2014年高考数学一轮复习考点热身训练 8.5双曲线

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2014高考数学考前押题双曲线

2014高考数学考前押题：双曲线用双曲线的定义解决相关问题1.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )(A)14(B)35(C)34(D)45解析:由x2-y2=2知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4,∴,c=2.又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|,∴.又∵|F1F2|=2c=4,∴由余弦定理得cos∠=3 4.故选C. 答案:C2.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )解析:由双曲线方程可知.由双曲线定义有||PF1|-|PF2||=2a=2,①在△F1PF2中,由余弦定理有:8=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°②联立①②解得|PF1||PF2|=4,设点P(x,y),则12PF FS=12|PF1||PF2|sin 60°=12|F1F2||y|,解得故选B.答案:B3.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:如图,设|PF1|=m, |PF2|=n.则()222122,222cos. m nm n mn F PF ⎧-=⎪⎨=+-∠⎪⎩∴222224,8. m mn nm mn n⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩∴mn=4.∴|PF1|·|PF2|=4.故选B. 答案:B4.已知F为双曲线C:29x-216y=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为.解析:由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,则|PQ|=16,又因为|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,所以|PF|+|QF|-|PQ|=12,|PF|+|QF|=28,则△PQF的周长为44.答案:445.已知双曲线x2-y2=1,点F1、F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.解析:设P在双曲线右支上,|PF2|=x(x>0),则|PF1|=2+x.∵PF1⊥PF2,∴(x+2)2+x2=(2c)2=8,即:x2+2x-2=0,解得33+1.∴3答案:236.点A(x0,y0)在双曲线24x-232y=1的右支上,若点A到右焦点的距离等于2x0,则x0= .解析:由24x-232y=1可知,a2=4,b2=32,∴c2=36,c=6, 右焦点F(6,0),由题意可得()2200220001,43262, x yx y x ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩解方程组可得x0=25或x0=2.∵点A在双曲线右支上, ∴x0≥2,∴x0=2.答案:27.已知F是双曲线24x-212y=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:由24x-212y=1知c2=4+12=16,c=4.∴左焦点F(-4,0),设双曲线右焦点为F′(4,0),∵点P在双曲线右支上,∴|PF|-|PF′|=2a=4,∴|PF|=4+|PF′|,∴|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|.由图可知,当A、P、F′三点共线时,|PF′|+|PA|最小,此时, (|PF|+|PA|)min =4+(|PF′|+|PA|)min=4+|AF′|()22144-+=4+5=9.答案:9双曲线标准方程的求法1.已知双曲线C:22xa-22yb=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )(A)220x-25y=1 (B)25x-220y=1(C)280x-220y=1 (D)220x-280y=1解析:22xa-22yb=1的焦距为10,∴.①又双曲线渐近线方程为y=±ba x,且P(2,1)在渐近线上,∴2ba=1,即a=2b.②由①②解得故选A.答案:A2.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )(A)25x-24y=1 (B)24x-25y=1(C)23x-26y=1 (D)26x-23y=1解析:∵双曲线22xa-22yb=1的渐近线方程为y=±ba x,圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,∴圆心为C(3,0).又渐近线方程与圆C相切,即直线bx-ay=0与圆C相切,=2, ∴5b2=4a2.①又∵22xa-22yb=1的右焦点,0)为圆心C(3,0),∴a2+b2=9.②由①②得a2=5,b2=4.∴双曲线的标准方程为25x-24y=1.故选A.答案:A3.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB 的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )(A)23x-26y=1 (B)24x-25y=1(C)26x-23y=1 (D)25x-24y=1解析:∵kAB=015 312++=1,∴直线AB的方程为y=x-3. 