相似三角形复习课件
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相似三角形复习课PPT课件
相 似 三 角 形
复 习 课
大屯中学 杨平军
一、回顾
1.相似三角形的性质
对应边成比例，对应角相等 对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比
对应周长的比等于相似比 对应面积的比等于相似比的平方
2.相似三角形的识别
一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等 一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应 成比例，并且夹角相等
D F
A
B
C
小
结
本节课主要是复习相似三角 形的性 ,及其识别方法。并 利用有关性质及识别方法来 解题。在解题中要熟悉基本 图形。并能从条件和结论两 方面同时考虑
作业：
P162 5,6,7
一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例
3.基本图形
“A”型
D B A
在△ABC中，DE∥BC，则有
E
△ADE∽△ABC
C B O C D
“X”型 A
在△ABC中，AB∥CD，则有 △ABO∽△DCO
⑴ 两相似三角形对应高之比为3∶4， 周长之和为28cm，则两个三角形周长 12cm与16cm 分别为________________ ⑵ 两相似三角形的相似比为3∶5， 它们的面积和为102cm2，则较大三 75cm2 角形的面积为___________
解：∵ AE2＝AD· AB，得AE∶AD＝AB∶AE
D E
∵∠A＝∠A
C
∴△AED∽△ABE
∴∠AED＝∠ABE∵∠ABE＝∠BCE
B
∴ ∠AED＝∠BCE
∴DE∥BC
∴∠DEB＝∠EBC ∵∠ABE＝∠BCE ∴ △EBC∽△DEB
三、应用
问：河的宽度是多少？
复 习 课
大屯中学 杨平军
一、回顾
1.相似三角形的性质
对应边成比例，对应角相等 对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比
对应周长的比等于相似比 对应面积的比等于相似比的平方
2.相似三角形的识别
一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等 一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应 成比例，并且夹角相等
D F
A
B
C
小
结
本节课主要是复习相似三角 形的性 ,及其识别方法。并 利用有关性质及识别方法来 解题。在解题中要熟悉基本 图形。并能从条件和结论两 方面同时考虑
作业：
P162 5,6,7
一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例
3.基本图形
“A”型
D B A
在△ABC中，DE∥BC，则有
E
△ADE∽△ABC
C B O C D
“X”型 A
在△ABC中，AB∥CD，则有 △ABO∽△DCO
⑴ 两相似三角形对应高之比为3∶4， 周长之和为28cm，则两个三角形周长 12cm与16cm 分别为________________ ⑵ 两相似三角形的相似比为3∶5， 它们的面积和为102cm2，则较大三 75cm2 角形的面积为___________
解：∵ AE2＝AD· AB，得AE∶AD＝AB∶AE
D E
∵∠A＝∠A
C
∴△AED∽△ABE
∴∠AED＝∠ABE∵∠ABE＝∠BCE
B
∴ ∠AED＝∠BCE
∴DE∥BC
∴∠DEB＝∠EBC ∵∠ABE＝∠BCE ∴ △EBC∽△DEB
三、应用
问：河的宽度是多少？
相似三角形复习课件
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即S1:S2=(a1:a2)^2。
相似三角形的判定条件
定义法
根据相似三角形的定义，如果两个三 角形的对应角相等，对应边成比例， 则这两个三角形相似。
SAS判定
如果两个三角形有两个角相等，且这 两个角所对的边成比例，则这两个三 角形相似。
平行线法
在数学竞赛的最优化问题中，可以 利用相似三角形来找到最优解。
04
相似三角形的变式与拓展
相似三角形的特殊情况
等腰三角形
等腰三角形两腰之间的角相等，可以 利用这一性质来证明两个三角形相似 。
直角三角形
等边三角形
等边三角形的三个角都相等，因此任 意两个等边三角形都是相似的。
直角三角形中，如果一个锐角相等， 则两个三角形相似。
详细描述
如果一个三角形的两个对应角和一个对应边与另一个三角形的对应角和对应边 相等，则这两个三角形相似。
边角判定
总结词
通过比较一个三角形的对应边和一个角的度数与另一个三角 形的对应边和角的度数是否相等来判断三角形是否相似。
详细描述
