相似三角形的证明与判定

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相似三角形的判定公式

相似三角形的判定公式1.AAA相似判定法：若两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么由内角和相等可得：∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F由于∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以：∠A+∠B+∠C=∠A+∠B+∠C所以，两个三角形的内角和相等，从而可以得出它们的内角之间是一一对应的，所以这两个三角形是相似的。

2.相似三角形的边长成比例判定法：若两个三角形的对应边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设∠A≈∠D，∠B≈∠E，∠C≈∠F，那么由比例的定义可得：AB/DE=BC/EF=AC/DF我们可以通过对等式两边进行交叉相乘来验证这个结论。

将第一个比例的等式交叉相乘得到：AB·EF=BC·DE再将第二个比例的等式交叉相乘得到：AC·DE=AB·DF由于AB·EF=BC·DE，所以AB/DE=BC/EF由于AC·DE=AB·DF，所以AC/DF=AB/DE从而可以得到这两个三角形相似。

3.SSS相似判定法：若两个三角形的对应边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设∠A≈∠D，∠B≈∠E，∠C≈∠F，那么由比例的定义可得：AB/DE=BC/EF=AC/DF根据证明方法2可知，这个结论也是成立的。

综上，根据AAA相似判定法、相似三角形的边长成比例判定法和SSS 相似判定法，我们可以判断两个三角形是否相似。

需要注意的是，这些判定公式只是一种方法，具体使用时，需要根据实际情况进行选择和应用。

同时，对于相似三角形问题，还可以利用相似三角形的性质进行解题，例如利用相似三角形的边长比例关系求解未知边长或角度等。

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。

在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。

本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。

一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。

1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。

2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。

1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。

例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。

2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。

具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。

3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。

如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。

具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。

相似三角形的性质在数学中应用广泛。

例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。

三角形判断全等及相似定理

相似三角形的判定定理:(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似).(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C21、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL，属于SSA)，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。

证明三角形相似判定方法

证明三角形相似判定方法三角形的相似判定方法主要有三种，分别是AAA相似判定法、AA相似判定法和边比值相似判定法。

下面将对这三种判定方法进行详细解释。

首先是AAA相似判定法。

根据AAA相似判定法，如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形是相似的。

假设有两个三角形ABC和DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可判定三角形ABC和DEF相似。

其次是AA相似判定法。

根据AA相似判定法，如果两个三角形的两个角分别相等，且它们对应的两边成比例，则这两个三角形是相似的。

假设有两个三角形ABC和DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，则可判定三角形ABC和DEF相似。

最后是边比值相似判定法。

根据边比值相似判定法，如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

假设有两个三角形ABC和DEF，如果AB/DE=AC/DF=BC/EF，则可判定三角形ABC和DEF相似。

下面以AAA相似判定法为例进行证明。

假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

我们需要证明三角形ABC和DEF相似，即证明它们的边比值相等。

由于∠A=∠D，根据角度对应定理，可以得到∠BAC=∠EDF。

又由于∠B=∠E，根据角度对应定理，可以得到∠CBA=∠FED。

首先考察三角形ABC和DEF的边比值AB/DE。

根据正弦定理，可以得到：sin∠BAC/DE = sin∠ABC/AB由于∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，所以sin∠BAC = sin∠EDF，sin∠ABC = sin∠DEF。

将其代入上式，可以得到：sin∠EDF/DE = sin∠DEF/AB即AB/DE = sin∠DEF/sin∠EDF同理，可以证明AC/DF = sin∠DEF/sin∠FED和BC/EF =sin∠EDF/sin∠FED。

综上所述，根据AAA相似判定法，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以得知AB/DE=AC/DF=BC/EF，即三角形ABC和DEF相似。

三角形相似(含方法步骤)