由于双曲线的焦点为F(3,0), ∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为22xa-22yb=1(a>0,b>0),则22xa-()223xb-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2226aa b-=2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2. 又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为24x-25y=1.故选B.答案:B4.已知双曲线C1:22x a -22y b =1(a>0,b>0)与双曲线C2:24x -216y =1有相同的渐近线,且C1的右焦点为则a= ,b= .解析:与双曲线24x -216y =1有共同渐近线的双曲线的方程可设为24x -216y =λ,即24x λ-216y λ=1.由题意知,则4λ+16λ=5⇒λ=14,则a2=1,b2=4,又a>0,b>0.故a=1,b=2.答案:1 2双曲线离心率的求法1.设双曲线C 的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使11A B =22A B ,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值X 围是( )(A)2⎤⎥⎦(B)2⎫⎪⎪⎭(C)⎫+∞⎪⎪⎭(D)⎫+∞⎪⎪⎭解析:设双曲线的焦点在x 轴上,则双曲线的一条渐近线的斜率k=ba ,<k≤,所以13<2b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤3,43<1+2b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤4,即<≤2,又双曲线的离心率为e=c a≤2.故选A. 答案:A 2.已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )(C)32 (D)43解析:由a2+5=9得a2=4,∴a=2,∴e=ca=32.故选C.答案:C3.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )解析:由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-ba x, ∴-2=-ba×4,∴a=2b.设b=k,则∴e=ca答案:D4.( )(A)22x-24y=1 (B)24x-22y=1(C)24x-26y=1 (D)24x-210y=1解析:选项A中a2=2,b2=4,∴c2=6,e=ca选项B中a2=4,b2=2,∴c2=6,e=ca选项C中a2=4,b2=6,∴c2=10,e=ca选项D中a2=4,b2=10,∴c2=14,e=ca故选B.答案:B5.设F1和F2为双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) (A)32 (B)2 (C)52 (D)3解析:由2bc令,则c=2,∴a=1,∴e=ca =2.故选B.答案:B6.双曲线216x -29y =1的离心率为 .解析:由a2=16,b2=9,得c2=a2+b2=25.离心率e=c a =54.答案:547.设F1,F2是双曲线C,22x a -22y b =1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C 的离心率为 .解析:设点P 在双曲线右支上,由题意,在Rt △F1PF2中,|F1F2|=2c,∠PF1F2=30°,得根据双曲线的定义-1)c=2a, e=ca答案+18.设P 为直线y=3ba x 与双曲线22x a -22yb =1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e= .解析:由2222,31,by xax ya b⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y,得x=±324 a.又PF1⊥x轴,∴324a=c,∴e=ca=324.答案:32 49.过双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.解析:如图,由题知OA⊥AF,OB⊥BF且∠AOB=120°,∴∠AOF=60°.又OA=a,OF=c,∴ac=OAOF=cos 60°=12,∴ca=2.答案:2与渐近线有关问题的解法1.已知双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)52,则C的渐近线方程为( )(A)y=±14x (B)y=±13x(C)y=±12x (D)y=±x解析:离心率e=ca,所以ba=12.又双曲线C:22xa-22yb=1的渐近线方程为y=±ba x=±12x.故选C.答案:C2.双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )(A)12(C)1解析:双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(±1,0),顶点到.故选B.答案:B3.设双曲线22xa-29y=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由渐近线方程3x±2y=0,得y=±32x,又由双曲线22xa-29y=1得渐近线方程y=±3a x,∴a=2.故选C. 答案:C4.