简谐近似和简正坐标

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固体物理 5_1简谐近似和简震坐标

Qi A sin(i t )
i 晶格振动频率
Q j A sin( j t )
mi Qj aij mi A sin( j t ) aij
只考察某一个简振坐标 Q j 的振动
代入 m i i
a Q
j 1 ij
3N
j
i
i 1,23N
所有原子共同参与的一个振动称一个振动模
3N
1 即晶格振动能量即3N个谐振子能量和 En (ns ) s 2 s 1
n 0,1,2
晶格振动能量以 s为单位变化.
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2Q 0, i 1, 2, 3,3N Qi i i
标准谐振动方程
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2Q 0, i 1, 2, 3, 3N Qi i i
结论:
标准谐振动方程
—— 3N个独立无关的方程
晶体内原子(绕平衡位置)振动可看成3N个独立谐振子的振动方程解
假设存在线性变换 mi ui
a Q
j 1 ij
3N
1 3N 2 T Qi 2 i 1
j
1 3N 2 2 V i Qi 2 i 1
1 3N 2 1 3N 2 2 系统的哈密顿量H T V Qi i Qi 2 i 1 2 i 1
1 3N 2 1 3N 2 2 系统的拉格朗日函数 L T V Qi i Qi 2 i 1 2 i 1
对第n个原子偏离平衡位置的位移矢量 u (t ) n
uni (i 1,2,3)
N个原子的位移矢量 ui (t )

4-3 简谐近似和

2）化简系统的动能和势能
动能
1 T m 2

n

2 n
1 1 m 2 Nm
1 2

n q

Q ( q )e inaq

q'
Q ( q ' )e inaq'

qq '
1 Q ( q ) Q ( q ' ) N
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由（5）式知，当只考察某一个 Qi 的振动时，（5）式可以化为
i
aij mi
A sin( it )
（12）
这表明，一般地说，一个简正振动并不是表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们的振动频率都相同。由简正坐标所代表的，体系中所有原子一起参与的共同振动，常称为一个振动模或简正模（normal mode）。由量子力学我们知道,用(9)式可以直接写出哈密顿算符和薛定谔方程
1 2 2 2 [ i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
（14）
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谐振子方程的解为
i (ni )i
ni (Qi )
i 2l N
0
说明声子不是动量的携带者。
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1 e
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4-3 简谐近似和

一、简谐近似和非谐作用（harmonic approximation and an-harmonic interaction））
晶格振动是一个小振动问题。对于此类问题常采用简谐近似。晶格振动是一个小振动问题。对于此类问题常采用简谐近似。假设晶体包含N个原子，假设晶体包含个原子，平衡位置为个原子偏离平衡位置的位移矢量为 µn (t )
i =1
3N
•
Qi
2
（6））
1 V= 2
∑
i =1
3N
ω i 2Qi 2
（7））
其中仅有简正坐标的平方项之和，而没有了坐标的交叉项。其中仅有简正坐标的平方项之和，而没有了坐标的交叉项。
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∑
（3））
体系的势能函数只保留至µ 的二次方程，称为简谐近似简谐近似（体系的势能函数只保留至 i的二次方程，称为简谐近似（harmonic approximation）。要考虑到高阶作用的则称为非谐作用（an-harmonic 非谐作用（）要考虑到高阶作用的则称为非谐作用 interaction）。
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将N个原子体系的势能函数在平衡位置附近展开成泰勒级数个原子体系的势能函数在平衡位置附近展开成泰勒级数
∂V 1 3 N ∂ 2V V = V0 + ( ) 0 µi + ( )0 µi µ＋高阶项 j ∂µi 2 i , j =1 ∂µi ∂µ j i =1

03_01简谐近似和简正坐标

1 En＝ n 2
n=0,1,2…… （3－57）
这表明谐振子处于不连续的能量状态。
1 ,称为零点能。当n＝0时，它处于基态，E0＝ 2
相邻状态的能量差为,它是谐振子的能量量子，称它为声子，正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子一样。 3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，因此式（3－57）也是一个频率为ω的格波的能量。频率为ωi(q)的格波被激发的程度，用该格波所具有的能量为ωi (q)的声子数n的多少来表征。
2.声子是一种准粒子
声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用，满足能量守恒。不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的
粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。
准动量。
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh q1＋q2＝q3＋Gh
系统的势能函数
系统的动能函数
系统的哈密顿量 H
1 1 V 2 i ( mi ) 0 i j 2 i 1 2 i , j 1 i j
3N 3N 2
—— 含有坐标的交叉项
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来假设存在线性变换
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi ) iຫໍສະໝຸດ iexp(

