阻抗和导纳

5.阻抗和导纳 5.阻抗和导纳 ① 阻抗
正弦稳态情况下 + & U -
& I
无源 线性 + & U -
& I
Z
& U 定义阻抗 Z = =| Z | ∠φz & I U Z= 阻抗模 I
欧姆定律的 相量形式 单位： 单位：Ω
ϕz =ψu −ψi
阻抗角
当无源网络内为单个元件时有： 当无源网络内为单个元件时有：
.
I
等效电路
+
U R .
.
IR
.
1 jωC'
IB
ωC<1/ωL ，B<0， ϕy<0，电路为感性，电流落后电压； ， ，电路为感性，电流落后电压；
. ϕy I.G
& U
& I
IC
. IL
I=
2 2 IG + I B =
2 IG + (I L − IC )2
.
I
+ 等效电路
U R .
.
.
IR
jω L’
& I 1 Y = = G + jωC − j = G + jB = Y ∠ϕ y & U ωL
Y— 复导纳；G—电导 导纳的实部 ；B—电纳 导纳的虚部 ； 复导纳； 电导(导纳的实部 电纳(导纳的虚部 电导 导纳的实部)； 电纳 导纳的虚部)； |Y|—复导纳的模；ϕ y—导纳角。 复导纳的模； 导纳角。 复导纳的模
X L = ω L = 106 × 0.06 ×10−3 = 60Ω
Z = R + jX L = 50 + j60 = 78.1∠50.20 Ω 1 1 Y= = = 0.0128∠ − 50.20 Ω Z 78.1∠50.20 = 0.0082 − j0.0098 S 1 1 ' R= '= = 122Ω G 0.0082 1 ' L= = 0.102mH 0.0098ω
I
R
.
jω L
.
+ + U R- + U L • 1 o . U = 5∠60 V U jωC 4 −3 jωL = j2π × 3×10 × 0.3×10 = j56.5Ω 1 1 −j = −j = − j26.5Ω 4 −6 2π 3×10 × 0.2×10 × ωC
+. UC -
1 = 15 + j56.5 − j26.5 = 33.54∠63.4o Ω Z = R + jωL − j ωC
X L = ω L = 105 ×1×10−3 = 100Ω
1 1 XC = = 5 = 100Ω −6 ωC 10 × 0.1×10
jX L ( R2 − jXC ) j100 × (100 − j100) Z = R1 + = 30 + jX L + R2 − jXC 100 = 130 + j100Ω
0
解2
用相量图求解，取电流 为参考相量 为参考相量： 用相量图求解，取电流2为参考相量： Ω Ω & 3Ω －j6Ω I ＋ ＋ U －＋ &
1
& U2
j4Ω Ω 3Ω Ω
& U
5Ω Ω
& I & I2
& U1
& I1
& U2
& I2 －
－
& U
例
解
& U1 图示为RC选频网络 选频网络， 图示为 选频网络，试求u1和u0同相位的条件及 ? & = U0
注
为感性， 一般情况 G≠1/R B≠1/X。若Z为感性， ≠ ≠ 为感性 X>0，则B<0，即仍为感性。 ， ，即仍为感性。
同样，若由 变为 变为Z，则有： 同样，若由Y变为 ，则有： R Y G jB Z jX
Y = G + jB =| Y | ∠φy ,
Z = R + jX =| Z | ∠φz
UC
uR = 2.235 2 sin(ω − 3.4o ) V t uL = 8.42 2 sin(ω + 86.6o ) V t
uC = 3.95 2 sin(ω − 93.4o ) V t
注 UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。 ，分电压大于总电压。
& U
பைடு நூலகம்
ϕ
-3.4° °
& UR
& I
相量图
.
.
.
.
.
.
