线性代数3.2(1)
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线性代数基础知识
线性代数基础知识导言：线性代数是现代数学的重要分支之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍线性代数的基本概念、运算规律和应用，以帮助读者建立对线性代数的基础知识。
一、向量与向量空间1.1 向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或矩阵形式表示。
向量的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
1.2 向量空间的定义与性质向量空间是由一组向量和运算规则构成的数学结构，包括加法和数量乘法运算。
向量空间满足加法和数量乘法的封闭性、结合律、分配律以及零向量和负向量的存在等性质。
二、矩阵与线性方程组2.1 矩阵的定义与性质矩阵是由一组数按照矩形排列组成的数学对象，可以表示为一个二维数组。
矩阵的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
2.2 线性方程组的表示与求解线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b。
其中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
线性方程组的解可以通过消元法、矩阵的逆或行列式等方法求得。
三、线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法运算。
线性变换满足加法封闭性、乘法封闭性和保持零向量不变等性质。
3.2 特征值与特征向量线性变换的特征值和特征向量是线性变换的重要性质。
特征值为标量，特征向量为非零向量，满足Av=λv。
其中，A为线性变换的矩阵表示，λ为特征值，v为对应的特征向量。
四、内积空间与正交性4.1 内积空间的定义与性质内积空间是一个向量空间，具有额外定义的内积运算。
内积满足对称性、线性性、正定性和共轭对称性等性质。
4.2 正交性与正交基在内积空间中，若两个向量的内积为零，则它们互为正交。
正交基是一个向量空间中的基，其中任意两个基向量互相正交。
五、特殊矩阵与特殊向量5.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是满足A^T=A的矩阵，其中A^T为A的转置矩阵。
《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵
r1 r3 1 0 r2 r3 0 1 再r3 2 0 0 2 A 4 1 3
0 0 1
1 2 1
2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2
x1 BE3 1, 2 y1 x2 y2
x2 y2
0 1 0 x3 1 0 0 y3 0 0 1
x1 x3 y1 y3
1 3 0 a1 a2 E3 1, 2 3 A 0 1 0 b1 b2 0 0 1 c c 1 2 a1 3b1 a2 3b2 b1 b2 c c 1 2
ri krj ci kc j
初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2.等价 定义3.2.2
若矩阵A 经过有限次的初等行变换变成 B，
r 则称矩阵A与矩阵B 行等价，记为 A B
若矩阵 A 经过有限次的初等列变换变成B，
则称矩阵A与矩阵B 列等价，记为 A
c
B
若矩阵 A经过有限次的初等变换变成B， 则称矩阵A与矩阵B 等价，记为 A B
ET i, j E i, j ；ET i k E i k ； E i j k E j i k .
T
定理3.2.1 对于一个m×n 矩阵 A进行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对A施行 一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶
初等矩阵. 验证 设初等矩阵为三阶的.
0 1 0 E3 1, 2 1 0 0 0 0 1 x1 B y1
线性代数3-2 逆矩阵
AA1 A1 A E ,
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵.
二、逆矩阵的概念与性质
第三章 矩阵的运算
定义3.2.1 设A是一个n 阶方阵，若存在n 阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵.
例如
1 2 5 2
A 2 5 , B 2
2
2
A1 1 3E A
2
第三章 矩阵的运算
小结
1.逆矩阵概念 若AB=E，则 A1 B, B1 A.
2.伴随矩阵概念与性质定理
A1 1 A * A
3. 矩阵可逆的充要条件 A可逆 A 0
4.逆矩阵的性质 ( A1 )1 A ( AT )1 ( A1 )T
1
有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵.
第三章 矩阵的运算
说明: 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证明:
记作 A-1
若设B和C是A的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的 , 记作 A-1
An1
只A 要aA21
a022，就有a2An (
1 AA* *)A(12 A
1 AA22* ) A A
EAn
2
an1
an2
ann
A1n
A2n
Ann
第三章 矩阵的运算
定理3.2.1（可逆的充分必要条件） n阶方阵A可逆 | A | 0，而且A1 1 A. | A|
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵.
二、逆矩阵的概念与性质
第三章 矩阵的运算
定义3.2.1 设A是一个n 阶方阵，若存在n 阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵.