如果一个三角形的三组对应边和一个对应角与另一个三角形 的三组对应边和对应角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形分别位于两条平行线 之间，且一个三角形的顶点与另一个 三角形的对应顶点连线与平行线垂直 ，则这两个三角形相似。
ASA判定
如果两个三角形有两个角相等，且其 中一个角的对边成比例，则这两个三 角形相似。
02
相似三角形的判定方法
角角判定
总结词
通过比较两个三角形的对应角是 否相等来判断三角形是否相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即S1:S2=(a1:a2)^2。
相似三角形的判定条件
定义法
根据相似三角形的定义，如果两个三 角形的对应角相等，对应边成比例， 则这两个三角形相似。
SAS判定
如果两个三角形有两个角相等，且这 两个角所对的边成比例，则这两个三 角形相似。
平行线法
在数学竞赛的最优化问题中，可以 利用相似三角形来找到最优解。
04
相似三角形的变式与拓展
相似三角形的特殊情况
等腰三角形
等腰三角形两腰之间的角相等，可以 利用这一性质来证明两个三角形相似 。
直角三角形
等边三角形
等边三角形的三个角都相等，因此任 意两个等边三角形都是相似的。
直角三角形中，如果一个锐角相等， 则两个三角形相似。
详细描述
如果一个三角形的两个对应角和一个对应边与另一个三角形的对应角和对应边 相等，则这两个三角形相似。
边角判定
总结词
通过比较一个三角形的对应边和一个角的度数与另一个三角 形的对应边和角的度数是否相等来判断三角形是否相似。
详细描述
如果一个三角形的三组对应边和一个对应角与另一个三角形 的三组对应边和对应角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形分别位于两条平行线 之间，且一个三角形的顶点与另一个 三角形的对应顶点连线与平行线垂直 ，则这两个三角形相似。
ASA判定
如果两个三角形有两个角相等，且其 中一个角的对边成比例，则这两个三 角形相似。
02
相似三角形的判定方法
角角判定
总结词
通过比较两个三角形的对应角是 否相等来判断三角形是否相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
第二十四章-相似三角形-复习ppt课件
第二十四章 相似三角形 复习课件
1
一、本章知识结构图
放缩与相似形
比例线段
相
比例线段
似
三角形一边的平行线
相似三角形
判定 性质
平面向量
实数与向量相乘
向量的线性运算
2
回顾与思考
一、相似形
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相 似多边形. 2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形 叫相似三角形.两个相似三角形用“∽”表示，读做 “相似于”.
（2） 以连接后的这两个向量为邻边向量 构造平行四边形
（3） 这个平行四边形的对角线向量就是 这两个向量的和向量与差向量
3.向量加法和减法的三角形法则 加法： 一终二起，一起二终 减法： 共起点指向被减
9
五、典例精析，复习新知
2.如图，在△ABC中，AB=AC=27，D在AC上，且 BD=BC=18，DE//BC交AB于E，则DE= 分析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用 △ABC∽△AED A答案：10
称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
4
➢ 线段的比要注意以下几点： • 线段的比是正数 • 单位要统一 • 线段的比与线段的长度无关
如果 （b=d=f≠0）,
那么
如果，
，那么ad＝bc．
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么
.
5
三、相似三角形的判定与性质 方法1：通过定义（不常用）
方法2：平行于三角形一边的直线与其他两边(或延 长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; 方法3：两对应角相等的,两三角形相似. 方法4：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 方法5：三边对应成比例的,两三角形相似.
1
一、本章知识结构图
放缩与相似形
比例线段
相
比例线段
似
三角形一边的平行线
相似三角形
判定 性质
平面向量
实数与向量相乘
向量的线性运算
2
回顾与思考
一、相似形
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相 似多边形. 2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形 叫相似三角形.两个相似三角形用“∽”表示，读做 “相似于”.
