阻抗和导纳
阻抗与导纳
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5
225.536
9.2 复数
1、将原来问题变换为一个较容易处理的问题 2、在变换域中求解问题
3、把变换域中求得的解答反变换为原来的问题
9.2 复数
1.复数的表示形式
Im b 代数式(+/-) |F| F
F a jb
(j 1 虚数单位)
o a Re
F | F | e
j
指数式(证明）
F | F | e j | F |
is1 (t ) 6 2sin(314t 75 ) V us1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V us 2 (t ) 4 2sin(314t 60o ) V
需要通过和差化积计算正弦信号（麻烦）
9.1 变换方法的概念
科学与工程技术领域经常使用变换方法求解问题
变换方法求解问题的基本思路：
9.7 阻抗与导纳
1.复阻抗 Z (正弦稳态情况下) +
I
I
-
U
def
无源 线性 网络
+ U -
Z
U Z R jX | Z | φz I
阻抗模
Z Um Im
阻抗角
z u i
9.7 阻抗与导纳
2.复导纳 Y (正弦稳态情况下) + -
I
I
U
def
无源 线性 网络
试写出电流的瞬时值表达式
电路分析第8章 阻抗与导纳
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
第6章(2)导纳阻抗的一般性质
6Ω 30Ω
j15Ω
j12Ω
(c)等效电路一：串联等效
(d)等效电路二：并联等效
如果知道激励信号频率，则可计算出电感的自感系数L。
第六章 正弦电路的稳态分析
4. 阻抗和导纳的等效互换 用复阻抗Z和复导纳Y表示的两种最简等效电路 可以相互等效变换。变换公式可根据电路等效的概 念求得。 在正弦稳态电路中，两个电路模型欲实现等效，则 需端口处有相同的VCR，即 U = ZI 和 I = YU 完全相同， 显然要求Z与Y互为倒数，
G= R 14.04 14.04 = = S 2 2 2 2 R +X 14.04 + 4.56 217.9
如愿用电阻R’来表示这一元件，则
1 217.9 = 15.52Ω R' = = G 14.04
另一元件导纳为
B=− X 4.56 =− S 2 2 R +X 217.9
B＜0，电纳为电感性。如愿用电抗X’来表示，则
(6.3-11)
|Y|=I/U称为导纳模，导纳模等于电流 I 与电压U 的有效值之比；φY称为导纳角(admittance angle)， 是电流与电压之间的位相差。
第六章 正弦电路的稳态分析
③ 导纳也可以表示为代数形式 Y = G + jB
(6.3-12)
Y的实部G称为电导(conductance)，虚部B称为电纳 (susceptance)。 ④ |Y|、G、B之间的关系为：
第六章 正弦电路的稳态分析
例6.3-2 RL串联电路如6.3-6(a)所示。若要求在
ω=106rad/s时，把它等效成R′L′并联电路(b)，试 求R′和L′的大小。
50Ω
R'
0.06mH
阻抗和导纳
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
《电路分析基础》第八章：阻抗和导纳
学 YR = 1 / R = G
YC = jω C
YL =
1 =−j 1
jω L
ωL
容纳: BC = ωC
感纳:
BL
=
−1
ωL
信息学院电子系
14
2 单口网络的阻抗和导纳
无源单口网络在正弦稳态时单口端钮的电压相量与电流相
中量之比为输入阻抗，阻抗的倒数为输入导纳
输入阻抗：Z
=
U I
(在关联参考方向下)
信息学院电子系
3
8.3 振幅相量
中1. 正弦稳态电路 国 ¾ 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征: 振幅，角频率ω，初相角θ
海 + uR - + uL - iL 洋 iS
u
uS
uL
uR
o
ωt
大 ¾ 正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 学 ¾ 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅
Imcos(ωt+θi) =－CωUmsin(ωt+θu)
¾ 相量关系 =CωUmcos(ωt+θu+90º)
Re(Ime jωt ) = Re( jωCUme jωt )
Im = jωCUm
I = jωCU
Im∠θi =ωCUm∠(θu +90°)
电容 Im=ωCUm
I=ωCU
+ ... + + ... +
Z1n In Z2n In
= US11 = US22
⎪...
