八年级上三角形的有关线段提高讲义
与三角形有关的线段【精品】讲义
一、学习与应用“凡事预则立，不预则废”．科学地学习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．知识回顾---复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）如图,点A，B，C,D，E在同一条直线上，则图中有条线段。
（二）如图，已知线段AB=8cm,点C为AB的中点，则AC= =（三）一个三角形底是5cm，高是7cm，面积是．（四)一个三角形的面积是4.8m2,与它等底等高的平行四边形的面积是．（五)直角三角形底3，高4，斜边5，求面积,斜边上的高（六）有长度分别为3cm，4cm,5cm和6cm的四根木棒，从中任取三根，可以组成个不同的三角形。
知识要点——复习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己学习过程中的疑惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记或者其它补充填在右栏．知识点一：三角形（一）三角形有关概念(1）三角形的定义：由不在同一条上的三条线段顺次相接组成的图形叫做三角形．（2）三角形的基本元素：①三角形的三条边：即组成三角形的；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的．③三角形的顶点:即相邻两边的公共．（3）三角形的特征：①有线段；②三个顶点同一直线上；③三角形是一个的图形,顺次相接．(4）三角形的符号:①三角形用符号“”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC"；注意：△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。
②三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示,BC 可用a 表示．例1：如图,以下图形中三角形的个数是（ )【变式】如图,以下图形中三角形的个数是（ ）（二)三角形的分类(1）按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形__________ ______________ 要点诠释:①不等边三角形：三边都不__________的三角形②等腰三角形：有两条边 的三角形叫做等腰三角形,相等的两边都叫做 ，另外一边叫做 ,两腰的夹角叫 ，腰与底边夹角叫做 ．③等边三角形：三边都__________的三角形 （2）按角分类:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 _______三角形_________ 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形:三个内角都是 的三角形 ②钝角三角形：有一个内角为 的三角形例2：已知△ABC 的三边长为a,b,c 满足)(2=-+-c a c b ，则△ABC 是（ ）A.直角三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.无法确定 【变式】下列说法正确的是（ ）A.三角形可分为等边三角形和不等边三角形B.三角形可分为等腰直角三角形、锐角三角形和钝角三角形C.三角形可分为等边三角形、不等边三角形以及腰与底不相等的等腰三角形D.有一个角为75°的三角形是锐角三角形知识点二:三角形三边间的关系定理：三角形任意两边之和第三边．推论：三角形任意两边之差第三边．定理的数学语言：如图1，| b－c |〈a<b+ca b cb c aa c b⎧⎪⇔⎨⎪⎩＋＞＋＞＋＞要点诠释：(1）理论依据:两点之间最短．（2)给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形．判断方法常用的有两种（设a、b、c为三边的长）：①a+b〉c，，c+a>b都能成立,则以a、b、c为三边的长可以构成一个三角形（此法一般不用）；②|b－c｜〈a< ⇔长为a，b，c的三条线段可组成三角形；或若c是最长的线段,且，则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形．（3)已知三角形两边的长,可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a、b，则第三边的长c的取值范围是．（4）证明线段之间的不等关系．例3：有一个三角形的两边长分别为2和11，第三边为整数，则符合条件的三角形有( ) A。
人教版数学八年级上册第十一章三角形第一课《与三角形有关的线段》
由以上讨论可知，其他两边的长分别为7 厘米，7 厘米或6 厘米，8 厘米.
课堂小结
边、顶点、内角
A
概念
(直角、 锐角、钝
c
b
三
按角分 角)三角
角
分类 形B
a
C
形 按边分
性质
三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边．
等腰三角形的周长为20厘米. (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.
解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x 厘米. x + 2x + 2x = 20， 解得 x = 4.
所以三边长分别为4cm，8cm，8cm.
(2)如果6 厘米长的边为底边，设腰长为x 厘米，则6 + 2x = 20，解得x = 7；
所以，三角形的特征有： (1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接.
探究新知
①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边.
②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.
③内角：相邻两边组成的角.
顶点A
角
边c
边b
顶点B
角 边a
角 顶点C
探究新知
三角形的表示： 三角形用符号“△”表示.
记作“△ ABC”读作“三角形ABC”.