2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
晶格振动与晶体的热学性质

3.1 简谐近似和简正坐标、一维单原子链PPT参考课件

N 就是一维单原子链的自由度数, 这表明已经得到链的全部振动模
玻恩-卡曼的模型起着一个边界条件的作用, 用这个模型并未改变运动方程的解, 而只是对解提出一定条件 , 称它为玻恩－卡曼条件, 或称为周期性边界条件27
色散关系的两点讨论:
2

2 [1 cos aq]
m
4
m
sin
2

体系的势能函数展开至位移坐标的二次方项, 称为简谐近似
简正坐标是通过正交变换引入的, 使内能函数和动能函数同时化为平方项之和而无交叉项的坐标
由简正坐标所代表的, 体系中所有原子一起参与的共同振动, 常常称为一个振动模（或简正模） 14
§3-2 一维单原子链
晶格具有周期性, 因而晶格的振动模具有波的形式, 称为
3
以后的研究确立了晶格振动采取 "格波" 的形式
这一章的介绍格波的概念, 并在晶格振动理论的基础上扼要讲述晶体的宏观热学性质
晶格振动是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础
对晶体的电学性质、光学性质、超导电
性、磁性、结构相变… …等一系列物理
问题, 晶格振动都有着很重要的作用
4
§3-1 简谐近似和简正坐标
E

3N i 1
i

3N i 1

ni

1 2

hi
3N
(Q1，Q2，L ，Q3N ) ni (Qi ) i 1
可见只要能找到该体系的简正坐标, 或者说振动模, 问题就解决了
下面将结合简单的例子, 把这里的一般性结论具体化13
§3-1 简谐近似和简正坐标小结
每个原子的位移画在垂直链的方向

简谐震动简正坐标(0301)

声学
在声学领域，声音的传播和辐射都可以看作是简谐震动的叠加，因此简谐震动理论也是声学研究的重要基础。
02
简正坐标的概念
什么是简正坐标
• 简正坐标是一种描述系统振动的坐标方式，它将复杂的振动问题简化为简单的数学模型，以便于分析和求解。在简正坐标下，系统的振动形式被分解为一系列正弦和余弦函数，每个函数代表一种独立的振动模式。
简谐震动
简谐震动是物理学中一个基本而重要的概念，它描述的是一个振动系统在平衡位置附近做周期性的往复运动。简谐震动可以用数学公式表示，其运动规律具有特定的周期性和振幅。
简正坐标
简正坐标是用来描述简谐震动的坐标系，它能够将复杂的振动问题简化，方便分析和计算。简正坐标系的选择取决于系统的具体形式和物理特性。
实例二：单摆的简谐震动
总结词
单摆在摆角较小的情况下，做近似于简谐振动的往复运动。
详细描述
单摆由一根长度为摆长的细线悬挂着一个质量块组成，在重力作用下产生往复运动。当摆角较小（小于5度）时，单摆的运动可以近似看作是简谐振动。在简正坐标系下，单摆的振动形式可以表示为正弦或余弦函数。
实例三：电磁振荡器的简谐震动
教育教学
在高等教育中，简谐震动和简正坐标是物理学、工程学等专业的重要教学内容。通过深入学习和理解简谐震动和简正坐标的理论基础，可以培养学生的逻辑思维和分析能力，提高他们的科学素养。
THANKS
感谢观看
简正坐标的应用
1. 振动分析
简正坐标广泛应用于振动分析领域，用于研究系统的振动特
性和响应。
2. 结构优化
在结构优化设计中，简正坐标可以帮助分析结构的振动模态和频率，从而优化结构的设计。
3. 声学研究