.相似三角形及相似条件1.【基础知识】1-1三角对应相等，三边对应成比例的三角形，叫相似三角形 1-2判定定理：定理1.两个角对应相等的两个三角形相似定理2.三边对应成比例的两个三角形相似定理3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似1-3相似性质：相似三角形对应高的比，对应角的角平分线的比对应边的比周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方2. 【知识应用】题目要直接证明相似，边成比例或求边的比值，周长，面积的比值方法：2-1.从问题中找出要证明的两个三角形，若没有则需作辅助线构造三角形2-2.若条件中出现角相等或平行线，垂线的，优先考虑用定理1 2-3.若条件中出现边长或边的比，则考虑定理2和定理32-4再根据所选定的定理，看还差什么条件，到已知中去找或者到图形中去找隐含条件，如对顶角，公共角，直角，公共边等从而证明出相似注意：1.写对应边比例式时，要遵循“横纵一致原则”即，横向看所有处在分子位置的边必须是属于同一个三角形，处在分母位置的边亦然，纵向看分子分母必须是一组对应边 2.在证明边成比例时，如果按步骤2-1仍然无法找到符合的三角形，则一般情况考虑用两组相似三角形，找出一个比例中间量，利用中间量证明边成比例 3.【综合应用】题目问边长3-1.看已知边和要求边同时出现在哪些三角形中，从而确定出相似的两个三角形 3-2.根据【知识应用】的方法，证明相似3-3利用对应边的比例关系，列出等式，解出所求注意：列比例关系时，一定要是对应边，再者等式两边比的先后顺序也要一致【基础训练】1. 对应角___________，对应边_____________的三角形，叫做相似三角形.2. 如果~'''A B C A B C ∆∆，对应边6,''3,AB cm A B cm ==那么A B C ∆与'''A B C ∆的相似比为________；'''A B C ∆与A B C ∆的相似比为__________________3. A B C ∆的各边长之比为2：5：6，与其相似的另一个'''A B C ∆的最大边为18,cm 那么它的最小边为___________.4. 两个相似三角形的面积比为4：3，则相似比为_____________.5. ~''',ABC A B C ∆∆A B C ∆的三边长分别为3、4、5，'''A B C ∆的最大边长为15，则'''A B C S ∆=________.6. 下列说法正确的个数是（） ① 相似三角形的对应角相等，对应边相等. ② 三角形全等是相似的特殊情况；③ 全等三角形是相似比等于1的相似三角形..0A .1B .2C .3D7. A B C ∆的三边长为3：4：5，与它相似的'''A B C ∆的最短边长为6，则'''A B C ∆的周长是（）.12A .18B .24C .36D8.两个相似多边形的相似比是2：3，它们的面积之差是302,cm 那么它们的面积之和为（）2.74A cm 2.76B c m 2.78C c m 2.80D c m9.下列说法错误的是（）.A 两个全等的三角形一定相似 .B 两个直角三角形一定相似.C 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 .D 相似的两个三角形不一定全等10. ~''',ABC A B C ∆∆如果0055,100,A B ∠=∠=则'C ∠的度数等于（）.A 055 .B 0100 .C 025 .D 030【典型例题】例1.①已知~,ABC ACD ∆∆且5,4,AD BD ==则A C D ∆与A B C ∆的相似比是________. ②在R t A B C ∆中，D 是A C 的中点，D E 垂直于斜边,AB 点E 为垂足，则~,ABC ADE ∆∆若10,4,AB AE ==则AD =___________.1题图 2题图 3题图 4题图③如图所示，G 为A B C ∆的重心，作//D G A C 交B C 于,D 作//E G A B 交B C 于,E 则G D E ∆的面积与A C B ∆的面积比为___________.④ 如图所示，在A B C ∆中，//,DE BC 且分A B C ∆为面积相等的两个部分，则:D E B C =_. ⑤如果111~,ABC A B C ∆∆且相似比为2,3111222~A B C A B C ∆∆且相似比为5,4则A B C ∆与222A B C ∆的相似比是（） 5.6A 6.5B 5.6C 或658.15D例2.如图所示，已知~,4,2,ACP ABC AC AP ∆∆==求A B 的长.例3、①一个三角形的三边长分别为5，12和13，与其相似的三角形的最大边长为39，那么较大三角形的周长是多少？两个三角形的周长比是多少？②已知一个三角形框架，其边长分别为4，5，6，现在要做一个与其相似的三角形框架，已知现有一根长为2的木条，则其他两根木条应取多长？例4.已知，边长为2的正三角形,//,:1:4,BC D ABC ABC D E BC S S ∆∆=求C E 的长.例5.如图，在A B C ∆中，,AB AC =B D 为腰A C 上的高.求证：212C D C A B C ⋅=例 6.①如图，梯形A B C D 中，0//,90,A B D C B E ∠=为B C 上一点，且,A E E D ⊥若12,BC =7,:1:2,DC BE EC ==求A B 的长.②已知如图，在梯形A B C D 中，0//,90,7,2,3,AD BC A AB AD BC ∠====在线段A B 上是否存在点P ，使得以,,P A D 为顶点的三角形与以,,P B C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求出这样的P 点有几个，并计算出A P 的长度.例7.如图所示，在A B C ∆中，090,6C AC ∠==厘米，8B C =厘米，斜边10A B =厘米，点P 从点B 出发，沿B C 向点C 以2厘米秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿C A 向点A以1厘米秒的速度移动，如果,P Q 分别从,B C 同时出发.（1）经过多少秒时，~;CPQ CBA ∆∆（2）经过多少秒时，以,,C P Q 为顶点的三角形与A B C ∆相似.例8.如图，一个边长为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边,AD DC 上，那么这个正方形的面积是___平方厘米.【课堂练习】1、如果~,ABC FDE ∆∆则A ∠=_________,C ∠=_______，A B B C=___________.2、如图，~,10,13,8,ABC DCA AB BC AC ∆∆===则AD =_____,D C =______.3、如图A D 是A B C ∆的角平分线，,,12,20,BE AD CF AD CF BE ⊥⊥==64,AB AC +=则A B =_______.2题 3题4、直角三角形斜边上的高分斜边为3:2两段，斜边上的高为6,cm 则斜边上的中线长为____.5、已知~''',ABC A B C ∆∆且:''1:1,AB A B =则A B C ∆和'''A B C ∆的关系是________.6、已知~,ABC DEF ∆∆且3,2A B D E=则这两个三角形对应中线之比为________，面积之比为__________.7、在A B C ∆中，12,8,AB cm AC cm ==点,D E 分别在,AB AC 上，如果AD E ∆与A B C ∆能够相似，且4A D cm =时，则A E =______________cm .8、E 是平行四边形A B C D 的B C 边上一点，A E 交B D 于,F 且:4:5,BE EC =求B F F D和A F F E的值.9、在锐角A B C ∆中，F 是A C 上一点，且1,2A F G F C=是B F 中点，连结A G 并延长，交B C与.E （1）求B E E C的值。