设双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )(A)y=x (B)y=±2x (C)y=x (D)y=±12x解析:由题意知∴,∴渐近线方程为y=±ba x=x=x.故选C.答案:C5.双曲线26x-23y=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=( )(B)2 (C)3 (D)6解析:∵双曲线26x-23y=1的渐近线方程为y=x,则圆心(3,0)y+x=0的距离为r,∴.故选A.答案:A6.双曲线216x-29y=1的两条渐近线的方程为.解析:令216x-29y=0,解得y=±34x.答案:y=±34x7.已知双曲线x2-22yb=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b= .解析:由x2-22yb=1知a=1,又一条渐近线的方程为y=ba x=2x,∴b=2. 答案: 28.已知双曲线22xa-22yb=1的离心率为2,焦点与椭圆225x+29y=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为. 解析:∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,∴c=4.∵e=ca=2,∴a=2,∴b2=12,∴.∵焦点在x轴上,∴焦点坐标为(±4,0),渐近线方程为y=±ba x,即y=x±y=0.答案:(±4,0) ±y=0 双曲线几何性质的简单应用1.已知0<θ<π4,则双曲线C1:22sinxθ-22cosyθ=1与C2:22cosyθ-22sinxθ=1的( )(A)实轴长相等(B)虚轴长相等(C)离心率相等(D)焦距相等解析:双曲线C1的半焦距双曲线C2的半焦距故选D.答案:D2.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )(A)2(C)4解析:双曲线标准方程为24x-28y=1,∴a2=4,a=2,实轴长2a=4.故选C. 答案:C3.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线2xm-224ym+=1则m的值为.解析:由c2=m+m2+4,e2=22ca=24m mm++=5得m2-4m+4=0,解得m=2,经检验符合题意.答案:2直线与双曲线位置关系的判定及应用已知双曲线C的方程为22xa-22yb=1(a>0,b>0),离心率,(1)求双曲线C 的方程;(2)如图,P 是双曲线C 上一点,A 、B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若AP =λPB ,λ∈1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.求△AOB 的面积的取值X 围. 解:(1)由题意知,双曲线C 的顶点(0,a)到渐近线ax-by=025522aba b +255即ab c 255由22225552,ab cc a c a b ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩ 得2,1,5.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴双曲线C 的方程为24y -x2=1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y=±2x, 设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.由AP =λPB 得P 点坐标为()2,11m n m n λλλλ+⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 将P 点坐标代入24y -x2=1,化简得mn=()214λλ+.设∠AOB=2θ,∵tan(π2-θ)2. ∴tan θ=12,sin 2θ=45.又55n,∴S△AOB=12|OA|·|OB|·sin 2θ=2mn=121λλ⎛⎫+⎪⎝⎭+1,记S(λ)=121λλ⎛⎫+⎪⎝⎭+1,λ∈1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.则S′(λ)=1221λλ⎛⎫+⎪⎝⎭.由S′(λ)=0得λ=1.又S(1)=2,S13⎛⎫⎪⎝⎭=83,S(2)=94,∴当λ=1时,△AOB的面积取得最小值2,当λ=13时,△AOB的面积取得最大值8 3.∴△AOB面积的取值X围是8 2,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.用双曲线的定义解决相关问题1.设双曲线24x-23y=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A、B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为( )(A)192 (B)11 (C)12 (D)16解析:由24x-23y=1知a2=4,b2=3,∴,∴,0),又点A、B在双曲线左支上,∴|AF2|-|AF1|=4,|BF2|-|BF1|=4, ∴|AF2|=4+|AF1|,|BF2|=4+|BF1|, ∴|AF2|+|BF2|=8+|AF1|+|BF1|.要求|AF2|+|BF2|的最小值,只要求|AF1|+|BF1|的最小值,而|AF1|+|BF1|最小为2×32=3.∴(|AF2|+|BF2|)min=8+3=11.故选B. 答案:B2.