（2） 以连接后的这两个向量为邻边向量 构造平行四边形
（3） 这个平行四边形的对角线向量就是 这两个向量的和向量与差向量
3.向量加法和减法的三角形法则 加法： 一终二起，一起二终 减法： 共起点指向被减
9
五、典例精析，复习新知
2.如图，在△ABC中，AB=AC=27，D在AC上，且 BD=BC=18，DE//BC交AB于E，则DE= 分析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用 △ABC∽△AED A答案：10
称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
4
➢ 线段的比要注意以下几点： • 线段的比是正数 • 单位要统一 • 线段的比与线段的长度无关
如果 （b=d=f≠0）,
那么
如果，
，那么ad＝bc．
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么
.
5
三、相似三角形的判定与性质 方法1：通过定义（不常用）
方法2：平行于三角形一边的直线与其他两边(或延 长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; 方法3：两对应角相等的,两三角形相似. 方法4：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 方法5：三边对应成比例的,两三角形相似.
相似三角形判定复习公开课PPT课件
A. 1
B. 2条 C. 3条
D. 4条
）C
2.点P是△ABC中AB边上的一点，过P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截 得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有几条？请分别画出 来．
3.在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截 △ABC，使截得的三角形与△ABC相似，如图，∠A=36°，AB=AC， 当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多
第19页/共21页
如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点M,N 分别在边BC,AD上，沿直线MN对
第20页/共21页
感谢您的观看！
第21页/共21页
第18页/共21页
（1）如图1,在等边△ABC中,点M是边BC上的任意一点（不含端 点B、C）,联结AM,以AM为边作等边△AMN,联结CN．求证： ∠ABC=∠ACN． 【类比探究】 （2）如图2,在等边△ABC中,点M是边BC延长线上的任意一点（不 含端点C）,其它条件不变,（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请 说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是边BC上的任意一点（不 含端点B、C）,联结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角 ∠AMN=∠ABC．联结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明 理由．
有 3 条．
第7页/共21页
练习1 如图，∠ABC=90°，
A
BD⊥AC于D，AD=9，
DC=4 ，则BD的长为 .
9
D
4
?
C
B
第8页/共21页
A
D B
∠ACB=90º CD⊥AB
B
（“类A”型）
相似三角形的判定复习课(共23张ppt)
AC=AN•cos∠BAO= t；
∴OC=OA-AC=6-t，∴N（6-t， t）．
∴NM=
=
；
又：AM=6-t，AN= t（0＜t≤6）；
①当MN=AN时，
= t，即：t2-8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；
②当MN=MA时，
=6-t，即： t2-12t=0，t1=0（舍去），t2= ；
解：（1）由题意，A（6，0）、B（0，8）， 则OA=6，OB=8，AB=10； 当t=3时，AN= t=5= AB，即N是线段AB的中点； ∴N（3，4）． 设抛物线的解析式为：y=ax（x-6），则： 4=3a（3-6），a=- ； ∴抛物线的解析式：y=- x（x-6）=- x2+ x．
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若 存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
解得DM= ；
②DM与BE是对应边时，DM=
∴DM2+DN2=MN2=1， 即DM2+4DM2=1，
DN，
解得DM= ．
∴DM为 或 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似． 故选C．
2、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为 直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长 线于点N，过点B作BG⊥MN于G． （1）求证：△BGD∽△DMA； （2）求证：直线MN是⊙O的切线
证明：（1）∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于G， ∴∠BGD=∠DMA=90°． ∵以AB为直径的⊙O交BC于点D， ∴AD⊥BC，∠ADC=90°， ∴∠ADM+∠CDM=90°， ∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG， ∴∠DBG=∠ADM． 在△BGD与△DMA中，∠BGD=∠DMA=90°， ∠DBG=∠ADM． ∴△BGD∽△DMA；
最新相似三角形复习精选课件课件PPT
BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，
两三角形相似
A
a
C
解:⑴∵ ∠1＝∠D＝90°
∴当
AC BC
BC BD
时，即当
a b
△ABC∽ △CDB,∴ BD
b2 a
b BD
时，
１b B
D
⑵∵ ∠1＝∠D＝90°
∴当
AC BC
AB BD
时,即当
a b
a2 b2 BD
时，
△ABC∽ △BDC， ∴BDb
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有
AC AB CD AC
AB AC2 3 2 CD
故当AB的长为3或 3 2 B
时，这两个直角三角形相似。
∟
A
D C
如图:∠ABC=∠CDB=90°, AC=a, BC=b,
当BD=
时，
△ABC与△CDB相似.
