阻抗和导纳阻抗和导纳
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Z可以是实数，也可以是虚数
2. RLC串联电路
i R L + uC I
.
R
.
j L
.
+ + uR - + uL u C
-
+ + U R- + U L 1 . U jω C -
+. UC -
由KVL：
1 ( R jX ) I [ R j(L )] I [ R j( X L X C )] I C
第9章 正弦稳态电路的分析
重点： 1. 阻抗和导纳 2. 正弦稳态电路的分析 3. 正弦稳态电路的功率分析
9.1 阻抗和导纳 (Impedance and Admittance)
1. 阻抗(impedance)
+ U 正弦稳态情况下
I
无源 线性 + U -
I
Z
U 定义阻抗 Z | Z | φz I
两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：
Z1 Z 2 Z Z1 Z 2
例
求图示电路的等效阻抗， ＝105rad/s 。 R1 30 1mH R2 100 0.1F
解 感抗和容抗为：
X L L 105 1 103 100
1 1 XC － － 5 －100 6 C 10 0.1 10
1 I I R I L I C G U j U jC U
I 1 Y G jC j G jB Y y U L
Y— 复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)； 转换关系： |Y|—复导纳的模； y—导纳角。
i 0.149 2cos(ωt 3.4 ) A
o
1 U C j I 26.5 90o 0.149 3.4o 3.95 93.4o V C
则
I
.
R
.
j L
.
u R 2.235 2cos(ω t 3.4 ) V + + U R- + U L 1 . o u L 8.42 2cos(ω t 86.6 ) V U jω C o
注
一般情况 G1/R B1/X。若Z为感性， X>0，则B<0，即仍为感性。
同样，若由Y变为Z，则有：
R
Y
G
jB
Z
jX
Y G jB | Y | φy ,
Z R jX | Z | φz
G jB 1 1 Z R jX Y G jB G 2 B 2 B R 2G 2 , X 2 G B G B2 1 | Y | , φz φy |Z |
i
R
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
u 5 2cos(t 60 )
+ uC -
f 3 10 Hz . 求 i, u R , u L , u C .
4
解
其相量模型为：
I
.
R
.
j L
.
U 560 V
jL j2 3 104 0.3 103 j56.5Ω 1 1 j j j26.5Ω 4 6 C 2π 3 10 0.2 10 1 15 j56.5 j26.5 33.5463.4o Ω Z R j L j C
UX
I
U
2 2 UR UX
U L
U C
I
.
R +
UR
.
+ 等效电路
U .
+. -
1 jC '
UX
L=1/C ，X=0， z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。 .
U L
等效电路
U C
R U U
I
+. U -
I
R
+. -
UR
例
L + + uR - + uL u C -
例
解
U 图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条件及 1 ? U 0
设：Z1=R＋jXC, Z2=R//jXC
U 1 U o
Z U 1 2 U o Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 1 Z2 Z2
＋
u1
jXC －
R jXC R
＋
uo
－
R jX C ( R jX C ) 2 Z1 Z 2 jRX C /( R jX C ) jRX C
| Z | R 2 X 2 转换关系： X φz arctg R
或
|Z|—复阻抗的模；z —阻抗角。
R=|Z|cosz
X=|Z|sinz
|Z|
U Z I z u i
阻抗三角形
z
R
X
分析 R、L、C 串联电路得出： （1）Z=R+j(L-1/C)=|Z|∠z为复数，故称复阻抗 （2）当L > 1/C ，X>0， z>0，电路为感性，电压领先电流； 相量图：选电流为参考向量， i
y i u
对同一二端网络:
1 1 Z ,Y Y Z
I
+ U C
当无源网络内为单个元件时有：
I
+ U -
R
1 I Y G R U
I Y U j C jBC
I
+ U -
I Y 1 / j L jBL L U
. y I G
U
I
2 2 IG IB
2 IG ( I L IC )2
I
. IC
I
.
. IL
+ 等效电路
U R .
.
IR
j L’
.
IB
.
C=1/L ，B=0， y =0，电路为电阻性，电流与电压同相
IC IL
.
.
I
IG I
.百度文库
U
+ 等效电路
U R .
IR
u 0
IL IC
I
.
.
三角形IR 、IB、I 称为电流三角 形，它和导纳三角形相似。即
y
. IG
IB U
I
2 2 IG IB
2 IG ( I L IC )2
. RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象 I
等效电路
+
U R .
IR
.
1 jC '
IB
.