已知F1、F2为双曲线C:24x-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )解析:由双曲线的方程可知在△F1PF2中,根据余弦定理可得(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°, 即4c2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以4c2=4a2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=20-16=4,所以△F1PF2的面积为S=12|PF1|·|PF2|sin 60°=12×4,设△F1PF2边F1F2上的高为h,则S=12×,所以高即点P到x.故选B.答案:B双曲线标准方程的求法1.已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为32,实轴长为4,则双曲线的方程为.解析:由2a=4得a=2,由e=ca=32,得c=3,∴b2=c2-a2=5,又双曲线焦点在x轴上,∴双曲线标准方程为24x-25y=1.答案:24x-25y=12.已知双曲线22xa-22yb=1的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于则该双曲线的标准方程为.解析:圆x2+y2-10x=0的圆心坐标为(5,0),∴c=5,又e=ca,∴,b2=c2-a2=20,∴双曲线标准方程为25x-220y=1.答案:25x-220y=1双曲线离心率的求法1.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0),过其右焦点F且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N两点,O为坐标原点.若OM⊥ON,则双曲线的离心率为( )解析:由题意知三角形OMN为等腰直角三角形,所以|MF|=|OF|=c,所以点M(c,c),当x=c时,22ca-22yb=1,得|y|=2ba,所以由|y|=2ba=c得b2=ac,即c2-a2=ac,c2-ac-a2=0,所以e2-e-1=0,解得离心率.故选D.答案:D2.已知F 是双曲线C:22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左焦点,B1B2是双曲线的虚轴,M 是OB1的中点,过F 、M 的直线与双曲线C 的一个交点为A,且FM =2MA ,则双曲线C 离心率是 .解析:由题意可知F(-c,0),不妨取M 0,2b ⎛⎫⎪⎝⎭,设A(x,y),则由FM =2MA 得,2b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2,2b x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,解得x=2c ,y=34b,即A 3,24c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为点A 在双曲线上,所以224c a -22916b b =1,即224c a -916=1, 所以224c a =2516,即22c a =254,即e2=254,所以e=52.答案:52考点四双曲线渐近线方程的求法1.已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线方程为( )(A)y=x (B)y=x(C)y=±2x (D)y=±12x解析:由e=c a 得e2=22c a =222a b a +=1+22b a =3, ∴22b a =2,∴b a,双曲线渐近线方程为y=±a b x,即y=x.故选A.答案:A2.双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为,渐近线方程为.解析:由题意,2a=4,∴a=2,由e=ca=3,∴c=6,∴b2=c2-a2=32,∴双曲线标准方程为24x-232y=1.渐近线方程为y=±x.答案:24x-232y=1 y=±x双曲线几何性质的简单应用1.双曲线的中心在坐标原点O,A、C分别是双曲线虚轴的上、下顶点,B是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D,若双曲线的离心率为2,则∠BDF的余弦值是( )解析:设双曲线方程22xa-22yb=1(a>0,b>0),则A(0,b),C(0,-b),B(-a,0),F(-c,0),由e=ca=2得a,∴直线AB方程为a,直线FC方程为法一由,,yy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩得D(-43a).∴a,|DB|=23a,又|BF|=a.在△BDF中,由余弦定理得cos∠BDF=222749972233a a aa a+-⋅⋅=714.故选C.法二tan∠FBD=3,tan∠DFB=3 2,∴tan∠BDF=tan[180°-(∠FBD+∠DFB)] =-tan(∠FBD+∠DFB)=-tan tan1tan tanFBD DFBFBD DFB ∠+∠-∠⋅∠=33.∴cos∠BDF=()21331+=127=714.故选C.答案:C2.若点P是以A(-10,0),B(10,0)为焦点,实轴长为22的双曲线与圆x2+y2=10的一个交点,则|PA|+|PB|的值为( )(A)22(B)42(C)43(D)62解析:如图,点A、B在圆x2+y2=10上,P为一个交点,∴PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=(2c)2=40,①又2,②联立①②解得22.∴2.故选D.答案:D直线与双曲线位置关系的判定及应用已知双曲线24x-22yb=1(b∈N*)的左、右两个焦点为F1、F2,P是双曲线上的一点,且满足|PF1||PF2|=|F1F2|2,|PF2|<4.