔x〕的最大值，可得实数m的取值范围．解答：解：〔1〕∵函数f〔x〕=cosx•sin〔x+〕﹣cos2x+=cosx〔sinx+cosx 〕﹣•+=sin2x﹣cos2x=sin〔2x﹣〕，∴函数的最小正周期为．〔2〕∵，∴，∴．∵f〔x〕＜m在上恒成立，∴．点评：此题主要考察三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于根底题．17．〔2021•东莞二模〕函数．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求f〔x〕的最大值和最小正周期；〔Ⅲ〕假设，α是第二象限的角，求sin2α．考点：正弦函数的定义域和值域；同角三角函数间的根本关系；两角和及差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：常规题型；计算题．分析：〔Ⅰ〕将代入函数关系式计算即可；〔Ⅱ〕利用协助角公式将f〔x〕化为f〔x〕=2sin〔2x+〕即可求f〔x〕的最大值和最小正周期；〔Ⅲ〕由f〔〕=2sinα=，可求得sinα，α是第二象限的角，可求得cosα=，利用正弦函数的二倍角公式即可求得sin2α．解答：解：〔Ⅰ〕f〔〕=sin〔2×〕+cos〔2×〕=×﹣×=0；〔Ⅱ〕∵f〔x〕=2〔sin2x+cos2x〕=2〔cos sin2x+sin cos2x〕=2sin〔2x+〕．∴f〔x〕的最大值为2，最小正周期T==π；〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知f〔x〕=2sin〔2x+〕，∴f〔〕=2sinα=，即sinα=，又α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2××〔﹣〕=﹣．点评：此题考察两角和及差的正弦函数，考察同角三角函数间的根本关系，考察正弦函数的性质及应用，利用协助角公式求得f〔x〕=2sin〔2x+〕是关键，属于中档题．，18．〔2021•长安区三模〕函数f〔x〕=sin〔2x﹣〕+2cos2x﹣1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f〔A〕=，求△ABC的面积．考点：正弦函数的单调性；余弦定理．分析：〔Ⅰ〕函数f〔x〕绽开后，利用两角和的询问公司化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f〔x〕的单调增区间．〔Ⅱ〕利用f〔A〕=，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积．解答：解：〔Ⅰ〕因为===所以函数f〔x〕的单调递增区间是〔〕〔k∈Z〕〔Ⅱ〕因为f〔A〕=，所以又0＜A＜π所以从而故A=在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=∴1=b2+c2﹣2bccosA，即1=4﹣3bc．故bc=1从而S△ABC=点评：此题是根底题，考察三角函数的化简求值，单调增区间的求法，余弦定理的应用，考察计算实力，留意A 的求法，简洁出错．常考题型．19．〔2021•诸暨市模拟〕A、B是直线图象的两个相邻交点，且．〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，假设的面积为，求a的值．考点：余弦定理的应用；由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：〔I〕利用二倍角公式，两角差的正弦公式，化简函数f〔x〕的解析式为﹣sin〔ωx﹣〕，依据周期，解得ω的值．〔II〕由f〔A〕=﹣，求得sin〔2A﹣〕=，结合A的范围求得A的值，再依据三角形的面积求出边b 的值，利用余弦定理求出a的值．解答：解：〔I〕．由函数的图象及，得到函数的周期，解得ω=2．〔II〕∵，∴．又∵△ABC是锐角三角形，，∴，即．由，由余弦定理，得，即．点评：此题考察正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的周期性，依据三角函数的值求角，求出A的大小，是解题的关键．20．〔2021•广安一模〕函数f〔x〕=sin2x+2cos2x+1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f〔C〕=3，假设向量=〔sinA，﹣1〕及向量=〔2，sinB〕垂直，求a，b的值．考点：余弦定理；两角和及差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：〔I〕利用二倍角公式即公式化简f〔x〕；利用三角函数的周期公式求出周期；令整体角在正弦的递增区间上求出x的范围即为递增区间．〔II〕先求出角C，利用向量垂直的充要条件列出方程得到边a，b的关系；利用余弦定理得到a，b，c的关系，求出a，b．解答：解：〔Ⅰ〕∵〔2分〕令，∴函数f〔x〕的单调递增区间为，〔4分〕〔Ⅱ〕由题意可知，，∴，∵0＜C＜π，∴〔舍〕或〔6分〕∵垂直，∴2sinA﹣sinB=0，即2a=b〔8分〕∵②〔10分〕由①②解得，a=1，b=2．〔12分〕点评：此题考察三角函数的二倍角公式、考察三角函数的公式、考察求三角函数的性质常用的方法是整体角处理的方法、考察三角形中的余弦定理．21．〔2021•张掖三模〕f〔x〕=sinωx﹣2sin2〔ω＞0〕的最小正周期为3π．〔Ⅰ〕当x∈[，]时，求函数f〔x〕的最小值；〔Ⅱ〕在△ABC，假设f〔C〕=1，且2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕，求sinA的值．考点：三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式．专题：综合题．分析：先利用二倍角公式的变形形式及协助角公式把函数化简为y=2sin〔ωx+〕﹣1，依据周期公式可求ω，进而求f〔x〕〔I〕由x的范围求出的范围，结合正弦函数的图象及性质可求〔II〕由及f〔C〕=1可得，，结合C的范围可求C及A+B，代入2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕，整理可得关于sinA的方程，解方程可得解答：解：==依题意函数f〔x〕的最小正周期为3π，即，解得，所以〔Ⅰ〕由得，所以，当时，〔Ⅱ〕由及f〔C〕=1，得而，所以，解得在Rt△ABC中，，2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕2cos2A﹣sinA﹣sinA=0，∴sin2A+sinA﹣1=0，解得∵0＜sinA＜1，点评：以三角形为载体，综合考察了二倍角公式的变形形式，协助角公式在三角函数化简中的应用，考察了三角函数的性质〔周期、单调区间、最值获得的条件〕时常把ωx+φ作为一个整体．22．〔2021•漳州三模〕在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，假设向量=〔1，sinA〕，=〔2，sinB〕，且∥．〔Ⅰ〕求b，c的值；〔Ⅱ〕求角A的大小及△ABC的面积．考点：解三角形；平面对量共线〔平行〕的坐标表示．分析：〔Ⅰ〕通过向量平行，求出A，B的关系式，利用正弦定理求出b的值，通过余弦定理求出c的值；〔Ⅱ〕干脆利用正弦定理求出A的正弦函数值，然后求角A的大小，结合C的值确定A的值，利用三角形的面积公式干脆求解△ABC的面积．解答：解：〔Ⅰ〕∵=〔1，sinA〕，=〔2，sinB〕，，∴sinB﹣2sinA=0，由正弦定理可知b=2a=2，又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，，所以c2=〔〕2+〔2〕2﹣2cos=9，∴c=3；〔Ⅱ〕由，得，∴sinA=，A=或，又C=，∴A=，所以△ABC的面积S===．点评：此题是中档题，考察正弦定理及余弦定理的应用，留意向量的平行条件的应用，考察计算实力．23．〔2021•青岛一模〕a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满意，函数f〔x〕=sinωx〔ω＞0〕在区间上单调递增，在区间上单调递减．〔Ⅰ〕证明：b+c=2a；〔Ⅱ〕假设，证明：△ABC为等边三角形．考点：余弦定理的应用；三角函数恒等式的证明；正弦定理．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ〕通过表达式，去分母化简，利用两角和及差的三角函数，化简表达式通过正弦定理干脆推出b+c=2a；〔Ⅱ〕利用函数的周期求出ω，通过，求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即可．解答：〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕∵∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinAsin〔A+B〕+sin〔A+C〕=2sinA…〔3分〕sinC+sinB=2sinA…〔5分〕所以b+c=2a…〔6分〕〔Ⅱ〕由题意知：由题意知：，解得：，…〔8分〕因为，A∈〔0，π〕，所以…〔9分〕由余弦定理知：…〔10分〕所以b2+c2﹣a2=bc因为b+c=2a，所以，即：b2+c2﹣2bc=0所以b=c…〔11分〕又，所以△ABC为等边三角形．