专题训练1 二次根式求值的常用方法
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧
1、分解因子：将多项式的括号分解，提取未知项；
2、分子分母同乘以同一因子或者最小公倍数：分子分母乘以最小公倍数后，可分解未知项；
3、比例问题转化为相似三角形：通过比例问题比较两个等式，转化为两个相似三角形，求他们的包含角；
4、代入等式方法：把另外一个等式中的已知值替换掉未知项，再用未知项代入其他等式求解；
5、化简为等式：将式子中的所有常数项移到右边，使左边的各未知项组成解；
6、同类项除法：直接将同类项的分子分母分别相除，可消去某项未知数；
7、加减同乘：可以把加/减法式改成乘法式，使同类项可相除；
8、乘除同加：可以把乘/除法式改成加法式，使同类项可分解；
9、移项求值：把式子中的所有未知项移到右边，用常数项求出变量值；
10、套管问题：将多项式中的未知数抽出，再套回原来的表达式中去，计算未知项的值。
二次根式常见题解法
二次根式常见题解法二次根式的概念在高中数学中就已经涉及，是一种求解多元二次方程的方法，也是许多高中考试中的重要内容。
对于二次根式的解法，有多种，在本文中，将介绍几种最常见的解法。
首先，提取公因子法。
二次方程的有用性在于它能提取出一个公因子，形式上也就是把乘项移到右边，即可化为带有根式的形式。
针对不同的题目，求解其根时，也可以采用提取公因子法，即把被乘项提取到右边，把所有乘项放在一起，提取出共同的因子，最后化为乘法及加法。
其次，分式分解法。
分式分解法要求将被乘项和乘项分别分解为两个不同的因数，这样，就可以由乘法的原理，把二次方程的解分解为乘积的形式。
通过分式分解，二次方程便可以化为一个简单的乘法，从而轻易求得两个根式。
最后，开方法。
开方的解法是一种直观的求解方法，其原理是，将二次方程的右边开方，直接求得两个根式。
开方法较为简单，但是需要把握正确的根式，而不容半开方或虚部处理，因此，该方法仅适用于部分题目。
以上是三种最常见的二次根式求解法。
从它们的原理和实质上来看，不同的解法都蕴含着一套精密的数学逻辑，实践中，为正确求解二次根式，需要不断掌握和提升解题技巧和算法，以便给出最优解。
在复杂的数学解法中，二次根式求解也是一种重要内容，为了更好地实现上述求解，需要在理解相关原理的基础上，结合实际情况，采用适当的方法。
比如，对于倒数问题，可以采用开方法求解；对于高次项中具有公因子的问题，可以提取公因子在右边求解；而对于含有分式的问题，可以采用分式分解法求解。
因此，遇到加减乘除等不同类型的二次方程时，要根据具体情况选择最合适的求解方法。
在掌握方法的同时，也应注意分辨解题中的根式，避免出现错误。
为此，在解题中，要熟练掌握方程的乘法和加减法，是正确求解二次根式的关键。
因此，搞清楚二次根式的求解方法，不仅对学生的学习有利，也有利于学生能够在不同的题目中求得正确答案，从而取得更高的成绩。
以上就是《二次根式常见题解法》，希望能帮助到大家更好地解决二次根式求解的问题。
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】类比归纳专题：二次根式求值的常用方法——明确计算便捷渠道◆类型一 利用二次根式的非负性求值1．若a ，b 为实数，且|a ＋1|＋b －1＝0，则(ab )2018的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．±12．已知a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，则a 2018＋b 2017的值是________．3．若a 2－3a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，则a 2＋1a 2－|b |＝________． 4．若y ＝x －3＋3－x ＋2，求x y 的值．【方法1②】◆类型二 利用乘法公式进行计算5．计算： (1)(5＋3)2; (2)(25－2)2；(3)(3＋2)2－(3－2)2.6．已知x ＋1x ＝5，求x 2x 4＋x 2＋1的值．◆类型三 整体代入求值7．已知x ＝2－10，则代数式x 2－4x －6的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．28．(2017·安顺中考)已知x ＋y ＝3，xy ＝6，则x 2y ＋xy 2的值为________．9．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．10．已知x ＝13－22，y ＝13＋22，求x y ＋y x －4的值．参考答案与解析：1．B 2.23．6 解析：∵a 2－3a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，∴a 2－3a ＋1＋(b －1)2＝0，∴a 2－3a ＋1＝0，b ＝1，∴a －3＋1a ＝0，∴a ＋1a ＝3，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝32，∴a 2＋1a 2＝7.∴a 2＋1a2－|b |＝6. 4．