例如
1 2 5 2
A 2 5 , B 2
2
2
A1 1 3E A
2
第三章 矩阵的运算
小结
1.逆矩阵概念 若AB=E，则 A1 B, B1 A.
2.伴随矩阵概念与性质定理
A1 1 A * A
3. 矩阵可逆的充要条件 A可逆 A 0
4.逆矩阵的性质 ( A1 )1 A ( AT )1 ( A1 )T
1
有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵.
第三章 矩阵的运算
说明: 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证明:
记作 A-1
若设B和C是A的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的 , 记作 A-1
An1
只A 要aA21
a022，就有a2An (
1 AA* *)A(12 A
1 AA22* ) A A
EAn
2
an1
an2
ann
A1n
A2n
Ann
第三章 矩阵的运算
定理3.2.1（可逆的充分必要条件） n阶方阵A可逆 | A | 0，而且A1 1 A. | A|
线性代数PPT课件：线性方程组 第2节 线性方程组的相容性定理
其增广矩阵进行初等行变换，利用系数矩阵A和增广
矩阵 B = (A，b) 的秩，可以方便地讨论线性方程组
是否有解的问题．其结论为：
aa12nnx定线xnn性理方3bb1.程22,.,组1（（线1）性方相程容组（有有解解的）判的充别要定条理件）为
R(A) = R(B).
am当n xRn(A) b=mR.(B) = n 时，方程组（1）有唯一解；
（1）42
x1 x1
3x2 x2
4 x3
2, 8,
（2）42
x1 x1
3x2 x2
4 x3
2, 8,
5x1
2x3 11; 5x1
2x3 9;
x1 x2 2x3 3,
（3）42
x1 x1
3x2 x2
4 x3
2, 8,
解
5x1
2x3 11.
例2 确定 a，b 的值，使方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1,
3x1
2x2 x3 x4 x2 2x3 2x4
3x5 a, 6x5 3,
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b.
（1）无解；（2）有无穷多个解，并求出方程
组的通解．
解 写出其增广矩阵并进行初等行变换，化为行
阶梯形如下：
例3 问 ， 为何值时，方程组
定理3.2.2 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要
条件是 R(A) = R(B) ．
定理3.2.3 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零
解的充分必要条件是 R(A) < n ．
3.2.2 举例
例1 判定下列方程组的相容性和相容时解的
个数： x1 x2 2x3 3,
x1 x2 2x3 3,
线性代数—3.2 向量组的秩
• 齐次线性方程组的基础解系线性无关.
❖ 线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数
k1, , km , 使 k1a1 L kmam = 0
那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. • a1, , am 线性无关, 也即向量方程 x1a1 L xmam = 0 只有零解. ❖ 定理1
§3.2 向量组的秩
一、向量组的秩和最大无关组 二、向量组间的线性关系
❖ 齐次通解结构定理
设 x1, , xn-r (r = R(A))为 n 元方程组 Ax = 0 的解, 且 满足条件 R(x1, , xn-r) = n- r, 则 Ax = 0 的通解为
x = k1x1 L kn-rxn-r , (k1, , kn-r 为任意数) • 称 x1, , xn-r 为方程组 Ax = 0 的一个基础解系.
则向量 b 可由 a1, , ar 线性表示.
❖ 向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, , ar 为 A 的一个线性
无关部分组, 那么称 a1, , ar 为 A 的一个最大无关组.
❖ 最大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1, , ar 为 A 的一个最大
无关组的充分必要条件是 (1) a1, , ar 线性无关; (2) A 中任一向量可由 a1, , ar 线性表示. 充分性: 设 b1, , bs 为 A 中向量, s > r. 存在数 kij , 使得
一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为 n 维向量组( A {0}), 则 A 的任一线性无关部 分组所含向量个数不多于 n 个.
A 的线性无关部分组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中 任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
❖ 线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数
k1, , km , 使 k1a1 L kmam = 0
那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. • a1, , am 线性无关, 也即向量方程 x1a1 L xmam = 0 只有零解. ❖ 定理1
§3.2 向量组的秩
一、向量组的秩和最大无关组 二、向量组间的线性关系
❖ 齐次通解结构定理
设 x1, , xn-r (r = R(A))为 n 元方程组 Ax = 0 的解, 且 满足条件 R(x1, , xn-r) = n- r, 则 Ax = 0 的通解为
x = k1x1 L kn-rxn-r , (k1, , kn-r 为任意数) • 称 x1, , xn-r 为方程组 Ax = 0 的一个基础解系.
