选修系列球面上的几何25页PPT
高中数学选修3-3：球面上的几何
高中数学选修3-3：球面上的几何我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个球面。
因此，在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的实际应用。
例如，大地（天体）测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。
在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型，是一个重要非欧几何的数学模型，球面几何在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用。
本专题将使学生了解一个新的数学模型--球面几何，初步学习球面几何的一些基本知识及其在实际中的一些应用，通过比较球面几何和欧氏平面几何的差异和联系，感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型。
类比是学习这个专题所用到的重要的思想方法，空间想像和几何直观能力是学好这个专题的关键。
一、内容与要求1.通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性。
2.通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。
例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。
3．通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。
4.了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形（简称球极三角形）。
5.通过球面几何与欧氏平面几何比较，探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上，并说明理由，由此理解球面三角形的全等定理s.s.s, s.a.s, a.s.a。
6.理解单位球面三角形的面积公式（S=A＋B＋C-π），由此体会球面三角形内角和大于180O。
7.了解球面三角形全等的a.a.a定理。
8.利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系。
9.利用向量的叉乘（向量积）探索并证明球面余弦定理（）和球面上的勾股定理（即当C=π/2时的球面余弦定理），能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理（）。
10.体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。
人教A版数学选修3-3 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用 (共13张PPT)
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技 的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击 重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深 一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人 贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦 的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的 弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑 可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂 不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去 的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头 他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站 想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过 今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避 面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做不了 间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自 把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。 的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶， 出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。即 难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈从 它都帮助了暴力的 边数（n ）