…〔12分〕点评：此题考察三角函数的化简求值，两角和及差的三角函数，正弦定理及余弦定理的应用，考察计算实力．24．〔2021•南昌模拟〕函数．〔1〕假设f〔α〕=5，求tanα的值；〔2〕设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f〔x〕在〔0，B]上的值域．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形．专题：计算题．分析：〔1〕把f〔α〕=5代入整理可得，，利用二倍角公式化简可求tanα〔2〕由，利用余弦定理可得，，即，再由正弦定理化简可求B，对函数化简可得f〔x〕=2sin〔2x+〕+4，由可求．解答：解：〔1〕由f〔α〕=5，得．∴．∴，即，∴．〔5分〕〔2〕由，即，得，那么，又∵B为三角形内角，∴，〔8分〕又==〔10分〕由，那么，故5≤f〔x〕≤6，即值域是[5，6]．〔12分〕点评：此题主要考察了利用正弦及余弦定理解三角形，协助角公式的应用，及正弦函数性质等学问的简洁综合的运用，属于中档试题．25．〔2021•河北区一模〕函数．〔Ⅰ〕求f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，成等差数列，且=9，求a的值．考点：正弦函数的单调性；数列及三角函数的综合；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：〔I〕利用两角和差的三角公式化简f〔x〕的解析式，得到sin〔2x+〕，由2kπ﹣≤〔2x+〕≤2kπ+，解出x的范围，即得f〔x〕的单调递增区间．〔II〕在△ABC中，由，可得sin〔2A+〕值，可求得A，用余弦定理求得a 值．解答：解：〔I〕f〔x〕==sin2x+cos2x=sin〔2x+〕．令2kπ﹣≤〔2x+〕≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z．即f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．〔II〕在△ABC中，由，可得sin〔2A+〕=，∵＜2A+＜2π+，∴＜2A+=或，∴A=〔或A=0 舍去〕．∵b，a，c成等差数列可得2b=a+c，∵=9，∴bccosA=9．由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=〔b+c〕2﹣3bc=18，∴a=3．点评：此题考察等差数列的性质，正弦函数的单调性，两角和差的三角公式、余弦定理的应用，化简函数的解析式是解题的打破口．26．〔2021•韶关一模〕函数f〔x〕=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1〔ω＞0〕的最小正周期为π．〔1〕求f〔〕的值；〔2〕求函数f〔x〕的单调递增区间及其图象的对称轴方程．考点：由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．分析：〔1〕利用三角函数的恒等变换化简函数f〔x〕的解析式为2sin〔2ωx+〕，由此求得f〔〕的值．〔2〕由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出函数f〔x〕的单调递增区间．由2x+=kπ+求得x的值，从而得到f〔x〕图象的对称轴方程．解答：解：〔1〕函数f〔x〕=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1=cos2ωx+sin2ωx=2sin〔2ωx+〕，因为f〔x〕最小正周期为π，所以=π，解得ω=1，所以f〔x〕=2sin〔2x+〕，f〔〕=2sin=1．〔2〕由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，所以，函数f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．由2x+=kπ+可得x=kπ+，k∈z．所以，f〔x〕图象的对称轴方程为x=kπ+，k∈z．…〔12分〕点评：此题主要考察三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．27．〔2021•杭州一模〕函数f〔x〕=．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期、对称轴方程及单调区间；〔Ⅱ〕现保持纵坐标不变，把f〔x〕图象上全部点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h〔x〕；〔ⅰ〕求h〔x〕的解析式；〔ⅱ〕△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满意，h〔A〕=，c=2，试求△ABC的面积．考点：正弦定理的应用；两角和及差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．分析：〔I〕利用二倍角的三角函数公式降次，再用协助角公式合并得f〔x〕=sin〔2x+〕﹣，再结合函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象及性质的有关公式，可得f〔x〕的最小正周期、对称轴方程及单调区间；〔II〕〔i〕依据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换的公式，不难得到h〔x〕的解析式为h〔x〕=sin〔x+〕﹣；〔ii〕依据h〔A〕的值结合三角形内角的范围和特别三角函数的值，求得A=，再由结合正弦定理，探讨得三角形是等腰三角形或是直角三角形，最终在两种状况下分别解此三角形，再结合面积公式可求出△ABC的面积．解答：解：〔I〕∵f〔x〕==sin2x﹣=sin2xcos+cos2xsin﹣，∴f〔x〕=sin〔2x+〕﹣，f〔x〕的最小正周期为T==π．令2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，所以函数图象的对称轴方程为：x=+kπ，〔k∈Z〕令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解之得﹣+kπ≤x≤+kπ，所以函数的单调增区间为[﹣，+kπ]，〔k∈Z〕同理可得，函数的单调减区间为[+kπ，+kπ]，〔k∈Z〕〔II〕∵保持纵坐标不变，把f〔x〕图象上全部点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h〔x〕∴h〔x〕=f〔x〕=sin〔x+〕﹣，〔i〕h〔x〕的解析式为h〔x〕=sin〔x+〕﹣；〔ii〕∵h〔A〕=sin〔A+〕﹣=，∴sin〔A+〕=，结合A∈〔0，π〕得A=∵=∴sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=①当A=B时，因为c=2，A=，所以△ABC是边长为2的等边三角形，因此，△ABC的面积S=×22=．②当A+B=时，因为c=2，A=，所以△ABC是斜边为2的直角三角形∴a=csinA=2×=，b=ccosA=2×=1因此，△ABC的面积S=××1=．综上所述，得△ABC的面积是或．点评：此题综合了三角恒变换、函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换、利用正余弦定理解三角形等学问，对三角函数的学问进展了综合考察，是一道中档题．28．〔2021•辽宁〕△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕假设c2=b2+a2，求B．考点：解三角形．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB和sinA的关系式，进而求得a和b的关系．〔Ⅱ〕把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式，把〔Ⅰ〕中a和b的关系代入求得cosB的值，进而求得B．解答：解：〔Ⅰ〕由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB〔sin2A+cos2A〕=sinA∴sinB=sinA，=〔Ⅱ〕由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由〔Ⅰ〕知b2=2a2，故c2=〔2+〕a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°点评：此题主要考察了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进展了互化．29．〔2021•合肥二模〕将函数y=f〔x〕的图象上各点的横坐标缩短为原来的〔纵坐标不变〕，再向左平移个单位后，得到的图象及函数g〔x〕=sin2x的图象重合．〔1〕写出函数y=f〔x〕的图象的一条对称轴方程；〔2〕假设A为三角形的内角，且f〔A〕=•，求g〔〕的值．考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换；两角和及差的正弦函数；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：〔1〕由题意可知将函数g〔x〕=sin2x的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的到f〔x〕的图象可得f〔x〕=sin〔x﹣〕，令可求答案．〔2〕由f〔A〕=可得，sin〔A﹣=结合0＜A＜π，且0＜sin〔A﹣=可得从而可求得cos〔A﹣〕=而=代入可求答案．解答：解：〔1〕由题意可知将函数g〔x〕=sin2x的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的到f〔x〕的图象，∴f〔x〕=sin〔x﹣〕由得∴〔2〕由f〔A〕=可得，sin〔A﹣=∵0＜A＜π，且0＜sin〔A﹣=。