Zii：网孔i自阻抗
Zkj(k≠j)：网孔k与j的互阻抗
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的关系
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵是电力系统分析中常用的两个矩阵。
它们之间存在一定的关系和转换。
节点导纳矩阵是描述电力系统中各个节点之间互联关系的矩阵，它通过节点的导纳（含有电阻和电抗的复数形式）表示各个节点之间的互连关系。
节点导纳矩阵常用于节点潮流计算和电力系统的稳态分析。
节点阻抗矩阵则是描述电力系统中各个节点之间互联关系的矩阵，它通过节点的阻抗（含有电阻和电抗的复数形式）表示各个节点之间的互连关系。
节点阻抗矩阵通常用于节点间的短路计算和电力系统的故障分析。
节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵之间可以通过以下关系进行转换：
1.对于一个电力系统，其节点导纳矩阵可以通过节点阻抗矩
阵进行求逆得到。
即可以通过节点阻抗矩阵来推导得到节
点导纳矩阵。
2.反之，节点导纳矩阵可以通过节点阻抗矩阵进行求逆得到。
即可以通过节点导纳矩阵来推导得到节点阻抗矩阵。
这种转换关系可以通过复数阻抗矩阵和复数导纳矩阵之间的关系而得到。
复数阻抗的求逆结果得到的是复数导纳。
总之，节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵是描述电力系统中节点之间互联关系的两个矩阵，它们之间可以通过求逆操作相互转换。
最新高等院校电工学电子学课程第九章《阻抗和导纳》
U R 2
2 245
100
7.07
45 V
U L 2
U L
U
U C
U R
I
U
UX
UR
U
U
2 R
U
2 X
电压三角形
.
IR
+
.
+ U R-
U
-
U+X jX
-
Z R j X Z
|Z| X
R 阻抗三角形
U U R U X U
U
UX
UR
电压三角形
二、导纳
1、定义
Y
1 Z
I
U
I U
具体分析一下 R-L-C 串联电路
Z=R+j( L-1/ C)=|Z|∠ L > 1/ C ，X>0， >0，电压领先电流，电路呈感性； L<1/ C ，X<0， <0，电压落后电流，电路呈容性； L=1/ C ，X=0， =0，电压与电流同相，电路呈电阻性。
画相量图：选电流为参考向量( L > 1/ C )
jB
º
º
Z R jX Z φZ Y G jB Y φY
条件：Z ( jw)Y ( jw) 1 即 | Y ( jw) || Z ( jw) | 1 , φY φZ 0
Y
1 Z
1 R jX
R jX R2 X 2
G
jB
G
R R2X 2
,
B
导纳和阻抗
导纳和阻抗
导纳和阻抗是电信领域中两个非常重要的概念。
它们分别可以描
述电路元件和传输线的电学特性，帮助工程师们更好地设计和分析电路。
导纳是一个电路元件或系统对电流和电压之间相互作用程度的描述。
通俗来说，它是电路的响应能力指数，越大表示电路的响应能力
越好，越小表示电路的响应速度越慢。
导纳可以分为实部和虚部两个部分。
实部描述电路对电流的能力，而虚部则描述电路对电压的能力。
因此，导纳的单位是西门子（S），
其中1西门子等于1安培/伏特。
阻抗则是用来描述电路对电流和电压之间产生阻力的特性。
它由
实部和虚部组成，在电路中扮演着非常重要的角色。
当我们需要利用
电路传输信号时，阻抗的匹配非常重要。
例如，如果我们需要将信号
从一个电路传输到另一个电路，必须确保两个电路的阻抗匹配，否则
将会产生反射并降低传输效率。
阻抗的单位是欧姆（Ω），表示电路对电流的阻力。
阻抗也可以
被看作导纳的倒数，即Z=1/Y。
因此，当导纳较大时，阻抗较小，反之亦然。
总而言之，导纳和阻抗是电路和传输线中非常关键的概念。
它们
可以帮助我们更好地设计和分析电路，在电信领域中有着广泛的应用。
因此，当我们需要进行电路分析时，需要重视导纳和阻抗的作用，并确保它们在电路中的匹配性。
电路中的阻抗与导纳
电路中的阻抗与导纳电路中的阻抗（Impedance）和导纳（Admittance）是电学中非常重要的两个概念。