相似三角形的判定与性质

证明结论：证明了相似三角形的性质定理，为后续的判定定理证明提供了基础
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地理学中的应用：测量距离、确定位置等
航海学中的应用：确定船只的位置、航向等
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相似三角形的判定定理与性质定理的证明
判定定理的证明
定义法：利用相似三角形的定义，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
平行线法：利用平行线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
角平分线法：利用角平分线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
适用情况：适用于已知三角形角度和边长的情况
注意事项：在应用定义法时，需要仔细检查对应角和对应边的比例关系，以避免出现误差
平行线法
添加标题
添加标题
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添加标题
适用范围：适用于直角三角形和非直角三角形
定义：利用平行线性质，通过比较对应边和角的比例关系来判定两个三角形是否相似
证明方法：利用平行线的性质和相似三角形的定义进行证明
应用举例：在几何问题中，常常利用平行线法来判定两个三角形是否相似
角角角法
性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛的应用
定义：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
判定方法：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
边边边法
证明方法：利用相似三角形的性质和判定定理进行证明
证明：根据相似三角形的定义，可以通过相似比推导出对应角相等
对应边成比例
性质定义：相似三角形的对应边长比例相等
性质推论：相似三角形的对应高、中线、角平分线等比例
性质应用：在几何证明和计算中，利用对应边成比例的性质可以简化问题