高三数学练习题及答案
高三数学练习题及答案关键信息项1、练习题的来源和版权归属2、练习题的涵盖知识点范围3、练习题的题型和数量4、答案的准确性和详细程度5、练习题和答案的使用权限和限制6、协议的生效日期和有效期7、对练习题和答案的更新和补充方式8、违反协议的责任和处理方式11 练习题来源和版权归属本协议所涉及的高三数学练习题及答案（以下简称“练习题及答案”）由具体来源提供，其版权归版权归属方所有。
未经授权，任何单位和个人不得擅自复制、传播、修改或以其他方式使用这些练习题及答案。
111 练习题涵盖知识点范围练习题及答案涵盖了高三数学课程中的以下重要知识点：函数、数列、三角函数、向量、圆锥曲线、立体几何、概率统计等。
确保全面覆盖高考数学的重点和难点内容，以帮助学生进行系统复习和提高。
112 练习题题型和数量练习题包括选择题、填空题、解答题等多种题型。
选择题共X道，填空题共X道，解答题共X道。
题目难度分为基础题、中等题和难题，比例分别为基础题比例、中等题比例、难题比例，以适应不同学习水平的学生需求。
12 答案的准确性和详细程度提供的答案准确无误，并经过严格的审核和校对。
对于每一道练习题，答案都包含详细的解题步骤和思路，以便学生能够理解解题的过程和方法。
对于较复杂的题目，还会提供多种解题方法和技巧，拓宽学生的思维。
121 练习题和答案的使用权限和限制练习题及答案仅供学生个人学习使用，不得用于商业目的或在网络上公开传播。
学生可以在学习过程中打印、复印或手写记录，但不得将其转售或提供给他人以获取利益。
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122 协议的生效日期和有效期本协议自生效日期起生效，有效期至有效期截止日期。
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123 对练习题和答案的更新和补充方式我们将根据高三数学教学大纲的变化和高考的最新动态，适时对练习题及答案进行更新和补充。
高三数学复习题含详细答案
高三数学复习题含详细答案高三数学复习题含详细答案在高三的数学复习中，做题是非常重要的一部分。
通过做题，不仅可以巩固知识点，还可以提高解题能力和应试技巧。
本文将为大家提供一些高三数学复习题，并附上详细的解答，希望对大家的复习有所帮助。
1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，求 f(-2) 的值。
解答：将 x = -2 代入函数 f(x) 中，得到 f(-2) = (-2)^2 + 3(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0。
所以 f(-2) 的值为 0。
2. 某商品原价为 200 元，现在打 8 折出售，求打折后的价格。
解答：打 8 折相当于打 80% 的折扣，所以打折后的价格为200 × 80% = 160 元。
3. 已知直角三角形的两条直角边分别为 3cm 和 4cm，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，斜边的长度为√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。
4. 解方程 2x + 5 = 3x - 1。
解答：将方程中的 x 都移到一边，得到 2x - 3x = -1 - 5，即 -x = -6。
两边同时乘以 -1，得到 x = 6。
所以方程的解为 x = 6。
5. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 B = {3, 4, 5, 6, 7}，求 A 与 B 的交集和并集。
解答：A 与 B 的交集为 {3, 4, 5}，并集为 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。
6. 某数学竞赛共有 80 人参加，其中男生占总人数的 60%，女生占总人数的百分之几？解答：男生占总人数的 60%，那么女生占总人数的比例为 100% - 60% = 40%。
所以女生占总人数的百分之几为 40%。
7. 某数列的前两项为 1 和 2，从第三项开始，每一项都是前两项的和，求第 10项的值。
解答：根据数列的定义，第三项为 1 + 2 = 3，第四项为 2 + 3 = 5，依次类推可以得到数列的前十项为：1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89。
高三数学试题-高三数学课时复习基础过关训练题58 最新
第五章 数 列第4课时 数列的求和1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________．答案：6解析：由a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，得d ＝2，∴ S n ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，∴ n ＝6时，S n 最小．2. 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________． 答案：13解析：由S 5＝25且a 2＝3，得a 1＝1，d ＝2，故a 7＝a 1＋6d ＝13.3. 设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝ ________．答案：n （n ＋1）2＋1 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＝a n －1＋(n －1)＋1，a n －1＝a n －2＋(n －2)＋1，a n －2＝a n －3＋(n －3)＋1，…，a 3＝a 2＋2＋1，a 2＝a 1＋1＋1，a 1＝2＝1＋1，将以上各式相加得a n ＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1＝（n －1）[（n －1）＋1]2＋n ＋1＝（n －1）n 2＋n ＋1＝n （n ＋1）2＋1. 4. 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n>1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 5＝________．答案：21解析：S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)可得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，即数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 5＝1＋2＋4＋6＋8＝21.5. 已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________． 答案：5000解析：由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000.6. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．答案：2n解析：因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，因数列{a n ＋1}也是等比数列，则3，2q ＋1，2q 2＋1成等比数列，(2q ＋1)2＝3×(2q 2＋1)，即q 2－2q ＋1＝0q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n.7. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13.若1<S k <9(k ∈N *)，则k ＝________．