阻抗是电路对交流电（AC）的抵抗能力，和电阻（Resistance）一样，单位是欧姆（Ohm），但是阻抗是一个复数。
导纳是电路对交流电的导电能力，和电导（Conductance）一样，单位是西门子（Siemens），也是一个复数。
1. 阻抗的定义和计算阻抗是电路对交流电的阻力，包括电容（Capacitance）、电感（Inductance）和电阻三种形式。
以电容为例，如果向电容放入交流电，首先会充电，然后在自身两极之间建立电场，导致电流的变化速度越来越慢，最后达到平衡状态。
因此，电容对交流电的阻力，和电流的相位差为90度。
电容的阻抗可以用以下公式计算：Z_c = 1/ jωC其中，Z_c 是电容的阻抗，j是虚数单位，ω是角频率（radians per second），C是电容的电容值（Farads）。
同理，电感的阻抗为：Z_l = jωL其中，Z_l 是电感的阻抗，L是电感的感抗值（Henries）。
电阻的阻抗为：Z_r = R其中，Z_r是电阻的阻抗，R是电阻的阻值（Ohms）。
将三种元件的阻抗按照欧姆定律叠加，可以得到整个电路的阻抗。
2.导纳的定义和计算导纳是对阻抗的倒数，“导纳”这个词在中文中的用法并不广泛，可能大家比较熟悉“电导”这个词，但是它们的意思是类似的。
导纳的计算方法如下：Y = 1/Z其中，Z是电路的阻抗，Y是电路的导纳。
导纳的好处在于，它更适合于串联和并联电路的计算。
将电路分解成元件，然后按照电路图的框架计算总的导纳，可以很方便地计算整个电路的电流和电压。
通过计算单元件的导纳，我们可以得到电路的传输特性，从而更好地理解电路的工作原理。
3.阻抗和导纳的应用阻抗和导纳在电路设计中有广泛的应用。
在RF电路中，阻抗匹配是非常重要的，它可以让信号在电路中以最大功率传输，从而减小反射损耗。
阻抗与导纳
Z12 Z 23 Z2 Z12 Z 23 Z 31
Z 23 Z 31 Z3 Z12 Z 23 Z 31
使用以上公式时注意以下几点：
熟记基本元件的阻抗和导纳。 同一元件或同一端口的阻抗和导纳互为倒数。
一般来讲，以上各公式中的阻抗和导纳用各 自的模表示时，各等式不成立。 例： Z Z1 Z 2 Z 3 Z n 和电阻电路中的分压、分流公式相同，在使 用时，要注意符号与参考方向的关系。
o
C
注意： U U U U R L C
例2 如图所示电路。已知R1=3、 R2=8， o u 220 2 sin( 314 t 10 )V XC=6 、XL=4 ， 求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。 I i 解: U 22010 o V
Z1 R1 jX L 3 j4 Z 2 R2 jX c 8 j6
3
Z R j( X L X C ) 30 j(79.8 - 39.8)
(30 j40) 5053.1o
22020o U o I 4.4 33 . 1 A o Z 5053
u R – + u u L – + u – C –
R L C
+ i1 u
。
2 1 I I
R1
XL
i2
R2
Xc
+
U
R1
R2
22010o 22010o U – – 1 I Z1 3 j4 553o 44 43 o A 相量模型 o o U 220 10 220 10 o 2 I 22 47 A o Z2 8 j6 10 37 o i 44 2 sin( 314 t 43 )A 1 o o I 1 I 2 44 43 2247 A I o
5.4阻抗与导纳及其等效变换
5．4 阻抗与导纳及其等效变换一、阻抗1．阻抗的定义及表示形式如下图(a)所示的单口无源线性两端网络N 0，设端口电压为2sin()u u U t ωϕ=+，对应的相量.u U U ϕ=∠，端口电流为2sin()i i I t ωϕ=+，对应的相量.i I I ϕ=∠。
则其端口电压相量与电流相量之比定义为该网络的阻抗Z ，即..()u i U UZ Z I Iϕϕϕ==∠-=∠ 由上式可得 u i U Z Iϕϕϕ⎫=⎪⎬⎪=-⎭说明：（1）Z 是一个复数，所以又称为复阻抗，Z 是阻抗的模，ϕ为阻抗角，它是电压与电流的相位差。
复阻抗的图形符号与电阻的图形符号相似，如上图(b)所示。
复阻抗的单位为Ω。