人教版高中数学选修3-3球面上的几何第三讲 球面上的基本图形
旧知回顾我们在平面上除了学习直线和角之外，还学习三角形．图3-1新课导入这次课学习球面上的基本图形极和赤道球面二角形球面三角形教学目标知识与能力•感知球面上的基本图形．•认识各种基本图形的特点．•掌握球面三角形的性质．过程与方法•通过观察学习球面三角形的定义过程．•进一步了解球面三角形在实际生活中的应用．情感态度与价值观•注意让学生从以前所学的知识中体会新的知识．•了解新旧知识的相识点和不同点．•培养合作交流意识．教学重难点•球面三角形的概念．•球面三角形与平面三角形的异同点．•会解简单的几何题．一、极与赤道大家熟知，地球上有南极、北极、赤道．我们在球面几何中同样引入“极”、“赤道”的概念．ONL 图3-2N图3-2中，设N 为地球上的北极点， O 为球心，半径ON 垂直于赤道 所在的平面，即过O 且垂直于地球半径ON 的平面截地球球面所得的大圆是地球的赤道．N L在球面上任取一点A ，垂直于半径OA 的平面截球面得到大圆L A ，此时把A 叫极点（简称极），大圆L A 为以点A 为极点的赤道圆（简称赤道）． O NL 图3-3NAAL结论对于球面上任意一点，均可以得到与它对应的一个赤道;对于球面上的赤道，可以得到与它对应的两个极点．探究由概念看出，极与赤道有着对应关系，那么两者之间除此之外，是否还有其他紧密的联系？想一想分析：如果球的半径为R ，那么极点A 与赤道上任一点B 的距离为 ，（即 圆的周长），如下图所示：2R ONL A图3-4B由上面分析可知：1、球面上与点A 的距离为 的点必在赤道L A 上．2、球面上任一点A 都对应它的一个赤道L A ，那么该点到赤道的距离均为 ．2Rπ2R π二、球面二角形AOB C'A图3-5OBC'AA图3-6由图3-5知，球面角∠BAC 的两边AB 、AC 延长后交于A ´，所组成的图形ABA ´C 成为球面二角形．又称（月形）．把 、 称为球面二角形的边，球面角 是球面二角形的夹角． 'ABA 'ACABAC例1 如图3-6，已知球面角 ，求证：月形ABAC ´的面积等于球面面积的倍．BAC α∠=2απ证明：将月形ABAC ´中的一条边ACA ´在球面上由右向左旋转到边ACA ´的位置，则边ACA ´扫过整个球面，边ACA ´旋转了一周，故球面可以看作是球面角为的月形． 2π若球面角 ，那么月形ABAC ´的面积等于球面面积的 倍．BAC α∠=α2π所以，月形ABAC ´面积= ．22α4πr =2αr 2π⨯三、球面三角形１、球面三角形ＡＢＣO ＣＢＡ图3-７图3-８前者是平面上的三角形，它是三条线段首位顺次相接构成的封闭图形．完全类似，可以把球面上的三条“直线”（三条大圆的圆弧）首位顺次相接的封闭图形是球面三角形．（如图３-８）思考如何度量球面△ABC的边和内角？AC BO图3-9如图，连接球心O与A、B、C三点，由球面角的定义及度量可知，球面△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C可分别由二面角B-OA-C、A-OB-C、B-OC-A度量．如果设 （ 均为弧度），那么球面△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别为：． ∠∠∠AOB =α,BOC =β,COA =γ,,,AB r BC r CA r αβγ===αβγ其中r 为球的半径．若r=1,则AB = ，BC =，CA = ． αβγ2、三面角无论是测边长还是内角，都要连接球心与球面三角形的顶点（图3-9），如果延长上图中的三条线段OA、OB、OC 使其成为射线，这三条射线构成三个平面，把这样的图形叫做三面角（图3-10），记为O-ABC．AC BO图3-10O点为三面角的顶点，OA、OB、OC 称为它的棱，∠AOB，∠BOC，∠COA称为它的面角．相邻两面构成的二面角是三面角的二面角，一个三面角有三个二面角．综上，球面△ABC的三个内角对应于三面角O-ABC的三个二面角，三条边对应三面角O-ABC的三个面角．下面对应关系球面△ABC 三面角O-ABC 内角二面角边面角我们可以利用三面角的知识研究球面三角形．在球面上找到A 、B 、C 关于球心O 的对称点A ´、B ´、C ´,以对称点为顶点构成的球面三角形△A ´B ´C ´，成为球面三角形△ABC 的对顶三角形（图3-11）．3、对顶三角形 AC BO图3-11'C 'A 'B 两个对顶的球面三角形关于球心对称4、球极三角形 对于任意球面△ABC ，假设与BC 边所在大圆对应的极点为A ´、A ˝，与边AC 所在大圆对应的极点为B ´、B ˝，与边AB 所在大圆对应的极点为C ´、C ˝． O'B ''B 'C ''C 'A ''AAB C 图3-12上图中点A´与A，B´与B、C´与C，在同一个半球面内，称球面△A´B´C´为球面△ABC的极对称三角形，简称球极三角形.