则向量 b 可由 a1, , ar 线性表示.
❖ 向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, , ar 为 A 的一个线性
无关部分组, 那么称 a1, , ar 为 A 的一个最大无关组.
❖ 最大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1, , ar 为 A 的一个最大
无关组的充分必要条件是 (1) a1, , ar 线性无关; (2) A 中任一向量可由 a1, , ar 线性表示. 充分性: 设 b1, , bs 为 A 中向量, s > r. 存在数 kij , 使得
一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为 n 维向量组( A {0}), 则 A 的任一线性无关部 分组所含向量个数不多于 n 个.
A 的线性无关部分组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中 任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
线性代数习题3详细解答
为最大无关组
3.15解：
，3.16解： （1）.
即 令
则基础解系为 ， （2） 基础解系为 3.17解： （1）.
所以，令，基础解系为， 特解为。 （2） 令 基础解系为 ， 特解. 3.18解：（1）因, 而，,, 故得,即, 利用P的可逆性，用左乘上式两端，则得. (2)由已知条件以及（1）知，从而. 3.19证：，，， 则 3.20解;
3.21证：由代入知，都是的解 假设线性相关，则存在不全为0的n-r+1个数. 由都为AX=0的解，则 由的线性无关知： 而，则 同理可证：是线性无关 3.22证： 线性无关，有t个向量，故是AX=0的一组最大无关的解向量，即为基础 解系。 3.23解：
3.2 解：(1). 对增广矩阵（A，b）施以初等行变换，化为行最简形
(A,b)= R(A)<R(A,b) 无解 （2） . 即得原方程组的同解方程组
， 令，原方程组的同解方程组写成向量形式如下 （3）
， 同解方程组为
， 通解为 （4） ，即，令， 即 3.3解： （1）. 对增个矩阵B=（A，b）作初等变换化为行阶梯形
3.9解： （1）.，线性相关. （2）. ， 线性无关 （3）. ， 线性相关 3.10解： ，时，线性无关 3.11解; 存在1，-1，1，-1使的线性组合为 3.12证： ， 又是线性无关的，故也是线性无关的. 3.13解：
（1） 秩为2，为一个最大无关组，也为一个最大无关组 （2） 秩为2， 最大无关组为或 3.14解; （1） （2）.
第三章 习题解答
3.1解： (1).对系数矩阵A施以初等行变换，化为行最简形 即得原方程组的同解方程组 ，即， 令,原方程组的同解方程组写成向量形式如下 (2). 对系数矩阵A施以初等行变换，化为行最简形 即得原方程组的同解方程组 令原方程组的同解方程组写成向量形式如下 (3). 则有 (4). 即
3.15解：
，3.16解： （1）.
即 令
则基础解系为 ， （2） 基础解系为 3.17解： （1）.
所以，令，基础解系为， 特解为。 （2） 令 基础解系为 ， 特解. 3.18解：（1）因, 而，,, 故得,即, 利用P的可逆性，用左乘上式两端，则得. (2)由已知条件以及（1）知，从而. 3.19证：，，， 则 3.20解;
3.21证：由代入知，都是的解 假设线性相关，则存在不全为0的n-r+1个数. 由都为AX=0的解，则 由的线性无关知： 而，则 同理可证：是线性无关 3.22证： 线性无关，有t个向量，故是AX=0的一组最大无关的解向量，即为基础 解系。 3.23解：
3.2 解：(1). 对增广矩阵（A，b）施以初等行变换，化为行最简形
(A,b)= R(A)<R(A,b) 无解 （2） . 即得原方程组的同解方程组
， 令，原方程组的同解方程组写成向量形式如下 （3）
， 同解方程组为
， 通解为 （4） ，即，令， 即 3.3解： （1）. 对增个矩阵B=（A，b）作初等变换化为行阶梯形
3.9解： （1）.，线性相关. （2）. ， 线性无关 （3）. ， 线性相关 3.10解： ，时，线性无关 3.11解; 存在1，-1，1，-1使的线性组合为 3.12证： ， 又是线性无关的，故也是线性无关的. 3.13解：
（1） 秩为2，为一个最大无关组，也为一个最大无关组 （2） 秩为2， 最大无关组为或 3.14解; （1） （2）.