课堂检测
基础巩固题
1. 如图，图中直角三角形共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是
( C)
A．1，1，2
B．1，2，4
人教版八年级上册11.1《与三角形有关的线段》说课稿
3.技术工具：网络资源、在线学习平台等，提供丰富的学习资料，拓展学生的学习视野。
它们在教学中的作用主要有：
1.直观展示几何图形和性质，降低学生的理解难度。
2.提供丰富的学习资源，满足学生的个性化学习需求。
3.创设生动、有趣的学习情境，激发学生的学习兴趣。
人教版八年级上册11.1《与三角形有关的线段》说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自人教版八年级上册11.1《与三角形有关的线段》，它是整个课程体系中几何部分的重要内容，主要介绍了三角形的中线、高线、角平分线等基本概念及其性质。这部分内容是对三角形知识的深入探究，旨在帮助学生巩固对三角形基本概念的理解，并为后续学习相似三角形、解直角三角形等知识打下基础。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采用以下步骤逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.通过动态PPT或几何画板展示三角形的中线、高线、角平分线的定义和性质，让学生直观地理解这些概念。
2.结合实际例题，讲解中线、高线、角平分线的判定方法和应用，让学生在具体情境中掌握知识。
3.分步骤演示如何准确地画出三角形的中线、高线、角平分线，并指导学生进行动手操作，加深对知识点的理解。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.基础练习：布置一些基本的画图题目，如画出给定三角形的中线、高线、角平分线，让学生独立完成。
2.提高练习：设计一些综合性的题目，让学生运用所学知识解决实际问题，如求三角形的面积、判断三角形的类型等。
3.小组合作活动：组织小组讨论，让学生共同探究与三角形有关的线段在生活中的应用，培养学生的团队合作能力和创新思维。
第+1+讲+与三角形有关的线段+讲义2024-2025学年人教版数学八年级上册
第十一章三角形第 1 讲与三角形有关的线段板块一三角形的三边关系典例精讲题型一利用三边关系判断能否组成三角形【例1】用4根长度分别为5cm,7 cm,9 cm,13cm的木棒,可以摆出多少种不同的三角形?题型二利用三边关系求参数范围【例2】已知三角形的三边长分别为2，a--1，5，求a的取值范围.【例3】已知等腰三角形的周长为12.(1)若腰长为x，求x 的取值范围；(2)若底边长为y，求 y 的取值范围.题型三利用三边关系取舍值【例4】用一条长为41的细绳围成一个三角形，已知该三角形的第一条边的长为x，第二条边长比第一条边长的3 倍少4，若该三角形恰好是一个等腰三角形，求这个三角形的三边长.题型四利用三边关系求最值【例5】如图,在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,D 为BC 边上一动点，将△ABD沿 AD 翻折,得到△APD,,点 B 的对应点为点 P,连接CP,则CP 的最小值为 .实战演练1.已知三角形的三边长分别为2,a-1,4,化简|a-3|+|a-7|的结果为 .2.若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长a的取值范围是；若等腰三角形的底边长为4，则它的腰长b的取值范围是 .3.若三条线段中a=3，b=5，c为奇数，那么由a，b，c 为边组成的三角形共有( )A.1个B.3个C.4个D.5个4.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长为4，但不是最短边，这样的三角形共有个.5.一个等腰三角形的一边长为4cm，周长为20cm，求这个三角形的腰长.6.一个等腰三角形的三边分别为4，3a-2，6a-6，求这个三角形的周长.7.已知a，b，c 为三角形三边的长，化简：||a−b−c|+|b−c−a|+|c−a−b|.8.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D 为AB 边上一点(不与 A,B 两点重合),将△ACD沿CD 折叠，点 A 的对应点E 落在BC 的下方，求 BE 的取值范围.直角三角形锐角三角形钝角三角形图形结论AB·CF=AC·BC=2S△ABC AB·CF=AC·BE=BC·AD=2S△ABC三条高所在的直线交于一点,这个点称为垂心.典例精讲题型一依据三角形的形状确定高的位置【例1】如图,已知△ABC,画出△ABC 的高AM,CN.题型二面积法，知高求底【例2】在例1的条件下,若CN=3,AM=6,AB=10,求 BC 的长.题型三依据高的位置，分类讨论求角度【例3】已知 AD 是△ABC 的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC 的度数.题型四面积法，整体求值【例4】如图,在△ABC 中,AB=AC,CH 是.△ABC的高，且CH=8,,D 为BC 上一点,DE ⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点 F,求.DE+DF的值.实战演练1.如图,AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,垂足分别为C,D,E,则下列说法不正确的是()A. AC 是△ABC 的高B. DE 是△BCD 的高C. DE 是△ABE 的高D. AD 是△ACD 的高2.如图，AD⊥BC 于点D，那么图中以AD 为高的三角形有个.3.如图,在△ABC中,D 为BC边上一点,BC=6,AD=4,则△ABC 的面积的最大值为 .4.如图,在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AB=6,AD=5,BC=4.求 CE的长.5.如图,在△ABC 中,AB=2,BC=4,CH⊥AB 于点H.(1)如图1,AG⊥BC 于点G.求证:CH=2AG;(2)如图2,D 为AC 上一点(不与A,C 两点重合),DE⊥AB 于点E,DF⊥BC 于点 F.若DE=DF,的值.求(DFCH中线重心图形AD 为中线O为重心结论①BD=CD;②C△ACD-C△ABD=AC-AB(C 表示周长);③S△AMD=S△ACD=1/2S△ABC;④S△BPD=S△CPD,S△APB=S△APC,①S△AOB=S△AOC=S△BOC;②S△AOF =S△BOF = S△BOD = S△COD = S△COE = S△AOE =1/6S△ABC;③OA=2OD,OB=2OE,OC=2OF.典例精讲题型一中线的性质与应用【例1】如图,BD 是△ABC 的中线,AB=7,BC=3,且△ABD 的周长为15,求△BCD 的△BCD周长.C 【例2】如图,在△ABC中,D,E,F 分别为BC,AD,CE 的中点,.S ABC=4,求S BEF.题型二重心的性质与应用【例3】如图,O为△ABC的重心,AO,BO,CO 的延长线分别与 BC,AC,AB 交于点 E,F,D.(1)图中与△AOD面积相等的三角形共有个(△AOD除外);(2)试说明:AO=2OE.实战演练1.如图,在△ABC 中,D,E 分别是BC,AC 的中点,则S BDES ABC =¯.2.如图,O 是△ABC 的重心,AN,CM 相交于点O,△MON 的面积是1,则△ABC 的面积为.3.已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm的两个部分，求这个三角形的底边的长.4.如图,在4×3的正方形网中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点 B,C 为格点,C D为△ABC的中线.请用无刻度的直尺在图中画出.△ABC的重心G，并画出△ABC的中线B F.C 5.如图,在△ABC中,AB=10cm,AC=6cm,,D 是 BC 的中点,点E 在边 AB 上,△BDE与四边形ACDE 的周长相等.(1)求线段 AE 的长;(2)若图中所有线段长度的和是53cm，直接写出BC+12DE的值.板块四面积转化与面积法图形D 为BC 上一点AD∥BC结论S△ABD=BD ①S△ABC=S△DBC,S△ABD=S△ACD;②S△ABO=S△DCO;③S△ND=△D₁,③△C=S△NO=S△NO=DD.典例精讲题型一面积法求值【例1】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC,BD 交于点O,S△BOC=2S△AOB,BD=12,则OD 的长为 .题型二转化思想求面积【例2】如图,在△ABC 中,D 是 BC 上一点,CD=2BD,E 是AC 的中点,AD,BE 交于点F.若S△ABC=18.求S四边形CDFE—S△ABF的值.实战演练如图,∠ABC=∠BCD=90°,AB=6,BC=5,AD 与BC 交于点E,S△BDE=6.(1)求CE 的长;(2)求△CDE 的面积.。