答案：4解析：S n ＝23(S n －S n －1)－13(n ≥2)，∴ S n ＋13＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －1＋13， ∴ S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23·(－2)n －1－13. ∵ 1＜S k ＜9，k ∈N *，∴ k ＝4.8. 各项都为正数的数列{a n }，其前n 项的和为S n ，且S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，若b n ＝a n ＋1a n＋a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项的和为T n ，则T n ＝________．答案：4n 2＋6n 2n ＋1解析：因S n －S n －1＝S 1，叠加可得S n ＝n S 1，即S n ＝n 2a 1，所以a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)a 1，b n ＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝2＋22n －1－22n ＋1，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋21－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋23－25＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22n －1－22n ＋1＝2n ＋2－22n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 9. 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－10，d ＝2， 所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12.(2) 设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3，所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1（1－q n ）1－q＝4(1－3n )． 10. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N )在函数f(x)＝－x 2＋7x 的图象上．(1) 求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值； (2) 令b n ＝2a n ，其中n ∈N ，求{nb n }的前n 项和．解：(1) 因为点P n (n ，S n )(n ∈N )均在函数y ＝f(x)的图象上，所以有S n ＝－n 2＋7n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8，∴ a n ＝－2n ＋8(n ∈N )．令a n ＝－2n ＋8≥0得n ≤4，∴ 当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12，综上，a n ＝－2n ＋8(n ∈N )，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12.(2) 由题意得b 1＝26＝8，b n ＝2－2n ＋8＝2－n ＋4，所以b n ＋1b n＝12，即数列{b n }是首项为8、公比为12的等比数列，即b n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n ，故{nb n }的前n 项和T n ＝1×23＋2×22＋…＋n ×2－n ＋4 ①，12T n ＝1×22＋2×2＋…＋(n －1)×2－n ＋4＋n ×2－n ＋3 ②，所以①－②得12T n ＝23＋22＋…＋2－n ＋4－n ×2－n ＋3，∴T n ＝16·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n·24－n ＝32－(2＋n)24－n . 11. 已知x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，又在数列{a n }(a n >0)中a 1＝3，此数列的前n 项的和S n (n ∈N *)对所有大于1的正整数n 都有S n ＝f(S n －1)．(1) 求数列{a n }的第n ＋1项；(2) 若b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，且T n 为{b n }的前n 项和，求T n . 解：(1) ∵ x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，∴ f （x ）2×2＝x ＋3，∴ f(x)＝(x ＋3)2，∴ S n ＝f(S n －1)＝(S n －1＋3)2，∴ S n ＝S n －1＋3，即S n －S n －1＝3，∴ {S n }是以3为公差的等差数列．∵ a 1＝3，∴ S 1＝a 1＝3，∴ S n ＝S 1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝3n ，∴ S n ＝3n 2(n ∈N ＋)．∴ a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3.(2) ∵ 数列b n 是1a n ＋1，1a n 的等比中项，∴ (b n )2＝1a n ＋1·1a n，∴ b n ＝1a n ＋1a n ＝13（2n ＋1）×3（2n －1）＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. ∴ T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝118[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.。
高考数学一轮复习课时过关检测四基本不等式含解析
课时过关检测(四) 基本不等式A 级——基础达标1．(2022·扬州市高三联考)设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值为( )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1解析：C ∵x >0，∴y ＝3－3x －1x≤3－23x ·1x ＝3－23，当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立．故选C ．2．已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( ) A ．14 B ．12 C ．22D ．1解析：A 根据题意，圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，半径r ＝1，若直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则有|－1|a 2＋4b2＝1，变形可得a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，变形可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b 时等号成立，故ab 的最大值是14，故选A ．3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：C 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．4．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，若不等式2x ＋1y≥m 2＋7m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．－8≤m ≤1B ．m ≤－8或m ≥1C ．－1≤m ≤8D ．m ≤－1或m ≥8解析：A ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝1，∴2x ＋1y＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy＋4≥4＋24＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当4y x ＝x y ，即x ＝2y ＝12时取等号，∵不等式2x ＋1y ≥m 2＋7m 恒成立，∴m 2＋7m ≤8，解得－8≤m ≤1．故选A ．5．