思考如果球面△A´B´C´是球面△ABC 的极对称三角形，那么球面△A´B´C´的极对称三角形是什么？球面△A´B´C´的极对称三角形是球面△ABC．总结：球面△A´B´C´与它的球极△ABC 互为极对称三角形．动动脑球面三角形与球极三角形之间还有其他关系吗？假定球面为单位球面，有下面结论：若球面△ABC的极对称三角形是△A´B´C´，且它们的内角（单位：弧度）与边长分别为∠A、∠B、∠C，a，b，c和∠A´、∠B´、∠C´，a´，b´，c´那么'''∠∠∠a=π-A,b=π-B,c=π-C'''∠∠∠a=π-A,b=π-B,c=π-C课堂小结1. 球面三角形2. 三面角3. 对顶三角形4. 球极三角形。
球面几何学_ppt课件
球面三角形 ABD 的内角和 5 = 3
1 2 2 球面三角形 的面积= 2 rABD 3 3
球面三角形 ABE 的内角和 7 =
4
3 3 球面三角形 ABE 的面积 = 2 r2 8 4
归纳出单位球面三角形的内角和公式
A B C S
猜测
证明
经线：以南极和北极为端点的半大圆
纬线
第二节 球面上的一些基本图形
1、大圆：过球心的平面在球面上的截线（直线） 小圆：不过球心的平面在球面上的截线。 2、优弧、劣弧：过球面上两点一定可以作一 个大圆。（球面上两点间的距离即劣弧长） 球面上连接两点的最短路径是经过这两点的 一段大圆弧——劣弧。
球面三角形 ABC 、 ABD 、 ABE 中
O B C
E D
ABC ACB ADC AED 2 2 3 BAC , BAD , BAE 2 3 4
分别计算： 球面三角形 ABC 、 ABD 、 ABE 的 内角和及面积
球面三角形 ABC 的内角和 3 = 2 球面三角形 ABC 的面积= 1 1 2 2 r 4 2
3.中学数学平面几何考点分析
练习：
（1）正方体的全面积是a,它的顶点都在球 面上，这个球的表面积是（ ）。
（2）球的半径为R，则它的外切正方体的 棱长为（ ），内接正方体的棱长为（ ）。
第九章 球面几何学
第九章 球面几何学
设想：在地球面上，从一个城市飞往另一个 城市，如何飞行距离最短？ ——球面上的几何学——一种新的几何学 ——一个与欧式平面几何不同的几何模型 研究方法：类比的思想方法（？） 空间想象能力、几何直观能力
第四节 球面三角形的边角关系
球面几何的曲率与曲面积分计算
球面曲率的计算
曲率半径
描述曲线或曲面 的弯曲程度
平均曲率
描述曲面整体几 何性质
法曲率
描述曲面在某点 法向的变化程度
高斯曲率
描述曲面局部几 何性质
曲面积分计算步骤
01 确定曲面参数化方程
将曲面用参数方程表示
02 计算法向量
确定曲面各点的法向量
03 确定面积微元
将曲面分解为面积微元
曲率与曲面积分关系
03
曲面积分的计算技巧
简化计算
在计算曲面积分时，可以 利用一些技巧简化计算过 程
变量替换
可以通过变量替换来简化 计算
积分换元
可以通过积分换元等方法 来简化计算
曲面积分的数值 计算
对于复杂的曲面积分， 可以通过数值计算来 求解。数值计算可以 利用数值积分方法来 逼近曲面积分的精确 值。通过数值计算， 可以得到曲面积分的 近似解，方便实际应 用中的计算需求
可以通过球面上的曲线进 行计算
推断曲率大小
通过曲线的弯曲程度来推 断曲率的大小
第二基本形式
球面曲率还可以通过球面 的第二基本形式进行计算
● 02
第2章 球面曲率的性质
球面曲率的性质
球面曲率是描述球面 几何特征的重要性质。 其中，高斯曲率可以 用来判断曲面的类型， 平均曲率则反映了曲 面的整体弯曲程度。 在球面上移动时，曲 率会发生变化，通过 曲率的转移我们可以 推断出球面上各点的 几何关系。切平面是 球面上某一点的切线 生成的平面，球面的
发展趋势与挑战
随着科学技术的发展， 对球面几何的研究需 求不断增加。未来发 展将面临更多挑战和 机遇，我们需要不断 深化研究，探索更多 新的球面几何理论和 方法，以适应时代发 展的需求。
高中数学人教A版选修第五讲球面三角形全等课件
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
类似地，我们可以得到：
如果两个球面三角形的 三对边对应相等，则两个球 面三角形全等．
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
回顾旧知
全等图形
A
A
B
B C
C
形状、
大小完全相 同的图形是 全等图形．
新课导入
全等是图形的重要性质之一．在欧氏 几何中，我们对全等的研究是从平面三角 形开始的，先讲全等的定义，在讲判定三 角形全等的公理，最后运用三角形全等证 明一些命题．我们对球面三角形的研究也 遵循同样的思路．
教学目标
知识与能力
所以∠OAB=∠OA´B´,∠OBC=∠OB´C´, ∠OCA=∠OC´A´．
又因为△AOB≌△A´OB´， 所以∠BAC=∠B´A´C´.