第三章 习题解答
3.1解： (1).对系数矩阵A施以初等行变换，化为行最简形 即得原方程组的同解方程组 ，即， 令,原方程组的同解方程组写成向量形式如下 (2). 对系数矩阵A施以初等行变换，化为行最简形 即得原方程组的同解方程组 令原方程组的同解方程组写成向量形式如下 (3). 则有 (4). 即
线性代数：3.2 向量的线性相关性
,
是线性无关的.
n
例：判断向量组
1 1, a, a2, a3 ,2 1, b, b2, b3 , 4 1, c, c2, c3 ,4 1, d, d 2, d 3
线性相关还是线性无关。（a, b, c, d各不相同）
考虑齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 ax1 bx2 cx3 dx4 0 a2 x1 b2 x2 c2 x3 d 2 x4 0 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 其系数行列式是范德蒙德行列式
即齐次线性方程组有非零解，
所以向量 1,2 ,3 线性相关。
而向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
例： 已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关,
1 1 2, 2 2 3,3 3 1
试证 : 1 , 2 , 3线性无关.
证明: 设 k11 k2 2 k3 3 0 k1(1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0
设 k11 k22 l11 l22
两式相减得
kmm lmm
（k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0
因为1,2 ,,m线性无关，
所以系数k1 l1 0, k2 l2 0,, km lm 0, 于是有ki li , i 1, 2, , m.
k11 k22 kmm 0
不妨设ki 0，于是
i
k1 ki
1
ki 1 ki
i 1
ki 1 ki
i 1
即i可由其余m-1个向量线性表示。
km ki
m
（充分性）设i可由其余m 1个向量线性表示， 即i l11 li1 i1 li1 i1 lmm
于是l11 l i1 i1 (1) i l i1 i1 lm m 0
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
线性代数3.2初等矩阵和求逆矩阵的初等变换法-文档资料
证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E 。
所以，AE11E21 Et1。 若记 Ei1 Pi ，则 AP1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2, , Pt，使 AP1 P2 Pt
因为P1, P2, , Pt 可逆，从而 P1 P2 Pt 可逆，所以 A
a in
a m n
第 i行 第 j行
其结果相当于对矩阵 A 施第一种初等行变换：
A 的第 i 行与第 j 行对调（ ri r j ）。类似地，
n 阶初等矩阵
E
i j 右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
j 列对调（ ci c j ）。
，则存在初等矩阵 P 使
BPA
若 A 可逆，则 PAB可逆；又若 B 可逆，则
P1B A 可逆。
由定理1，可得：
定理2 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
A 只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。
n 定理3 设 A 为 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
存在有限个初等矩阵 P1, P2, , Pt 使 AP1P2 Pt 。
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。E i ( k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
（3）以数 k 乘某行（或列）加到另一行（或列）上。
E ij ( k ) 表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等
i j 矩阵或表示单位矩阵第 列乘常数k加到第 列后得到的
初等变换化为单位矩阵 E 。
所以，AE11E21 Et1。 若记 Ei1 Pi ，则 AP1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2, , Pt，使 AP1 P2 Pt
因为P1, P2, , Pt 可逆，从而 P1 P2 Pt 可逆，所以 A
a in
a m n
第 i行 第 j行
其结果相当于对矩阵 A 施第一种初等行变换：
A 的第 i 行与第 j 行对调（ ri r j ）。类似地，
n 阶初等矩阵
E
i j 右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
j 列对调（ ci c j ）。
，则存在初等矩阵 P 使
BPA
若 A 可逆，则 PAB可逆；又若 B 可逆，则
P1B A 可逆。
由定理1，可得：
定理2 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
A 只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。
n 定理3 设 A 为 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
存在有限个初等矩阵 P1, P2, , Pt 使 AP1P2 Pt 。
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。E i ( k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
（3）以数 k 乘某行（或列）加到另一行（或列）上。
E ij ( k ) 表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等
i j 矩阵或表示单位矩阵第 列乘常数k加到第 列后得到的
线性代数行列式的概念和性质
det A a11 a12
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
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1 3
例
设
A
2
4
3 7
a11 解 det A
an1
7 3 , 计算 det A 的值. 2
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子