人教版初二数学上册：与三角形有关的线段(提高)知识讲解
与三角形有关的线段（提高）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】 2．三角形的分类 (1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的的差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线 1．三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝90°.注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2．三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔA BC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3．三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠B AC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC 为公共边的“共边三角形”有（ ）.A ．2对；B ．3对；C ．4对；D ．6对；EDC BA【答案】B.【解析】以BC 为公共边的“共边三角形”有：△BDC 与△BEC 、△BDC 与△BAC 、△BEC 与 △BAC 三对．【总结升华】根据新定义和已学过的知识，全面准确的识图．举一反三：【变式】根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中的三角形的个数是( ).(1) (2)(3)A ．6(n-1)B ．6nC ．6(n+1)D ．12n 【答案】C.类型二、三角形的三边关系2.（2016春•丹阳市期末）若三角形的三边长分别为a 、b 、5，其中a 、b 为正整数，且a ≤b ≤5，则所有满足条件的三角形共有 个．【思路点拨】根据已知条件，得a 的可能值是1，2，3，4，5，再结合三角形的三边关系，对应求得b 的值即可．【答案与解析】解：∵三角形的三边a 、b 、5的长都是整数，且a ≤b ≤5，c 最大为5， ∴a=1，b=5，c=5； a=2，b=4，或5，c=5；a=3，b=3，或4，或5，c=5； a=4，b=4，或5，c=5； a=5，b=5，c=5．故存在以a 、b 、5为三边长的三角形的个数为9个．【总结升华】考查了三角形三边关系，此题要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析计算．举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当x 为 时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】三角形边的关系经常用来证明线段之间的不等关系．举一反三：【变式】（2015春•邗江区校级月考）已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b ﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|=．【答案】0.解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，=（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c），=a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，=0.类型三、三角形中的重要线段4.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【高清课堂：与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、AF．方案2：如答图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图(3)，取BC中点D、再取AD的中点E，连接AD、DE、BE、CE．方案2：如答图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离.它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了.【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.举一反三：【变式】（2014秋•仙桃校级月考）（1）下列图中具有稳定性是（填序号）（2）对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．（2）如图所示：附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°，（1）求∠BAE 的度数；（2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°．∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°．（2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°．∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
与三角形有关的线段(课件)八年级数学上册(人教版)
1
AD×BC＝ BP×AC.
2
2
24
代入数值，可解得BP＝ .
5
【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出
面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
（11.1.1-11.1.3）
情景引入
在我们日常生活中经常能看到三角形的影子.
减速慢行
注意儿童
前方村庄
11.1.1 三角形的边
三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三
角形?
A
定义：由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的图形叫
解：
1
2
1
2
（1）由题意得：△ = AB×CE= ×6×9=27cm2 ．
1
2
（2）∵△ = BC×AD，
∴
1
27=
2
×12×AD
解得AD=4.5cm．
思考 已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何
关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的
中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角
的平分线.