解：由题意有x －3≥0，3－x ≥0，∴x ＝3，∴y ＝2，∴x y ＝32＝9. 5．解：(1)原式＝8＋215.(2)原式＝22－410.(3)原式＝4 6.6．解：原式取倒数得x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1x 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－1＝(5)2－1＝4.∴原式＝14. 7．B 8.3 29．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1.∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.方法点拨：根据原式以及字母取值的特点，将原式配方、整合成含有x －y 和xy 的形式，利用整体思想代入求值． 10．解：由已知得x ＝3＋22，y ＝3－2 2.∴x ＋y ＝6，xy ＝1，∴原式＝x 2＋y 2xy－4＝（x ＋y ）2－6xy xy＝62－6×1＝30.。
常见二次根式化简求值的九种技巧
专训1.常见二次根式化简求值的九种技巧名师点金：名师点金：在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在运算的最后注意结果要化成最简形式．在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．选取适当的解题方法．估算法1．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．(第1题)公式法2．计算：(5＋6)×(5 2－2 3)．拆项法3．计算：6＋4 3＋3 2（6＋3）（3＋2）.[提示：6＋43＋3 2＝(6＋3)＋3(3＋2)]换元法4．已知n ＝2＋1，求n ＋2＋n 2－4n ＋2－n 2－4＋n ＋2－n 2－4n ＋2＋n 2－4的值．的值．整体代入法5．已知x ＝13－2 2，y ＝13＋2 2，求x y ＋yx－4的值．的值．因式分解法6．计算：2＋32＋6＋10＋15.配方法7．若a ，b 为实数，且b ＝3－5a ＋5a －3＋15，试求b a ＋ab＋2－b a ＋ab －2的值．的值．辅元法8．已知x ∶y ∶z ＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求x ＋y x ＋z ＋x ＋2y的值．的值．先判后算法9．已知a ＋b ＝－6，ab ＝5，求b b a＋a ab的值．的值．专训2.二次根式运算常见的题型名师点金：名师点金：进行二次根式的运算时，(1)先将二次根式适当化简；(2)二次根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；(3)对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；(4)二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；(5)运算结果一般要化成最简形式．果一般要化成最简形式．利用运算法则进行计算1．计算：．计算：(1)(5－1)(5＋1)－èçæø÷ö－13－2＋|1－2|－(π－2)0＋8； (2)(2－3)2 016·(2＋3)2 017－2ïïïïïï－32.利用公式进行计算2．计算：．计算：(1)(3－1)2＋(3＋2)2－2(3－1)(3＋2)； (2)(2＋3－5)2－(2－3＋5)2； (3)a a －a b a －ab －a －ba ＋b .利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值3．已知5＋3和5－3的小数部分分别为a ，b ，试求代数式ab －a ＋4b －3的值．的值．利用化简求值4．先化简，再求值：．先化简，再求值：èçæø÷ö1－1a ＋1÷a a 2＋2a ＋1，其中a ＝32.利用整体思想巧求值5．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．的值．利用二次根式加减运算的特征求字母的取值(范围)或式子的值6．已知a ，b 是正整数，且a ＋b ＝ 1 998，求a ＋b 的值．的值．答案专训11.7 点拨：因为－3＜0，2＜7＜3，3＜11＜4，所以被墨汁覆盖的数为7.2．解：原式＝(5＋6)×[5 2－(2)2×3]＝(5＋6)×[2×(5－6)] ＝2×(5＋6)×(5－6)＝2×(25－6)＝19 2.3．解：原式＝（6＋3）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝6＋3（6＋3）（3＋2）＋ 3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝13＋2＋36＋3＝3－2＋6－3＝6－ 2.4．解：设x ＝n ＋2＋n 2－4，y ＝n ＋2－n 2－4，则x ＋y ＝2n ＋4，xy ＝4n ＋8.原式＝x y ＋yx ＝x 2＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－2xy xy ＝（x ＋y ）2xy －2＝（2n ＋4）24n ＋8－2＝n. 