(1)求b 的值;(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点与该双曲线的右顶点重合,斜率为1的直线经过右顶点,与该抛物线交于A 、B 两点,求弦长|AB|.解:(1)根据题意a2=4,a=2,又a2+b2=c2,||PF1|-|PF2||=2a=4,|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2,|PF2|<4,得|PF2|2+4|PF2|-4c2=0在区间(0,4)上有解,所以c2<8,因此b2<4,又b ∈N*,所以b=1.(2)双曲线方程为24x -y2=1,右顶点坐标为(2,0),所以抛物线方程为y2=8x,①直线方程为y=x-2,②由①②两式联立,解得1164x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩和2264x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 所以弦长=16.综合检测1.已知F1,F2为双曲线Ax2-By2=1的焦点,其顶点是线段F1F2的三等分点,则其渐近线的方程为() (A)y=±x (B)y=x(C)y=±x (D)y=±x 或y=x 解析:由题意c=3a,∴c2=9a2, 又 c2=a2+b2,∴22b a=8,b a,ab,∴双曲线渐近线方程为y=±x 或y=x.故选D.答案:D2.设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ 的周长为( )(A)19 (B)26 (C)43 (D)50解析:如图,由双曲线的定义可得:21212,2,PF PF a QF QF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,∴△F2PQ 的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.故选B.答案:B3.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为5点P 在双曲线上,且线段PF1的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是( )(A)24x -y2=1 (B)x2-24y =1(C)22x -23y =1 (D)23x -22y =1解析:由双曲线的焦点可知5线段PF1的中点坐标为(0,2),所以设右焦点为F2,则有PF2⊥x 轴,且|PF2|=4,点P 在双曲线右支上.所以|PF1|=()22254+=36=6,所以|PF1|-|PF2|=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以双曲线的方程为x2-24y =1.故选B. 答案:B4.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F1、F2,若曲线C 上存在点P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C 的离心率等于( )(A)23或32 (B)23或2(C)12或2 (D)12或32解析:因为|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,所以设|PF1|=4x,|F1F2|=3x,|PF2|=2x,x>0.因为|F1F2|=3x=2c,所以x=23c.若曲线为椭圆,则有2a=|PF1|+|PF2|=6x,即a=3x,所以离心率e=c a =3c x =233cc =12. 若曲线为双曲线,则有2a=|PF1|-|PF2|=2x,即a=x,所以离心率e=c a =c x =23cc =32.故选D.答案:D5.已知△ABC 外接圆半径,且∠ABC=120°,BC=10,边BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边,则过点A 且以B,C 为焦点的双曲线方程为( ) (A)275x -2100y =1 (B)2100x -275y =1 (C)29x -216y =1 (D)216x -29y =1解析:由正弦定理知sin ∠BAC=2BC R,∴cos ∠BAC=1114,|AC|=2Rsin ∠ABC=2=14,sin ∠ACB=sin(60°-∠BAC)=sin 60°cos ∠BAC-cos 60°sin ∠BAC1114-12×∴|AB|=2Rsin ∠ACB=2=6,∴2a=||AC|-|AB||=14-6=8,∴a=4,又c=5,∴b2=c2-a2=25-16=9,∴所求双曲线方程为216x -29y =1.故选D.答案:D6.已知△ABC 的三边长|AB|=13,|BC|=4,|AC|=1,动点M 满足CM =λCA +μCB ,且λμ=14.(1)求|CM |最小值,并指出此时CM 与CA ,CB 的夹角; (2)是否存在两定点F1,F2使||1MF |-|2MF ||恒为常数k?若存在,指出常数k 的值,若不存在,说明理由.解:(1)由余弦定理知: cos ∠ACB=221413214+-⨯⨯=12⇒∠ACB=π3.因为|CM |2 =2CM =(λCA +μCB )2=λ2+16μ2+2λμCA ·CB=λ2+16μ2+1≥3.所以|CM |3,当且仅当λ=±1时,“=”成立.故|CM |3此时 <CM ,CA >=<CM ,CB >=π6或5π6.(2)以C 为坐标原点,∠ACB 的平分线所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图),则A3122⎫⎪⎪⎭3,-2), 设动点M(x,y),因为CM =λCA +μCB , 所以33,2122x y μλμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⇒22222,322,2x y λμλμ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩再由λμ=14知23x -y2=1,所以,动点M 的轨迹是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,实轴长为3的双曲线, 即存在两定点F1(-2,0),F2(2,0)使||1MF |-|2MF ||恒为常数3即3.。