相似三角形的判定和性质

相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。

（2）相似三角形的周长比等于相似比。

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。

二、典型例题例1：如图，已知直线AB：y=4/3 x+b交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．（1）试证明：△ABC∽△AOB；（2）求△ABC的周长．例2：如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-1，0）和点（1，4）交y轴于点B．（1）求一次函数解析式和B点坐标．（2）过B点的另一直线1与直线AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点P的坐标．（3）点M（0，a）为y轴正半轴上的动点，点N（b，O）为X轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线AB时，求a：b的值．例3：（2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中，EF 是BD 的垂直平分线，已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD 的周长．例4：（2010·攀枝花）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连接EF ．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积．例题(1)两个相似三角形的面积比为21:s s ，与它们对应高之比21:h h 之间的关系为_______ (2)如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若16:9:=∆∆COB ABC S S ，则AD:DB=_________BCDE AO(2)题图(4)题图BGFE DAC(5)题图CA ’D D ’ C ’B ’ BA(3)如图，已知AB ∥CD,BO:OC=1:4,点E 、F 分别是OC ，OD 的中点，则EF:AB 的值为 (4)如图，已知DE ∥FG ∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,则) (S ::FBCG DFGE =∆四边形四边形S S ABCA.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形A ’B ’C ’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC=2,则正方形移动的距离AA ’是 (6)梯形ABCD 中，AD ∥BC ，（AD<BC ），AC 、BD 交于点O,若ABCD OAB S S ∆∆=256,则△AOD 与△BOC 的周长之比为__________。

相似三角形及判定

相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。

，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。

，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。

相似三角形的判定十大题型

在△BPG 中，∵∠B＝45°，
∴∠AGB＝∠CPF，
∴∠BPG+∠BGP＝135°，
∵∠B＝∠C，
∴∠BGP＝∠CPF，
∴△PBG∽△FCP．
∵∠B＝∠C，
∴△PBG∽△FCP；
【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】
【例 4】四边形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，连接 DE，CE．（1）若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；（2）若四边形 ABCD 为矩形，AB＝5，BC＝2，且图中的三个三角形都相似，求 AE 的长．（3）若∠A＝∠B＝90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断 AE 和 BE 的数量关系并说明理由．
解：（1）∵D、E 分别是 AC、BC 的中点， ∴DE∥AB，DE= 12AB＝5， ∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B， ∴∠DEC＝∠F， ∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， ∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B， ∴∠CDE＝∠B， ∵∠B＝∠F， ∴∠CDE＝∠F， ∵∠CED＝∠DEF， ∴△CDE∽△DFE．
出发，问在运动 5 秒钟内，以点 D，A，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似？（只考
虑以点 A、O 为对应顶点的情况）
解：（1）C（3，4），D（9，4）；
（2）易知：OB＝AB＝10；
∵C 点坐标为（3，4），
∴点 C 到 x 轴的距离为 4
①当点 D 在线段 OA 上，即 0＜t≤6 时，OD＝2t；
则：S=
12OD×4=
1 2
×2t×4＝4t；
②当 D 在线段 AB 上，即 6≤t＜11 时，BD＝OA+AB﹣2t＝22﹣2t；

相似三角形的判定条件及证明

相似三角形的判定条件及证明相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有相似的形状但可能具有不同的大小。

在实际问题中，我们经常需要确定两个三角形是否相似。

本文将介绍判定相似三角形的条件及其证明方法。

1. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等（其中一个角必须是对应角），那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠C = ∠F。

我们需要证明它们是相似的。

根据AA相似定理，我们只需证明另外一个对应角也相等。

假设∠A = ∠D，∠B = ∠E。

根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠D - ∠E = ∠F。

因此，三角形ABC和三角形DEF的对应角都相等，根据AA相似定理，它们是相似的。

2. 三边比值相等定理如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = BC/EF =AC/DF。

我们需要证明它们是相似的。

假设AB/DE = BC/EF，我们可以得到AB/BC = DE/EF。

根据三角形的角边比例定理，如果三角形的两边之间的比值相等，那么这两个三角形的对应角也相等。

因此，∠A = ∠D，而根据AA相似定理，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是相似的。

3. SAS相似定理如果两个三角形的一对对应边成比例，并且两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D。

我们需要证明它们是相似的。

我们已经得知∠A = ∠D，因此，我们只需证明另外两对对应边之间的比值相等。

设x = AB/DE = AC/DF，我们可以得到DE = AB/x，DF = AC/x。

由此可得：DE/DF = (AB/x)/(AC/x) = AB/AC。

相似三角形的判定及性质

R
r
19
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF
交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
H
A
D
E F
B
C
G
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理定义引理 20
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC. O 求证:△DEF∽△ABC.
(2) AD BC AC ED
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a，AC=b， A′B′=a′，当 A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？
22
小结
相
似
三
角形
预备定理
的
概
念
判定定理1
判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
23
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
9
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。
两边对应成比例及夹角相等
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定
理.
10
定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