当n ＝2＋1时，原式＝2＋1.5．解：由已知得：x ＝3＋2 2，y ＝3－2 2，所以x ＋y ＝6，xy ＝1， 所以原式＝x 2＋y 2－4xy xy ＝（x ＋y ）2－6xyxy＝30. 6．解：2＋32＋6＋10＋15＝2＋32（2＋3）＋5（2＋3）＝ 2＋3（2＋3）（2＋5）＝12＋5＝5－2（5＋2）（5－2）＝ 5－25－2＝5－23. 7．解：由二次根式的定义，得îíì3－5a ≥0，5a －3≥0，∴3－5a ＝0，∴a ＝35.∴b ＝15，∴a ＋b ＞0，a －b ＜0.∴b a ＋ab＋2－b a ＋ab－2＝（a ＋b ）2ab－（a －b ）2ab＝ a ＋b ab ab －b －a ab ab ＝(a ＋b ab －b －a ab )ab ＝2b ab. 当a ＝35，b ＝15时，时，原式＝215×35×15＝25.方法点拨：对于形如b a ＋a b ＋2或b a ＋ab －2的代数式一般要变为（a ＋b ）2ab 或（a －b ）2ab 的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意a ＋b 和a －b 以及ab 的符号．的符号．8．解：设x ＝k(k ＞0)，则y ＝2k ，z ＝3k ， ∴原式＝3k 4k ＋5k ＝32＋5＝15－2 3.9．解：∵a ＋b ＝－6，ab ＝5，∴a ＜0，b ＜0.∴b b a ＋a a b ＝－b a ab －a b ab ＝－ab·èçæø÷öb a ＋a b ＝－（a ＋b ）2－2ab ab ＝－36－105＝－265＝－26 55.点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解．复杂化，甚至无法求解．专训21．解：(1)原式＝4－9＋2－1－1＋2 2＝－7＋3 2.(2)原式＝[(2－3)(2＋3)]2 016·(2＋3)－2×32＝2＋3－3＝2. 2．解：(1)原式＝[(3－1)－(3＋2)]2＝(3－1－3－2)2＝9.(2)原式＝(2＋3－5＋2－3＋5)×(2＋3－5－2＋3－5)＝2 2×(2 3－2 5)＝4 6－4 10.(3)原式＝a （a －b ）a （a －b ）－（a ＋b ）（a －b ）a ＋b ＝a －(a －b)＝a －a ＋b ＝ b.点拨：在进行二次根式的混合运算时，灵活运用乘法公式(如(1))和分解因式(如(2)(3))可简化计算过程．可简化计算过程．3．解：∵3的整数部分为1，∴5＋3＝6＋a ，5－3＝3＋b ，即a ＝3－1，b ＝2－ 3.∴ab －a ＋4b －3＝(3－1)(2－3)－(3－1)＋4×(2－3)－3＝－5＋3 3－3＋1＋8－4 3－3＝1－2 3.方法总结：确定二次根式整数部分和小数部分的方法：先采用缩放的方法确定二次根式的整数部分，然后用二次根式与整数部分的差确定小数部分，即由n ≤a<n ＋1可以确定a 的整数部分为n ，小数部分为a －n.4．解：èçæø÷ö1－1a ＋1÷a a 2＋2a ＋1＝èçæø÷öa ＋1a ＋1－1a ＋1·（a ＋1）2a ＝a a ＋1·（a ＋1）2a ＝a ＋1.把a ＝32代入，得原式＝32＋1＝3＋22.5．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2， ∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－2 2， xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1，∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y)2－2(x －y)＋xy ＝(－2 2)2－2×(－2 2)＋(－1)＝7＋4 2.6．解：由a ＋b ＝ 1 998可知a ，b ， 1 998是可以合并的二次根式．是可以合并的二次根式． ∵ 1 998＝9×222＝3 222，故可设a ＝m 222，b ＝n 222， 则m 222＋n 222＝3 222，即(m ＋n)222＝3 222， ∴m ＋n ＝3.又∵m ，n 是正整数，是正整数，∴îíìm ＝1，n ＝2或îíìm ＝2，n ＝1.∴îíìa ＝222，b ＝888或îíìa ＝888，b ＝222.∴a ＋b ＝1 110.点拨：本题容易产生的第一想法是把a ＋b ＝ 1 998两边平方，这样虽然能够得到a ＋b ，但等式中增加了ab ，同样不能求出结果，故只能根据“若x ＋y ＝z ，则x ，y ，z 是可以合并的二次根式”这一性质来解决问题．是可以合并的二次根式”这一性质来解决问题．。
二次根式运算专题：八年级下册
二次根式运算专题：八年级下册1. 简介二次根式是数学中的一种基本表达形式，通常表示为√a，其中a是非负实数。
在八年级下册的数学课程中，我们将学习如何进行二次根式的运算，包括加减乘除以及指数幂的运算。