思考 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
A
B
思考 如何求△ABC的面积？
D
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所
八年级(上)培优讲义：第1讲-三角形的初步知识(1)
第1讲三角形的初步知识1（认识三角形、定义与命题、证明）一、知识建构1. 三角形按角分类：（1）锐角三角形：三角形的，这样的三角形称之为锐角三角形（2）直角三角形：三角形有，这样的三角形称之为直角三角形（3）钝角三角形：三角形有，这样的三角形称之为钝角三角形2. 三角形的角平分线：在三角形中，，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
3.三角形的中线：在三角形中，，叫做这个三角形的中线。
（1）三角形的中线的形状也是一条；（2）三角形的三条角中线.4.三角形高的定义：从三角形的一个顶点线，的线段叫做三角形的高。
5.三角形三边之间的关系为：6.能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的______．7．对某一件事情作出_______判断的句子叫做命题．•每个命题都是由______•和______两部分组成的．8.思考下列命题的条件和结论分别是什么？并判断那些命题正确? 那些命题不正确?(1)相等的角是对顶角。
(2)直角三角形两锐角互余。
(3)同位角相等。
(4)一个角的补角一定大于这个角的余角。
9. 阅读教材内容后请回答：(1)怎样判断一个命题是真命题还是假命题？(1)真命题、公理、定理三者的区别与联系各是什么？10.判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请说明理由；如果是真命题，请用推理的方法来说明.（1）如果ab=0，那么a=b=0；（2）如图，若AC∥DE，∠1=∠2，则AB∥CD.二、经典例题例1．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个判断：①a∥b②b∥c；•③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．例2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°例3. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则（1）θ1= , （2）θn= .例4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．图1图2DC EA B例5. 一个三角形的三条边长分别为1、2、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1≤x ≤3B ．1＜x ≤3C ．1≤x ＜3D ．1＜x ＜3例6. 已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．例7. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．例8.如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别截AB 、CD 于 点M 、N ，MG 、NH 分别是∠EMB 与∠END 的平分线.求证：MG ∥NH . 请根据分析思路，写出证明过程.三、基础演练1.在△ABC 中，若∠A +∠B =88°，则∠C =_______，这个三角形是______ 三角形.∠EMG=12∠∠ENH=12∠END可证∠EMG=∠MNH要证MG ∥NH 只需证：∠EMB=∠END已知AB ∥CDABCDE FHMN2.直角三角形的一个锐角为42°，则另一个锐角为_________.3.在△ABC 中，若∠A =35°，∠B =68°，则与∠C 相邻的外角等于_______ °.4．若5条线段长分别为1cm ，2cm ，3cm , 4cm ，5cm ，则以其中3条线段为边长可以构成三角形的个数是___________ .5．一木工师傅有两根70，100长的木条，他要选择第三根木条，将它们钉成三角形木架，则第三根木条取值范围_____________ ，木架周长的取值范围_____________ . 6. 如图所示，下面的推理中正确的是 ( ) A ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥CDB ．∵∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AD ∥BC C ．∵AD ∥BC ，∴∠3＝∠4D ．∵∠ABC ＋∠DAB ＝180°，∴AD ∥BC 7.命题“若a b >，则1ab>”是真命题还是假命题？请说明理由.8．若等腰三角形腰长为6,则底边x 的取值范围是 （ ） A . 6<x <12 B . 0<x <6 C . 0<x <12 D . 无法确定9. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形 10.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE ∥BC •交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F .求证：BC ＝DE ＋EF .四、直击中考1. （2013广西）一个三角形的周长是36cm ，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ）A ．6cmB ．12cmC ．18cmD ．36cm2．（2013衡阳）如图，∠1=100°，∠C =70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°3241D CBA B CE DF A3．（2013鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°4.（2013黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足∠B ﹣∠A =∠C ﹣∠B ，则∠B = 度．5.（2013温州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= 度．6.（2013雅安）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．7．（2013东城）.如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=,则1A ∠＝ ；n A ∠＝ 8.(2014杭州)下列命题中，正确的是（ ）A .梯形的对角线相等B . 菱形的对角线不相等C . 矩形的对角线不能互相垂直D . 平行四边想的对角线可以互相垂直五、能力拓展1.如图，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠DOC ，若∠MON =α，∠BOC =β，则∠AOD 可表示为（ ）A . 2α－βB . α－βC . α+βD . 2α2.如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．1003.已知等腰三角形的周长为14cm，底边与腰的比为3：2，求各边长.4. 已知a,b,c是一个三角形的三条边长,则化简|a+b－c|－|b－a－c|的结果是多少?5.如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线L经过点C，•AD•⊥L，BE⊥L，垂足分别为D，E．（1）证明：△ACD≌△CBE；（2）求证：DE=AD+BE；（3）当直线L经过△ABC内部时，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，猜想这时DE，AD，BE有什么关系？证明你的猜想．六、挑战竞赛1. 在△ABC中,∠A= 50°, 高BE，CF所在的直线相交于点Ｏ，求∠BOC.FEC AB2.△ABC 中,已知∠ABC = 74°, ∠A = 56°, BE 是AC 边上的高,CF 是△ ABC 的角平分线,求∠ACF 和∠BFC .4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ．5．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．6.在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.OA BCDEA EBCD图1 图2。
人教版八年级上册数学课件：与三角形有关线段综合复习优秀课件
则它的最短边长为( B )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
2.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，
能组成三角形的是（ C ）
A.1，2，3
B.2，5，8
C.3，4，5
D.4，5，10
3.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能
是（D）
A．3
B．5
C．7
D．9
人教版八年年级级上上册册数数学学课课件件：：1与1.三1与角三形角有形关有线关段线综段合综复合习复优习秀(共 ppt18课张件PP T)
8.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（ D）
A.3，4，5
B.3a，4a，5a
C.3+a，4+a，5+a D.三条线段之比为3∶5∶8
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9.. 三 角 形 三 边 的 比 是 3 ∶ 4 ∶ 5 ， 周 长 是 96cm ， 那 么 三 边 分 人教版八年年级级上上册册数数学学课课件件：：1与1.三1与角三形角有形关有线关段线综段合综复合习复优习秀(共 ppt18课张件PPT)
别是 24,32,40 cm.