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 25＋y 22＝1有相同的焦点，则4m ＋1n的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B 由题意双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 25＋y 22＝1有相同的焦点，∴m ＋n ＝5－2＝3，∴4m ＋1n ＝13(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝13⎝⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n ≥13·⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24n m·m n ＝3，当且仅当4n m＝m n ，即m ＝2n 时等号成立，故4m ＋1n的最小值为3，故选B ． 6．(多选)下列不等式一定成立的有( ) A ．x ＋1x≥2B ．2x (1－x )≤14C ．x 2＋3x 2＋1≥23－1 D ．x ＋1x≥2解析：CD 对于A ，当x <0时，x ＋1x<0，故A 错误；对于B,2x (1－x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12≤12，故B 错误；对于C ，x 2＋3x 2＋1＝x 2＋1＋3x 2＋1－1≥2 x 2＋1·3x 2＋1－1＝23－1，当且仅当x 2＝3－1时取等号，故C 正确；对于D ，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，故D 正确，故选C 、D ．7．(多选)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝2，则下列说法中正确的是( ) A ．xy 的最大值为12B ．4x 2＋y 2的最大值为2 C ．4x＋2y的最小值为4D ．2x ＋xy的最小值为4解析：ACD 由2＝2x ＋y ≥22x ×y ⇒xy ≤12，当2x ＝y 时等号成立，所以A 正确；4x 2＋y 2＝(2x ＋y )2－4xy ＝4－4xy ≥2，所以4x 2＋y 2的最小值为2，故B 不正确； 由2＝2x ＋y ，得4x＋2y＝4x＋22－2x＝4x＋44x ≥4，当x ＝12时等号成立，故C 正确；由2＝2x ＋y ，得2x ＋x y ＝2x ＋y x ＋x y ＝2＋y x ＋xy≥4，当x ＝y 时等号成立，故D 正确．故选A 、C 、D ．8．若log 2m ＋log 2n ＝1，那么m ＋n 的最小值是________．解析：∵log 2m ＋log 2n ＝1，即log 2(mn )＝1，∴mn ＝2，由基本不等式可得m ＋n ≥2mn ＝22，当且仅当m ＝n 时，等号成立，故m ＋n 的最小值是22．答案：2 29．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1 ≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3．设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173．∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞10．(2022·临汾二模)已知a ，b 为正实数，且满足a ＋b ＝1．证明： (1)a 2＋b 2≥12；(2)1a ＋2b≥1＋2．证明：(1)因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2＋a 2＋b 2)≥12(a 2＋b 2＋2ab )＝12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 取等号)．(2)1a＋2b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋2a b ＋b a≥3＋22a b ×ba＝3＋22＝(1＋2)2⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b＝b a，即a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立，所以1a ＋2b≥1＋2．B 级——综合应用11．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：B 因为函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以1m ＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋n m ＋4m n ≥12⎝⎛⎭⎪⎫4＋2n m ·4m n ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝2，n m ＝4m n，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝1取等号，所以1m ＋2n的最小值为4，故选B ．12．(2022·重庆一模)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S ＝pp －a p －b p －c 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＝3，b ＋c ＝5，则此三角形面积的最大值为( )A ．32 B ．3 C ．7D ．11解析：B 由题意p ＝12×(3＋5)＝4，S ＝44－a4－b4－c＝44－b4－c ＝24－b 4－c ≤8－(b ＋c )＝3，当且仅当4－b ＝4－c ，即b＝c ＝52时等号成立，∴此三角形面积的最大值为3．故选B ．13．写出一个关于a 与b 的等式，使1a 2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为__________．解析：该等式可为a 2＋b 2＝1，下面证明该等式符合条件．1a 2＋9b2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋9b 2(a 2＋b 2)＝1＋9＋9a 2b 2＋b2a2≥10＋29a2b 2·b 2a 2＝16，当且仅当b 2＝3a 2时取等号，所以1a 2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16．答案：a 2＋b 2＝1(答案不唯一)14．(2022·湘东联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，求2a ＋1b的最小值．解：因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4．因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，可得2a ＋b ＝3．所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22b a·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)．C 级——迁移创新15．(多选)(2022·临沂高三模拟)已知a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥13B ．ab ＋bc ＋ac ≥13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13⎝ ⎛⎭⎪⎫b －13⎝ ⎛⎭⎪⎫c －13≤0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8 解析：AD a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1．A 项，1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤a 2＋b 2＋c 2＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)，所以a 2＋b 2＋c 2≥13，当且仅当a ＝b ＝c＝13时取等号，故正确；B 项，a 2＋b 2≥2ab ，c 2＋b 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，由1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，即ab ＋bc ＋ac ≤13，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，故错误；C 项，当a ＝12，b ＝14，c ＝14时，⎝⎛⎭⎪⎫a －13⎝⎛⎭⎪⎫b －13⎝ ⎛⎭⎪⎫c －13>0，故错误；D 项，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c ≥2b a ·c a ·2 a b ·c b ·2 a c ·b c ＝8．