Newton插值法实例

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计算方法 Newton插值

或者表示成
f[x0 , x1..., xn]
n k0
f(xk ) , ω(xk )
其中ω(xk
)
n
(xk
i0
xi)
ik
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi ) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。
这种求解差商的方法的优点是直接使用公式，缺点是计算量较大。
计算方法 (Numerical Analysis)
第2次 Newton 插值
1. 牛顿插值多项式的概念 2. 差商及其性质 3. 牛顿插值多项式的系数与误差余项的导出 4. 利用牛顿插值多项式近似求解的例子
牛顿插值多项式的概念
§3 均差与牛顿插值多项式
拉格朗日插值多项式的优点与缺点
➢ 优点：结构对称，使用方便。
无x n ,将出现在系数中（3.12）
其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数。
它满足以下的递推公式：
Nn(x) Nn1(x) an(x x0 )(x x1) …(x xn1)
➢ 牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另一种表示形式,
➢ 与Lagrange多项式相比 • 它克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点, • 节省乘除法运算次数, • 在Newton插值多项式中用到的差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系.
a2
f( x2 ) f( x0 ) a1( x2 x0 ) ( x2 x 0 ) ( x2 x1)
f[x0, x 2 ] f[x0, x1] ( x2 x1)
f[x0, x 2 ] f[x1, x0 ] ( x2 x1)
f[x1, x 0, x 2 ]

牛顿插值法例题求解

牛顿插值法例题求解牛顿插值法是一种用于多项式插值的方法。

它利用给定数据点的函数值和差商的计算来构造一个多项式函数，从而在给定数据点之间进行插值。

以下是一个求解多项式插值的牛顿插值法的例题：假设有以下给定数据点与函数值：x: 0 1 2 4 y: 1 4 11 36现在要使用牛顿插值法，通过这些数据点拟合出一个多项式函数来进行插值。

解题步骤如下：1.计算差商表：x0 f[x0] 0 1 f[x0,x1] 1 4 f[x0,x1,x2] 2 11 f[x0,x1,x2,x3] 4 36差商的计算可以使用以下公式：f[xi,xi+1,...,xi+k] = (f[xi+1,xi+2,...,xi+k] - f[xi,xi+1,...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)2.使用差商表计算插值多项式：插值多项式P(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)P(x)的展开式为：P(x) = 1 + 3(x-0) + 2(x-0)(x-1) + 2(x-0)(x-1)(x-2)3.使用得到的插值多项式进行插值计算。

例如，要计算在x=3 的位置的插值结果，将x 替换为3，计算P(3)：P(3) = 1 + 3(3-0) + 2(3-0)(3-1) + 2(3-0)(3-1)(3-2) = 1 + 9 + 12 + 6 = 28因此，使用牛顿插值法，给定数据点(0,1), (1,4), (2,11), (4,36)，在 x=3 的位置的插值结果为 28。

注意，此例仅为示例，实际问题中，使用牛顿插值法时可能需要更多的数据点和计算过程。

在实际应用中，还需要考虑插值误差、阶数选择以及数据点的分布等因素。

牛顿插值法介绍

牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。

首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。

一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。

假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。

这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。

插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。

常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。

在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。

二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。

牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。

牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。

牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。

因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。

三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。

Newton插值算法

Newton 插值的算法实现Lagrange 插值公式结构紧凑，便于理论分析。

利用插值基函数也容易到插值多项式的值。

Lagrange 插值公式的缺点是，当插值节点增加，或其位置变化时，全部插值基函数均要随之变化，从而整个插值公式的结构也发生变化，这在实际计算中是非常不利的。

下面引入的Newton 插值公式可以克服这个缺点。

1、问题描述当n=1时，由点斜式直线方程知，过两点00(,())x f x 和11(,())x f x 的直线方程为1010010()()()()().f x f x N x f x x x x x −=+−−若记 100110()()[,],f x f x f x x x x −=−则可把1()N x 写成10010()()[,]().N x f x f x x x x =+−显然，1()N x 就是一次Lagrange 插值多项式1()L x 。