固体物理总复习

gap
2 )q 一维双原子链的长声学波 ( a mM B 长声学波中相邻原子的振动 ( A ) 1
光学波长波极限
2
mM B m , ( ) － mM A M
§3.4
1. 三维复式格子
三维晶格的振动
l i [ t R l k q ] 格波的一般形式 A e k k
ab c
§5 晶体的宏观对称性
点对称操作 1. 绕轴旋转 2.旋转-反演(反演，镜面) 对称操作
1. 绕轴旋转
2.旋转-反演 3.空间平移
晶体的宏观对称性只有8种独立的对称操作： 1，2，3，4，6， 1 ( i ),
2 (m)
和
4
能证明为何晶体中没有5次对称性？
第二章
• 晶体结合的类型？ • 晶体结合的物理本质？ • 固体结合的类型与固体性质之间的联系？
T —— 电子对比热的贡献, 即电子热容
AT 3—— 晶格振动对比热的贡献, 即晶格热容
温度不太低时，可以忽略电子的贡献爱因斯坦模型与德拜模型爱因斯坦温度和德拜温度
§3.9 晶格振动模式密度
晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔的振动模式数目
n g ( ) lim 0
在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度
本课程的主要内容
晶格动力学
原子核的运动规律核外电子的运动规律
固体物理
固体电子论
晶格动力学
1. 晶体结构 2. 固体的结合 3. 晶格振动和热学性质
固体电子论
4. 能带理论 5. 外场中电子的运动 6. 金属电子论
第一章摘
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 §1-7 §1-8 §1-9

固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质

3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性，仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式

a
)

晶格振动模式

2 (m M )
(q)
mM
2
m
2
q
M
2a
2a

0
2a
q
2a
称为一维复式晶格的第一布里渊区
一维复式晶格的色散关系曲线
即一维复式晶格的倒格子原胞
如m<M，色散关系中存在频隙
周期性边界条件：一维双原子链由N个原胞组成，
每个原胞中含有两个不同的基，将若干个相同的
布拉菲晶格： xn Aei(qnat)
复式晶格：
x2n Aei(q2nat )
x Be 2n1
i[q(2n1)at ]
一组确定的q, 决定一种格波，或振动模式。
每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是
表示整个晶体所有原子都参与的频率，初相位
的振动，也称为一个振动模式。
有N个原子组成的晶体，一共有3N组特解，即有3N 种不同频率的间歇振动，也即有3N个振动模式。
晶体中原子的实际振动由运动方程的一般解表示
方程的一般解可表示为特解的线性叠加
3N
qk AklSin(lt l ) k 1,2,,3N l 1
模式，即代表一种格波。
例如：

q,

1 2

a
,
2

m
长波极限， ,q 0 整个晶格象刚体一样作整体运
动,因而恢复力为0,故 0 2a, q 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。

机械振动——简谐运动的基本概念

简谐运动在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化。

任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。

本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。

一、简谐运动的基本概念： 1．弹簧振子：轻质弹簧(质量不计)一端固定，另一端系一质量为m 的物体，置于光滑的水平面上。

物体所受的阻力忽略不计。

设在O 点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O 点为平衡位置。

系统一经触发，就绕平衡位置作来回往复的周期性运动。

这样的运动系统叫做弹簧振子（harmonic Oscillator ），它是一个理想化的模型。

2．弹簧振子运动的定性分析：考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力：B →O ：弹性力向左，加速度向左，加速，O 点，加速度为零，速度最大； O →C ：弹性力向右，加速度向右，减速，C 点，加速度最大，速度为零； C →O ：弹性力向右，加速度向右，加速，O 点，加速度为零，速度最大； O →B ：弹性力向左，加速度向左，减速，B 点，加速度最大，速度为零。

物体在B 、C 之间来回往复运动。

结论：物体作简谐运动的条件：● 物体的惯性 ——阻止系统停留在平衡位置 ● 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置二、弹簧振子的动力学特征： 1．线性回复力分析弹簧振子的受力情况。

取平衡位置O 点为坐标原点，水平向右为X 轴的正方向。

由胡克定律可知，物体m (可视为质点)在坐标为x (即相对于O 点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为f=-kx式中的比例系数k 为弹簧的劲度系数（Stiffness ），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。

离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。

这种始终指向平衡位置的力称为回复力。

2．动力学方程及其解根据牛顿第二定律， f=ma可得物体的加速度为x mk m f a -==0202x v v x ωω-⎪⎭⎫⎝⎛+＝2020⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωv x ＝求02.072.0=m k ＝v x 6004.022222020+=+=ω2=4π±，由（4π-。

固体物理：3_1 简谐近似和简正坐标

设V0=0
( V i
)0
0
略去二阶以上的高阶项,
体系势能可表示为
V
1 3N ( 2V
2 i, j1 i j
)0 i j
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3-1 简谐近似和简正坐标
第三章晶格振动与晶体的热学性质
简谐近似与非谐近似
• 处理小振动问题一般都只取简谐近似，对于一个具体物理问题是否可以采用简谐近似，要看在简谐近似条件下得到的理论是否与实验相一致。有些问题必须考虑高阶
局限：低温段结果与实际不符。
低温段的实验结果是：CV～T3
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3-1 简谐近似和简正坐标
第三章晶格振动与晶体的热学性质
德拜模型
模型处理方法：把固体当作连续介质,晶格振动的格波看成边连续介质中的弹性波。
可取之处：获得低温段CV～T3的规律。
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3-1 简谐近似和简正坐标
第三章晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
本章扼要介绍在简谐近似下如何用正则坐标和正则振动描述晶格振动的问题，介绍格波和声子的概念；此外，在晶格振动的理论基础上描述了晶体的宏观热学性质。主要内容分为：
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第三章晶格振动与晶体的热学性质
项的作用，称为非谐作用(晶体的热传导和热膨胀问题等)。
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3-1 简谐近似和简正坐标
第三章晶格振动与晶体的热学性质
2. 简正坐标
对于N个原1
mi
2 i
引入简正坐标： Q1, Q2 ,Q3N
令：
3N
mi i aijQ j j 1

晶格振动-31简谐震动简正坐标

通过该模型，我们能够解释晶体中原子或分子的振动频率、耦合机制以及与热力学性质的关系。
该模型在材料科学、化学和物理学等领域具有广泛的应用前景，有助于深入理解材料的物理和化
学性质。
研究展望
01
02
03
04
进一步研究晶格振动-31简谐震动简正坐的适用范围和局限
性，以拓展其应用领域。
结合实验手段，验证该模型的预测结果，提高模型的可靠性
在化学物理中的应用
分子振动光谱分析
简正坐标在化学物理中常用于分析分子振动光谱，从而了解分子的结构和化学键信息。
计算分子热容
通过简正坐标，可以计算分子热容，从而了解分子在温度变化时的热学性质。
分子动力学模拟
简正坐标可以用于分子动力学模拟，通过模拟分子的振动行为，进一步理解化学反应的动力学过程。
质。
03 简谐振动的数学模型
简谐振动的定义
简谐振动
在物理学中，简谐振动是指物体在平衡位置附近做周期性往复运动的振动。
描述参数
简谐振动可以用振幅、频率、相位等参数来描述。
简谐振动的数学表达式
01
简谐振动的数学表达式通常为： x=A*sin(ωt+φ)，其中x表示位移， A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相角。
05 简正坐标的应用
在固体物理中的应用
1 2
描述晶体中原子或分子的振动
简正坐标是用来描述晶体中原子或分子的振动状态的，可以用来研究晶体的热容、热膨胀等现象。
计算晶格热容
通过简正坐标，可以计算晶格热容，从而了解晶体在温度变化时的热学性质。
3
研究声子谱
简正坐标可以用来研究晶格的声子谱，了解晶体的振动频率和模式，进一步理解晶体的物理性质。

4-3 简谐近似和

nq Aq e
i ( q t naq)
（1）
原子的总位移为所有格波的叠加
n nq Aqe
q q
i ( q t naq)
（2）
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将（2）式变换形式，写成则

势能
U

1 2

n
( n n 1 ) 2
1 Nm
1 2

n

q

Q(q)(1 eiaq )Q(q)(1 eiaq ) 2m q
1 Q(q )(1 eiaq )Q(q ' )(1 eiaq ' ) eina ( q q ') 2m qq' N n
1 2 2 2 [ i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
（14）
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谐振子方程的解为
i (ni )i
ni (Qi )
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由于动能函数T 是正定的，由线性代数的理论，总可以找到这样的线性变换，使动能和势能函数同时化为平方项之和。势能函数为正值，用 ωi2 表示，表明原来原子在格点上是一稳定的平衡状态。依理论力学，由动能和势能公式可以直接写出拉格朗日函数 L L=T-V ，得到正则动量 pi Q i （8） Qi 哈密顿量为 3N

培训资料理论力学课后答案周衍柏

第五章思考题5・1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？5.2为什么在拉格朗日方程中，&不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如a何？我们根据什么关系由一个量的量纲定岀另一个量的量纲？5. 3广义动量几和广义速度么是不是只相差一个乘数川？为什么p a比么更富有意义？5.4既然乞是广义动量，那么根据动虽泄理，乞|旦]是否应等于广义力0 ?为什么瓯dt [ dq a J a在拉格朗日方程（5.3.14）式中多岀了三项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？5. 5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式（5.3」3）得出式（5314）?5. 6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决泄？为什么2疋个常数只有2s个是独立的？5. 7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？5. 8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位宜附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列岀它们的微分方程？5.9 d厶和〃兀有何区别？仏和匹有何区别？5. 10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？5. 11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？5. 12何谓泊松括号与泊松泄理？泊松左理在实际上的功用如何？5. 13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号§可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号△能否这样？5. 14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？5. 15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.5.16正则方程（5.5.15）与（5」0.10）及（5.10」1）之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得岀后者？5. 17在研究机械运动的力学中，刘维立理能否发挥作用？何故？5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动左律相比较，并加以评价.第五章思考题解答5.1答：作•用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的•即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的•且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事•从別V =艺庁•另可知：虚功与选用的坐标系无关，这/正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分•在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假左隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约朿质点系的平衡条件，比静力学给岀的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的：另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性•由于虚功方程中不含约朿反力•故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点•但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力：再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2答因拉格朗日方程是从虚功原理推岀的，而徐公原理只适用于具有理想约朿的力学体系虚功方程中不含约朿反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，O a不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故匕不含约束反作用力•这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约朿的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未泄乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确立质点或质点系完整的独立坐标，它不一泄是长度，可以是角度或其他物理量，如而积、体积、电极化强度、磁化强度等•显然广义坐标不一迫是长度的量纲•在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数：广义力明威力实际上不一泄有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为：若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由f斤.輕=£乞&& =宓知，乙冈a有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲•若0a是长度，则一左是力，若乞是力矩，则％一泄是角度，若％是体积，则乞一定是压强等.5.3答与不一泄只相差一个常数川，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而左。

简谐运动点点清专题3 简谐运动的公式和图像2020.2.16

考点二简谐运动的公式和图像2.简谐运动的公式和图像（1）表达式①动力学表达式：F ＝－kx ，其中“－”表示回复力与位移的方向相反. ②运动学表达式：x ＝A sin(ωt ＋φ0)，A 表示简谐运动的振幅，ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝2πT ＝2πf 。

φ0叫做初相，ωt ＋φ0代表简谐运动的相位。

2.图象①从平衡位置开始计时，函数表达式为x ＝A sin ωt ，图象如图1甲所示.②从最大位移处开始计时，函数表达式为x ＝A cos ωt ，图象如图乙所示.1.对简谐运动图象的认识图14－1－7（1）简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图14－1－7所示.（2）图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹.2.图象信息（1）由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率.（2）可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移.（3）可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t 轴.（4）确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t 轴；下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t 轴.（5）比较不同时刻回复力、加速度的大小.（6）比较不同时刻质点的动能、势能的大小.【典例1】(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sinπ4t ，则关于该质点，下列说法正确的是( )A.振动的周期为8 sB.第1 s 末与第3 s 末的位移相同C.第1 s 末与第3 s 末的速度相同D.第3 s 末至第5 s 末的位移方向都相同E.第3 s 末至第5 s 末的速度方向都相同解析由关系式可知ω＝π4 rad/s ，T ＝2πω＝8 s ，选项A 正确；将t ＝1 s 和t ＝3 s 代入关系式中求得两时刻位移相同，选项B 正确；作出质点的振动图象，由图象可以看出，第1 s 末和第3 s 末的速度方向不同，选项C 错误；由图象可知，第3 s 末至第4 s 末质点的位移方向与第4 s 末至第5 s 末质点的位移方向相反，而速度的方向相同，故选项D 错误，E 正确。