2014年高考一轮复习考点热身训练8.5双曲线

【金榜原创】2014年高考一轮复习考点热身训练：8.5双曲线一、选择题（每小题6分，共36分）1.(2012•福州模拟)已知双曲线2222y x a b-=1的一个焦点与抛物线x 2=4y 的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为( )(A)5y 2－54x 2=1 (B)22x y 54-=1 (C)22y x 54-=1 (D)5x 2-25y 4＝12.(2012·沈阳模拟）双曲线2x n-y 2=1(n ＞1)的两个焦点为F 1,F 2,P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=，则△PF 1F 2的面积为( ) (A)12(B)1 (C)2 (D)4 3.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )（A （B （C ）12 （D ）124.(预测题)已知双曲线2x 25-2y 9=1的左支上一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是线段MF 2的中点，O 是坐标原点，则|ON|等于( )（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）235.(2012·哈尔滨模拟）已知双曲线的右焦点为F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，过A 作x 轴的垂线，B 为垂足，且OF =3OB （O 为原点），则此双曲线的离心率为( )(C)2 (D)326.设F 1、F 2分别为双曲线22x a -22y b=1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )（A ）3x ±4y=0 （B ）3x ±5y=0（C ）4x ±3y=0 （D ）5x ±4y=0二、填空题（每小题6分，共18分）7.(2012·厦门模拟)设F 1、F 2分别是双曲线2222x y a b-=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°,且｜AF 1｜=3|AF 2|,则双曲线离心率为_________.8.P 为双曲线x 2-2y 15=1右支上一点，M 、N 分别是圆(x+4)2+y 2=4和(x-4)2+y 2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为_______.9.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA |-|PB |=k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP =12(OA +OB )，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线2x 25-2y 9=1与椭圆2x 35+y 2=1有相同的焦点．其中真命题的序号为_______(写出所有真命题的序号)．三、解答题（每小题15分，共30分）10.点P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线E ：22x a －22y b＝1(a>0，b>0)上的一点，已知PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝2|PF 2|，O 为坐标原点．(1)求双曲线的离心率e ；(2)过点P 作直线分别与双曲线两渐近线相交于P 1，P 2两点，且1OP ·2OP ＝274－，12PP ＋2PP ＝0，求双曲线E 的方程. 11.(易错题)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22x a －22y b＝1(a>0，b>0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M(1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF|·|BF|＝17，求证：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．【探究创新】（16分）某飞船返回仓顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心（如图1分别记为A ，B ，C ），B 地在A 地正东方向上，两地相距6 km ； C 地在B 地北偏东30°方向上，两地相距4 km ，假设P 为航天员着陆点，某一时刻A 救援中心接到从P 点发出的求救信号，经过4 s 后，B 、C 两个救援中心也同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1 km/s.