C<1/L ，B<0， y<0，电路为感性，电流落后电压；
+. UC -
uC 3.95 2cos(ω t 93.4o ) V
注
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
3. 导纳(admittance) I
+
正弦稳态情况下
I
+ U Y
U
-
无源 线性
I 定义导纳 Y | Y | φy U
I Y U
单位：S
导纳模 导纳角
R’
L’
6. 阻抗的串联
Z1
I
Z2
Zn + U -
I
Z
+
U
－
U U U I ( Z Z Z ) I Z U 1 2 n 1 2 n
Z Z k ( Rk jX k )
k 1 k 1 n n
分压公式
Zi Ui U Z
1 . U U R U L UC R I jL I j I C
.
.
.
.
.
.
U 1 Z R jL j R jX Z z I C
U 1 Z R jL j R jX Z z I C
Z— 复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；
+ + U R- + U L 1 . U jω C -
+. UC -
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F, u 5 2cos(t 60 )
求 i, u R , u L , u C . 4 f 3 10 Hz . o U 560 o I 0 . 149 3 . 4 A o Z 33.5463.4 R RI 15 0.149 3.4o 2.235 3.4o V U L jLI 56.590o 0.149 3.4o 8.4286.4o V U
.
5. 复阻抗和复导纳的等效互换
R
Z
jX
Y
G
jB
Z R jX | Z | φz Y G jB | Y | φy R jX 1 1 Y G jB Z R jX R2 X 2
G R , R2 X 2 X B 2 R X 2
1 | Y | , φy φz |Z|
例 解
RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并联电路。 RL串联电路的阻抗为：
50
0.06mH
X L L 106 0.06 103 60
Z R jX L 50 j 60 78.150.20 1 1 0 Y 0 . 0128 50 . 2 Z 78.150.20 0.0082 j 0.0098 S 1 1 ' R ' 122 G 0.0082 1 ' L 0.102mH 0.0098
Y可以是实数，也可以是虚数
4. RLC并联电路
i + u 由KCL： R
I
.
iL
L
iL
C
iC
+
U R .
IL IR 1 j L jω C
.
.
IC
.
L 1 [G j( B B )U (G j jC )U ( G j B ) U L C L
I 1 Y G jC j G jB Y y U L
U L
U
z
U R
U C
0
三角形UR 、UX 、U 称为电压三 角形，它和阻抗三角形相似。即
UX
U
I
+
U .
2 2 UR UX
I
.
R
.
j L’
.
等效电路
+ U R- + U X -
L<1/C， X<0， z <0，电路为容性，电压落后电流；
z
U R
U
2 2 R2 X C j 2 RX C R2 X C 2 j 实数 jRX C RX C
1 R XC C
U 1 1 2 3 Uo
9.2 电路的向量图
关键：选择合适参考相量 串联电路以电流为参考相量，并联电路以电压为参考相量。 明白元件和支路的电压、电流相量关系： R：电压与电流同相 元件： L：电压超前电流90º 支路： C：电流超前电压90º
RL支路：电压超前电流角 RC支路：电流超前电压角
90 0
9.3
电阻电路 :
正弦稳态电路的分析
正弦电路相量分析 : KCL : I 0 0 KVL : U 元件约束关系 : 或
7. 导纳的并联
I
I
+ U －
Y1
Y2
Yn
+ U -
Y
I I I U (Y Y Y ) U Y I 1 2 n 1 2 n
Y Yk (Gk jBk )
k 1 k 1 n n
分流公式
Yi Ii I Y
jX L ( R2＋jX C ) j100 (100 j100) Z R1 30 jX L R2＋jX C 100 130 j100
例 解1
图示电路对外呈现感性还是容性？ －j6 等效阻抗为： 3 5 j4 3
5( 3 j 4) Z 3 j6 5 ( 3 j 4) 2553.10 3 j6 5.5 j 4.75 8 j4
欧姆定律的 相量形式
z u i
U Z I
阻抗模 阻抗角
单位：
当无源网络内为单个元件时有：
I
I
R + U -
+ U -
C
U Z R I
I
+ U L
U 1 Z j jX C I C
U Z j L jX L I
或
| Y | G 2 B 2 B φy arctg G Y I G=|Y|cos y U B=|Y|sin y y i u
|Y|
导纳三角形
y
G
B
分析 R、L、C 并联电路得出： （1）Y=G+j(C-1/L)=|Y|∠y 为复数，故称复导纳； （2）若C > 1/L ，B>0， y>0，电路为容性，电流超前电压 相量图：选电压为参考向量，
2. RLC串联电路
i R L + uC I
.