由于1()y N x =表示通过两点00(,())x f x 和11(,())x f x 的直线，因此一次插值亦称为线性插值。

当n=2时，进而记120121*********[,][,]()()[,],[,,]f x x f x x f x f x f x x f x x x x x x x −−==−−类似地，构造不超过二次的多项式2001001201()()[,]()[,,]()().N x f x f x x x x f x x x x x x x =+−+−−容易检验，这样的2()N x 满足插值条件200211222()(),()(),()().N x f x N x f x N x f x ===因此，2()N x 就是二次Lagrange 插值多项式2()L x 。

二次插值的几何解释是，用通过三点00(,())x f x ，11(,())x f x ，22(,())x f x 的抛物线2()y N x =来近似所考察的曲线()y f x =，因此这类插值亦称为抛物线插值。

Newton插值法实例

Newton插值法求解梁的挠度实例学院:建筑工程学院学号：2111206052 姓名：王瑞峰一、问题来源求解梁弯曲时的挠度,通常采用积分法和叠加法．积分法是利用挠曲线近似微分方程进行积分求解，积分常数可由粱的边界条件或连续光滑条件来确定．但当粱所受载荷复杂时，就要分段积分并确定多个积分常数，计算相当繁琐。

而叠加法虽然比较简单，但需对梁所受的载荷进行分解，且必须分解成早已知道所产生挠度的单个载荷．若载荷作用位置不同，所用公式也不同，无规律可言，具有一定的局限性.所以就需要一种更好普遍实用的方法来求解.二、数学模型实例：图1所示简支梁AB受集度为q的均布载荷作用,其弯曲刚度为脚,长度为l并等分成四段，试求1、2、3三个等分点处的挠度.三、方法选择牛顿插值法是一种数值计算方法，基本原理是利用牛顿插值方程代替挠曲线近似微分方程，然后用代数的方法求解．如果将梁分成较多的区段，则相应地求解较多的插值方程，且精度较高。

特别指出：当求解方程较多、运算繁琐时可用计算机解决。

下面从图形表示的一般函数y=f(x)入手，推出该方法．如图2所示,将x轴进行等分，各等分点从左到右标以号码，其间距a又称为步长。

如在等电处，其纵坐标分别为等。

现在讨论对应于的A点处函数y的一阶导数．因函数y在处的一阶导数与函数在点处的一阶差商相等，即(a）其二阶导数即一阶导数的变化率，可代表梁在处的挠度，等于f（x)在点处的二阶差商的2倍，即(b）结合梁的挠曲线微分方程，我们可以得到梁的牛顿插值方程：（c）方程中其弯矩M和弯曲刚度EI加上角标i表明这些量为梁在x轴上i点处所求算的量。

要应用该方程求解，需沿梁选择一系列的点写出插值方程,所得的方程组可以求解所选点处的挠度。

四、解答过程及其编程因为此梁对称，1、3两点处的挠度相等,即y1=y3,所以只有两个值y1和y2为方程中的未知量点1处（i=1）：,弯矩，其牛顿插值方程为:又因为，上式简化为：（1）点2处（i=2）：，弯矩，其牛顿插值方程为:又因为，所以上式简化为：(2）可以用Matlab分别求得y1,y2代码如下：A=［—2，1;1，-1]；b=［3/512;1/256]；y=inv(A）＊b截图如下：可得挠度：0。