式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
相当于把行列式按第一行展开
cnk bn1
bnn
a1k
b11
, D2 det(bij )
akk
bn1
b1n ,
bnn
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内容总结
线性代数课件行列式的概念和性质。对 n = 2, 3,。项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.。个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行 列式不同行又不同列的n 个元之乘积.。说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立.。性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变．
AC
det U
det A det B
OB
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
当前您浏览的位置是第六页，共三十二页。
1 3
例
设
A
2
4
3 7
a11 解 det A
an1
7 3 , 计算 det A 的值. 2
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子
式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
相当于把行列式按第一行展开
cnk bn1
bnn
a1k
b11
, D2 det(bij )
akk
bn1
b1n ,
bnn
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内容总结
线性代数课件行列式的概念和性质。对 n = 2, 3,。项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.。个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行 列式不同行又不同列的n 个元之乘积.。说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立.。性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变．
AC
det U
det A det B
OB
3.1 3.2向量及向量组的线性相关性
, 2
a22
,, s
a2s
ar1
ar2
ars
则 k11 k22 kss k11 k22 kss
k11
k2 2
ks s
a11
k1
a21
a12
k2
a22
a1s
ks
a2s
k1a11 k1a21
k2a12 ksa1s
k2a22 ksa2s
ars
k1ar1
k2ar 2
ksa1s 0
ksa2s
0
ksars
0
ksa2s 0
ksa1s
0
ksars
0
a11
a12
a1s
1
a21
,
2
a22
, s
a2s
,
ar1
ar2
ars
ka11
ka12
ka1s
1
a21
通常用希腊字母α, β, γ等表示.
说明
①行向量也是1×n的行矩阵，列向量也是n×1的列矩阵； ②行向量可看作是列向量的转置； ③为统一起见，以后所讨论的向量均指列向量.
分量全为零的向量称为零向量, 记作θ ---读作“西塔”
二、向量的运算
如: (a1, a2 , , an )T , (b1, b2 , , bn )T 定义2. 若向量 和 对应的分量分别相等，即ai=bi ，i=1,2,…,n
a22
,
a1s
s
a2
s
,
a11
a21
a12
a22
a1s
a2s
ar1
ar
《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。
（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数 第三章3.2
km −1 k1 k2 α m = − α1 − α 2 − L − α m−1 km km km
αm 是其余向量的线性组合
定理4.1 向量组 α1,α2 ,L,αm (m≥ 2) 线性相关 定理
向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合
若 αm 是其余向量的线性组合
αm = k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 + (−1)αm = 0
（Ⅱ）
β 1β 2 L β s
线性表示， 若（Ⅰ）中每一个向量都能由向量组（Ⅱ）线性表示， 则称向量组（ 线性表示. 则称向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示. 若向量组（Ⅰ） 与向量组（Ⅱ）可以互相线性表示， 则称向量组（ 等价. 则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价. 向量组之间的等价关系具有以下性质： 向量组之间的等价关系具有以下性质： 性质
b1 b2 称为行向量 例如:① 例如 ① α = (a1, a2 ,L, an )称为行向量, β = M 称为 bn 列向量.
称为零向量 ②分量全为零的向量 (0, 0, L , 0) ,称为零向量. 称为 ③
等表示向量. 小写希腊字母 α, β ,γ 等表示向量
L 其中是 ε1，ε2， ，εn ，n维单位行向量组.
α1 =(1, 2,3)T， （ ） 例. 证明向量 β = −1,1,5 是向量组
T
将β 用向量组 α1，α2，α3 线性表出.
的线性组合,并具体 α 3 = ( 2 , 3 , 6 ) T 的线性组合 并具体 α 2 = 0,1, 4）， = β ⇔ ai = bi (i = 1, 2,L, n)
αm 是其余向量的线性组合
定理4.1 向量组 α1,α2 ,L,αm (m≥ 2) 线性相关 定理
向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合
若 αm 是其余向量的线性组合
αm = k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 + (−1)αm = 0
（Ⅱ）
β 1β 2 L β s
线性表示， 若（Ⅰ）中每一个向量都能由向量组（Ⅱ）线性表示， 则称向量组（ 线性表示. 则称向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示. 若向量组（Ⅰ） 与向量组（Ⅱ）可以互相线性表示， 则称向量组（ 等价. 则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价. 向量组之间的等价关系具有以下性质： 向量组之间的等价关系具有以下性质： 性质
b1 b2 称为行向量 例如:① 例如 ① α = (a1, a2 ,L, an )称为行向量, β = M 称为 bn 列向量.
