Newton插值法实例

Newton插值法求解梁的挠度实例

学院：建筑工程学院学号：2111206052 姓名：王瑞峰

一、问题来源

求解梁弯曲时的挠度，通常采用积分法和叠加法．积分法是利用挠曲线近似微分方程进行积分求解，积分常数可由粱的边界条件或连续光滑条件来确定．但当粱所受载荷复杂时，就要分段积分并确定多个积分常数，计算相当繁琐。而叠加法虽然比较简单，但需对梁所受的载荷进行分解，且必须分解成早已知道所产生挠度的单个载荷．若载荷作用位置不同，所用公式也不同，无规律可言，具有一定的局限性。所以就需要一种更好普遍实用的方法来求解。

二、数学模型

实例：

图1所示简支梁AB受集度为q的均布载荷作用，其弯曲刚度为脚，长度为l并等分成四段，试求1、2、3三个等分点处的挠度。

三、方法选择

牛顿插值法是一种数值计算方法，基本原理是利用牛顿插值方程代替挠曲线近似微分方程，然后用代数的方法求解．如果将梁分成较多的区段，则相应地求解较多的插值方程，且精度较高。特别指出：当求解方程较多、运算繁琐时可用计算机解决。

下面从图形表示的一般函数y=f(x)入手，推出该方法．如图2所示，将x轴进行等分，各等分点从左到右标以号码，其间距a又称为步长。如在等电处，其纵坐标分别为等。

现在讨论对应于的A点处函数y的一阶导数．因函数y在处的一阶导数

与函数在点处的一阶差商相等，即

(a)

其二阶导数即一阶导数的变化率，可代表梁在处的挠度，等于f(x)在点处的二阶差商的2倍，即

(b)

结合梁的挠曲线微分方程，我们可以得到梁的牛顿插值方程：

(c)

方程中其弯矩M和弯曲刚度EI加上角标i表明这些量为梁在x轴上i点处所求算的量。

要应用该方程求解，需沿梁选择一系列的点写出插值方程，所得的方程组可以求解所选点处的挠度。

四、解答过程及其编程

因为此梁对称，1、3两点处的挠度相等，即y1=y3，所以只有两个值y1和y2为方程中的未知量

点1处(i=1)：，弯矩，其牛顿插值方程为：

又因为，上式简化为：

(1)

点2处(i=2)：，弯矩，其牛顿插值方程为：

又因为，所以上式简化为：

(2)

可以用Matlab分别求得y1，y2

代码如下：

A=[-2,1;1,-1];b=[3/512;1/256];

y=inv(A)*b

截图如下：

可得挠度：

0.0098，0.0137

五、误差要求

由积分法求得这些挠度的精确结果为：

比较两种结果：

点1处：

点2处：

点3处与点1处相同。

经比较可看出：误差仅为5%左右，这对于沿梁只采用四个间隔段是合理的精确度。若将梁分成较多的等分求解，其精确度可大大提高。

六、实际意义分析

通过上述对静定梁挠度的求解，可以看出(c)式为有规律方程，即时数目再多，其未知量也能方便地通过计算机解出，且对梁的间隔段等分的越多越细，其精确度就会越高。