（2）阻抗Z 用代数形式表示时，可写为：j Z R X =+R ：Z 的实部，称为阻抗的电阻分量，单位：Ω，R 一般为正值；X ：Z 的虚部，称为阻抗的电抗分量，单位：Ω，X 的值可能为正，亦可能为负。
阻抗的代数形式与极坐标形式之间的互换公式：22arctan Z R X X R ϕ⎫=+⎪⎬=⎪⎭cos sin R Z X Z ϕϕ=⎫⎪⎬=⎪⎭由阻抗Z 的代数形式可知，由于R 一般为正值，所以有π2ϕ≤，且R 、X 和Z 三者之间的关系可用一个直角三角形表示，如上图（c ）所示。
2．阻抗的性质由于阻抗Z Z ϕ=∠而arctan XRϕ=，电路结构、参数或频率不同时，阻抗角ϕ可能会出现三种情况：（1）0ϕ>（即0X >）时，称阻抗的性质为感性，电路为感性电路； （2）0ϕ=（即0X =）时，称阻抗性质为电阻性，电路为阻性电路； （3）0ϕ<（即0X <）时，称阻抗性质为容性，电路为容性电路。
3．单口无源网络的串联等效电路由.......R X (j )j U Z I R X I R I XI U U ==+=+=+，可知.R U 与.I 同相位，.X U 与.I 相差π2。
第5章 正弦稳态电路分析-2
| Z | R2 X 2
Z
arctg
X R
R | Z | cosZ X | Z | sin Z
|Z| X
Z
R 阻抗三角形
Z UI R jX | Z | Z
当X>0时，Z>0，端口电压超前电流，网络呈感性， 电抗元件可等效为一个电感；
当X<0时，Z<0，端口电流超前电压，网络呈容性， 电抗元件可等效为一个电容；
iS(t) 15 2 cos 2t A, R 1, L 2H,C 0.5F
解 相量模型如图(b)。等效导纳：
Y
YR
YL
YC
1
j1 4
j1 1
j0.75
1.2536.9S
求相量电压：
U
I Y
150 1.2536.912 36.9VFra bibliotek电流相量
IR GU 12 36.9A IL j0.25 U 3 126.9A IC j1U 1253.1A
注意：阻抗和导纳一般为复数，但与Ú、Í有本质不同。 Ú 、Í是代表正弦量的复数，称为相量，字母上必须打点；Z、 Y 只是一般复数，不代表正弦量，因此字母上不打点。
一般情况： Z UI R jX | Z | Z
阻抗是复数，实部R称为电阻分量，虚部
X称为电抗分量，Z= u -i 称为阻抗角，
阻抗的模|Z|= U / I
正弦稳态电路分析方法
相量形式的基尔霍夫定律和欧姆定律与电阻电路中同一 定律的形式完全相同，其差别仅在于电压电流用相应的相量 替换，电阻和电导用阻抗和导纳替换。
因此，分析电阻电路的各种方法和由此推得的网络定理 、性质、公式完全可以用到正弦稳态电路的分析中来。如： 等效变换，各种一般分析法和网络定理等。
阻抗角和导纳角
其中
V V Z ( j ) I I
称为Z(jω)的模； ()=- 称为Z(jω)的幅角，称其为阻抗角。
阻抗角和导纳角
二端网络的入端导纳 当以v(t)作为激励，i(t) 作为响应时，我们定义
I Y ( j ) V
i(t ) 2I sin(t )
阻抗角和导纳角
二端网络的入端阻抗 当以i(t)作为激励，v(t) 作为响应时，我们定义
V Z ( j ) I
为二端网络的入端阻抗（又称驱动点阻抗）。
阻抗角和导纳角
显然，在确定的频率下它是一个复数，在不 同的频率下它是频率的函数。Z(jω)可写成
阻抗角和导纳角
阻抗角和导纳角
阻抗和导纳这两个概念可以推广到由线性定 常元件组成的二端网络中（见图1）。
1
i (t )
线性定常二端
v(t )
1'
(单口)网络
图1 线性定常二端网络
阻抗角和导纳角
正弦稳态下，此网络外部端点①①’（或入 口）上的电压和电流都是正弦量，即
v(t ) 2V sin(t )
为二端网络的入端导纳（又称驱动点导纳）。
阻抗角和导纳角
在确定的频率下它是一个复数，在不同的频 率下它是频率的函数。类似地，Y(jω)可写成
Y j Y j
其中
I I Y ( j ) V V
称为Y(jω)的模； ()=- 称为Y(jω)的幅角，称其为导纳角。
正弦稳态电路中一端口的阻抗和导纳的定义与电阻电路的电阻和电导定义的区别和联系