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，故正确．故选A 、D ．16．甲、乙两地相距1 000 km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h ，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14，固定成本为a 元． (1)将全程运输成本y (单位：元)表示为速度v (单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？解：(1)由题意，得可变成本为14v 2元，固定成本为a 元，所用时间为1 000v ，所以y ＝1 000v ⎝ ⎛⎭⎪⎫14v 2＋a ＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫14v ＋a v ，定义域为(0,80]． (2)y ＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫14v ＋a v ≥1 000×2a4＝1 000a (元)，当14v ＝av时，得v ＝2a ，因为0<v ≤80，所以当0<a ≤1 600时，货车以v ＝2a km/h 的速度行驶，全程运输成本最小； 当a ≥1 600时，货车以80 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小．。
高三数学复习题与答案
高三数学复习题与答案一、选择题1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c是偶函数，则下列说法正确的是：A. a = 0, b ≠ 0B. a ≠ 0, b = 0C. a = 0, b = 0D. a = 0, b = 0答案：B2. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，a3 = 8，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B二、填空题3. 计算定积分∫₀¹ (2x + 1) dx的值是____。
答案：3/24. 若直线l的方程为y = 2x + 3，且与x轴交于点A，求点A的坐标。
答案：(-3/2, 0)三、解答题5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求函数的单调区间。
解答：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x。
令f'(x) > 0，解得x > 2或x < 0；令f'(x) < 0，解得0 < x < 2。
因此，函数f(x)在(-∞, 0)和(2, +∞)上单调递增，在(0, 2)上单调递减。
6. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 =c^2，求证三角形ABC是直角三角形。
解答：根据勾股定理的逆定理，若三角形的三边长满足a^2 + b^2 =c^2，则该三角形为直角三角形。
已知a^2 + b^2 = c^2，因此三角形ABC是直角三角形。
四、证明题7. 证明：若x > 0，y > 0，则x + y ≥ 2√(xy)。
证明：根据基本不等式，对于任意正数x和y，有(x - y)^2 ≥ 0。
展开得x^2 - 2xy + y^2 ≥ 0，即x^2 + y^2 ≥ 2xy。
由于x > 0，y > 0，所以x + y ≥ 2√(xy)。
当且仅当x = y时，等号成立。
8. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
高三数学基础训练试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √252. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴是（）A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 03. 若log2(3x - 1) = 3，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，单调递增的函数是（）A. y = 2x - 1B. y = -x^2 + 1C. y = x^3D. y = 1/x5. 在三角形ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 5/46. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 下列方程中，无解的是（）A. x + 2 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 + 4 = 0D. x^2 - 1 = 08. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S5=15，则公差d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (2,3)B. (3,2)C. (-2,-3)D. (-3,-2)10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S4=15，则公比q的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为______。
12. 在等差数列{an}中，若a1=2，公差d=3，则第10项an的值为______。
13. 已知复数z = 3 - 4i，则|z|^2的值为______。
14. 在三角形ABC中，若∠A=60°，a=5，b=8，则c的值为______。
15. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S5=31，则公比q的值为______。
高三数学课时复习基础训练42
课时活页作业（四十七）[基础训练组]1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )A.14 B.12 C ．2D ．4[解析] 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ，∴1m ＝4，∴m ＝14. [答案] A2．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为( )A.2B.72 C ．2D.74[解析] 因为c a ＝12，得a ＝2c ，所以b ＝a 2－c 2＝3c ，则方程ax 2＋2bx ＋c ＝0为2x 2＋23x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝12，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝3－1＝2.[答案] A3．(2016·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1[解析] 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12.又c 2＝a 2－b 2，联立解得a 2＝8，b 2＝6.[答案] A4．(2016·邯郸一模)椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PF 2|是|PF 1|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍[解析] 设线段PF 2的中点为D ，则|OD |＝12|PF 1|，OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴，∴PF 1⊥x 轴．∴|PF 1|＝b 2a ＝323＝32.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝43，∴|PF 2|＝43－32＝732.∴|PF 2|是|PF 1|的7倍．[答案] A5．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32 B.332 C.94D.154[解析] 设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ.由条件知|AF 2|为椭圆通径的一半，即|AF 2|＝b 2a ＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值，只需F 1P →在向量F 2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ≤332，故选B.[答案] B6．