C A
BD
如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，
点D的直线(不与AB重合),交AC于E，使所得
三角形与原三角形相似，这样的直线最多能
画出多少条? A
A
D
E
D
E
B
CB
C
在△ABC中，AB>AC，过AB上一点D作
直线DE （不与AB重合），交另一
边于E，使所得三角形与原三角形相
似，这样的直线最多能画出多少条?
画出满足条件的图形.
A
A
A
A
D
ED
B
CB
∠A= ∠B=
∠A' ∠B'
△ABC∽△A'B'C'
B
相似三角形专题复习(共66张PPT)
8
3.右图中, DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=＿＿＿＿＿
1:3
课堂训练:
E
B
D
C
4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.
A
解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ( ) ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x
相似三角形
DE∥BC
△ ADE∽ △ ABC
∠DAE= ∠CAB
△ ADE∽ △ ABC
基本图形
判定方法
∠AED= ∠B
∠DAE= ∠BAC
△ADE∽ △ ABC
对应角相等；
性质定理
对应边成比例；
周长的比 等于相似比；
面积的比等于 相似比的平方；
三边对应成比例的 两个三角形相似.
灵感 智慧
M1
A
B
C
P
Q
A
B
C
P
Q
M2
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
灵感 智慧
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8, 则EF=______
善于在复杂图形中寻找基本型
5
A
D
B
C
E
F
A
B
C
F
E
E
E
3.右图中, DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=＿＿＿＿＿
1:3
课堂训练:
E
B
D
C
4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.
A
解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ( ) ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x
相似三角形
DE∥BC
△ ADE∽ △ ABC
∠DAE= ∠CAB
△ ADE∽ △ ABC
基本图形
判定方法
∠AED= ∠B
∠DAE= ∠BAC
△ADE∽ △ ABC
对应角相等；
性质定理
对应边成比例；
周长的比 等于相似比；
面积的比等于 相似比的平方；
三边对应成比例的 两个三角形相似.
灵感 智慧
M1
A
B
C
P
Q
A
B
C
P
Q
M2
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
灵感 智慧
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8, 则EF=______
善于在复杂图形中寻找基本型
5
A
D
B
C
E
F
A
B
C
F
E
E
E
相似三角形复习公开课 ppt课件
② AM2=MD ·ME
B
C
D
B
E
A D
M
C
D
C
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，
O
DF=FB，DF交AC于E，
E
求证：ED2=EO ·EC.
ppt课件 A
F
B7
1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，
且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，
从而
AD ()
DE =BC
∵ △DEF∽△ABC
D
E ∴ DE:EF=6:3
即 10:EF=6:3
∴ EF=5cm
ppt课件
11
4. 如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。
2A D3
7
E
3
B
C
解: ∵ △ADE∽△ACB
且
AE AD 1 AB =AC =3
∴
DE BC
AE =AB
1 =3
ppt课件
12
1. D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
即 AB:AD=5:2
B
C
∴AD:AB=2:5
即△ADE与△ABC的相似比为2:5
ppt课件
10
3.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙
的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.