10.已知等腰三角形的周长是25cm，其中一边长为10cm，
求另两边长 10,5或7.5,7.5cm .
11.已知三角形的三边长分别为3,8,x; 若x的值为奇数,则x的
值有__2_个;
12.已知等腰三角形的周长为21cm，若腰长为底边长的3倍，
则其三边长分别为 3,9,9cm ;
图11.1-2
人教版八年级上册数学课件：11.1与 三角形 有关线 段综合 复习(共 18张PP T)
与三角形有关的线段说课稿
与三角形有关的线段各位评委老师：大家好！我是××号考生，今天我抽到的题目是初中数学人教版八年级上册第十一章第11.1节《与三角形有关的线段》。
下面我将从说教材、说教法、说学法、说教学过程、板书设计、教学反思六个方面来进行我的说课展示。
一、说教材1、本节教材的地位和作用与三角形有关的线段是初中数学图形与几何的内容，在此之前，学生已经学习了角、线段、相交线、平行线等知识，为本节课的学习做了良好的铺垫；另一方面，本节课的学习可以加深学生对三角形的认识，对后续学习其他几何图形奠定了基础。
因此，本节课起着承上启下的作用。
2、学情分析从学生的认知基础看，学生在此之前已经对三角形有了初步认识。
希望通过本节课对三角形的进一步学习，引导学生通过观察和比较的方法来思考和解决问题，培养学生的归纳概括能力。
3、教学目标基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计如下教学目标：①知识与技能目标：认识三角形，能用符号语言表示三角形，理解三角形的概念及三角形的分类。
②过程与方法目标：通过经历三角形三边不等关系的探究过程，理解三角形的三边不等关系，培养学生的归纳概括能力。
③情感态度价值观目标：通过自主探究、合作交流等方式培养学生的探究精神和团队意识。
4、教学重点和难点通过以上综合分析，我确定本节课的——教学重点：理解三角形的概念，能用符号语言表示三角形，理解三角形的三边不等关系。
教学难点：对三角形三边不等关系的应用。
二、说教法基于我对研究性学习，“启发式”教学模式和新课程改革理论的认识，本节课我主要采用小组合作、诱思探究、生成体验的教学方法来完成本节课教学。
为了实现教学目标，在教学过程中，注重多媒体课件的直观展示，通过观察比较等方法，加深学生对新知识的感知和理解。
三、说学法学生是学习的主体，教师的教要紧紧围绕学生的学。
因此，在课堂教学中，我注重师生互动、学生相互交流等方式，并综合运用多媒体技术服务教学；在学生合作探究过程中，注重学生的主动评价，通过小组展示，培养学生的归纳总结能力。
人教版初中数学八年级上册11.1与三角形有关的线段(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形相关的实际问题，如三角形稳定性在实际生活中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用牙签和糖果搭建三角形，观察三角形的稳定性。
人教版初中数学八年级上册11.1与三角形有关的线段（教案）
一、教学内容
人教版初中数学八年级上册第11章第1节“与三角形有关的线段”，本节课主要内容包括：
1.三角形的定义及分类；
2.三角形的ห้องสมุดไป่ตู้角和定理；
3.三角形的高、中线、角平分线及其性质；
4.三角形内角和与外角的关系；
5.三角形内角和与周长的关系。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形的基本概念。三角形是由三条线段首尾相连围成的图形。它是研究几何图形的基础，具有很多独特的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析三角形在桥梁建筑中的应用，了解三角形的高、中线、角平分线如何帮助我们解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，通过探究三角形的性质，使学生能够理解和运用几何图形及其特征，形成对几何图形的直观感知；
2.提升学生逻辑推理和问题解决能力，通过分析三角形内角和、高、中线、角平分线的性质，使学生掌握逻辑推理方法，解决实际问题；
3.培养学生的数据分析和数学抽象能力，让学生在研究三角形内角和与周长关系中，学会从数据中提炼规律，形成数学模型；
-针对内角和与外角的关系，设计相关练习题，让学生通过解题过程逐步突破难点。
人教版八年级数学上册第11章《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)含习题答案
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于 360°.