称为零向量 ②分量全为零的向量 (0, 0, L , 0) ,称为零向量. 称为 ③
等表示向量. 小写希腊字母 α, β ,γ 等表示向量
L 其中是 ε1，ε2， ，εn ，n维单位行向量组.
α1 =(1, 2,3)T， （ ） 例. 证明向量 β = −1,1,5 是向量组
T
将β 用向量组 α1，α2，α3 线性表出.
的线性组合,并具体 α 3 = ( 2 , 3 , 6 ) T 的线性组合 并具体 α 2 = 0,1, 4）， = β ⇔ ai = bi (i = 1, 2,L, n)
线性代数课件-3.2 n维向量
定义36 对于给定的向量组 β , α 1 , α 2 , , α n 定义 若存在一组数
k 1 , k 2 , , k n ,使得
β = k1α 1 + k 2α 2 + + k nα n
线性表示. 则称向量 β 可由向量组α 1 ,α 2 ,,α n 线性表示. 或向量 β 是向量组 α 1 ,α 2 ,,α n 的线性组合. 的线性组合.
线性表示. 线性表示.
证明: 证明:
1 0 0 0 a1 a1 0 0 a 0 a 0 1 0 2 2 = + + ∵要证:存在一组数 +, k = …,k +,使 + + a n α = 要证:存在一组数k12, a1 n a 2 使 0 0 1 a a 0 0 ε n n α = k + k ε + + k ε
α + β = β +α α + ( β + γ ) = (α + β ) + γ α +0 =α α + ( α ) = 0
( k + t )α = k α + t α k (α + β ) = k α + k β ( kt )α = k ( t α ) 1α = α
改书P 改书 100
【例2】 已知四维向量 α 1 , α 2 , β 满足关系 】
=β
线性方程组的向量表达式: 线性方程组的向量表达式: x 1α 1 + x 2 α 2 + + x n α n = β 或
α 1 x1 + α 2 x 2 + + α n x n = β
三,向量间的线性关系
线性代数向量间的线性关系
若向量组(1)与(2)可互相线性表示，则称向量组(1)与(2)等价
记作
{1,2, ,m} {1, 2, , n}
山东财经大学数学与数量经济学院
等价向量组具有的性质：
（1）反身性 即 {1,2 , ,m}{1,2, ,m}
（2）对称性 即 {1,2, ,m} {1, 2, , n}
（3）传递性
{1, 2, , n} {1,2, ,m}
山东财经大学数学与数量经济学院
例3.2.8 若向量组1,2, ,r线性相关,则向量组1,2, ,r , r1, ,s必线性相关.
证明： 因为 1,2 , ,r 线性相关， 则存在有不全为零的数 k1, k2 , , kr 使
k11 k22 krr o
从而存在一组不全为零的数 k1, k2 , , kr , 0, , 0, 使
(2)称为(1)的 向量表示形式
x11 x22 xnn (2)
山东财经大学数学与数量经济学院
1.线性组合
定义3.2.1 设 ,1,2, ,n是一组m维向量.如果存在数
k1, k2 , , kn , 使得
k11 k22 knn
称向量 是向量组1 , 2 ,
,
的线性组合，
n
或称可由向量组1,2 ,
解 设 =k11 k22 k33 , 即
(3, 2, 4) k1(1, 0, 1) k2(2, 1, 0) k3(1, 1, 2)
( k1 2k2 k3 , k2 k3 , k1 2k3 )
因此
k1 2k2 k3 3
k2 k3 2
k1 2k3 4
解方程组得
k1 k2
线性表出，并且表示法不惟一；
（3）方程组无解 不能够由向量组 j ( j 1, 2, , n)
线性代数§3.2
a11 L a1i + ka1 j L a21 L a2 i + ka2 j L AE n ( ji ( k )) = L L a L a + ka L mi mj m1 第i 列
a1 j L a1n a2 j L a2 n L L amj L amn 第j 列
1 O 1 E ( i ( k )) = k 第i 行 1 O 1
以Em(i (k))左乘矩阵 左乘矩阵A=(aij)m×n, 得 × a11 a12 L a1n M M M Em ( i ( k )) A = kai 1 kai 2 L kain 第i 行 M M M a am 2 L amn m1 相当于以数k乘 的第 的第i 相当于以数 乘A的第 行(ri×k). 类似地, 类似地 以En(i (k))右乘矩阵 右乘矩阵A=(aij)m×n, 其结果相 × 当于以数k乘 的第 的第i 当于以数 乘A的第 列(ci×k).
