阻抗与导纳

9.6 电路元件VCR的相量形式
时域电路 i + u 相量模型
& I
相量图 R
& U
阻抗 R 电阻
R i(t )
& U
+ -
& I
& I
+ u (t) i (t) + u(t) -
L
& U
+
& U
& I
j L
& I
& I
XL= L 感抗
U 1 I C 容抗
C
& U
+ -
1 j C
& U
jt

Re(U 1 e

jt
U 2 e ) Re[(U 1 U 2 )e jt ]


jt


u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Re[(U 1 U 2 )e jt ]
相量关系为：
U U1 U 2
9.4 相量的线性性质和微分性质
u1 (t ) 6cos(314t 30 ) V u2 (t ) 4cos(314t 60o ) V
dy(t) jY dt
Y idt j
9.4 相量的线性性质和微分性质
+ i(t) u(t) -
R
C
i(t)= I mcos( t + )
L
相量法的优点
di(t ) 1 u (t ) Ri(t ) L i (t )dt dt C Im U m RI m j LI m jC
is1 (t ) 6 2sin(314t 75 ) V us1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V us 2 (t ) 4 2sin(314t 60o ) V
需要通过和差化积计算正弦信号（麻烦）
9.1 变换方法的概念
科学与工程技术领域经常使用变换方法求解问题
变换方法求解问题的基本思路：
第九章 阻抗与导纳
9.1 变换方法的概念 9.2 复数 9.3 振幅相量 9.4 相量的线性性质和微分性质 9.5 基尔霍夫定律的相量形式 9.6 三种基本电路元件的VCR相量形式 9.7 VCR相量形式的统一
第九章 阻抗与导纳
9.8 相量模型的引入 9.9 正弦稳态混联电路的分析 9.10 9.11 9.12 9.13 相量模型的网孔分析和节点分析 相量模型的等效 有效值与有效值相量 相量图法
试写出电流的瞬时值表达式
i 50cos(314t 15 ) A
9.3 振幅相量
正弦信号 u(t)= um cos(t )
造 构 数 复
一一对应
相量 U m um e j um

e
以 除 复 数
j
t

复函数 F ( ) um e j(t + )
正弦信号、相量和复数间的关系
19.2427.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5
225.536
9.2 复数
③旋转因子
e j cos j sin 1
F e
j
旋转 因子
注意：+j,-j,-1等均可看做是 旋转因子
9.3 振幅相量
正弦交流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路称为正弦 电路或交流电路 研究正弦电路的意义 1. 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分 重要的地位 ① 正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算 后仍是同频率的正弦函数 ② 正弦信号容易产生、传送和使用
C
相量形式
du (t ) i (t ) C dt
1 Um Im jC
u(t)与i(t)相位关系？
9.6 电路元件VCR的相量形式
u Ri 元件时 域VAR
& RI & U
& j L I & U & U 1 j C & I 元件相 量VAR
u L
di dt
1 u idt C
9.1 变换方法的概念
问题的提出
①
R1 R2 + – us2 R3 + us3 –
uS 2 uS 3 1 1 ( )un1 iS 1 R2 R3 R2 R3
is1
R2 R3 R3 R2 un1 iS 1 uS 2 uS 3 R2 R3 R2 R3 R2 R3
I

I
R
U
IC
+
U

+ -
j L
-
+ U -
1 j ωC
U Z R I
U 1 Z I j C
U Z j L I
9.7 相量分析法
相量图 在复平面上用矢量表示相量的图
振幅余弦相量 cos (t ) 10o
1 1 0 Y 0.0128 50.2 0 Z 78.150.2 0.0082 j0.0098 S
0.06mH
1 1 R 122 G 0.0082 1 L 0.102mH 0.0098
R’
L’
9.8
相量模型的引入
相量模型 电路图中将电路变量和元件都用相量表示 当无源网络内为单个元件时有：
I
U R
无源 线性 网络
Z
jX
Y
G
并联等效
jB
串联等效
Z R jX
Y G jB
9.7 阻抗与导纳
RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并联电路 RL串联电路的阻抗为：
50
0
X L L 106 0.06 103 60
Z R jX L 50 j60 78.150.2
9.7 阻抗与导纳
1.复阻抗 Z (正弦稳态情况下) +
I
I
-
U
def
无源 线性 网络
+ U -
Z
U Z R jX | Z | φz I
阻抗模
Z Um Im
阻抗角
z u i
9.7 阻抗与导纳
2.复导纳 Y (正弦稳态情况下) + -
I
I
U
def
无源 线性 网络
1、将原来问题变换为一个较容易处理的问题 2、在变换域中求解问题
3、把变换域中求得的解答反变换为原来的问题
9.2 复数
1.复数的表示形式
Im b 代数式(+/-) |F| F
F a jb
(j 1 虚数单位)