(2016·青岛模拟)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝4①，e ＝12＝2m ，∴m ＝4，代入①得，n 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y212＝1.[答案] x 216＋y 212＝17．已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________．[解析] F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3＜4，∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°.设P (x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.[答案] 1658．(2016·长沙一模)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[解析] 依题意得∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，设|MF 1|＝m ，则有|MF 2|＝3m ，|F 1F 2|＝2m ，该椭圆的离心率是e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝3－1.[答案]3－19．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．[解] (1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3. 又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1＜x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线l ∶x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.10．(2016·长春调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右焦点到直线x ＋y ＋6＝0的距离为2 3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M (0，－1)作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，且满足NA →＝－75NB →，求直线l 的方程．[解] (1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c ＞0)，则|c ＋6|2＝23，c ＋6＝±26，c ＝6或c ＝－36(舍去)．又离心率c a ＝32，则6a ＝32，故a ＝22，b ＝a 2－c 2＝2，故椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0,0)，因为NA →＝－75NB →，所以(x 1－x 0，y 1)＝－75(x 2－x 0，y 2)，y 1＝－75y 2.①易知当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，于是设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)，联立方程⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2＋4y 2＝8.消去x 得(4k 2＋1)y 2＋2y ＋1－8k 2＝0，②因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，于是y 1＋y 2＝－24k 2＋1，③y 1y 2＝1－8k 24k 2＋1，④由①③得，y 2＝54k 2＋1，y 1＝－74k 2＋1，代入④整理得8k 4＋k 2－9＝0，k 2＝1，k ＝±1，所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝－x －1.[能力提升组]11．(2016·运城二模)已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12 B ．－12 C ．2D ．－2[解析] 设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)36＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＝0，∴2(x 1－x 2)9＝－4(y 1－y 2)9，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. [答案] B12．以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1D.y 29＋x 28＝1[解析] 由于c ＝1，所以离心率最大即为长轴最小．点F 1(－1,0)关于直线x －y ＋3＝0的对称点为F ′(－3,2)，设点P 为直线与椭圆的公共点，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝|PF ′|＋|PF 2|≥|F ′F 2|＝2 5.取等号时离心率取最大值，此时椭圆方程为x 25＋y 24＝1.[答案] C13．(2014·高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______________.[解析] 利用三角形的中位线结合椭圆的定义求解．椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.[答案] 1214．(2014·高考江西卷)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．[解析] 利用点差法，设而不求，建立方程组求解．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.[答案] 2215．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(Ⅰ)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (Ⅱ)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .[解] (Ⅰ)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (Ⅱ)如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b2c .由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫aa 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 解法二：如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
福建省三明市2024高三冲刺(高考数学)苏教版测试(自测卷)完整试卷
福建省三明市2024高三冲刺（高考数学）苏教版测试(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人．现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（）A．B．C．D．第(2)题已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(3)题已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（）A．B．3C．D．第(4)题已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（）A．B．C．D．第(5)题“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A．120种B．180种C．240种D．300种第(6)题已知点为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线交双曲线左支于点，点在线段上，交双曲线左支于点且，若双曲线右支上任意一点都满足，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(7)题由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列，在长度为8的0－1序列中，所有1互不相邻的序列个数为（）A．20B．54C．55D．280第(8)题已知体积为的圆台，上下底面半径分别为、（），若圆台的高，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，方差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，方差是0.4，下列说法正确的有（）A．