2. 二次根式的加减法2.1 同底数二次根式的加减法同底数二次根式的加减法运算规则如下：√a + √a = 2√a√a - √a = 02.2 不同底数二次根式的加减法不同底数二次根式的加减法运算规则如下：√a + √b = √(a + b) （a ≥ b）√a - √b = √(a - b) （a ≥ b）3. 二次根式的乘除法3.1 同底数二次根式的乘除法同底数二次根式的乘除法运算规则如下：√a * √a = √a^2 = a√a / √a = 13.2 不同底数二次根式的乘除法不同底数二次根式的乘除法运算规则如下：√a * √b = √(a * b)√a / √b = √(a / b)4. 二次根式的指数幂二次根式的指数幂运算规则如下：(√a)^n = √(a^n) （n为正整数）(√a)^(-n) = 1 / (√(a^n)) （n为正整数）5. 综合练习以下是一些八年级下册数学课程中关于二次根式运算的综合练习题：1. 计算：(√2 + √3) * (√2 - √3)2. 计算：√8 / √23. 计算：(√3)^44. 计算：√(16 * 9)6. 总结通过本专题的学习，我们了解了二次根式的加减法、乘除法以及指数幂的运算规则，并通过综合练习题进行了巩固。
希望同学们能够掌握这些运算方法，并在实际问题中灵活运用。
最新人教版初中九年级上册数学解题技巧专题：二次根式求值的常用方法
解题技巧专题：二次根式求值的常用方法◆类型一利用二次根式的非负性化简求值1．若a，b为实数，且|a＋1|＋b－1＝0，则(ab)2016的值是（）A．0 B．1 C．－1 D．±12．已知a＋1＋b2－2b＋1＝0，则a2016＋b2017的值是．3．若a2－3a＋1＋b2－2b＋1＝0，则a2＋1a2－|b|＝.4．(台州校级月考)若x，y是实数，且y＝4x－1＋1－4x＋13，求3yx的值．◆类型二巧用乘法公式化简求值5．计算：(1)(5＋3)2; (2)(25－2)2；(3)(3＋2)2－(3－2)2.6．已知x ＋1x ＝5，求x 2x 4＋x 2＋1的值．◆类型三 巧用整体代入求值7．已知x ＝2－10，则代数式x 2－4x －6的值为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．28．已知a ＝3＋2，b ＝3－2，则a 2b －ab 2＝ .9．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．10．已知x ＝13－22，y ＝13＋22，求x y ＋y x －4的值．解题技巧专题：二次根式求值的常用方法 1．B 2.2 3.6 4．解：由题意得4x －1≥0，1－4x ≥0，解得x ＝14，则y ＝13，3y x＝2 3. 5．解：(1)原式＝8＋215；(2)原式＝22－410；(3)原式＝4 6.6．解：原式取倒数得x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1x 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－1＝(5)2－1＝4.∴原式＝14. 7．B 8.2 29．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1.∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.10．解：由已知得x ＝3＋22，y ＝3－2 2.所以原式＝x 2＋y 2xy －4＝（x ＋y ）2－6xy xy＝30.后序亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。
二次根式化简求值的六种技巧
专题训练(一) 二次根式化简求值的六种技巧► 技巧一 利用二次根式的性质a 2＝|a |化简 对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a |，然后再根据a 的符号进行化简．即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1的值为( )A ．1－ 3 B.3－1C ．3－ 3 D.3－32．当a ＜12且a ≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|＝________．4．已知三角形两边的长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－14c 2－4c ＋16.► 技巧二 逆用二次根式乘除法法则化简5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( )A ．－a bB ．a －bC ．－a －bD ．a b6．化简：(1)（－5）2×（－3）2＝________；(2)（－16）×（－49）＝________；(3) 2.25a 2b ＝________；(4)－25－9＝________；(5)9a 34＝________． ► 技巧三 利用隐含条件求值7．已知实数a 满足（2018－a ）2＋a －2019＝a ，则a －12018＝________． 8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求x y ＋y x的值．