小学奥数立体图形电子教案

小学奥数立体图形

第11讲立体图形

各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.

第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动）

1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?

【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3×3=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米．

2．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?

【分析与解】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150．

现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．

即表面积减少了百分之八．

3．如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

【分析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．

现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．

4．图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?

【分析与解】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．

从而，它的表面积是96+4×6=120平方厘米．

5．图11-5是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为挖一个边长为1

2

1

厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?

4

【分析与解】因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面．

所以，最后得到的立体图形的表面积是：

2×2×6+1×l×4+×1

2×1

2

×4+1

4

×1

4

×4=29.25(平方厘米)．

6．有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米·

【分析与解】放在中水池里的碎石的体积为3×3×0.06：0.54立方米；

放在小水池里的碎石的体积为2×2×0.04=0.16立方米；

则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为6×6=36平方米的大水池中，则使大水池的水面升高0.7÷36=7

360

米

=700 360厘米=17

1

18

厘米

7．如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?

【分析与解】容器的底面积是(13-4)×(9-4)=45(平方厘米)，高为2 厘米，所以容器得体积为：

45×2=90(立方厘米)．

8．今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．问剩下的体积是多少立方厘米?

【分析与解】本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21：15：12=7：5：4，为了叙述方便，我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.

易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求．

于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体的棱长为12厘米、9厘米、6厘米．所以剩下的体积应为：

21×15×12-(333

++)=1107(立方厘米)．

1296

9．如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?

【分析与解】 圆锥的体积是

2116

24,33

ππ⨯⨯⨯=，圆柱的体积是248128ππ⨯⨯=．

所以，圆锥体积与圆柱体积的比是

16

:1281:243

ππ=.

10．张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍? 【分析与解】底面周长是

3，半径是

3

2π

，2

233()24πππ

⨯=

所以今年粮囤底

面积是

2

34π

，高是2．

同理，去年粮囤底面积是

2

24π

，高是1．

22

32(2)(1) 4.5.44ππ

⨯÷⨯= 因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍．