抛物线及其标准方程导学案

2.3.1 抛物线及其标准方程一、【学习目标】1.理解抛物线的定义，掌握抛物线标准方程的推导；2．掌握抛物线标准方程的四种形式，会求抛物线的焦点坐标及准线方程； 3．能利用定义解决简单的应用问题. 二、【复习引入】 1．椭圆的第二定义:2. 双曲线的第二定义：3．问题：到定点距离与到定直线距离之比是定值e 的点的轨迹，当0<e<1时是（ ），当e>1时是（ ）.此时自然想到，当e=1时轨迹是什么？若一动点到定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比是一个常数1=e 时，那么这个点的轨迹是什么曲线？ 三、【新知探究】 1. 抛物线定义：2．推导抛物线的标准方程：说明：1．方程形式与图形之间的关系： 2．p 的几何意义： 四、【例题精讲】例1：（1）已知抛物线标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程. （2）已知抛物线的焦点坐标是)2,0(-F ，求它的标准方程.例2： 已知抛物线的标准方程是（1）x y 122=（2）212x y =求它的焦点坐标和准线方程．例3：求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是)0,5(-F （2）经过点)3,2(-A五、【随堂练习】1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）x y 82=（2）y x 42=（3）0322=+x y （4）261x y -= 2．根据下列条件写出抛物线的标准方程（1）焦点是)0,2(-F （2）准线方程是31=y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上 （4）经过点)2,6(-A3．抛物线y x 42=上的点P 到焦点的距离是10，求P 点坐标4.P67 1、2、35.P72 习题2.4 A 组1、22.3.2 抛物线的简单几何性质（一）一、【学习目标】1．巩固抛物线定义和标准方程；2．掌握抛物线简单几何性质，会利用性质求方程. 二、【新知探究】 抛物线的几何性质：三、【例题精讲】例1 ：已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．例2 ：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 四、【随堂练习】 1.P72 12.P73 习题A 组 42.3.2抛物线的简单几何性质（二）一、【学习目标】1．掌握与弦中点相关的性质；2．掌握与⊥相关的性质.二、【新知探究】1.抛物线的焦半径（定义）及其应用：定义：焦半径公式：2．抛物线的焦点弦：（1）弦长公式：①=AB________________________②=AB________________________（2）通径：（px2=∆AOBS（4px2nBFmAF==||,||，pnm211=+（5）=21xx=21yy（1）=21xx=21yy（3）AOB S ∆的最小值 三、【例题精讲】例1：过抛物线px y 22=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于B A ,两点， 求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．例2：过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4例3：过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+=（ ） A ．a 2 B ．a 21 C ．a 4 D ．a4 例4：直线2-=x y 与抛物线x y 22=相交于B A ,两点，求证：⊥.四、【随堂练习】1．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2.P73 3、52.3.3 专题：直线与抛物线的位置关系一、【知识要点】1.如何确定直线和抛物线的位置关系？ ________⇔直线与抛物线有两个公共点________⇔直线与抛物线有且只有一个公共点 ________⇔直线与抛物线没有公共点2.弦长公式：=AB ________________________3.点差法：4.⇔⊥ ________________________二、【典型例题】例1：已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点），（12-P ，斜率为k ．k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.例2:过点)0,2(M 作斜率为1的直线l ，交抛物线x y 42=于B A ,两点，求||AB .例3：过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 与它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 _____________.例4：直线2+=x y 与抛物线相交于A 、B 两点，求证：⊥. 三、【巩固练习】1． 垂直于x 轴的直线交抛物线x y 42=于B A ,两点，且34||=AB ，求直线AB 的方程. 2．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程.3．以双曲线191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△AB O 的面积.4．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标.5．在抛物线x y 42=上求一点P ，使得P 到直线3+=x y 的距离最短.6．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上. （1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB 是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由； （3）求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程.7．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，原点在直线AB 上的射影为()1,2D ，求抛物线的方程.8．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程.9．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程.10．（1）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 求这个正三角形的边长.（2）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形外接圆的方程.11．已知ABC ∆的三个顶点是圆0922=-+x y x 与抛物线()022>=p px y 的交点，且ABC ∆的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程.12．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点(4,2)P 的抛物线方程是（ ）A. y x 82=B. y x 42=C. y x 22=D. y x 212=13．抛物线x y 82=上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是( ) A. （2，4） B.（2，±4） C.（1，22） D.（1，±22）14．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为 __________.15．抛物线x y 62=，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 ________________.3.1.1 变化率问题一、【学习目标】理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。

二、【新知探究】 平均变化率概念:思考：观察函数f (x )的图象直线AB 三、例1：已知质点按照规律t t s 422+=（距离单位：m ，时间单位：s ）运动，求： （1）质点开始运动后3秒内的平均速度； （2）质点在2秒到3秒内的平均速度。

例2：求函数322+-=x x y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1223和⎥⎦⎤⎢⎣⎡1225,2的平均变化率。

变式1：求函数2x y =在区间[]x x x ∆+00,（或[]00,x x x ∆+）的平均变化率，并探索表达式的值（平均变化率）与函数图象之间的关系。

变式2：过曲线()3x x f y ==上两点)1,1(P 和()y x Q ∆+∆+1,1作曲线的割线，求出当1.0=∆x 时割线的斜率。

四、【课后巩固】1.设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为 （ ）A .()x x f ∆+0B .()x x f ∆+0C .()x x f ∆⋅0D .()()00x f x x f -∆+ 2.一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ）A ．－4B ．－8C ．6D ．－63.将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ） A ．R R ∆π8 B ．()248R R R ∆+∆ππC ．()244R R R ∆+∆ππ D ．()24R ∆π4.在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则xy∆∆为 （ ）A ．21+∆+∆x x B ．21-∆-∆xx C ．2+∆x D ．xx ∆-∆+125.在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h （单位：m ）与起跳后时间t （单位：s ）的函数关系是()105.69.42++-=t t t h ，则下列说法不正确的是 （ ）A ．在10≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /6.1B ．在49650≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /0 C ．运动员在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4965,0时间段内，上升的速度越来越慢D ．运动员在[]2,1内的平均速度比在[]3,2的平均速度小6．函数()x f y =的平均变化率的物理意义是指把()x f y =看成物体运动方程时，在区间[]21,t t 内的7．函数()x f y =的平均变化率的几何意义是指函数()x f y =图象上两点()()111,x f x P 、()()222,x f x P 连线的8．函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是 9．正弦函数x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ的平均变化率哪一个较大？ 10．在受到制动后的t 秒内一个飞轮上一点P 旋转过的角度（单位：孤度）由函数()23.04t t t -=ϕ（单位：秒）给出（1）求t ＝2秒时，P 点转过的角度（2）求在t t ∆+≤≤22时间段内P 点转过的平均角速度，其中①1=∆t ，②1.0=∆t ③01.0=∆t3.1.2 导数的概念一、【学习目标】1.了解瞬时速度，瞬时变化率（导数）的定义。