举一反三：
【变式】已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c =2b． 2.如图，O 是△ABC 内一点，连接 OB 和 OC．
类型三、与三角形有关的角
4.已知△ABC 中，AE 平分∠BAC （1）如图 1，若 AD⊥BC 于点 D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE 的度数； （2）如图 2，P 为 AE 上一个动点（P 不与 A、E 重合，PF⊥BC 于点 F，若∠B＞∠C，则
∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【思路点拨】 （1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可； （2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3 计 算即可． 【答案与解析】 证明：（1）如图 1，∵∠B=72°，∠C=36°，
解：如图(1)，设 AB＝x，AD＝CD＝ 1 x ． 2
八年级数学上册同步精品讲义(人教版)：与三角形有关的线段(教师版)
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边． 【微点拨】 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段 长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．在涉及三角形的边长或周长的计 算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【知识拓展 1】已知两边求第三边的范围 例 1．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）已知三角形的两边 a 和 b 的长分别为 3 和 8， 则第三边 c 的范围为_________． 【答案】 5 c 11 【分析】根据三角形的三边关系即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 8 3 c 8 3 ∴ 5 c 11 故答案为： 5 c 11． 【点睛】此题考查根据三角形的两边长，求第三边的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键． 【即学即练 1】
;在
△AEC 中,边 AE 所对的角是
，∠A 为内角的三角形是
。
【答案】∠BCE,CE,∠ACE,△ABD,△ABC,△ACE 【解析】在△BCE 中,边 BE 所对的角是∠BCE,∠CBE 所对的边是 CE;在△AEC 中,边 AE 所对的角是∠ACE, ∠AEC 所对的边是 AC,∠A 为内角的三角形是△ABD,△ABC,△ACE.
C．11
D．14
【答案】B
【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三
角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】已知 4 条木棍的四边长为 3、4、6、8；
选 3+4、6、8 作为三角形，则三边长为 7、6、8； 7 6 8 7 6 ，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长
八年级上册数学 三角形有关的边 基础 讲义
学生/课程年级八年级学科数学授课教师日期9-12 时段13:00-15:00 核心内容三角形有关边本次的教学目标是：1．掌握三角形的主要线段（中线、高、角平分线）等概念。
2．会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。
3.掌握三角形三边之间关系。
4．了解三角形的稳定性。
一知识点归纳知识点一三角形的相关概念:同一平面内不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
1. 三角形：①三条线段②不在同一直线上③首尾顺次相接2. 三角形有三条边，三个顶点，三个角。
★在同一个三角形内，每一条边都有一个对角；每一个角都有一条对边知识点二三角形的分类1. 三角形按边分类可分成不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是一种特殊的等腰三角形）2. 三角形按角分类可分成锐角三角形钝角三角形和直角三角形知识点三三角形的三边关系三角形任意两边之和第三边，任意两边之差第三边例1 （1）三角形的两条边长分别是2cm、6cm，第三边整数，则其可能的值有个。
（2）已知三角形两边的长分别为3和7，则此三角形第三边的长可能为（）A. 1B. 2C. 8D. 11(3)在△ABC中，AB=9,BC=2,AC=x①求x的取值范围；②若△ABC的周长为偶数，求△ABC的周长巩固练习：1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.2，2，4B.5，6，12C. 5，7，2D. 6，8，102下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）．A.3cm，5cm ，8cmB.8cm，8cm，18cmC.0．1cm，0．1cm，0．1cmD.3cm，40cm，8cm3.有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3㎝，4㎝，8㎝（2）5㎝，6㎝，11㎝（3）5㎝，6㎝，10㎝4.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为___________5.一个三角形的两边长为2cm和9cm，第三边长是一个奇数，则第三边的长为_______6(拓展).已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|-c b a+-.例2.已知等腰三角形一边长为12cm，腰长是底边长的34，求这个三角形的周长。
八年级数学上册 暑期同步提高课程 第二讲 与三角形有关的线段和角讲义 新人教版
⎨等腰三角形⎨ ⎨斜三角形⎨ ⎩ ⎩ 第二讲与三角形有关的线段和角1. 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边或角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；2. 会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心3. 掌握三角形内角和定理及推论；4. 按要求解决三角形的边、角的计算问题1. 三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；2. 通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和1. 三角形的分类：不等边三角形①按边分类：三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 直角三角形②按角分类：三角形钝角三角形锐角三角形 2. 三角形的高、中线、角平分线（1） 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角 形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.（2） 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.（3） 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫 做三角形的角平分线。
3. 三角形的内角与外角（1） 三角形的内角：✓ 定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角. ✓ 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°.✓三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系。
（2）三角形的外角✓定义：三角形一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形外角和为360°。
✓性质：①三角形一个外角等于与它不相邻两内角和。
②三角形一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.4.三角形的三边关系（1）三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围。
八年级数学直角三角形教师讲义带答案
直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理与其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：〔1〕在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;〔2〕在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理与其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的推断重点：驾驭直角三角形全等的断定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔HL〕难点：创立全等条件与三角形中各定理联络解综合问题。