o a Re
F | F | e
j
指数式(证明）
F | F | e j | F |
u(t)与i(t)相位关系？
9.6 电路元件VCR的相量形式
2.电感元件VCR
i( t) + u ( t) 时域形式
L
相量形式
di (t ) u (t ) L dt
U m j L I m
u(t)与i(t)相位关系？
9.6 电路元件VCR的相量形式
3.电容元件VCR
i ( t)
+ u ( t) 时域形式
j t
j t
cos t Re(e )
sin t Im(e )
9.3 振幅相量
u (t ) U m cos(t + ) Re[U me
j( t+ )
]
Re[U m e e ] Re[U m e e ]
j j t
j t j
Re[U m e ]
u (t ) U m U me U m
j t e 0 j t e 0
I
m
0
U
m
0
流入某一结点所有正弦电流用相量表示时满足KCL 任一回路所有支路正弦电压用相量表示时满足KVL
9.6 电路元件VCR的相量形式
1.电阻元件VCR
i( t) + u (t) 时域形式
R
相量形式
u (t ) R i(t )
Um R I m
2. 复数运算 ① 加减运算 —— 采用代数式 若 则 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
实部相加减、虚部相加减
547 10 25 ?
原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569
I Y j C U
9.7 阻抗与导纳
感抗和感纳
I
U
+ -
j L
感抗 XL = L , 单位为 感纳 BL = -1/ L ，单位为S 感抗与频率成正比
9.7 阻抗与导纳
容抗和容纳
IC
+ U -
1 j ωC
容抗 XC = -1/C , 单位为 容纳 BC = C ， 单位为S 容抗与频率成反比
9.3 振幅相量
2. 正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以 分解为按正弦规律变化的分量
f (t ) a0 (ak cos kt bk sin kt )
k 1

结论 对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际
意义
9.3 振幅相量
正弦量的三要素 u(t)=Umsin( t+y) (1) 幅值(振幅、最大值)Um 0 u T
相 量
乘
以
e
j
t
复 数 部
实 取
9.4 相量的线性性质和微分性质
正弦量的加减运算
u1 (t ) U1 cos( t 1 ) Re ( U 1 e j t )
u2 (t ) U 2 cos( t 2 )
Re( U 2 e j t )



u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Re( U 1 e ) Re( U 2 e jt )
t
反映正弦量变化幅度的大小 (2)角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢
(3)初相位y
2π f 2π T
单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示
9.3 振幅相量
复数与正弦信号的关系
e cos j sin e
j t
j
cos t j sin t
+ U -
Y
I Y G jB | Y | φy S U
导纳模
导纳角
Im Y Um
y i u
9.7 阻抗与导纳
当无源网络内为单个元件时
I
I
I
+
U
R
+
U
C
+
U Z R I I 1 Y U R
U 1 Z I j C
U
-
L
U Z j L I
I 1 Y U j L
9.7 阻抗与导纳
图示电路对外呈现感性还是容性？ 等效阻抗 －j6 3 5 j4 3
5(3 j4) Z 3 j6 5 (3 j4) 2553.10 3 j6 8 j4 5.5 j4.75
电路对外呈现容性
9.7 阻抗与导纳
复阻抗和复导纳的等效互换 +
U m中包含正弦信号u(t)的振幅和初相位信息—振幅相量
j
j t
9.3 振幅相量 已知
i 100cos(314t 30o )A u 220cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u
I 10030 A,
o


U 220 60o V

已知 I 5015 A, f 50Hz .
12.48 2.61
9.2 复数
② 乘除运算 —— 采用极坐标式 若
则:
F1=|F1|∠ 1 ，F2=|F2|∠ 2
F1 F2 F1 F2 1 2
F1 | F1 | θ1 θ2 F2 | F2 |
模相乘 角相加
模相除 角相减
9.2 复数
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5
极坐标式（×/÷）
9.2Fra Baidu bibliotek复数
几种表示法的关系：
Im
F a jb
F | F | e j | F |
| F | a 2 b 2 b 或 θ arctan a
b |F|
F

o a Re
a | F | cos b |F |sin
9.2 复数
①把时域问题变为复数域问题 ②把微积分方程变为复数代数方程 ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路
9.5 基尔霍夫定律的相量形式
基尔霍夫定律的相量形式 KCL和KVL可用相应的相量形式表示：
i(t ) Re I m1 I m 2 u(t ) Re U m1 U m 2
求 u(t ) u1 (t ) u2 (t ) ？
9.4 相量的线性性质和微分性质
正弦量的微分、积分运算
y (t) Y
微分运算 积分运算
dy(t) d j t j t Re Ye Re Y j e dt dt
Y j t j t e y(t )dt Re Ye dt Re j