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
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教学重难点
• 认识球面全等三角形． • 对球面三角形全等判定定理的理解． • 对判定定理的应用．
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 五讲 球 面 三角形 全等 课 件 (共 31张PP T)
类似于平面上研究全等的思路，首先 给出球面上全等的定义．
两个球面三角形全等：两个图形完全相 等，即球面三角形的六个要素——三条边、 三个角分别相等．
《球面上的几何》课件
距离的性质
球面上的距离具有唯一性、对 称性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三角不等式。
等距变换
介绍球面上的等距变换，可以 保持距离不变。
球面上的角度
夹角
学习如何计算球面上的夹角， 以及其与直角、周长的关系。
面积
了解如何计算球面上的三角形 面积，包括扇形和三角形。
球面上的三角形
探索球面上的三角形，包括直 角三角形和一般三角形。
球面上的曲率
了解地球上的地图投影技术及 其在导航和地理信息系统中的 应用。
天文学中的球面坐标系
探索天文学中使用的球面坐标 系，帮助我们导航并研究宇宙。
三维计算机图形学中的球 面描绘
介绍在计算机图形学中如何绘 制球面，并了解其在游戏和虚 拟现实中的应用。
《球面上的几何》PPT课 件
带您领略球面上的奇妙世界！探索球面的基本概念、距离和角度、曲率、投 影、计算以及它在实际应用中的广泛应用。
球面的基本概念
定义
球面是由一个半径相等的球体上的点构成的几何体。
特点
球面上的每个点到球心的距离都相等。
坐标系
使用球面坐标系来描述球面上的点。
球面上的距离
距离公式
使用球面距离公式计算球面上 两点之间的距离。
透视投影
学习球面上的透视投影，了解 它在视觉艺术和渲染中的应用。
球面上的计算
坐标转换
学习如何在球面上进行坐标转 换，以便在不同坐标系之间导 航。
方位角和俯仰角
了解如何使用方位角和俯仰角 来描述球面上的方向。
渐近线
探索球面上的渐近线，它们与 球面曲率和法曲率之间的关系。
球面上的应用
地球上的地图投影
曲率
研究球面的曲率，了解如何计 算曲率以及不同曲率之间的关 系。
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在平面几何中，我们知道平面多边形 的内角和为(n-2)π，单位球面上球面三角形
△ABC的面积S´=（A+B+C-π），因此得到 球面三角形的内角和为S´+π．
13
我们大胆猜想，单位球面上，球面n （n≥3）边形的内角和等于（n-2）π+S,其 中S为球面n边形的面积．事实上猜测是正 确的．
14
拉公式
从橡皮变换角度看，简单多面体与球 等价，简单多面体的表面与球面等价．这 时，我们大胆想象，橡皮膜变成球后，组 成简单多面体的每个面的各条边可以与球 面多边形建立一定的联系．
下面我们给出欧拉公式的证明．
22
欧拉公式 如果用V 表示简单多面体的 顶点数，E 表示简单多面体的棱数，F表 示简单多面体的面数，那么：
25
调整“网络”，使其上的每一条曲线都 变成 上的一段大圆弧，那么简单多面体 就变成整个球面 ，且 的一个面变成 上的 多边形 ， 的顶点数、棱数、面数与 上的顶 点数、棱数、面数完全相同.这样就只研究 上的顶点数、棱数、面数的关系就行了．
26
把的各面编号：1，2，…，F， 的第一
个面变成 的第一个球面多边形，设此球面 多边形有 n 1 条边，它的内角的弧度数分别
与先学平面三角形再学平面多 边形一样，我们在球面三角形的基 础上，引进球面多边形的概念．
8
A1 A6
A2
A3
O
A4
A5
图 6-1
9
我们知道，在平面上，n(n≥3)条收尾相接且 互不相交的线段围成的封闭图形叫做n边 形．类似地，如图6-1中，在球面上有n个点： A1，A2,A3,. . . An，且任意三点不在同一个大圆 上，经过这n个点中任意两点做大圆，首尾顺 次相接劣弧A1A2,A2A3,. . .An-1An．
湘教版高中数学选修3-3球面上的几何全套PPT课件
如图2-1，在平面内，通过任一指定 点A，沿着任一指定方向AM，有且只有一 条直线a.将直线a在这平面内移动，可以 使它改变到平面内任一指定直线b的位置， 并且使点A落到b上指定的点B，同时使方 向AM落到b上指定的方向BN.