► 技巧四 巧用乘法公式计算9．计算：(1)(－4－15)(4－15)；(2)(2 6＋3 2)(3 2－2 6)；(3)(2 3＋6)(2－2)；(4)(15＋4)2018(15－4)2019.► 技巧五 巧用整体思想进行计算10．已知x ＝5－2 6，则x 2－10x ＋1的值为( )A ．－30 6B ．－18 6－2C ．0D ．10 611．已知x ＝12(11＋7)，y ＝12(11－7)，则x 2－xy ＋y 2＝________．12．已知a ＝2＋3，b ＝2－3，则(a ＋2)2(b ＋2)2＝________．► 技巧六 巧用倒数法比较大小13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是() A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a详解详析1．[解析] B a 2－2a ＋1＝|a －1|.因为a －1＝(2－3)－1＝1－3＜0，所以|a －1|＝－(1－3)＝3－1.故选B.2．[答案] －1a[解析] 原式＝（2a －1）2a （2a －1）＝|2a －1|a （2a －1）. 当a ＜12时，2a －1＜0，所以|2a －1|＝1－2a . 所以原式＝1－2a a （2a －1）＝－1a . 3．[答案] －a －8[解析] 当a ＜－8时，a ＋4＜－4＜0，a ＋8＜0，∴|a ＋4|＝－(a ＋4)，|a ＋8|＝－(a ＋8)，∴原式＝|－(a ＋4)－4|＝|－a －8|＝|a ＋8|＝－(a ＋8)＝－a －8.4．[解析] 由三角形三边关系定理可得2＜c ＜8，将这两个二次根式的被开方数分解因式，就可以利用二次根式的性质化简了．解：由三角形三边关系定理，得2＜c ＜8. ∴原式＝（c －2）2－（12c －4）2＝c －2－(4－12c )＝32c －6. 5．[解析] A 由ab ＜0，可知a ，b 异号且a ≠0，b ≠0.又因为a 2≥0，且a 2b ≥0，所以a ＜0，b >0.所以原式＝－a b .[点评] 逆用二次根式的乘除法法则进行化简时，关键是注意法则成立的条件，还要注意二次根式的总体性质符号，即化简前后符号要一致． 6．[答案] (1)15 (2)28 (3)3a 2 b (4)53(5)3a 2a [解析] (1)原式＝（－5）2×（－3）2＝5×3＝15.(2)原式＝16×49＝16×49＝4×7＝28.(3)原式＝ 2.25×a 2·b ＝1.5a ·b ＝3a 2 b . (4)原式＝259＝259＝53. (5)原式＝9a 34＝3a 2 a . 7．[答案] 2019[解析] 依题意可知a －2019≥0，即a ≥2019.所以（2018－a ）2＋a －2019＝a 可转化为a －2018＋a －2019＝a ，。
最新人教版八年级数学下册 类比归纳专题：二次根式求值的常用方法
类比归纳专题：二次根式求值的常用方法——明确计算便捷渠道◆类型一 利用二次根式的非负性求值1．若a ，b 为实数，且|a ＋1|＋b －1＝0，则(ab )2018的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．±12．已知a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，则a 2018＋b 2017的值是________．3．若a 2－3a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，则a 2＋1a 2－|b |＝________． 4．若y ＝x －3＋3－x ＋2，求x y 的值．【方法1②】◆类型二 利用乘法公式进行计算5．计算： (1)(5＋3)2; (2)(25－2)2；(3)(3＋2)2－(3－2)2.6．已知x ＋1x ＝5，求x 2x 4＋x 2＋1的值．◆类型三 整体代入求值7．已知x ＝2－10，则代数式x 2－4x －6的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．28．(2017·安顺中考)已知x ＋y ＝3，xy ＝6，则x 2y ＋xy 2的值为________．9．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．10．已知x ＝13－22，y ＝13＋22，求x y ＋y x －4的值．参考答案与解析：1．B 2.23．6 解析：∵a 2－3a ＋1＋b 2－2b ＋1＝0，∴a 2－3a ＋1＋(b －1)2＝0，∴a 2－3a ＋1＝0，b ＝1，∴a －3＋1a ＝0，∴a ＋1a ＝3，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝32，∴a 2＋1a 2＝7.∴a 2＋1a2－|b |＝6. 4．解：由题意有x －3≥0，3－x ≥0，∴x ＝3，∴y ＝2，∴x y ＝32＝9. 5．解：(1)原式＝8＋215.(2)原式＝22－410.(3)原式＝4 6.6．