平均来说甲队比乙队防守技术好B．乙队比甲队的防守技术更稳定C．每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少D．乙队可能有一半的场次不失球第(2)题已知圆：，直线：，则（）A．直线在y轴上的截距为1B．直线的倾斜角为C．直线与圆有2个交点D．圆上的点到直线的最大距离为第(3)题如图所示，在长方体，若分别是的中点，则下列结论中成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF⊥平面BDD1B1C．EF与C1D所成的角为45°D．EF∥平面A1B1C1D1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数的反函数为,且有若且，则的最小值为________．第(2)题已知直线与单位圆交于两点，设射线的对应的角是，则__________.第(3)题在等差数列中，，，则的公差是________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．（1）若，求函数的极值和单调区间；（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．第(2)题已知三点，为曲线上任意一点，满足．（1）求曲线的方程；（2）已知点，为曲线上的不同两点，且，，为垂足，证明：存在定点，使为定值．第(3)题对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”．（Ⅰ）写出数列的“收缩数列”；（Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是；（Ⅲ）若，求所有满足该条件的数列．第(4)题已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.第(5)题如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为棱的中点．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．。
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第十一章 计数原理、随机变量及分布列第2课时 排列与
组合(理科专用)
1. 若
A 3n ＝6C 4n ，则n ＝________．
答案：7 解析：n ！（n －3）！＝6×n ！（n －4）！×4！
，得n －3＝4，解得n ＝7.
2. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种(用数字作答)．
答案：252
解析：三名主力安排有A 33种，其余7名选2名安排在第二、四
位置上有A 27种排法，故共有排法数A 33A 27＝252种．
3. 某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为________(只列式，不计算)．
答案：C 330C 220＋C 230C 320
解析：男生2人，女生3人，有C 230C 320；男生3人，女生2人，
有C 330C 220，共计C 230C 320＋C 330C 220.
4. 有6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是________．
答案：90
解析：甲得2本有C 26，乙从余下的4本中取2本有C 24，余下的
C 22，共计C 26C 24.
5. 某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是________(用数字作答)．
答案：266
解析：根据题意，可有以下两种情况：① 用10元钱买2元1本共有C 58＝56；② 用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂
志2本，共有C 48·C 23＝70×3＝210.故210＋56＝266.
6. A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为________．
答案：105
解析：直接法：分三类，在4个偶数中分别选2个、3个、4个
偶数，其余选奇数，C 24C 35＋C 34C 25＋C 44C 15＝105；
间接法：C 59－C 55－C 45C 14＝105.
7. 某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备________种不同的素菜．
答案：7
解析：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有C25＝10种，设素菜为x种，则C2x·C25≥200，解得x≥7，∴至少应有7种素菜．
8. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能都是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为________．
答案：472
解析：若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C14×C14×C14＝64种，若2色相同，则有C23C12C24C14＝144；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有C14×C23×C14×C14＝192种，如同色则有C14C23C24＝72，所以共有64＋144＋192＋72＝472.
9. 用0、1、2、3四个数字组成没有重复数字的自然数．
(1) 把这些自然数从小到大排成一个数列，问1230是这个数列的第几项？
(2) 其中的四位数中偶数有多少个？
解：(1) 分类讨论：①1位自然数有4个；②2位自然数有9个；
③3位自然数有18个，即A34－A23＝3A33＝18个；④4位自然数中，“10XY”型有A22＝2个，1 203，1 230共有4个；由分类计数原理知1 230是此数列的第4＋9＋18＋4＝35项．
(2) 四位数中的偶数有A33＋A12A22＝10个．
10. 已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．
(1) 过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？
(2) 以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3) 上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
解：(1) 所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；
③α、β本身．∴所作的平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98个．
(2) 所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．∴最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194个．
(3) ∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，且平面α∥β，∴体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114个．
11. 6个人坐在一排10个座位上．问：
(1) 空位不相邻的坐法有多少种？
(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？
解：6个人排有A66种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．
(1) 空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C47＝35种插法，故空位不相邻的坐法有A66·C47＝252 00种．
(2) 将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有A27种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A27＝302 40种．
(3) 4个空位至少有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有C47种坐法；
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C17C26种坐法；
③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C27种坐法．
综合上述，应有A66(C47＋C17C26＋C27)＝115 920种坐法．。