简单地说，就是在平面内所有各点地 位均等(均匀)，一点处所有方向地位均 等(各向同性).这就是平面的对称性. “方向”的概念，可以从平面推广到球 面.球面在一点处的一个方向，就是球面在 这一点的切线方向(切线是过球面上一点垂 直于球半径的直线，它与球面有且只有一个 公共点，叫作切点).
三、简单的球面距离计算
了解纬度和经度的几何意义以后， 已经能直接进行一些沿着经线或纬线方 向的球面距离计算.
例3：北京的位性大致为北纬40°，东 经116°；纽约的位置大致为北纬40°， 西经74°.由此可见，北京和纽约大致 在同一条纬线上. 考虑北纬40°线上的两段弧:第一 段从北京向东，经过太平洋直到纽约; 第二段从北京向西，经过大西洋直到纽 约.这两段弧中哪一段较短?这段较短的 弧长度大约是多少千米?
定理3 （月形面积）设月形的角是 α（弧度），面积是S，球半径是R， 那么 S=2R²α.
四、球面三角形 平面几何中的三 角形，是由三条直线 围成的. 相应地，在球面 几何中，由三条大圆 弧顺次首尾相连，围 成的一个曲面区域， 叫作球面三角形.
定理3 (球面三角形面积)设球半径 为R.那么球面三角形ABC的面积为
在一个球面上，是否也存在不相交的大圆呢？
定理2 （大圆相交）同一球面的任何 两个大圆都相交，其交点是一双对径 点.
二、球面角
在北极或南极附近，两条经线 组成一个弯曲的角状图形，这是平 面里的角在球面上的类似物，叫做 球面角.
例1 地球仪上画出的24条经线，均匀分 布,问隔相等.所以，地球仪上每两条相邻 经线所成球面角的大小都相等，其大小为 360°÷24=15°
1.4球面上圆的极、赤道与球面角
N
O
LN
图3-2
图3-2中，设N为地球上的北极点， O 为球心，半径ON垂直于赤道 LN 所在的平 面，即过O且垂直于地球半径ON的平面截 地球球面所得的大圆是地球的赤道．
N
LA
A
O
LN
图3-3
在球面上任取一点A，垂直于半径OA
的平面截球面得到大圆LA，此时把A叫极 点（简称极），大圆LA为以点A为极点的 赤道圆（简称赤道）．
球面△ABC的极对称三角形，简称球极三 角形．
思考
如果球面△A´B´C´是球面△ABC 的极对称三角形，那么球面△A´B´C´
的极对称三角形是什么？
球面△A´B´C´的极对称三角形是 球面△ABC．
总结：
球面△A´B´C´与它的球极△ABC
互为极对称三角形．
动动脑
球面三角形与球极三角形之间还 有其他关系吗？
结论
对于球面上任意一点，均可以得 到与它对应的一个赤道;对于球面上的 赤道，可以得到与它对应的两个极 点．
探究
由概念看出，极与赤道有着对 应关系，那么两者之间除此之外， 是否还有其他紧密的联系？
想一想
分析：如果球的半径为R，那么极点 A与赤道上任一点B的距离为 R ，1（即 圆的周长），如下图所示： 2 4
情感态度与价值观
• 注意让学生从以前所学的知识中体会新的 知识． • 了解新旧知识的相识点和不同点． • 培养合作交流意识．
教学重难点
• 球面圆的极的概念． • 球面角与平面角的异同点． • 会解简单的几何题．
一、极与赤道
大家熟知，地球上有南极、北极、 赤道．我们在球面几何中同样引入 “极”、“赤道”的概念．
课堂小结
1. 球面三角形： 2. 三面角： 3. 对顶三角形： 4. 球极三角形：
球面上的几何
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