三、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的间隔相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：〔1〕关于三角形三条角平分线交点的定理：图4三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的间隔 相等.定理的数学表示：如图6，假如AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 假设ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，那么DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. 〔2〕三角形三条角平分线的交点位置与三角形形态的关系：三角形三个内角角平分线的交点肯定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心〔即内切圆的圆心〕.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：〔1〕会作线段的垂直平分线； 〔2〕会作角的角平分线； 〔3〕会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简洁综合问题的图形. 四、勾股定理的证明与应用 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发觉并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更 ②依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理cba HG FEDCBA常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理提示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因此在应用勾股定理时，必需明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①直角三角形的随意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么c，b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题假如三角形三边长a ，b ，c 满意222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是断定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形态，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 与222a b c +=只是一种表现形式，不行认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满意222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描绘时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，bacbac cabcaba bcc baE D CBA这个三角形是直角三角形①可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以进步解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕；2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕７．勾股定理的应用勾股定理可以扶植我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在运用勾股定理时，必需把握直角三角形的前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进展计算，应设法添加协助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确运用勾股定理进展求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能扶植我们通过三角形三边之间的数量关系推断一个三角形是否是直角三角形，在详细推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进展比较，切不行不加思索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理与其逆定理的应用勾股定理与其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中，是密不行分的一个整体．通常既要通过逆定理断定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：AB C30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
人教版初二数学上册：等边三角形(提高)知识讲解
等边三角形（提高）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 【要点梳理】【高清课堂：389303 等边三角形，知识要点】 要点一、等边三角形 等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质 等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 要点三、等边三角形的判定 等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】类型一、等边三角形1、（2015秋·黄冈期中）如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，ABC ∆和DCE ∆都是等边三角形，BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H. （1）求证：△BCE ≌△ACD ； （2）求证：FH ∥BD.【答案与解析】（1）证明： ABC ∆和DCE ∆都是等边三角形 ∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠BCA ＝∠ECD ＝60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE ，即∠BCE=∠ACD在△BCE 和△ACD 中BCE ACD CE B A D C C C ∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△ACD （SAS ）（2）由（1）知△BCE ≌△ACD 则∠CBF=∠CAH ，BC=AC又∵ABC ∆和DCE ∆都是等边三角形，且点B 、C 、D 在同一条直线上， ∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF ， 在△BCF 和△ACH 中CBE CAH BC ACBCF ACH ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCF ≌△ACH （ASA ） ∴CF=CH ，又∵∠FCH ＝60°∴△CHF 是等边三角形 ∴∠FHC ＝∠HCD=60°， ∴FH ∥BD【总结升华】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键。
新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)
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新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形． 要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.（2016•长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是( )．A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.【答案】B【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,∴21 219 aa-⎧⎨-⎩＞3＜解得：2＜a＜5，则整数a的值可能是3,4，故选B.【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键.举一反三：【变式】（2014秋•孝感月考）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．【答案】解：∵a、b、c是三角形三边长，∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b．2.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．【与三角形有关的线段例1】类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BA C（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==36°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如图2，∵A E平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．【总结升华】本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．举一反三：【与三角形有关的角练习（3）】【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。