正弦稳态电路中一端口的阻抗和导纳的定义与电阻电路的电阻和电导定义的区别和联系摘要：1.引言：简要介绍正弦稳态电路和电阻电路的基本概念2.一端口的阻抗和导纳定义a.阻抗：电压与电流的比值，考虑了电压与电流的相位差b.导纳：电流与电压的比值，考虑了电流与电压的相位差3.电阻电路的电阻和电导定义a.电阻：电压与电流的比值，不考虑电压与电流的相位差b.电导：电流与电压的比值，不考虑电流与电压的相位差4.两者之间的区别和联系a.区别：正弦稳态电路中考虑相位差，电阻电路中不考虑相位差b.联系：都是描述电路中电压、电流之间的关系5.结论：总结正弦稳态电路和电阻电路的阻抗、导纳、电阻、电导定义的重要性，以及它们在实际应用中的价值正文：在电路系统中，正弦稳态电路和电阻电路是我们经常遇到的两类基本电路。
正弦稳态电路中的电压、电流往往是正弦波形，而电阻电路则是由电阻元件组成的简单电路。
在这两类电路中，一端口的阻抗和导纳定义有所不同，但又有联系。
首先，我们来了解一下正弦稳态电路中的一端口的阻抗和导纳定义。
在正弦稳态电路中，电压和电流的比值被称为阻抗，用Z表示。
阻抗是一个复数，包含了电阻和电感两部分，即Z=R+jXL。
其中，R表示电阻，XL表示电感。
同样，电流和电压的比值被称为导纳，用Y表示。
导纳也是一个复数，包含了电导和电容两部分，即Y=G+jXC。
其中，G表示电导，XC表示电容。
与正弦稳态电路相比，电阻电路中的一端口的电阻和电导定义就显得简单多了。
在电阻电路中，电压和电流的比值被称为电阻，用R表示。
电阻只是一个实数，不包含任何相位信息。
同样，电流和电压的比值被称为电导，用G表示。
电导也是一个实数。
虽然正弦稳态电路和电阻电路中的一端口的阻抗、导纳、电阻、电导定义有所不同，但它们之间存在一定的联系。
正弦稳态电路中的阻抗和导纳考虑了电压和电流的相位差，而电阻电路中的电阻和电导没有考虑相位差。
这是因为正弦稳态电路中，电压和电流的波形是正弦波，而电阻电路中电压和电流的波形可以是任意波形。
阻抗和导纳-电路分析基础
i1 (t ) 10cos(t 60 ) A i2 (t ) 5 sin(t ) A
求i3 (t )
解：为了利用KCL的相量形式，应首先写出i1、i2的振幅相量
2019年2月23日星期六 信息学院
8-2 复数 一、表示形式 二、复数的四则运算 8-3 振幅相量 正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态。 正弦波，以正弦电压为例，可表示为
u(t ) U m cos(t )
2 2f T
正弦波的三特征：振幅、角频率（频率、周期）和初相。
2019年2月23日星期六 信息学院
结束 结束
给定正弦波的标准形式，可根据振幅和初相直接写出其振幅相量
I 1m 560
2019年2月23日星期六 信息学院
结束 结束
6
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
2、i2 (t ) 10sin(314t 60 ) A
给定正弦波不是标准形式，按照三角函数的变换关系，化成
标准形式后再写其振幅相量。
2019年2月23日星期六 信息学院
结束 结束
1
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
第八章 阻抗和导纳
8-1 变换方法的概念 原来的问题 变换 变换域中较易 的问题 直接求解 原来问题的解答 反变换 变换域中较易 问题的解答
求解
2019年2月23日星期六 信息学院
结束 结束
2
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
2019年2月23日星期六 信息学院
I 3m 4240
结束 结束
7
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
例8-3，写出各振幅相量对应的正弦电压。已知f=50HZ
其阻抗和导纳为倒数关系
2.阻抗三角形
由 Z=R+jX=Ｚ ｚ
Z
可得 Z R2 X 2
X
Z
arctg
X R
Z
R
Ｚ、R、X之间关系可用直角三角形表示，称 为阻抗三角形。
0.181 20
A
I3
R1
R1 j 1
C
I1
1000 1049.5 17.7
0.652.3
0.5770
A
I1
U Z
1000 166.99 52.3
0.652.3