Newton插值法的程序设计与应用

Newton插值法的程序设计与应用Newton插值法是一种常用的数值插值方法，用于通过已知数据点的函数值来估计未知数据点的函数值。

它基于多项式插值的思想，通过构造一个插值多项式来逼近原始函数。

在程序设计中，我们可以使用Newton插值法来实现数据的插值计算。

下面将详细介绍Newton插值法的程序设计与应用。

1. 程序设计思路- 输入：已知数据点的横纵坐标数组，以及待估计的未知数据点的横坐标。

- 输出：通过Newton插值法估计得到的未知数据点的纵坐标。

- 程序设计步骤：1) 根据已知数据点的横纵坐标数组，计算并存储差商表。

2) 根据待估计的未知数据点的横坐标，利用差商表计算插值多项式的系数。

3) 利用插值多项式的系数计算未知数据点的纵坐标。

2. 差商表的计算差商表是Newton插值法的关键部份，用于计算插值多项式的系数。

差商表的计算可以通过递推公式来实现。

- 输入：已知数据点的横纵坐标数组。

- 输出：差商表，存储了各阶差商的值。

- 程序设计步骤：1) 初始化差商表为一个空的二维数组。

2) 将已知数据点的纵坐标作为差商表的第一列。

3) 逐阶计算差商表的其他列，使用递推公式：f[x0, x1, ..., xn] = (f[x1, ..., xn] - f[x0, ..., xn-1]) / (xn - x0)。

4) 返回计算得到的差商表。

3. 插值多项式的系数计算插值多项式的系数可以通过差商表来计算，具体计算方法如下：- 输入：差商表，待估计的未知数据点的横坐标。

- 输出：插值多项式的系数。

- 程序设计步骤：1) 初始化插值多项式的系数为一个空的数组。

2) 逐阶计算插值多项式的系数，使用递推公式：a[i] = f[x0, x1, ..., xi]。

3) 返回计算得到的插值多项式的系数。

4. 未知数据点的纵坐标计算利用插值多项式的系数，可以计算待估计的未知数据点的纵坐标。

- 输入：插值多项式的系数，待估计的未知数据点的横坐标。

牛顿插值法matlab程序例题

牛顿插值法是一种常用的数值分析方法，用于构造一个多项式函数，以便在给定的数据点上进行插值。

这个主题在数学和工程领域中有着广泛的应用，特别是在数据拟合和函数逼近方面。

牛顿插值法的核心思想是通过不断地添加新的数据点来构造一个多项式，并利用已知数据点来确定多项式的系数，从而实现对未知数据点的插值预测。

在Matlab中，实现牛顿插值法并不困难，我们可以利用已有的函数和工具来简化计算过程。

下面，我们将通过一个具体的例题来讲解如何使用Matlab编写牛顿插值法的程序，并分析其结果。

我们需要明确牛顿插值法的数学原理。

给定n个互不相同的节点$x_0, x_1, ... , x_n$，以及在这些节点上的函数值$f(x_0), f(x_1), ... , f(x_n)$，我们希望构造一个n次插值多项式p(x)，满足p(x_i) = f(x_i)，i=0,1,...,n。

牛顿插值多项式的一般形式为：\[p(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + ... + a_n(x -x_0)(x - x_1)...(x - x_{n-1})\]其中，\[a_i\]表示插值多项式的系数。

通过牛顿插值法的迭代过程，可以逐步求解出这些系数，进而得到插值多项式的表达式。

接下来，我们将以一个具体的例题来演示如何在Matlab中实现牛顿插值法。

假设我们有如下的数据点和函数值：$x = [1, 2, 3, 4]$$f(x) = [1, 4, 9, 16]$我们希望利用这些数据点来构造一个插值多项式，并在给定的区间上进行插值计算。

在Matlab中，可以通过interp1函数来进行插值计算，该函数支持多种插值方法，包括牛顿插值法。

下面是一个简单的Matlab程序示例：```matlabx = [1, 2, 3, 4];y = [1, 4, 9, 16];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi, 'spline');disp(['在x=',num2str(xi),'处的插值结果为：',num2str(yi)]);```在这段代码中，我们首先定义了给定的数据点x和对应的函数值y，然后利用interp1函数对x=2.5处的插值结果进行计算。