(1)求A 、C 两地救援中心的距离；(2)求P 相对A 的方向角；(3)试分析信号分别从P 点处和P 点的正上方Q 点（如图2，返回仓经Q 点垂直落至P 点）处发出时，A 、B 两个救援中心收到信号的时间差的变化情况（变大还是变小），并证明你的结论.答案解析1.【解析】选A.由2222y x a b -=1的一个焦点与x 2=4y 的焦点重合知c ＝1，又b=2a 故a 2+b 2=5a 2=1,∴a 2=15,b 2=45. ∴所求双曲线方程为5y 2-54x 2＝1，选A. 2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上，则1212PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴|PF 12又,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,∴∠F 1PF 2=90°,∴12PF F S =121PF PF 2=1. 3.【解析】选D.因为焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的离心率一样，所以不妨设双曲线方程为22x a -22y b =1（a>0,b>0），则双曲线的渐近线的斜率k=b a±，一个焦点坐标为F(c,0)，一个虚轴的端点为B(0,b)，所以k FB =b c -，又因为直线FB 与双曲线的一条渐近线垂直，所以k ·k FB =b b a c -（）=-1（b a -显然不符合）, 即b 2=ac,c 2-a 2=ac,所以,c 2-a 2-ac=0,即e 2-e-1=0，解得e=12（负值舍去）. 【变式备选】双曲线 22x a -22y b =1(a ＞0,b ＞0)的离心率为2,则2b 13a+的最小值为 ( )【解析】选A.因为双曲线的离心率为2，所以c a=2，即c=2a ，c 2=4a 2；又因为c 2=a 2+b 2，所以a 2+b 2=4a 2，即，因此2b 13a +=23a 13a +=1a 3a +≥=3，当且仅当a=13a时等号成立. 即2b 13a+4.【解析】选A.设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的定义知：|MF 2|-|MF 1|=10,又因为|MF 2|=18，所以|MF 1|=8,而|ON|=12|MF 1|=4. 5.【解题指南】解答本题的关键是求出点A 的横坐标，可先设出双曲线方程、焦点F 的坐标，求出直线FA 的方程从而联立方程组求A 的坐标.【解析】选B.不妨设双曲线方程为22x a -22y b=1 (a ＞0,b ＞0),渐近线方程为y=b a x,F(c,0), 则直线FA 的方程为y=a b-(x-c), 由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得2a x c aby c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴OB =(2a c，0)，由OF =3OB 得c ＝23a c , ∴22c a=e 2=3, ∴6.【解析】选C.设PF 1的中点为M ，因为|PF 2|=|F 1F 2|，所以F 2M ⊥PF 1，因为|F 2M|=2a ，在直角三角形F 1F 2M 中，|F 1，故|PF 1|=4b,根据双曲线的定义得4b-2c=2a,即2b-c=a,因为c 2=a 2+b 2，所以(2b-a)2=a 2+b 2,即3b 2-4ab=0,即3b=4a,故双曲线的渐近线方程是y=4x 3±，即4x ±3y=0. 【变式备选】F 1,F 2是双曲线C ：22x a -22y b=1(a>0,b>0)的两个焦点，P 是C 上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为( )（A）1（B）2（C）3 （D）3【解析】选A.设双曲线C 的焦距为2c,依题设不妨令|F 1F 2|=|PF 2|,即2c=2b a，∴2c=22c a a -, 即2ac=c 2-a 2,∴e 2-2e-1=0,∴e=1又∵e ＞1,∴.7.【解析】由双曲线的性质可知1222222122AF AF 2AF 2a AF AF 10AF 4c⎧-==⎪⎨+==⎪⎩｜｜ ∴10a 2=4c 2,∴22c 10a 4＝,∴e=c a 2=.答案：28.【解析】双曲线的两个焦点F 1(-4,0)、F 2(4,0)分别为两个圆的圆心，两圆的半径分别为r 1=2,r 2=1.由题意得|PM|max =|PF 1|+2,|PN|min =|PF 2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF 1|+2)-(|PF 2|-1)=|PF 1|-|PF 2|+3=5.答案：5【方法技巧】圆锥曲线上的点到定点距离的和、差的最值的求法一般不用选变量建立目标函数的方法求解，而是利用该点适合圆锥曲线的定义，将所求转化为与焦点的距离有关的最值问题，再利用数形结合法求解.9.【解析】①错误，当k ＞0且k ＜|AB|，表示以A 、B 为焦点的双曲线的一支；当k ＞0且k=|AB|时表示一条射线；当k ＞0且k ＞|AB|时，不表示任何图形；当k ＜0时，类似同上．②错误，P 是AB 中点，且P 到圆心与A 的距离的平方和为定值．故P 的轨迹应为圆．③方程两根为12和2,可以作为椭圆和双曲线的离心率，故正确.④由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为(0)，故正确.答案:③④10.【解析】(1)∵|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a.