② 阻抗Z的代数式:Z=R+jX,实部R=Ｚcos ｚ称为电 阻,虚部X= Ｚsin ｚ称为电抗;
③ 电抗X可正可负,当X0时,即ｚ 0,称Z是感性的; 当X0,即ｚ 0,称Z是容性的;当X=0时,即ｚ=0,
称Z是阻性的; ④ 电阻R的阻抗ZR=R;电感L的阻抗ZL=jω L,其电抗
Z 58.8 31.8
L
电阻 : UR R 50 187 1.8
电感 : U L jL j62.8 235 88.2
u
电容 :
U C
j
C
j31.8
119
91.8
R C
例 3: 已知: R1 1000 , R2 10 , L 500mH , C 10F ,
318.47 103 90 1049.5 17.7
303.45 72.3 92.11 j289.13
7.1 阻抗和导纳
V
uC =3.95 2cos ωt 93.4o V
第9页
1. 导纳
i + uR -
iR iL LC
RLC
并联电路 I
iC
+
U R
-
IR IL
jL
IC
1
jC
KCL：
I
IR
IL
IC
GU
j 1 U
L
jC U
电导
电纳
导纳
Y
I U
G
jC
1 j
L
G
jC
1
L
小于零时为感纳
大于零时为容纳
第 10 页
1/jC
U Z I R
jz 0 X 0
U
Z I jL jXL jz 90 R=0，X>0
U 1
Z
I
j
C
jX C
jz 90 R=0，X<0
U
I
U
I
I
U 第 7 页
例题 已知R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
u 5 2cos t 60 V，f 30kHz。
求 i, uR，uL，uC。
导纳的定义
I
正弦稳态情况下 +
无源
U
线性
-
网络
I
+
U
Y
-
导纳
Y
def I
U
= I ji U ju
I =
U
ji
ju
Y
φy
I Y
U
jy ji ju
I= YU
欧姆定律的相量形式
Y cos φy j Y sin φy
电路第4章-2(阻抗与导纳)
& I
R1
i2
R2
Xc
+
& U
R1
& I1
R2
& I2
XL
–
jXL - jX C
相量模型
解:
& U = 220∠10o V
1 1 1 = = = 0.2∠ − 53o S Y1 = R1 + jX L 3 + j4 5∠53o
1 1 1 Y2 = = = = 0.1∠37 o S R2 − jX C 8 − j6 10∠ − 37 o
U Um | Z |= = I Im
ϕ z = θu − θi
电压滞后电流， ϕ z < 0 电压滞后电流，容性 电压电流同相， ϕ z = 0 电压电流同相，阻性
4.3.2 用阻抗法分析串联电路
相量模型将所有元件以相量形式表示： 相量模型
C → − jX C 的阻抗
R R的阻抗
i + uR － R L － uC C (a) RLC 串联电路
Z = R + j( X L − X C )
5
1 ) = 5 + j (2 × 10 × 6 × 10 − 5 −6 2 × 10 × 0.001× 10
−3
= 5 − j 3.8 = 6.28∠ − 37.2° kΩ
ϕ z < 0 ，电路呈容性。
如果几个理想元件相串联 几个理想元件相串联时，阻抗的模和幅角 几个理想元件相串联 可由以下三角形求出：
& & I1 = Y1U = 0.2∠ − 53o × 220∠10o = 44∠ − 43o A & & I 2 = Y2U = 0.1∠37o × 220∠10o = 22∠47o A
阻抗和导纳
频率一经确定，即激励正弦信号频率一经确定，单口网络的阻 抗也就被确定，且仅由元件参数和网络拓扑所决定，并不随端 口电压或电流的变化而变化。当电路参数变化时，阻抗也随之 而变，那么 当激励是电流 I S ，根据
将随阻抗Z的变化而变化； 当激励是电压 U ，根据 S 也将随阻抗Z的变化而变化
U S ，响应 I I Z
对同一端口来说
Y
R
1 G
X
1 B
1 1 R jX Z R jX ( R jX )( R jX ) R X 2 j 2 G jB 2 2 R X R X
n k 1
在串联情况下 Z Z k
在并联情况下 Y Yk
k 1
n