三角形的相似性质及证明

三角形的相似性质及证明三角形是基础的几何图形之一，它具有多种性质和特点。

其中之一便是相似性质。

本文将会介绍三角形的相似性质，以及其证明过程。

一、相似性质的定义在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，而对应边的比值相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。

记作∆ABC∼∆DEF。

二、相似性质的判定1. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角相等，则这两个三角形是相似的。

例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。

证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。

因此，根据AAA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。

2. AA判定法：若两个三角形的两个角度对应相等，则这两个三角形是相似的。

例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。

证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。

因此，根据AA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则这两个三角形是相似的。

例如，已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。

证明过程：由已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，可以得到三角形ABC与DEF中的角度和边长对应关系相等。

因此，根据SAS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。

4. SSS判定法：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形是相似的。

例如，已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。

证明过程：由已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，可以得到三角形ABC与DEF中的边长对应关系相等。

因此，根据SSS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。

三、相似性质的应用相似性质在几何学中有广泛的应用，以下列举几个例子。

1. 相似三角形的比例关系：根据相似三角形的定义，可以得到相似三角形的对应边长之间的比例关系。

三角形的相似判定

三角形的相似判定相似三角形是高中数学中非常重要的概念之一。

在几何图形中，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。

本文将从相似三角形的定义、判定方法和一些相关性质进行探讨。

1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。

具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。

2. 判定相似三角形的方法（1）AA判定法当两个三角形的两个对应角相等时，如果它们的第三个对应角也相等，那么这两个三角形是相似的。

具体而言，若∠A=∠D，∠B=∠E，则可推出∠C=∠F，从而得出两个三角形相似。

（2）SAS判定法当两个三角形的一个对应边成比例，两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。

具体而言，若AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可推出∠B=∠E，从而得出两个三角形相似。

（3）SSS判定法当两个三角形的对应边成比例时，这两个三角形是相似的。

具体而言，若AB/DE=AC/DF=BC/EF，则得出两个三角形相似。

3. 相似三角形的性质（1）相似三角形内角相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角都相等。

这一性质可以通过AA判定法和SAS判定法得到证明。

（2）相似三角形边长比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边之比相等。

这一性质可以通过SAS判定法和SSS判定法得到证明。

（3）相似三角形面积比如果两个相似三角形的边长比为k，则它们的面积之比为k²。

也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF相似且AB/DE=AC/DF=BC/EF=k，那么三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k²。

4. 常见应用相似三角形的概念在几何问题中有广泛的应用。

例如，可以利用相似三角形的性质解决高塔定影问题、测量无法直接获得的长度等。

5. 实例分析现举一个例子来说明相似三角形的判定及应用。

第13讲相似三角形判定定理的证明

第13讲相似三角形判定定理的证明课程标准1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。

知识点01 相似三角形判定定理的证明（一）相似三角形的判定定理1的证明过程已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE ∽△A′B′C′.知识精讲目标导航∴△ABC ∽△A′B′C′.（二）相似三角形的判定定理2的证明过程已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，∠A=∠A′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AB ACAD AE=. ∵''''AB ACA B A C =,AD=A′B′, ∴''AB ACAD A C =∴''AC ACAE A C =∴AE=A ′C′ 而∠A=∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（三）相似三角形的判定定理3的证明过程已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，''''''AB BC ACA B B C A C ==.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A′B′,AE=A′C′,∴AB ACAD AE=而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE=又''''AB BCA B B C =，AD= A′B′, ∴''AB BCAD B C =∴''BC BCDE B C =∴DE=B′C′,∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.知识点02 证明相似三角形的一般思路（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。