C
A
B
F
解: 设三角形甲为△ABC ，三角 形乙为 △DEF，且△DEF的最大 边为DE，最短边为EF
所在的三角形相似。
O E
证明：∵ AB∥CD
∴ ∠C=∠A ∵ AO=OB，DF=FB
相似三角形复习-ppt
相似三角形的性质
相似三角形对应边对应成比例，对应角相等。
相似三角形对应高线、角平分线、中线之比等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
如图，DE∥BC，CD和BE相交于点O， AD：DB=2:3，则△DOE与△BOC的周长之比为 ，面积之比为 ．
如图，在△ABC中，AD：DB=1：2，DE∥BC，若△ABC的面积为9，则四边形DBCE的面积为 ．
不能用三点定型法确定相似三角形(要用等比代换或等积代换)
变式练习2
如图，▱ABCD中，M是AB上的一点，连接CM并延长交DA的延长线于P，交对角线BD于N，求证：CN²=MN•NP．
当用三点定型法确定的三角形不想似时，要用等比代换或作辅助线构造相似。
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：
△AED∽△CBM；
AE•CM=AC•CD．
拓展Байду номын сангаас伸
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3，点E在BD上，且满足BE•BD=9．求BC的长度。
反 思
谢谢大家 再见
汇报时间
汇报人姓名
精讲点拨
小结
证明等积式时，可以先将等积式变为比例式，确定要证明的相似三角形，然后求证。
有相等的边，有时通过换边来证明相似。
求证第二个问题时，一定要考虑第一个问题的结论。
变式练习1：如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．求证：
母子型
（四）一线三等角型(K子型） 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
一线三直角型（ K子型）
相似三角形的判定复习课件ppt
A
P
B
C
A P
B
C
分析：这是一道探索性题目
(1)要使△ACP∽△ABC的条件已有了∠A＝∠A，
找∠ACP满足的条件，只能根据判断定理1，即
∠ACP＝∠B
(2)要使△ACP∽△ABC，已有∠A＝A，找出
AC∶AP满足什么条件，只能根据判定定理2即
AC/AP=AB/AP
A P
B
C
解：(1)∵∠A＝∠A ∴当∠ACP＝∠B时，
相似三角形的判定复习课件ppt
创设情景 尝试探索 智海扬帆 小结思考
我们学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？
判定定理1：对应角相等两三角形相似 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似
A A1
B
C B1
C1
对于直角三角相似的判定除了上述三种方法 外，还有什么定理？
△ACP∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似） (2)∵∠A＝∠A ∴当AC/AP=AB/AP
时，△ACP∽△ABC
例2：已知如图，AB∥A'B'，BC∥B'C' 求证：△ABC∽△A'B'C’
A A’
2O
1
4 B’
3
B
C’
c
证明：
∵AB∥A’B’ ∴∠1＝∠2， A’B’/AB＝OB’/OB
∵BC∥B’C’ ∴∠3＝∠4， B’C’/BC ＝ OB’/OB ∴∠ABC＝∠A’B’C ∴ A’B’/AB ＝B’C’/BC ∴△ABC∽△A'B'C'
B’
∴△ABC∽△A’B’C’
B
3、已知如图，∠BAC＝90°，BD＝CD，DE⊥BC交
P
B
C
A P
B
C
分析：这是一道探索性题目
(1)要使△ACP∽△ABC的条件已有了∠A＝∠A，
找∠ACP满足的条件，只能根据判断定理1，即
∠ACP＝∠B
(2)要使△ACP∽△ABC，已有∠A＝A，找出
AC∶AP满足什么条件，只能根据判定定理2即
AC/AP=AB/AP
A P
B
C
解：(1)∵∠A＝∠A ∴当∠ACP＝∠B时，
相似三角形的判定复习课件ppt
创设情景 尝试探索 智海扬帆 小结思考
我们学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？
判定定理1：对应角相等两三角形相似 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似
A A1
B
C B1
C1
对于直角三角相似的判定除了上述三种方法 外，还有什么定理？
△ACP∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似） (2)∵∠A＝∠A ∴当AC/AP=AB/AP
时，△ACP∽△ABC
例2：已知如图，AB∥A'B'，BC∥B'C' 求证：△ABC∽△A'B'C’
A A’
2O
1
4 B’
3
B
C’
c
证明：