测量方法：从电压表和电流表上可读得电压电流的有 效值，用相位计可测得阻抗角Z和导纳角Y
Z Z Z U mS u i Im
输入阻抗
5
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
Z R j( L 1 ) R j( X L X C ) C
从关系式中可以看到，阻抗 Z(j)是一个复数，且是频率的函 数，即同一单口网络，对不同的频率有不同频率的阻抗。
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
例
右示电路，求u0。已知R1=3K， R2=1K，C=30F， iS
iS 2(sin t sin10t sin1000t )
C
i1 R1
i2 R2
u0
解：频率为的电流源
I2 R1 1 R1 R2 j C IS
IS
激励下的符号电路如下
9
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
相量分析法 基本要求：
运用相量法计算正弦稳态电路 耦合电感电路及其去耦方法 正弦稳态电路的相量图解法
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分压公式
& = Zi U & Ui Z
② 导纳的并联
& I
& I
+ & U －
Y1
Y2
Yn
+ & U -
Y
& & & & & & I = I1 + I2 +L+ In = U (Y1 + Y2 +L+ Yn ) = UY
Y = ∑Yk = ∑(Gk + jBk )
k =1 k =1 n n
分流公式
X L = ω L = 106 × 0.06 ×10−3 = 60Ω
Z = R + jX L = 50 + j60 = 78.1∠50.20 Ω 1 1 Y= = = 0.0128∠ − 50.20 Ω Z 78.1∠50.20 = 0.0082 − j0.0098 S 1 1 ' R= '= = 122Ω G 0.0082 1 ' L= = 0.102mH 0.0098ω
& I
+ & U R + & U -
& I
C
& U Z= =R & I
& I
+ & U L
& U 1 Z = =−j = jXC & I ωC
& U Z = = jω L = jX L & I
Z可以是实数，也可以是虚数 可以是实数，
② RLC串联电路 串联电路
.
L + + uR - + uL u C -
例
图示电路对外呈现感性还是容性？ 图示电路对外呈现感性还是容性？ 。 －j6Ω Ω 3Ω Ω 5Ω Ω
解1
等效阻抗为： 等效阻抗为：
j4Ω Ω 3Ω Ω
5(3 + j4) Z = 3 − j6 + 5 + (3 + j4) 25∠53.1 = 3 − j6 + = 5.5 − j4.75Ω 8 + j4
& U 5∠60o & I= = = 0.149∠ − 3.4o A Z 33.54∠63.4o & & U R = R I = 15 × 0.149∠ − 3.4o = 2.235∠ − 3.4o V & & U L = jωLI = 56.5∠90o × 0.149∠ − 3.4o = 8.42∠86.4o V & C = j 1 I = 26.5∠ − 90o × 0.149∠ − 3.4o = 3.95∠ − 93.4o V & U ωC & i = 0.149 2 sin(ω − 3.4o ) A t UL 则 &
转换关系： 转换关系：
或
| Y |= G2 + B2 B φy = arctg G Y = I G=|Y|cosϕ y U B=|Y|sinϕ y ϕ y =ψ i −ψ u
|Y| B G
导纳三角形
ϕy
分析 R、L、C 并联电路得出： 、 、 并联电路得出： 故称复导纳； （1）Y=G+j(ωC-1/ωL)=|Y|∠ϕy 数，故称复导纳； ） （2）ωC > 1/ωL ，B>0， ϕy>0，电路为容性，电流超前电压 ， ，电路为容性， 相量图：选电压为参考向量， 相量图：选电压为参考向量，
UC
uR = 2.235 2 sin(ω − 3.4o ) V t uL = 8.42 2 sin(ω + 86.6o ) V t
uC = 3.95 2 sin(ω − 93.4o ) V t