牛顿(Newton)插值法

f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
C2 =

f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0
x2 x0
差商的概念
差商的定义
f ( xi ) f ( x j ) xi x
j
定义1：设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等的x0， x1，…，xn （即在I ≠ j时，xi ≠ xj）的值f(xi),称
f [ x 0 , x 1 ,... x n ] x0 xn
xi xk
其中(i ≠ k)
f [ x 0 , x 1 ,... x n 1 ] f [ x 1 , x 2 ,... x n ]
为f (x)在点x0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx1，…xn处的n阶差商。
差商形式的插值公式
求作次数≤n多项式pn(x),使满足条件， Pn(xi) = yi,i = 0,1,… 利用差商其解亦可表达为如下形式： Pn(x) = f(x0) + f(x0，x1)(x – x0)+ …+ f(x0，x1，…xn) (x –x0)(x –x1)…(x-xn-1) 称这种差商形式的插值公式为牛顿插值公式。
Newton插值C 的求法
i
Nn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0) (x – x1) + …..+ cn(x – x0) (x – x1) …. (x-xn)
令x = x0得：Nn(x0) = c0 = y0 = f(x0) x = x1得：Nn(x1) = c0 + c1(x1 –x0) = y1 = f(x1) 由此可解出：c0，c1；ci 依次类推。
线性插值公式可以写成如下形式： P1(x) = p0(x) + c1(x – x0) 其中p0(x) = f(x0)， f ( x1 ) f ( x 0 ) 其修正项的系数 c 1

53第三节-Newton插值多项式

差商的计算结果要做出一个数据表格
差商表
xk 函数值一阶差商二阶差商
三阶差商 ...
x0 f (x0)
f [ x0 , x1]
x1 f (x1)
f [x0, x1, x2]
f [ x1 , x2]
f [x0, x1, x2 , x3] ...
x2 f (x2)
f [x1, x2, x3]
f [ x2 , x3]
一、差商的概念
1. 差商的定义
定义1
称 f [ x0 , xk ]
f ( x0 ) f ( xk ) 为函数 f (x) x0 xk
关于点x0, xk的一阶差商. 一阶差商的差商(均差)
f [ x0 , x1 , xk ]
f [ x0 , xk ] f [ x0 , x1 ] xk x1
可表示为
P2( x) P1( x) a2( x x0 )( x x1 ).
显然它满足条件P2(x0)=f(x0)及P2(x1)=f(x1). 令
P2(x2)=f(x2)，则得
f ( x2 ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 )
a2

P2( x2 ) P1( x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )

x2 x0
x1 x0
x2 x1
系数a2是函数f(x)的“差商的差商”.
一般情况已知f(x)在插值点上xi(i=0,1, …,n)的值为f(xi)(i=0,1, …,n)，要求n次插值多项式满足条件
Pn( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n,
则Pn(x)可表示为
第三节牛顿(Newton)插值多项式

牛顿插值法的C语言编程

Newton 插值Newton 插值函数 Newton 插值函数是用差商作为系数，对于01,,,n x x x …这1n +个点，其一般形式为：00100120101011()[][,]()[,,]()()[,,,]()()()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x −=+−+−−++−−−…………对于011,,,n x x x −…这n 个点，100100120101012()[][,]()[,,]()()[,,,]()()()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x −−=+−+−−++−−−…………差商的定义若已知函数()f x 在点(0,1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅处的函数值()i f x 。

则称：00[]()f x f x =为函数()f x 在点0x 的0阶差商；100110[][][,]f x f x f x x x x −=−为函数()f x 关于01,x x 的1阶差商；120101220[,][,][,,]f x x f x x f x x x x x −=−为函数()f x 过点012,,x x x 的2阶差商；依此类推，一般地称121012101210[,,,,][,,,,][,,,,,]k k k k k k k f x x x x f x x x x f x x x x x x x −−−−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−为函数()f x 关于01,,,k x x x ⋅⋅⋅的k 阶差商。

表1 差商表i x ()i f x 1阶差商 2阶差商3阶差商4阶差商0x 1x 2x 3x 4x……0()f x 1()f x 2()f x 3()f x 4()f x ……01[,]f x x12[,]f x x 23[,]f x x 34[,]f x x……012[,,]f x x x 123[,,]f x x x 234[,,]f x x x ……0123[,,,]f x x x x 1234[,,,]f x x x x ……01234[,,,,]f x x x x x……根据Newton 插值函数编写的C 语言编程根据Newton 插值函数并对照上面的差商表，可编写出Newton 插值法的C 语言程序如下： #include<stdio.h> #include<iostream.h> #include <stdlib.h>double NewtonInterpolation(double *x,double *y,int n,double xx,double *pyy) {double *f=(double *)malloc(n*sizeof(double));int i,k;for(i=1;i<=n-1;i++)f[i]=y[i];for(k=1;k<=n-1;k++)for(i=k;i<=n-1;i++){f[i]=(y[i]-y[i-1])/(x[i]-x[i-k]);if(i==n-1)for(i=k;i<n;i++)y[i]=f[i];}*pyy=y[n-1];for(i=n-2;i>=0;i--)*pyy=(*pyy)*(xx-x[i])+y[i];free(f);return 0;}void main(){int n=5;double x[5]={1.0,2.7,3.2,4.8,5.6},y[5]={14.2,17.8,22.0,38.3,51.7},xx=3,yy; NewtonInterpolation(x,y,n,xx,&yy);printf("%lf\n",yy);}。