R
.
j L
.
+ + uR - + uL u C
-
+ + U R- + U L 1 . U jω C -
+. UC -
由KVL：
1 ( R jX ) I [ R j(L )] I [ R j( X L X C )] I C
第9章 正弦稳态电路的分析
重点： 1. 阻抗和导纳 2. 正弦稳态电路的分析 3. 正弦稳态电路的功率分析
9.1 阻抗和导纳 (Impedance and Admittance)
1. 阻抗(impedance)
+ U 正弦稳态情况下
I
无源 线性 + U -
I
Z
U 定义阻抗 Z | Z | φz I
两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：
Z1 Z 2 Z Z1 Z 2
例
求图示电路的等效阻抗， ＝105rad/s 。 R1 30 1mH R2 100 0.1F
解 感抗和容抗为：
X L L 105 1 103 100
1 1 XC － － 5 －100 6 C 10 0.1 10
1 I I R I L I C G U j U jC U
I 1 Y G jC j G jB Y y U L
Y— 复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)； 转换关系： |Y|—复导纳的模； y—导纳角。
i 0.149 2cos(ωt 3.4 ) A
o
1 U C j I 26.5 90o 0.149 3.4o 3.95 93.4o V C
则
I
.
R
.
j L
.
u R 2.235 2cos(ω t 3.4 ) V + + U R- + U L 1 . o u L 8.42 2cos(ω t 86.6 ) V U jω C o
注
一般情况 G1/R B1/X。若Z为感性， X>0，则B<0，即仍为感性。
同样，若由Y变为Z，则有：
R
Y
G
jB
Z
jX
Y G jB | Y | φy ,
Z R jX | Z | φz
G jB 1 1 Z R jX Y G jB G 2 B 2 B R 2G 2 , X 2 G B G B2 1 | Y | , φz φy |Z |
i
R
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
u 5 2cos(t 60 )
+ uC -
f 3 10 Hz . 求 i, u R , u L , u C .
4
解
其相量模型为：
I
.
R
.
j L
.
U 560 V
jL j2 3 104 0.3 103 j56.5Ω 1 1 j j j26.5Ω 4 6 C 2π 3 10 0.2 10 1 15 j56.5 j26.5 33.5463.4o Ω Z R j L j C
UX
I
U
2 2 UR UX
U L
U C
I
.
R +
UR
.
+ 等效电路
U .
+. -
1 jC '
UX
L=1/C ，X=0， z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。 .
U L
等效电路
U C
R U U
I
+. U -
I
R
+. -
UR
例
L + + uR - + uL u C -
例
解
U 图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条件及 1 ? U 0
设：Z1=R＋jXC, Z2=R//jXC
U 1 U o
Z U 1 2 U o Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 1 Z2 Z2
＋
u1
jXC －
R jXC R
＋
uo
－
R jX C ( R jX C ) 2 Z1 Z 2 jRX C /( R jX C ) jRX C
| Z | R 2 X 2 转换关系： X φz arctg R
或
|Z|—复阻抗的模；z —阻抗角。
R=|Z|cosz
X=|Z|sinz
|Z|
U Z I z u i
阻抗三角形
z
R
X
分析 R、L、C 串联电路得出： （1）Z=R+j(L-1/C)=|Z|∠z为复数，故称复阻抗 （2）当L > 1/C ，X>0， z>0，电路为感性，电压领先电流； 相量图：选电流为参考向量， i
y i u
对同一二端网络:
1 1 Z ,Y Y Z
I
+ U C
当无源网络内为单个元件时有：
I
+ U -
R
1 I Y G R U
I Y U j C jBC
I
+ U -
I Y 1 / j L jBL L U
. y I G
U
I
2 2 IG IB
2 IG ( I L IC )2
I
. IC
I
.
. IL
+ 等效电路
U R .
.
IR
j L’
.
IB
.
C=1/L ，B=0， y =0，电路为电阻性，电流与电压同相
IC IL
.
.
I
IG I
.百度文库
U
+ 等效电路
U R .
IR
u 0
IL IC
I
.
.
三角形IR 、IB、I 称为电流三角 形，它和导纳三角形相似。即
y
. IG
IB U
I
2 2 IG IB
2 IG ( I L IC )2
. RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象 I
等效电路
+
U R .
IR
.
1 jC '
IB
.