注 UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。 ，分电压大于总电压。
& U
ϕ
-3.4° °
& UR
& I
相量图
0
解2
用相量图求解，取电流 为参考相量 为参考相量： 用相量图求解，取电流2为参考相量： Ω Ω & 3Ω －j6Ω I ＋ ＋ U －＋ &
1
& U2
j4Ω Ω 3Ω Ω
& U
5Ω Ω
& I & I2
& U1
& I1
& U2
& I2 －
－
& U
例
解
& U1 图示为RC选频网络 选频网络， 图示为 选频网络，试求u1和u0同相位的条件及 ? & = U0
& = Yi I & Ii Y
两个阻抗Z 的并联等效阻抗为： 两个阻抗 1、Z2的并联等效阻抗为：
Z1Z2 Z= Z1 + Z2
例
求图示电路的等效阻抗， 求图示电路的等效阻抗， ω＝105rad/s 。 R1 30Ω Ω 1mH R2 100Ω Ω 0.1µF µ
感抗和容抗为： 解 感抗和容抗为：
& I
+ & U -
R
& I 1 Y = = =G & U R
& I
+ & U -
& I Y= & U = jω C = jBC
& I Y = = 1/ jω L = jBL & L U
Y可以是实数，也可以是虚数 可以是实数，
④ RLC并联电路 并联电路
i + u R iL L iL C iC +
ϕz
& UR
& U
UX
& I
U =
U
2 R
+ U
.
2 X
& UC
& UL
I
R +
.
+ 等效电路
.
-
UR
U -
1 jωC'
+.
UX
-
ωL=1/ωC ，X=0， ϕ z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。 ，电路为电阻性，电压与电流同相。 ， .
& UL
等效电路
& UC
& & UR = U
& I
+. U -
③导纳
+ & U -
正弦稳态情况下
& I
无源 线性 + & U -
& I
Y
& I 定义导纳 Y = =| Y | ∠φy & U
I Y = U
导纳模 导纳角
ϕ y =ψ i −ψ u
单位： 单位：S
对同一二端网络: 对同一二端网络
1 1 Z = ,Y = Y Z
& I
+ & U C
当无源网络内为单个元件时有： 当无源网络内为单个元件时有：
U R .
.
I
IL IR 1 jω L jωC
.
.
.
IC
= (G − j
& − j 1 U + jωC U & & & & & = 由KCL： I = I R + I L + I C GU ： & ωL 1 & &
ωL
+ jωC)U = [G + j(BL + BC )U = (G + jB)U &
设：Z1=R－jXC, Z2=R//jXC
& U1 & Uo
& U1 Z2 & Uo = Z1 + Z2 Z1 + Z2 Z1 = = 1+ Z2 Z2
或
|Z|—复阻抗的模；ϕz —阻抗角。 复阻抗的模； 阻抗角。 复阻抗的模 阻抗角
R=|Z|cosϕz X=|Z|sinϕz
|Z|
U Z= I ϕz =ψ u −ψ i
阻抗三角形
ϕz
R
X
分析 R、L、C 串联电路得出： 、 、 串联电路得出： 为复数， （1）Z=R+j(ωL-1/ωC)=|Z|∠ϕz为复数，故称复阻抗 ） （2）ωL > 1/ωC ，X>0， ϕ z>0，电路为感性，电压领先电流； ， ，电路为感性，电压领先电流； 相量图：选电流为参考向量， 相量图：选电流为参考向导纳）的串联和并联 阻抗 ① 阻抗的串联
Z1
& I
Z2
Zn + & U －
& I
Z
+
& U
& & & & & & U = U1 +U2 +L+Un = I (Z1 + Z2 +L+ Zn ) = IZ
Z = ∑Zk = ∑(Rk + jXk )
k =1 k =1 n n
.
I
等效电路
+
U R .
.
IR
.
1 jωC'
IB
ωC<1/ωL ，B<0， ϕy<0，电路为感性，电流落后电压； ， ，电路为感性，电流落后电压；
. ϕy I.G
& U
& I
IC
. IL
I=
2 2 IG + I B =
2 IG + (I L − IC )2
.
I
+ 等效电路
U R .
.