解：原式取倒数得x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1x 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－1＝(5)2－1＝4.∴原式＝14. 7．B 8.3 29．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1.∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.方法点拨：根据原式以及字母取值的特点，将原式配方、整合成含有x －y 和xy 的形式，利用整体思想代入求值． 10．解：由已知得x ＝3＋22，y ＝3－2 2.∴x ＋y ＝6，xy ＝1，∴原式＝x 2＋y 2xy－4＝（x ＋y ）2－6xy xy ＝62－6×1＝30.。
(人教版)八年级数学下册 专题课堂(一) 二次根式的运算及化简求值技巧
【对应训练】 6．已知 a＝ 5＋2，b＝ 5－2，求下列式子的值： (1)a2b＋ab2； (2)a2－3ab＋b2； (3)(a－2)(b－2)． 解：(1)2 5 (2)15 (3)5－4 5
2－1
时，原式＝
2 2
五、巧用二次根式的定义和性质求值 【例 5】已知 x，y 为实数，且满足 1＋x－(y－1)· 1－y＝0，那 么 x2017－y2017＝__－__2__． 分析：因为 1＋x－(y－1) 1－y＝0，所以 1＋x＋(1－y) 1－y＝ 0.因为 1＋x≥0，(1－y) 1－y≥0，从而可求得 x，y 的值，再代入求值 即可． 【对应训练】 5．若 x－3＋ 3－x＝(x＋y)2，则 x－y＝__6__．
专题课堂(一) 二次根式的运算及化简求值技巧
一、二次根式的加减运算
【例 1】计算：
2 (1)3
9x＋
4x－2x
1x；
(2)( 40－ 0.2＋3 52)－( 217－ 10)． 分析：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并．
解：(1)原式＝2 x＋3 x－2 x＝3 x (2)原式＝2 10－ 55＋53 10
【对应训练】 2．计算： (1) 15×35 20÷(－31 6)； 解：－9 2
(2)( 18－4
12＋
1 3＋
2)÷
3 3.
解：3
三、巧用乘法公式计算 【例 3】计算： (1)(3 2＋ 12)( 18－2 3)； (2)(2＋ 2)( 2－1)． 分析：(1)先将二次根式化简，再运用平方差公式计算；(2)先将“2 ＋ 2”变成“ 2( 2＋1)”，再运用平方差公式计算． 解：(1)原式＝(3 2＋2 3)(3 2－2 3)＝(3 2)2－(2 3)2＝18－12＝6 (2)原式＝ 2( 2＋1)( 2－1)＝ 2(2－1)＝ 2
二次根式化简求值的常用技巧
二次根式化简求值的常用技巧陈开金二次根式(常见的有分式型,复合二次根式型,无限循环型或混合型)的化简求值,是中考及各级各类数学竞赛中的常见题目.下面举例谈谈八种常见方法——约分法、裂项法、取倒法、配方法、公式法、平方法、方程法、换元法,供读者参考.一、约分法:对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简目的. 例1 化简1015142157--+-23231)57)(23(57)23(5)23(757：-=+=-+-=+-+-=原式解二、裂项法:对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法.例2 2004200320032004132231221++++++ 化简 解:因为1n n n )1（n 1+++,1n 1n 1)1n (n n 1n )n 1n ()1n (n 1+-=+-+=+++=.10025011200411）2004120031（）3121（）211（-=-=-++-+-= 所以原式三、取倒法:如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再用第二种方法解决. 例3 .12232236+++++化简.213131,131223121231x 1,x )12()23()12)(23(:+=-=-=-+-=+++==+++++=所以原式则设原式解四、配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在x ＞0,y ＞0,使得.，xy 2b m ，.y x )y x (b m a ，，,a y x ,b m xy 2222再检查平方项的形式成一般先拆开在使用此法时写成式子为达到化简目的全平方式则可把被开方数写成完+=+=+=+= 例4 化简.5614- 解：原式=55329+⨯⨯- .53)53(2-=-=例5 化简)(212172232等于-+-（A ）245- (B)124-（C ）5（D ）1.1223222)223()12(2822329112222212172232:22=-+-=-+-=⨯⨯⨯-++⨯⨯-=-+-解五、公式法：对于,2ka 2k ab a ,k b a ,0k ＞,0b ＞,0a ＞,b a 22-±+=±=-±则使得且存在若这可以利用算术平方根的定义进行证明。