牛顿插值公式应用实例

牛顿插值公式应用实例
牛顿插值法是一种通过已知的离散数据点来推算其他点的数值的方法。

以下是一个应用实例：假设我们有一个函数y = f(x)在x = 0, 1, 2, 3处的值为y = 1, 3, 9, 27。

我们想要知道f(x)在x = 4处的值。

首先，我们可以使用前两个点(0,1)和(1,3)来设计一个线性插值公式：
f(x) = 1 + 2*(x-0) = 1 + 2x
然后，我们可以使用前三个点(0,1)、(1,3)和(2,9)来设计一个二次插值公式：
f(x) = (1 + 2*(x-0) + 3*(x-1)(x-2)) / (1 + (x-0) + (x-1)(x-2))
接下来，我们将使用前四个点(0,1)、(1,3)、(2,9)和(3,27)来设计一个三次插值公式。

这个公式稍微复杂一些，但是可以通过类似的方式推导出来。

f(x) = (y0*(x-1)(x-2)(x-3) + y1*(x-0)(x-2)(x-3) + y2*(x-0)(x-1)(x-3) + y3*(x-0)(x-1)(x-2)) / (x-0 + x-1 + x-2 + x-3)
其中，y0, y1, y2, y3是已知的四个点的y坐标。

具体来说，y0 = 1, y1 = 3, y2 = 9, y3 = 27。

通过这种方式，我们可以使用牛顿插值法来估算在给定的四个点之间的任何一点的函数值。

这种方法通常比简单地使用平均值或线性插值更精确。

Newton插值

Newton插值（要求：对于给定节点，可以计算插值多项式）一、N ewton的数学理论假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值(x0,y0),…,(xn,yn),克服拉格朗日插值多项式的缺点的有效方法之一是把插值多项式构造成如下形式：Pn(x0)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn) (1)其中：系数ai (i=0,1,…,n)为待定系数，可由插值条件Pn(xi)=yi (i=0,1,…,n)确定。

根据均差定义，把x看成[a,b]上的一点，可得f(x)=f(x0)+f[x,x0](x-x0)f[x,x0]=f[x0,x1]+f[x,x0,x1](x-x1)…f[x,x0,…,x(n-1)]=f[x0,x1,…,xn]+f[x,x0,x1,…,xn](x-xn)综合以上式子，把后一式代入前一式，可得f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,…,xn](x-x0)…(x-x(n-1))+f[x,x0,…,xn]A(x)=Nn(x)+Rn(x)其中Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,…,xn](x-x0)…(x-x(n-1)) (2)Rn(x)=f(x)-Nn(x)=f[x,x0,…,xn]A(x) (3)A(x)=(x-xn)(x-x1)…(x-xn)由式(1)确定的多项式Nn(x)显然满足插值条件，且次数不超过n。