∵AB∥A’B’ ∴∠1＝∠2， A’B’/AB＝OB’/OB
∵BC∥B’C’ ∴∠3＝∠4， B’C’/BC ＝ OB’/OB ∴∠ABC＝∠A’B’C ∴ A’B’/AB ＝B’C’/BC ∴△ABC∽△A'B'C'
B’
∴△ABC∽△A’B’C’
B
3、已知如图，∠BAC＝90°，BD＝CD，DE⊥BC交
相似三角形复习课件
使用相似三角形的比例关系计算未知边长。
2 图形分析
仔细观察图形，寻找能够构成相似三角形的线段和角。
3 问题转化
将复杂的相似三角形问题转化为简单的相似三角形问题，减少计算难度。
总结
相似三角形是具有相同形状但大小可以不同的三角形，它们有着对应角相等 和对应边成比例的性质。相似三角形的判定、性质、比例关系以及应用都是 解决实际问题和几何推理的重要工具。
影子问题
相似三角形可以用来解决阴影问题，如计算 树木的高度。
地图比例尺
地图上的比例尺是相似三角形的应用之一， 可以通过相似三角形的边比例关系计算实际 距离。
相似物体放大缩小
通过相似三角形的比例关系，可以进行物体 的放大缩小，如地图的缩放。
相似三角形的解题技巧
解决相似三角形问题的一些技巧：
1 比例关系运用
3 SSS判定法
如果两个三角形的三条 边的比值相等，那么它 们相似。
相似三角形的性质
相似三角形具有以下性质：
1 对应角度相等
相似三角形的内角相等。
2 对应边成比例
相似三角形的对应边的长度成比例。
3 比例关系
相似三角形的任意两条对应边的长度比值相等。
相似三角形的比例关系
相似三角形的对应边的长度比值是相等的。常用的相似比例关系有：
2 大小可以不同
相似三角形的边长可以不相等，但对应边的比值保持一致。
3 比例关系
相似三角形的任意两条对应边的长度比值都是相等的。
相似三角形的判定
有多种方法可以判定两个三角形是否相似：
1 AA判定法
如果两个三角形的两个 角分别相等（对应角相 等），则它们相似。
2 SAS判定法
如果两个三角形的一个 角相等，且两个角对应 的两条边的比值相等， 那么它们相似。
2 图形分析
仔细观察图形，寻找能够构成相似三角形的线段和角。
3 问题转化
将复杂的相似三角形问题转化为简单的相似三角形问题，减少计算难度。
总结
相似三角形是具有相同形状但大小可以不同的三角形，它们有着对应角相等 和对应边成比例的性质。相似三角形的判定、性质、比例关系以及应用都是 解决实际问题和几何推理的重要工具。
影子问题
相似三角形可以用来解决阴影问题，如计算 树木的高度。
地图比例尺
地图上的比例尺是相似三角形的应用之一， 可以通过相似三角形的边比例关系计算实际 距离。
相似物体放大缩小
通过相似三角形的比例关系，可以进行物体 的放大缩小，如地图的缩放。
相似三角形的解题技巧
解决相似三角形问题的一些技巧：
1 比例关系运用
3 SSS判定法
如果两个三角形的三条 边的比值相等，那么它 们相似。
相似三角形的性质
相似三角形具有以下性质：
1 对应角度相等
相似三角形的内角相等。
2 对应边成比例
相似三角形的对应边的长度成比例。
3 比例关系
相似三角形的任意两条对应边的长度比值相等。
相似三角形的比例关系
相似三角形的对应边的长度比值是相等的。常用的相似比例关系有：
2 大小可以不同
相似三角形的边长可以不相等，但对应边的比值保持一致。
3 比例关系
相似三角形的任意两条对应边的长度比值都是相等的。
相似三角形的判定
有多种方法可以判定两个三角形是否相似：
1 AA判定法
如果两个三角形的两个 角分别相等（对应角相 等），则它们相似。
2 SAS判定法
如果两个三角形的一个 角相等，且两个角对应 的两条边的比值相等， 那么它们相似。
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A．60 m
B
典例精析
例1.（2011•平遥）如图，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C， 点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E， 连接BD．（1）求证：∠ADB=∠E； （2）求证：AD2=AC•AE．
证明（1）∵∠ABC=∠C， ∴AB=AC， ∵DE∥BC， ∴∠ABC=∠E， ∴∠E=∠C， 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠E； （2）由（1）得∠ADB=∠E， 隐含条件 又∵∠BAD=∠DAE “A型”相似！ ∴△ABD∽△ADE， ∴AB：AD=AD：AE， ∴AD2 = AB • AE 又∵AB=AC， 即AD2=AC•AE．
D A
D
A
B
C
1．(2014· 天津 )如图，在▱ ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点， EC 交对角线 BD 于点 F，则 EF∶ FC 等于 ( D )
A． 3∶ 2
B． 3∶1
C． 1∶ 1
D ． 1 ∶2
2.(2013·合肥)在平行四边形ABCD D 中,AE:BE=1:2.