三角形相似的判定方法

三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。

22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

证明相似三角形判定方法

证明相似三角形判定方法证明相似三角形的判定方法有多种，以下是其中的50种方法，并对每种方法进行详细描述：1. 相似角对应相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

2. 辅助角相等：如果两个三角形的一个角等于另一个角的辅助角，则这两个三角形相似。

3. 边长比例相等：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形相似。

4. 三边比例相等：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。

5. 比较周长：如果两个三角形的周长比例相等，则这两个三角形相似。

6. 比较面积：如果两个三角形的面积比例相等，则这两个三角形相似。

7. 角平分线所成的相似三角形：如果两个三角形的一个角被其相对边的平分线所平分，且两个角相等，则这两个三角形相似。

8. 内切圆和外切圆：如果两个三角形的内切圆和外切圆的半径比例相等，则这两个三角形相似。

9. 三角形的高比较：如果两个三角形的高的比例相等，则这两个三角形相似。

10. 图中的角平分线构成相似三角形：如果两个三角形的一个角被图中一条直线平分，且划分的相邻两边的比例相等，则这两个三角形相似。

11. 内接三角形相似性：如果一个三角形内部有另一个相似的三角形，则这两个三角形相似。

12. 应用正弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的正弦比相等，则这两个三角形相似。

13. 应用余弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的余弦比相等，则这两个三角形相似。

14. 应用正切定理：如果两个三角形中包含的两个角的正切比相等，则这两个三角形相似。

15. 利用半角公式：如果两个三角形中包含的两个角的半角正弦比相等，则这两个三角形相似。

16. 利用角平分定理：如果平分一个三角形的一个角，并且用两条角平分线切分其对边，则所得的小三角形相似。

17. 边角边：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，则这两个三角形相似。

18. 角边角：如果两个三角形的一对对应角和夹边相等，则这两个三角形相似。

19. 边边边：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形相似。

证明相似三角形判定方法

证明相似三角形判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

证明两个三角形相似的方法有多种，下面是50条关于证明相似三角形的方法，并展开详细描述。

1. 三角形内角相等原理：如果两个三角形的对应内角相等，则它们是相似的。

2. 三角形内角和等于180度原理：如果两个三角形的对应内角和相等，则它们是相似的。

3. 直角三角形的相似判定：如果两个直角三角形的两个锐角分别相等，则它们是相似的。

4. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，其对应边的比例相等，则它们是相似的。

5. AAA相似判定：如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是相似的。

6. 内角和边的比例判定：如果两个三角形的对应边的比例相等，则它们是相似的。

7. 直角三角形斜边比例判定：如果两个直角三角形的两个直角边的比例相等，则它们是相似的。

8. SAS相似判定：如果两个三角形的一个边及其夹角分别与另一个三角形的一个边及其夹角相等，则它们是相似的。

9. SSS相似判定：如果两个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例，则它们是相似的。

10. 应用百分比表示相似：利用百分比表示相似三角形的边长之比，推导相似关系。

11. 等腰三角形的相似判定：如果两个等腰三角形的对应角相等，则它们是相似的。

12. 内切圆与三角形的相似性：利用内切圆切割一个三角形，可以得到两个相似三角形。

13. 外接圆与三角形的相似性：利用外接圆切割一个三角形，可以得到两个相似三角形。

14. 通过平行线判定相似：如果两个三角形中的对应边全都平行，则它们是相似的。

15. 通过中位线判定相似：如果两个三角形中的对应边全都平行，则它们是相似的。

以上是关于证明相似三角形的50种方法，每种方法都可以通过具体的例子和证明过程来详细描述。

相似三角形的证明与判定

相似三角形的判定公式

相似三角形的判定与性质

三角形判断全等及相似定理

证明三角形相似判定方法

三角形相似(含方法步骤)

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定和性质

相似三角形及判定

相似三角形的判定十大题型

相似三角形的判定条件及证明

相似三角形的判定及性质

三角形的相似性质及证明

三角形的相似判定

第13讲 相似三角形判定定理的证明

三角形相似的判定方法

证明相似三角形判定方法

证明相似三角形判定方法

第13讲相似三角形判定定理的证明