式(1)的多项式中，令系数为ak=f[x0,…,xk](k=0,1,2,…,n)则将式(1)变成式(2)，称Nn为牛顿均差插值多项式。

牛顿均差插值多项式在计算量上拉格朗日多项式节省很多，且便于应用于程序设计中。

式(3)为牛顿插值的余项。

二、N ewton插值算法和流程图构造计算经过点(xk,yk)=f(xk,f(xk)) (k=0,1,…,n)的次数小于等于n的牛顿插值多项式：Nn=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,…,xn]…(x-x(n-1)) 三、N ewton插值的Matlab实现function f=Newton(x,y,x0)%求已知数据点的牛顿插值多项式%已知数据点的x坐标向量：x%已知数据点的y坐标向量：y%插值的x坐标：x0%求得的牛顿插值多项式或在x0处的插值：fsyms t;if(length(x)= =length(y))n=length(x);c(1:n)=0.0;elsedisp(`x和y的维数不相等！`);return;ednf=y(1);y1=0;l=1;for(i=1;n-1)for(j=i+1:n)y1(j)=(y(j)-y(i)/(x(j)-x(i));endc(i)=y1(i+1);l=1*(t-x(i));f=f+c(i)*l;simplify(f);y=y1;if(i==n-1)if(nargin==3)f=subs(f,`t`,x0);elsef=collect(f); %将插值多项式展开f=vpa(f,6);endendend四、N ewton插值的算例实现【例题】用程序求过已知数据点(1,-3),(2,0),(3,15),(4,48),(5,105),(6,192)的牛顿插值多项式。

牛顿插值法原理及应用汇总

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。

为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。

插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。

若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。

定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

python 牛顿插值法

python 牛顿插值法摘要：1.引言2.牛顿插值法的概念和原理3.牛顿插值法的应用实例4.Python 实现牛顿插值法的方法5.总结正文：1.引言牛顿插值法是一种常用的数学插值方法，它是代数插值方法的一种形式。

牛顿插值法引入了差商的概念，使其在插值节点增加时便于计算。

在计算机科学领域，Python 语言作为一种广泛应用的编程语言，可以用来实现各种数学算法，包括牛顿插值法。

本文将介绍牛顿插值法的概念、原理以及如何使用Python 实现牛顿插值法。

2.牛顿插值法的概念和原理牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。

差商是指两个相邻函数值之差与自变量之差的比值。

牛顿插值法的基本思想是利用差商的性质，在插值节点附近用多项式来近似表示函数。

牛顿插值法的插值公式为：$$P_n(x) = sum_{k=0}^{n} f[k] cdot prod_{j=0}^{n-k-1} (x - x_j)$$其中，$P_n(x)$表示n 阶牛顿插值多项式，$f[k]$表示第k 个差商，$x_j$表示插值节点。

3.牛顿插值法的应用实例牛顿插值法广泛应用于数值计算、工程技术等领域。

下面是一个简单的应用实例：假设有一个函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$，我们要在$x=1, x=2,x=3$三个点上求解该函数的近似值。

首先计算差商：$$f[0] = frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = 1 - 1 = 0$$$$f[1] = frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = 4 - 3 = 1$$$$f[2] = frac{f(3) - f(2)}{3 - 2} = 9 - 6 = 3$$然后利用牛顿插值公式计算近似值：$$P_2(x) = f[0] cdot (x - x_1) + f[1] cdot (x - x_1)(x - x_2) + f[2] cdot (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$$代入$x=1, x=2, x=3$，得到：$$P_2(1) = 0 cdot (1 - 1) + 1 cdot (1 - 1)(1 - 2) + 3 cdot (1 - 1)(1 - 2)(1 - 3) = 0$$$$P_2(2) = 0 cdot (2 - 1) + 1 cdot (2 - 1)(2 - 2) + 3 cdot (2 - 1)(2 - 2)(2 - 3) = 1$$$$P_2(3) = 0 cdot (3 - 1) + 1 cdot (3 - 1)(3 - 2) + 3 cdot (3 - 1)(3 - 2)(3 - 3) = 2$$因此，在$x=1, x=2, x=3$三个点上，函数$f(x)$的近似值分别为0、1 和2。