& U 1 Z = = R + jωL − j = R + jX = Z ∠ϕz & I ωC
Z— 复阻抗；R—电阻 阻抗的实部 ；X—电抗 阻抗的虚部 ； 复阻抗； 电阻(阻抗的实部 电抗(阻抗的虚部 电阻 阻抗的实部)； 电抗 阻抗的虚部)；
| Z |= R2 + X 2 转换关系： 转换关系： X φz = arctg R
或
|Z|—复阻抗的模；ϕz —阻抗角。 复阻抗的模； 阻抗角。 复阻抗的模 阻抗角
R=|Z|cosϕz X=|Z|sinϕz
|Z|
U Z= I ϕz =ψ u −ψ i
阻抗三角形
ϕz
R
X
分析 R、L、C 串联电路得出： 、 、 串联电路得出： 为复数， （1）Z=R+j(ωL-1/ωC)=|Z|∠ϕz为复数，故称复阻抗 ） （2）ωL > 1/ωC ，X>0， ϕ z>0，电路为感性，电压领先电流； ， ，电路为感性，电压领先电流； 相量图：选电流为参考向量， 相量图：选电流为参考向量， ψ i
转换关系： 转换关系：
或
| Y |= G2 + B2 B φy = arctg G Y = I G=|Y|cosϕ y U B=|Y|sinϕ y ϕ y =ψ i −ψ u
|Y| B G
导纳三角形
ϕy
分析 R、L、C 并联电路得出： 、 、 并联电路得出： 故称复导纳； （1）Y=G+j(ωC-1/ωL)=|Y|∠ϕy 数，故称复导纳； ） （2）ωC > 1/ωL ，B>0， ϕy>0，电路为容性，电流超前电压 ， ，电路为容性， 相量图：选电压为参考向量， 相量图：选电压为参考向量，
IB
ωC=1/ωL ，B=0， ϕ y =0，电路为电阻性，电流与电压同相 ， ，电路为电阻性，
.
.
I
& IG = I
.
IC
.
& U
等效电路
+
U R .
.
IR
IL
⑤ 复阻抗和复导纳的等效互换
R Z jX Y
G
jB
Z = R + jX =| Z | ∠φz ⇔ Y = G + jB =| Y | ∠φy R−jX Y = 1 = 1 = 2 2 = G + jB Z R+ jX R +X 1 R , B = −X | Y |= , φy = −φz ∴ G= 2 2 2 +X 2 R +X R |Z|
ϕz
& UR
& U
UX
& I
U =
U
2 R
+ U
.
2 X
& UC
& UL
I
R +
.
+ 等效电路
.
-
UR
U -
1 jωC'
+.
UX
-
ωL=1/ωC ，X=0， ϕ z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。 ，电路为电阻性，电压与电流同相。 ， .
& UL
等效电路
& UC
& & UR = U
& I
+. U -
分压公式
& = Zi U & Ui Z
② 导纳的并联
& I
& I
+ & U －
Y1
Y2
Yn
+ & U -
Y
& & & & & & I = I1 + I2 +L+ In = U (Y1 + Y2 +L+ Yn ) = UY
Y = ∑Yk = ∑(Gk + jBk )
k =1 k =1 n n
分流公式
& U 5∠60o & I= = = 0.149∠ − 3.4o A Z 33.54∠63.4o & & U R = R I = 15 × 0.149∠ − 3.4o = 2.235∠ − 3.4o V & & U L = jωLI = 56.5∠90o × 0.149∠ − 3.4o = 8.42∠86.4o V & C = j 1 I = 26.5∠ − 90o × 0.149∠ − 3.4o = 3.95∠ − 93.4o V & U ωC & i = 0.149 2 sin(ω − 3.4o ) A t UL 则 &
例
图示电路对外呈现感性还是容性？ 图示电路对外呈现感性还是容性？ 。 －j6Ω Ω 3Ω Ω 5Ω Ω
解1
等效阻抗为： 等效阻抗为：
j4Ω Ω 3Ω Ω
5(3 + j4) Z = 3 − j6 + 5 + (3 + j4) 25∠53.1 = 3 − j6 + = 5.5 − j4.75Ω 8 + j4
& I
+ & U R + & U -
& I
C
& U Z= =R & I
& I
+ & U L
& U 1 Z = =−j = jXC & I ωC
& U Z = = jω L = jX L & I
Z可以是实数，也可以是虚数 可以是实数，
② RLC串联电路 串联电路
.