相当于对矩阵A施行第一种初等行变换 相当于对矩阵 施行第一种初等行变换: 把A的 施行第一种初等行变换 的 行与第j 行对调(r 第i 行与第 行对调 i↔rj).
阶初等矩阵E 右 用n阶初等矩阵 n(i, j)右乘A=(aij)m×n, 得 阶初等矩阵 ×
a11 L a1 j L a1i L a21 L a2 j L a2 i L AE n ( i , j ) = L L L a L a L a L mj mi m1 第j 列 第i 列
0 0 0 = 1 0 0
0 1 1 k 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 −c 11 0
( PP2 P3 ) −1 = P3−1P2−1P −1 1 1
线性代数3.2 初等矩阵
1 1 10
1 4
1 2
1 3
0 0 2 18 8 12 r3(2) 0 0 1 9 4 6
补充例题
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结束
铃
若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1).
例1
设
A
0 3 2
2 0 3
021 求A1.
0 E3(1, 2)A 10
1 0 0
100103
0 1 1
112
103
1 0 1
112 .
补充例题
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结束
铃
❖定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设A是一个mn矩阵. 对A施行一次初等行变换 相当于在
A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
结束
铃
矩阵A可逆AP1P2 Pl 其中P1 P2 Pl都是初等矩阵.
求逆矩阵的初等行变换法
设A为n阶可逆矩阵 B为ns矩阵 则存在初等矩阵P1 P2 Pl 使
P1P2 Pl (A B)(E A1B). 上式的意义
(i)取BE时 上式成为 P1P2 Pl (A E)(E A1).
0 1 0
1 0 0
100
E3(2(3))
1 0 0
0 3 0
100
阵E的第i行(列)得到初等矩阵. E(ij(k))表示把单位矩阵E的第j
行的k倍加到第i行上 或把单位矩阵
E(31(2))
1 0 2
线性代数第三章3.1,3.2,3.3
an1 an, j1 bnn an, j1 ann
Aj
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3 (行列式展开法则)
xj
Aj A
3
例1 用Cramer则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
本节主要讨论方程的个数与未知量的个数相等时
线性方程组解的解法.
方程的个数与未知量的个数不相等时线性方程组 解的解法在3.3节讨论 .
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3
1
定理3.1 (克莱姆法则 )如果方程组系数行列式
a11 a12 ... a1n
A a21 a22 ... a2n 0 ... ... ... ...
2
证明: 对于该线性方程组Ax b,若 A 0, A可逆,且
A1
A A
,由Ax b得x
A1b
A b A
(左乘)
A11
而Ab A12
A1n
A21 A22
A2n
An1 An2
Ann
b1 b2
所以，线性方 程组的解唯一
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2 8 2
1 1
0 3
, b
2 3
3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
解
1 2 2 1 1 r2 2r1
B
2 2
4 4
8 2
0 3
2 3
r3 2r1
3 6 0 6 4 r4 3r1
a21 a31
a23 a33
a11 a12 a13 a14
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
a12 a13 a22 a23
矩阵 A 的一个 2 阶子块
a12 a13
a22
a23
上一节我们把用消元法解方程组，现在用矩阵初等变换来看发现有见书本P59
2 1 1 1 2 1 1 2 1 4
1 0 1 0 4
B
1 4 3
1 2 6 2 6 9
1 2 7
4 4 9
～r
0 0 0
1 0 0
-1 0 0
1 1 0
0 -03
B4
～r
0 0 0
B0
1
6
1
0
0
0
R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的 6 0 11 2
16 0
25
2 0 5 20 5
因此这就是 A 的一个最高阶非零子式．
例5
1
设A
2 2
2 4 4
若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) < t ． 若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| ．
当|A|≠0 时， R(A) = n ; 可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．
当|A| = 0 时， R(A) < n ; 不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．
3 0
r4 3r1
0 0
6 4 12 16
4 3 9 12
1 1 7 8
4 1 11 12
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r3 3r2 0 4 3
r4
4r2
0 0
等于零 ．
理解这 段话的
因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数． 意思看
下一页
a11 a12 a13 a14