F
A E B
考点三 相似．
相似三角形的判定
1 ．两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形 2．两角对应相等的两个三角形相似． 3．三边对应成比例的两个三角形相似． 4．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两 边(或其他两边的延长线)相交， 所构成的三角形与原三 角形相似． （由平行得相似） 5.相似的传递性 . 所有对应角都相等.
..
2.如图：若DE∥BC，∆ADE∽ ∆ABC . AE:AC=AD: AB .
B
E
A
D C
3.若 D C , 则∆ADE∽ ∆ACB . 则 AE AD
AC AB AD AB . AE AC 即：
E
A
D
B
C
A
相似三角形基本图形的回顾：
4.如图：若 AED B, 则∆AED∽ ∆ABC . AE AD 即： AE AC AD AB .
初三第一轮复习
相似三角形 ——复习课
复习
知识点梳理：
考点一 相似三角形的定义 如 果 两 个 三 角 形 的 各 角 对 应 相等 ， 各 边 对
应成比例，那么这两个三角形相似．
考点二
相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、 对应中线的比都等于相似比． 3．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比 等于相似比的平方．
注意：相似多边形的判定：所有对应边都成比例，
两个极具代表性的“基本图形模型”： “A”型和“X” 型相 似三角形. A
D E C A D B A E C E A
E
A
D
B
B
D
C
D B B C
C
相似三角形基本图形的回顾：
D
A E C
1.如图：若DE∥BC，则∆ADE∽ ∆ABC . B AD:AB=AE: AC .
（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C “A型”相似！ ∴△ADC∽△DBC， ∴
AC CD ，即 CD BC
3
CD2=CA•CB；
(2)证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠3=90°．∵OA=OD，∴∠2=∠3， ∴∠1+∠2=90°． 又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，∴∠4+∠2=90°， 即∠CDO=90°， ∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切 线；
本节课你有什么收获？
1.数学方法：分析法 2.数学思想：转化思想 3.抓住基本图形：A型、X型 4.发现隐含条件：公共角等
已知，如图，AB∥CD，AO=OB， DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED 2 =EO ·EC.
D O E A B C
F
无悔！我们的初三
方法提升
巧记口诀：遇等积，化等比， 横找竖找定相似. 不相似，没关系， 等线等比来代替.
1.（2008•泸州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O 的直径，D是劣弧AC的中点，BD交AC于点E．
2 AD DE DB （1）求证：
（2）若
BC
(1)证明：由D是劣弧的中点，得： ∵ ∴ ∠ABD=∠EAD， 又∵∠ADB=∠EDA， ∴△ABD∽△EAD， ∴ AD DB DE AD ； 即 AD2 DE DB
C
若S△AEF=6cm2,则(1)AE:DC= 1:3 (2)S△CDF = 54 cm2
.
3. (2014· 云南)如图，为估算某河的宽度，在河对岸 选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得 AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D 在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m， CD＝20 m，则河的宽度AB等于( B )
5 5 CD ， ，求DE的长． 2 2
隐含条件
“A型”相似！
（2）解：由D是劣弧 的中点得AD=DC， 则DC2=DE•DB ∵CB是直径，∴ △BCD 是直角三角形． ∵CB是直径，∴△ BCD 是直角三角形． 2 2 BD BC CD 5 ∴ 2 2 5 由DC =DE•DB得， 5DE
AB
AC
B 点 移 到 与 点 E
D E C
重 合
5.如图：若 ACD B, 则∆ADC∽ ∆ACB . 即： AC 2 AD AB . AC AD
AB
A
C
AC
D B
6.如图：若在RtABC中，ACD B,
三个Rt都相似
C
∠ACB=90°
翻转 B
5 解得DE= 4
2
．
2.（2013•泸州)（10分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线 上，且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD2=CA•CB；（2）求证：CD是⊙O的切线； （3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12， 2 隐含条件 tan∠CDA= ，求BE的长.