专题01 二次根式的化简与求值
专题01 二次根式的化简与求值专题01 二次根式的化简与求值二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式和分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧。
有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点。
这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法。
解题的基本思路是：1、直接代入已知条件，然后化简求值；2、变形代入，适当地变条件和结论，再代入求值。
数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负、加与减、乘与除、数与形、有理数与无理数、常量与变量、有理式与无理式、相等与不等、正面与反面、有限与无限、分解与合并、特殊与一般、存在与不存在等。
数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展。
想一想：若$x$、$y$、$n$都是正整数且$y=n$，则$x$、$y$、$n$都是同类二次根式，为什么？例题与求解例1】当$x=\frac{1}{\sqrt{2002}+1}$时，代数式$(4x^3-2005x-2001)^{2003}$的值是（）$A$、$B$、$-1$、$1$、$-2$。
（绍兴市竞赛试题）例2】化简：1）$\frac{ab+b\sqrt{ab}}{1-b\sqrt{ab}}$；2）$\frac{10+14-15-21}{10+14+15+21}$；3）$\frac{6+4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(6+3)(3+2)}$；4）$\frac{315-10-26+33-2+18}{5+23+1}$。
解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难。
仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解。
思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式和分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中。
恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度。
例3】比$(6+5)^6$大的最小整数是多少？（XXX少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁。
初三数学专题练习
清大学习吧中考数学专用资料姓名：学校：专题一:计算综合知识点： 1、二次根式（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
（2）二次根式的性质：①二次根式的非负性：0≥a ；0≥a 。
0=，则a=0,b=0；0b =，则a=0,b=0；20b =，则a=0,b=0。
②2a =（），语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数③二次根式的乘法法则)0,0(≥≥=⋅b a ab b a )0,0(≥≥=⋅b a ab mn b n a m)0,0(≥≥⋅=b a b a ab④二次根式的除法法则b a ba =).0,0(>≥b a b a n m bn a m =).0,0(>≥b a ba ba=).0,0(>≥b a（3）二次根式的加减①最简二次根式：被开放数不含分母；被开放数中不含开得尽方的因数或因式。
②同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
③二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开放数相同的根式进行合并。
,2、绝对值（1）⎪⎩⎪⎨⎧=<->=)0(0)0()0(a a a a a a（2）去绝对值①⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=-=+-)()(0)(b a a b b a b a b a b a b a ②⎪⎩⎪⎨⎧<+--=+>++=--=+)()0(0)0(o b a b a b a b a b a b a b a3、负整数幂①),(1*-∈⎪⎭⎫⎝⎛=N b a a a bb② )0,,,(≠∈⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛*-a N m b a a b b a mm4、三角函数5、因式分解（1）公式法：))((22b a b a b a -+=- ()2222b a b ab a +=++()2222b a b ab a -=+-（2）提取公因式法：)(c b a ac ab -=-6、解一元一次方程步骤：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；3.移项：把含有未知数的项都移到方程的左边，其他项都移到方程右边；4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；5.系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解。