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三角形的有关线段知识点一：三角形有关概念1、特点：（1）三条线段；（2）不在同一条直线上；（3）首尾顺次相接。
2、符号：用“△”表示，顶点是A ，B ，C 的三角形，如图，记作“△ABC ”。
不能只写“△”而没写名字。
3、分类：（1）按角分：①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形。
（2）按边分：①不等边三角形；②底与腰不等的等腰三角形；③等边三角形。
4、三角形三边关系：两边差________第三边________两边和。
（填“<”或是“>”） 例1（飞厦单元考）、以下各组线段中，能组成三角形的是（ ） A 、1：2：4B 、8cm ，6cm ，4cmC 、12cm ，5cm ，6cmD 、2cm ，3cm ，6cm举一反三1、判断下列每组线段能否组成三角形（能的在括号中打“√”，不能的打“×”）； （1）3,4,5===c b a （ ） （2）3,2,7===c b a （ ） （3）4,2,2===c b a （ ）（4）5,5,5===c b a （ ）2、现有长度分别为2，3，4，5的木棒，从中间任取三根，能组成三角形的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4例2、在△ABC 中，若AB=5，AC=2，且三角形周长为偶数，则BC=________。
1、已知在△ABC 中，a =5，b=3，那么第三边c 的取值范围是_________________。
2、一个三角形的两边长分别为3和7，若第三边长为偶数，则第三边为（ ）A 、4，6B 、4，6，8C 、6，8D 、6，8，103、△ABC 的三边长是a ，b ，c ，则c b a a c b c b a +++-----=________。
例3、已知等腰△ABC 的周长是21cm ，其中两条边的差是3cm ，求各边长。
1、等腰三角形周长为14，其中一边长为3，则腰长为________。
2、一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为9cm ，那么这个三角形的周长是 。
3、用一条长为18cm 的细绳围成一个有一边长为4cm 的等腰三角形，则三角形各边长为_______。
4、等腰三角形的腰长为a ，底边为x ，则x 应是（ ） A 、a x ＜＜0 B 、20ax ＜＜ C 、a x 20＜＜ D 、20a x ≤＜知识点二：三角形的三线三角形的高：（1）三角形有三条高；（2）锐角三角形的三条高交点在三角形_________部；直角三角形三条高的交点是______________；钝角三角形三条高所在直线相交于三角形________部。
三角形的中线：（1）一个三角形有三条中线，并且都在三角形内部，相交于一点；（2）三角形的一条中线把三角形分成面积________的两个三角形。
（原理：“等底同高”）三角形的角平分线：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，相交于一点；小结：三角形的三线都为________。
例1、（1）如图，△ABC的高AD、BE交于点O，则△AOB中，BO边上的高为；△ADC 中，AD边上的高为。
（2）如图所示，连接△ABC的顶点B和它所对的边AC的中点E，所得的线段________叫做△ABC/的边AC边上的中线，所以AE=_________=21_________，S△________=S△________。
（3）如图所示，画∠ACB的平分线CF，交∠ACB所对的边AB于点F，所得的线段CF叫做△ABC的________，所以∠ACF=________=12_________。
1、下列说法正确的是（）A、三角形的中线是一条直线B、三角形的角平分线是一条射线C、三角形的高是一条垂线D、三角形的中线、高、角平分线都是线段2、在下图中，正确画出AC边上高的是（）A B C D3、如图，AD，BE，CF是△ABC的中线、高、角平分线。
则：BD=_________=21________；∠________=∠________=90°；∠________=∠________=21∠________4、如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，已知AB=6，BC=4，AD=5，则CE= 。
5、如图，AD、AE分别是△ABC的中线、高，且AB=5，AC=3，则△ABD与△ACD的周长的差是_ ，△ACD与△ABD的面积关系为。
第3题第4题第5题第6题6、如图，△ABC的周长是21cm，AB=AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，则AB= ，BC= 。
EAB CFAB C7、如图，∆ABC 中，AD 是BC 上的中线，BE 是∆ABD 中AD 边上的中线，若∆ABC 的面积是24，则∆ABE 的面积是________。
8、如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且2ABC cm 8=∆S ，则阴影部分的面积等于_________。
第7题 第8题例2、等腰三角形一腰上的中线把周长分为6和3两部分，则其底边长为________。
1、已知在△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 边上的中线，BD 把△ABC 的周长分为9和15两部分，求这个三角形的各边长。
知识点三：三角形的稳定性三角形具有_________性，而四边形不具有_________性。
例5、在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF 固定矩形门框ABCD 的情形，这种做法的根据是（ ）A 、两点之间线段最短B 、两点确定一条直线C 、三角形的稳定性D 、矩形的四个角是直角1、下列选项中的图形具有稳定性的是（ ）2、平行四边形网状的电动拉门是借助了 的不稳定性。
3、撑上支撑后的自行车能稳稳地停在地上，是因为三角形具有________性。
知识点四：三角形的内角三角形内角和定理：三角形内角和等于________°。
用法：（1）在三角形中已知两角可以求第三角，或已知各角之间关系，求各角。
（2）列方程；（3）三角形中，若两个角为第三角，则第三角为直角。
例1、在△ABC 中，已知∠A ＋∠B=100°，∠C=2∠B ，求三角形各内角的度数。
举一反三1、在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则△ABC 是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、正三角形2、在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则△ABC 是________三角形。
3、在△ABC 中，已知∠B －∠A=5°，∠C －∠B=20°，求三角形各内角的度数。
5、在△ABC 中，∠A=∠B ＋∠C ，则∠A= 。
6、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4= 。
7、如图，∠ = 。
8、如图，AD ⊥BC ，∠1=∠2，∠C = 70°，则∠BAC = 。
第6题 第7题 第8题 例2、如图，AD 、AF 分别是△ABC 的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 的度数。
（★证明：∠DAF=21（∠C －∠B ））1、如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 50°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，求∠BDE 的度数。
2、如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，已知∠AFD=150°，求∠EDF 等于多少度？例3、如图，已知I 为△ABC 的内角平分线的交点。
求证：∠BIC=90°＋21∠A 。
举一反三1、直角三角形两锐角平分线所形成的角的度数为（ ） A 、45° B 、135°C 、45°或135°D 、以上答案都不对2如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于D ，已知∠A=50°，求∠BDC 的度数。
闯关小测试1、如图所示，共有_________个三角形，以AD为一边的三角形有________________________，∠C是△ADC 的________边的对角，AE是△ABE中∠________的对边。
2、一个三角形周长为27cm，三边长为2：3：4，则最长边比最短边长为________。
3、工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图1中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的性。
（图1）第1题第3题第5题第6题4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（）A、三角形的角平分线B、三角形的中线C、三角形的高线D、以上都不对5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD⊥AB于D，则∠ACD = 。
6、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A等于（）A、60°B、45°C、30°D、20°7、在△ABC中，∠B，∠C的平分线交与点O，若∠BOC=132°，则∠A=________。
8、如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形一定是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不确定。