A
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34 矩阵 A 的 2 阶子式
矩阵 A 的一个 3 阶子式
a11 a21 a31
a12 a22 a32
2 1 3 0 3 2 24 0，因此 R(B) = 3 ．
00 4
例2
已知
A
1 0
3 2
2 1
32 ， 求 该 矩 阵 的 秩 ．
2 0 1 5
解
1
3 2 0,
计算A的3阶子式，
02
1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2 0 2 1 0,0 2 3 02, 1 30,0 1 300.,
第二节 矩阵的秩
预习思考题： 1.什么是矩阵A的k阶子式？ m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 几个？ 2. k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式有什么区别？
3、矩阵A行变换化到行阶梯形矩阵B，则A与B中的非零子式的最高阶数相等吗？
4.（1）什么是最高阶非零子式？什么是矩阵的秩？零矩阵的秩为多少？
（2）根据秩的定义秩具有什么性质？什么是满秩矩阵、降秩矩阵？满秩矩阵 与可逆矩阵的关系？
5.如何求矩阵的秩？举例说明矩阵的秩可以用行阶梯形矩阵的非零行行数来
确定，引出P书本定理2
3 2 0 5 0
6.(1)、设例题A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413, 求矩阵 A 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式 ．
1 2 2 1 1 0 0 4 2 0 0 0 2 1 5 0 0 6 3 1
r2 2 r3 r2
r4 3r2
1 2 2 1 1
0
0
2
1
0
r3 5
0 0
0 0
0 0
0 0
5 1
r4 r3
1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． R(AT) = R(A) ．
a11 a12 a13 a14
A
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
a11 a21 a31
AT
1 0 0
-1 0 0
0 1 0
3 -03
B5
r
r
从B ~ B4 ~ B5 可看出与B行等价的行阶梯形矩阵都恰好有3个非零行，
观察 B4与 B5 非零子式的最高阶阶数是3
r
引理 设 A ~ B ，则 A 与B中非零子式的最高阶数相等
证明略，详见书本P67
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作R(A)．
0 0
0 0
1 4 4
1 8
r4
r3
8
0 0 0
4 0 0
3 0 0
1 1 4 8 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行
的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、
特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1 ．
⑥R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ．
⑦R(AB)≤min{R(A), R(B)} ． ⑧若 Am×n Bn×l = O，则 R(A)＋R(B)≤n ．
例 7 设 A为 n 阶矩阵，证明 R( A E） R( A E) n
(2)、预习P68_69例题6、例题7
7. 矩阵秩的基本性质是什么？
8.利用秩的性质解决一些题目，预习书本P71例题8、例题9
即例 7 设 A为 n阶矩阵，证明 R(A E） R(A E) n
例 8 证明 若AmnBnl C,且R( A） n，则R(B） R(C)
9、课后练习：P77-78第7题、第8题、第9题、第10题、第12题
3 2 0 5 0
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
1 3
,
求矩阵
A
的
1 6 4 1 4
秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
3
A
3 2
1
2 2 0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
规定：零矩阵的秩等于零．
根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表 示．
如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2 阶子式也都等于零 ．
事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都
显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cmk Cnk 个．
概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
与元素a12相对应的余子式
M12
a21 a31
a23 a33
相应的代数余子式
A12
(1)12
M12
a12 a13
a22 a23
a32
a33
a14 a24 a34
矩阵 AT 的一个 2 阶子式
D
DT
AT 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) ．
例1：求矩阵 A 和 B 的秩，其中
1 2 3
A
2
3
5
4 7 1
2 1 0 3 2
R( A) 2, R(B) 3.
例6
设A
1 3
2 2
1
1 1, 已知R(A) 2,
求与的值
5 6 3
解 1 2 1 1
1 2 1 1
A 3 2
5 6
3
1
r2 3r1
r3 5r1
0 0
二、四列． 3 2 5 1 6 1
A0
3 2
2 0
6
r
~
0
4
5 0 0
1 4
B0