Newton插值多项式的C程序实例

附录（一）等距结点的Newton 插值法的程序算法步骤步骤按照差分公式，求差分.然后利用Newton 前插公式或Newton 后插公式并把数值带入.即可以求得n 次多项式. 它在计算机上的应用步骤如下：步骤1 输入所要求的牛顿多项式的次数n ，步长h ，并依次输入1+n 个节点),(i i y x .步骤2 求得各界差分步骤3 代入牛顿插值公式,可计算得出结果（二）等距节点下Newton 插值的实例例题1 已知的值列表如下：近似计算325.1tan ,305.1tan . 解：采用Newton 向后插公式.为此，做差分表).2)(1(!30016.0)1(!20128.01690.00723.4)(3++++++=t t t t t t x p 将5.001.033.1325.1-=-=t 代入上式，得tan1.325≈P 3(1.325)=3.9861将5.201.033.1305.1-=-=t 上式中可以得到tan1.305≈P 3(1.305)=3.6733C程序如下：#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton,t,h;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("步长:\n请输入要运算的值:h=");scanf("%f",&h);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}t=(xx-x[n])/h;//计算各阶差分printf("--------------------------\n");printf("各阶差分分别为：\n");for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1]); printf("%f\n",y[i][j]);}//利用牛顿插值公式，计算结果temp=1;newton=y[0][n];for(i=1;i<n+1;i++){temp=temp*((t+i-1)/i);newton=newton+y[i][n]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);}运行结果如下所示：x0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0)(x f 1.0 0.818731 0.670320 0.548812 0.449329 0.367879 试利用插值公式求)3.0(f的值.解：差分表如下：分析首先我们可以通过程序求出差分表：从而，有p5(x)=1.0+(−0.181269)t+0.032858t(t−1)/2!+⋯+(−0.000191)t(t−1)(t−2)(t−3)(t−4)/5!将t=(0.3−0)/0.2代入上式，得)3.0(f≈p5(x)=0.740818利用C语言程序步骤如下:首先输入所求插值的次数5和步长0.2.然后输入各个节点，并输入所要求的点0.3既可以求出该点的函数值.#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton,t,h;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("步长:\n请输入要运算的值:h=");scanf("%f",&h);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}t=(xx-x[0])/h;printf("--------------------------\n");printf("各阶差分分别为：\n");for(i=1;i<n+1;i++)for(j=0;j<=n-i;j++){y[i][j]=(y[i-1][j+1]-y[i-1][j]);printf("%f\n",y[i][j]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){temp=temp*((t-i+1)/i);newton=newton+y[i][0]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);}运行结果：（三）总结由以上例子我们看到例1用了牛顿后插公式，例2用了牛顿前插公式，我们该怎样选取.这个经过验证得出，如果所要求的点较靠近节点x0，则采用前插公式；如果靠近x n，则采用牛顿后插公式.。

Newton插值法实验

Newton 插值法实验题目用Newton 插值法做一个既反映f (x )的特性，又便于计算的简单的代数多项式或分段代数多项式P(n)近似于f(x)。

运用Newton 插值法求解()cos f x x =在512x π=处的值。

实验目的注重了解Newton 插值法构造P(n)多项式的思想及方法，掌握其原理，运用Newton 插值法求解()cos f x x =在512x π=处的近似解，并且已知节点为0,,,,6432ππππ,并掌握Matlab 编程，并将结果与计算器计算结果进行比较。

基本原理由差商定义有：0000011010101220120110101()()()[,][,][,]()[,,][,,][,,]()[,,,][,,,,][,,,]()[,,,,]n n n n f x f x x x f x x f x x f x x x x f x x x f x x x f x x x x x f x x x x f x x x x f x x x x x f x x x x -=+-=+-=+-=+-将以上各式逐次由后一式代入上一式可得()()()n n f x N x R x =+其中0001()()()[,]n N x f x x x f x x =+-01012()()[,,]x x x x f x x x +--+01101()()()[,,,]n n x x x x x x f x x x -+---即 00011012()()()([,]()([,,]n N x f x x x f x x x x f x x x =+-+-+101101()([,,,]()[,,,])))n n n n x x f x x x x x f x x x --+-+-算法设计： (1) 输入：,i j x f(2) i j z f =（i =0，1，2，…，n ） (3) 计算差商对i =1，2，…，n 做 1)对j =i ，i +1，…，n 做11()()j j j j j z z f x x ---=-;2)对j =i ，i +1，…，n 做i j z f =; (4) 计算插值N (u ) 1) 输入插值u ； 2) v =0;3) 对i =n ,n -1,…，0做i i f x u v v +-=)(； (5) 输出u ,v 。