L + + uR - + uL u C -
& I
+ & U -
R
& I 1 Y = = =G & U R
& I
+ & U -
& I Y= & U = jω C = jBC
& I Y = = 1/ jω L = jBL & L U
Y可以是实数，也可以是虚数 可以是实数，
④ RLC并联电路 并联电路
i + u R iL L iL C iC +
& = Yi I & Ii Y
两个阻抗Z 的并联等效阻抗为： 两个阻抗 1、Z2的并联等效阻抗为：
Z1Z2 Z= Z1 + Z2
例
求图示电路的等效阻抗， 求图示电路的等效阻抗， ω＝105rad/s 。 R1 30Ω Ω 1mH R2 100Ω Ω 0.1µF µ
感抗和容抗为： 解 感抗和容抗为：
& UL
& U
ϕz
& UR
& UC
=0
三角形U 三角形 R 、UX 、U 称为电压三 角形，它和阻抗三角形相似。 角形，它和阻抗三角形相似。即
UX
U =
& I
+
.
.
U
R
.
2 R
+ U
jω L’
.
2 X
I
等效电路
+ U R + U X-
U -
ωL<1/ωC， X<0， ϕz <0，电路为容性，电压落后电流； ， ，电路为容性，电压落后电流；
I
R
+.
UR
-
例
L + + uR - + uL u C -
i
R
已知： 已知：R=15Ω, L=0.3mH, C=0.2µF, Ω µ + uC -
u = 5 2 sin(ωt + 60o ) 4 f = 3 ×10 Hz . 求 i, uR , uL , uC .
.
解 其相量模型为： 其相量模型为：
ψu = 0
.
& I
I L IC
.
三角形IR 、IB、I 称为电流三角 三角形 它和导纳三角形相似。 形，它和导纳三角形相似。即
ϕy
. IG
IB U &
I=
2 2 IG + I B =
2 IG + ( I L − IC )2
RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象 并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象
设：Z1=R－jXC, Z2=R//jXC
& U1 & Uo
& U1 Z2 & Uo = Z1 + Z2 Z1 + Z2 Z1 = = 1+ Z2 Z2
③导纳
+ & U -
正弦稳态情况下
& I
无源 线性 + & U -
& I
Y
& I 定义导纳 Y = =| Y | ∠φy & U
I Y = U
导纳模 导纳角
ϕ y =ψ i −ψ u
单位： 单位：S
对同一二端网络: 对同一二端网络
1 1 Z = ,Y = Y Z
& I
+ & U C
当无源网络内为单个元件时有： 当无源网络内为单个元件时有：
U R .
.
I
IL IR 1 jω L jωC
.
.
.
IC
= (G − j
& − j 1 U + jωC U & & & & & = 由KCL： I = I R + I L + I C GU ： & ωL 1 & &
ωL
+ jωC)U = [G + j(BL + BC )U = (G + jB)U &
1 = 1 = G−jB = R + jX Z= Y G+ jB G2 +B2 − ∴ R = 2G 2 , X = 2 B 2 G +B G +B 1 | Y |= , φz = −φy |Z|
例 解
RL串联电路如图，求在ω＝106rad/s时的等效并联电路。 串联电路如图，求在ω 时的等效并联电路。 串联电路如图 时的等效并联电路 RL串联电路的阻抗为： 串联电路的阻抗为： 串联电路的阻抗为 50Ω Ω 0.06mH
i
R
I
R
.
jω L
.
+ uC -
+ + U R- + U L 1 . U jωC -
+. UC -
1 & & =& )] I = [R + j( XL + XC )] I( R + jX ) I = [R + j(ωL − ωC
1 . I 由KVL： U = UR + UL + UC = R I + jωL I − j ： ωC
R’
L’
6.阻抗（导纳） 6.阻抗（导纳）的串联和并联 阻抗 ① 阻抗的串联
Z1
& I
Z2
Zn + & U －
& I
Z
+
& U
& & & & & & U = U1 +U2 +L+Un = I (Z1 + Z2 +L+ Zn ) = IZ
Z = ∑Zk = ∑(Rk + jXk )
k =1 k =1 n n