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧下面是二次根式化简求值的十种技巧：技巧一：分解因式当二次根式的被开方数可以进行因式分解时，可以将其分解为两个或多个较简单的二次根式。
例如，√12可以分解为√4×√3，即2√3技巧二：有理化分母当二次根式的分母中含有二次根式时，可以采用有理化分母的方法进行化简。
有理化分母的方法是将分母有理化，即将分母中的二次根式进行去除。
例如，化简√(3/√2)时，可以将分母有理化为√(3×√2)。
技巧三：配方当二次根式中含有如(√x±√y)²或(√x±a)(√x±b)类型的项时，可以采用配方的方法进行化简。
例如，化简√(x+2√2+2)时，可以采用配方的方法，将其化简为(√(√2)+1)²。
技巧四：合并同类项当二次根式中含有相同的根号并且系数不同的项时，可以将其合并为一个项。
例如，化简√(2+√3)-√(2-√3)时，可以将两个相同根号下的项合并为一个项。
技巧五：有理数与二次根式相乘当二次根式与有理数相乘时，可以将二次根式中的根号与有理数相乘得到一个更简单的二次根式。
例如，化简2√8时，可以将其化简为2√(4×2)，即4√2技巧六：有理数与二次根式相除当一个有理数与一个二次根式相除时，可以将有理数分子和二次根式的分母相除，并将其结果乘以二次根式的分子。
例如，化简2/√(3+√5)时，可以将其化简为2(√(3+√5))/((3+√5))。
技巧七：分子和分母进行有理化当一个二次根式作为一个分数的分子或分母时，可以将分子和分母同时进行有理化。
例如，化简√(5/√3)时，可以将其化简为(√5×√3)/√(3×√3)，即(√15)/√3技巧八：提取公因式当一个二次根式中含有公因式时，可以将其提取出来，并进行分解或合并。
例如，化简√(6x+9)时，可以将其提取公因式3，并进行分解为3√(2x+3)。
计算二次根式的值
计算二次根式的值
二次根式是指具有形式√a的数，其中a为非负实数。
计算二次根式的值的方法主要有如下几种：
1. 化简法：当二次根式可以化简为整数、分数或者无理数的时候，可以通过求解a的因数或者进行其他运算来得到准确的结果。
例如，√4 = 2；√16 = 4；√9 = 3。
2. 分解法：将二次根式分解为不含有根号的因式相乘的形式，然后对每个因式进行计算，最后将结果汇总得到最终结果。
例如，√45 = √(9 × 5) = √9 × √5 = 3√5。
3. 有理化法：当二次根式中含有分母的时候，我们可以采用有理化的方法来将分母消除或者得到一个可计算的形式。
例如，√(2/3) = (√2)/(√3) × (√3)/(√3) = (√6)/3。
4. 近似法：当二次根式的值无法精确计算时，可以采用近似法得到一个近似值。
常见的近似方法有保留小数位数、使用计算器或者表格查找。
例如，√7 ≈ 2.65。
需要注意的是，对于无理数的二次根式，无法得到一个和它完全相等的精确值，我们只能通过逼近和近似的方法来计算。
综上所述，计算二次根式的值可以采用化简法、分解法、有理化法或者近似法。
具体的方法应根据具体的二次根式形式和题目要求来选择合适的计算方式。
在实际计算中，可以结合使用不同的方法来求得更精确和准确的结果。
《二次根式》专题专练(一)(4个专题)
分析：本题先根据图形进行计算，再探究规律．
解：（1） ；
（2）依题意： ；
；
；
依此类推 ，所以△ 的周长为 ．
点评：数与形是一个问题的两个方面，数无形不直观，形缺数难入微，数形结合既有助于找到解答思路，也常使解答简捷，数形结合的关键在于几何图形转化为数的知识去探索规律，本题就体现了这种数与形的统一与和谐！
3．考查同类二次根式的概念
例4．(2007年眉山市)下列二次根式中与 是同类二次根式的是( )．
A． B． C． D．
分析：只要将所给式子化成最简二次根式，再看是否与2相同即可．
解：因为 ； ； ； ，故选D．
点评：判断是否与同类二次根式关键是化成最简二次根式以后，被开方数相同那就是同类二次根式，重点考查对概念的理解和把握情况．
点评：判断是否是二次根式的条件是 ≥0），要特别注意 ≥0这个条件，本题重点考查对二次根式概念的理解．
例2．（2007年成都市： ≥0，又 ≥0，再由非负数的性质就可以求出a，b的值．
解：由已知条件可得：a=2，b= -5，所以a+b=2-5= -3．
专练四：
1．写出和为6的两个无理数（只需写出一对）
2．借助计算器可以求出 ， ， ， ，……仔细观察上面几道题中的计算结果，试猜想： =。
3．动手操作题：用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1， ， ，…， ， 。如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选个数。
4．阅读下列解题过程，并按要求填空：