• 球面三角形 球面上最常用的基本图形， 构成球面三角形的大圆弧称 为三角形的边，三条边的交 点称为三角形的顶点，过球 面三角形顶点分别作大圆弧 的切线，两条切线所成的角 称为球面三角形的角。
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
• 球面多边形 球面上由大圆弧所构成的封闭图形称为球面 多边形。球面多边形的边,必须是大圆的圆弧。 任意两个不同大圆的两个交点是球面上的一 对对径点，即球的同一条直径的两个端点称 为一对对径点。
球面上的几何
目录
1 第一讲 从欧氏几何看球面
2
第二讲 球面上的距离和角
3
第三讲 球面上的基本图形
4
第四讲 球面三角形
目录
1 第五讲 球面三角形的全等
2
第六讲 球面多边形的欧拉公式
3
第七讲 球面三角形的边角关系
4
第八讲 欧氏几何与非欧式几何
主要内容： 1.通过丰富的实际问题 （如测量、航空、卫星定 位），体会引入球面几何 知识的必要性。 2.通过球面图形与平面图 形的比较，感受球面几何 与欧氏平面几何的异同。 例如，球面上的大圆相当 于平面上的直线，球面上 两点之间的最短距离是大 圆弧的劣弧部分，类圆幂 定理。 3.通过对实例的分析，体 会球面具有类似平面的对 称性质。
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
球面三角形的性质
球面三角形的内角和
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
推论2 球面三角形ABC的面积为：
S A BBiblioteka C R球面三角形的周长 定理 球面三角形的周长小于大圆周长
2
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
人教A版高中数学选修3-3-2.2 球面上的角- 课件(共14张PPT)
经度的意义。如下图，地球球面上一点的 由球面角的定义，我们再看一下经线经度的意义。
即在二面角B-AA´-C棱AA´上，如果我们在球心O处，分别作OD⊥AA´，OE⊥AA´，且他们分别交球面角∠BAC的两边AB，AC于D，E 两点，那么∠DOE为二面角B-AA´-C的平面角。
E
O
D
A´
从另外一个角度看，如果点A处分别作大
圆弧AB和弧AC得切线AB´和AC´，显然
AB´⊥AA，OD⊥OA，且AB´和OD在同一个平
面内，所以AB´‖OD．同理，AC´‖OE.所以，
∠B´AC´=∠DOE.也就是说，∠DOE等于点A处
分别与球面角∠BAC的两边AB和AC相切的射线
AB´和AC´所成的角∠B´AC´．
C´
A
C B´ B
E
O
D
A´
如右图，球面角∠BAC的两边AB，AC延长后相交于点A的对径点A´．AB，AC所在大圆的半平面构成一个二面角B-AA´-C．显然，球面 角∠BAC与二面角B-AA´-C唯一对应． 仍记为∠BAC, 点A叫球面角的顶点，大圆弧AB、弧AC叫球面角的边，记为AB、AC．（结合下图）
面组成的二面角的大小。 角∠BAC与二面角B-AA´-C唯一对应．
如右图，球面角∠BAC的两边AB，AC延长后相交于点A的对径点A´．AB，AC所在大圆的半平面构成一个二面角B-AA´-C．显然，球面 角∠BAC与二面角B-AA´-C唯一对应． 由球面角的定义，我们再看一下经线经度的意义。
N
0°经线
弧AC叫球面角的边，记为AB、AC．（结