插值运算newton算法c++

#include<vector>
class
public
std::doublestd::double
//初始化差商表
int
:double0.0
//计算差商表
forint0
0
forint1
forint
111
//计算插值多项式的值
doubledouble
double00
double1.0
forint1
牛顿插值法（Newton's Interpolation）是一种插值多项式的方法，通常用于通过已知数据点推导出一个插值多项式。这个插值多项式可以用于在给定数据点之间进行估计。
以下是一个使用C++实现牛顿插值的简单示例。这里使用的是差商（divided differences）的概念：
#include<iostream>
1
return
private
std::double
std::double
std::std::double
int
//示例数据
std::double1.02.03.04.0
std::double2.03.05.08.0
//创建牛顿插值对象
//在新的x值上进行插值
double2.5
double
std::"Interpolated value at x = "": "std::
return0
此示例演示了如何使用牛顿插值法进行插值。你可以根据需要更改示例数据。在NewtonInterpolation类中，interpolate方法接受一个x值，返回插值多项式在该点的估计值。

数值计算方法实验报告--newton插值多项式

数值计算方法实验报告实验报告题目：newton插值多项式实验要求用mat1ab解析Newton插值多项式的程序二、实验分析(包括数学原理，小组分析讨论后确定实验方案和实现思路)根据经过n+1个不同的差值点x1,x2,…，x(n+1),构造牛顿插值公式∕V(x)=y[x1,x2](x-Λ1)+∕[x1,x2,x3](x-Jc1)(x-x2)+∙∙∙+∕[x1,Λ2∕∙∙xn+1](x-x1)(x-x 2)∙∙∙(x-xn)三、实脸步骤(过程)(包括程序及上机的实现的结果)function[p2,z]=newton(x,y,t)n=1ength(x);chaS(1)=y(1);for i=2:nx1=x;y1=y;x1(i+1:n)=[];y1(i+1：n)=[];n1=1ength(x1);s1=0;for j=1:n1t1=1;for k=1:n1if k==j continue;e1set1=t1*(x1(j)-x1(k));ehdehds1=s1+y1(j)∕t1;end chaS(i)=s1;ehd b(1,:)=[zeros(1,n-1)chaS(1)];c1=ce11(1,n-1);for i=2:nυ1=1;for j=1:i-1u1=conv(u1,[1-x(j)]);c1{i-1}=u1;end c1{i-1}chaS(i)*c1{i-1);b(i,:)=[zeros(1,n-i)z c1{i-1}];end四、总结（包括实脸过程遇到的情况等，组长总结组员在整个过程的参与情况）实验过程中大家都积极参与，搞明白了牛顿插值多项式的程序。

有不明白的地方，也通过询问同班学霸，或是网页查询得到了解决。

matlab newton插值法

matlab newton插值法
在MATLAB 中实现Newton 插值法，您可以使用内置的polyfit和polyval函数。

下面是一个简单的例子，它展示了如何使用Newton 插值法在MATLAB 中拟合数据。

首先，我们需要一些数据来进行插值。

假设我们有一些x 和y 的数据点：
matlab
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [1, 4, 9, 16, 25];
这些数据点表示一个函数y = x^2 的取值。

然后，我们可以使用polyfit函数来找到最佳拟合的多项式。

polyfit函数返回一个数组，该数组表示多项式的系数，从最高次幂到最低次幂。

例如，对于二次多项式，它会返回一个包含三个系数的数组：a2, a1 和a0。

matlab
p = polyfit(x, y, 2); % 对于二次多项式，我们使用2作为第三个参数
现在，p包含多项式的系数。

我们可以使用polyval函数来评估多项式在给定x 值
处的y 值：
matlab
y_fit = polyval(p, x);
最后，我们可以绘制原始数据和拟合曲线：
matlab
plot(x, y, 'o', x, y_fit, '-');
legend('Data', 'Fitted curve');
以上就是如何在MATLAB 中使用Newton 插值法进行数据拟合的简单示例。

注意，对于非线性函数，您可能需要使用更高阶的多项式来获得更好的拟合效果。