C<1/L ，B<0， y<0，电路为感性，电流落后电压；
+. UC -
uC 3.95 2cos(ω t 93.4o ) V
注
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
3. 导纳(admittance) I
+
正弦稳态情况下
I
+ U Y
U
-
无源 线性
I 定义导纳 Y | Y | φy U
I Y U
单位：S
导纳模 导纳角
R’
L’
6. 阻抗的串联
Z1
I
Z2
Zn + U -
I
Z
+
U
－
U U U I ( Z Z Z ) I Z U 1 2 n 1 2 n
Z Z k ( Rk jX k )
k 1 k 1 n n
分压公式
Zi Ui U Z
1 . U U R U L UC R I jL I j I C
.
.
.
.
.
.
U 1 Z R jL j R jX Z z I C
U 1 Z R jL j R jX Z z I C
Z— 复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；
+ + U R- + U L 1 . U jω C -
+. UC -
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F, u 5 2cos(t 60 )
求 i, u R , u L , u C . 4 f 3 10 Hz . o U 560 o I 0 . 149 3 . 4 A o Z 33.5463.4 R RI 15 0.149 3.4o 2.235 3.4o V U L jLI 56.590o 0.149 3.4o 8.4286.4o V U
.
5. 复阻抗和复导纳的等效互换
R
Z
jX
Y
G
jB
Z R jX | Z | φz Y G jB | Y | φy R jX 1 1 Y G jB Z R jX R2 X 2
G R , R2 X 2 X B 2 R X 2
1 | Y | , φy φz |Z|
例 解
RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并联电路。 RL串联电路的阻抗为：
50
0.06mH
X L L 106 0.06 103 60
Z R jX L 50 j 60 78.150.20 1 1 0 Y 0 . 0128 50 . 2 Z 78.150.20 0.0082 j 0.0098 S 1 1 ' R ' 122 G 0.0082 1 ' L 0.102mH 0.0098
Y可以是实数，也可以是虚数
4. RLC并联电路
i + u 由KCL： R
I
.
iL
L
iL
C
iC
+
U R .
IL IR 1 j L jω C
.
.
IC
.
L 1 [G j( B B )U (G j jC )U ( G j B ) U L C L
I 1 Y G jC j G jB Y y U L
U L
U
z
U R
U C
0
三角形UR 、UX 、U 称为电压三 角形，它和阻抗三角形相似。即
UX
U
I
+
U .
2 2 UR UX
I
.
R
.
j L’
.
等效电路
+ U R- + U X -
L<1/C， X<0， z <0，电路为容性，电压落后电流；
z
U R
U
2 2 R2 X C j 2 RX C R2 X C 2 j 实数 jRX C RX C
1 R XC C
U 1 1 2 3 Uo
9.2 电路的向量图
关键：选择合适参考相量 串联电路以电流为参考相量，并联电路以电压为参考相量。 明白元件和支路的电压、电流相量关系： R：电压与电流同相 元件： L：电压超前电流90º 支路： C：电流超前电压90º
RL支路：电压超前电流角 RC支路：电流超前电压角
90 0
9.3
电阻电路 :
正弦稳态电路的分析
正弦电路相量分析 : KCL : I 0 0 KVL : U 元件约束关系 : 或
7. 导纳的并联
I
I
+ U －
Y1
Y2
Yn
+ U -
Y
I I I U (Y Y Y ) U Y I 1 2 n 1 2 n
Y Yk (Gk jBk )
k 1 k 1 n n
分流公式
Yi Ii I Y
jX L ( R2＋jX C ) j100 (100 j100) Z R1 30 jX L R2＋jX C 100 130 j100
例 解1
图示电路对外呈现感性还是容性？ －j6 等效阻抗为： 3 5 j4 3
5( 3 j 4) Z 3 j6 5 ( 3 j 4) 2553.10 3 j6 5.5 j 4.75 8 j4
欧姆定律的 相量形式
z u i
U Z I
阻抗模 阻抗角
单位：
当无源网络内为单个元件时有：
I
I
R + U -
+ U -
C
U Z R I
I
+ U L
U 1 Z j jX C I C
U Z j L jX L I
或
| Y | G 2 B 2 B φy arctg G Y I G=|Y|cos y U B=|Y|sin y y i u
|Y|
导纳三角形
y
G
B
分析 R、L、C 并联电路得出： （1）Y=G+j(C-1/L)=|Y|∠y 为复数，故称复导纳； （2）若C > 1/L ，B>0， y>0，电路为容性，电流超前电压 相量图：选电压为参考向量，