∵PF 1⊥PF 2，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，即5a 2=c 2,∴e(2)由(1)知双曲线的方程可设为22x a -22y 4a＝1，渐近线方程为y ＝±2x. 设P 1(x 1,2x 1)，P 2(x 2，－2x 2)，P(x ，y)，∵1OP ·2OP ＝－3x 1x 2＝274－⇒x 1x 2＝94， ∵21PP ＋2PP ＝0⇒12122x x x 32(2x x )y 3⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝－＝ ∵点P 在双曲线上， ∴2122(2x x )9a ＋－2122(2x x )9a －＝1，化简得x 1x 2＝29a 8， ∴29a 8＝94⇒a 2＝2， ∴双曲线方程为2x 2－2y 8＝1. 11.【解析】(1)由题意知，l 的方程为y ＝x ＋2.代入C 的方程，并化简，得(b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0.设B(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2224a b a－， x 1·x 2＝222224a a b b a ＋－－， ①由M(1,3)为BD 的中点知12x x 2＋＝1，故12×2224a b a －＝1，即b 2＝3a 2， ②故c 2a ，所以C 的离心率e ＝c a＝2. (2)由①②知，C 的方程为：3x 2－y 2＝3a 2，A(a,0)，F(2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝243a 2＋－<0，故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a.|BF|1,|FD|2-a,|BF|·|FD|＝(a －2x 1)(2x 2－a)＝－4x 1x 2＋2a(x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8.又|BF|·|FD|＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17，解得a ＝1或a ＝95－(舍去)．故|BD||x 1－x 2|连接MA ，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，从而|MA|＝|MB|＝|MD|，且MA ⊥x 轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切．所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.【探究创新】【解析】（1）以AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(-3,0),B(3,0),C(5,，则 (km)，即A 、C 两个救援中心的距离为（2）∵|PC|=|PB|，所以P 在BC 线段的垂直平分线上.又∵|PB|-|PA|=4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线的左支上，且|AB|=6, ∴双曲线方程为2x 4-2y 5=1(x ＜0).BC 的垂直平分线的方程为-7=0，联立两方程解得： x=-8.∴P(-8,∴k PA =tan ∠PAB=∴∠PAB ＝120°,所以P 点在A 点的北偏西30°方向上.（3）如图，设|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y,∵|QB|-|QA|22=(x y)-＜1,∴|QB| -|QA|＜|PB|-|PA|,∴QB1-QA1＜PB1-PA1.即信号从P点的正上方Q点处发出时A、B收到信号的时间差比信号从P点处发出时A、B收到信号的时间差变小.。

2014届高考数学一轮复习练习第八章第6课时双曲线(新人教A版)

一、选择题 1．若k ∈R ，则方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( ) A ．－3<k <－2 B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2解析：选A.由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2. 2．(2012·高考福建卷)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43解析：选C.由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4.∴e ＝c a ＝32. 3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±2x C ．y ＝±4x D ．y ＝±14x 解析：选A.由题意a 2－b 2a ＝32，所以a 2＝4b 2. 故双曲线的方程可化为x 24b 2－y 2b2＝1，故其渐近线方程为y ＝±12x . 4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：选B.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由PF 1中点为(0,2)知，PF 2⊥x 轴，P (5，4)，即b 2a ＝4，b 2＝4a ，∴5－a 2＝4a ，a ＝1，b ＝2，∴双曲线方程为x 2－y 24＝1. 5．已知F 1，F 2为双曲线 C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2 ＝( )A. 14B. 35C. 34D. 45解析：选C.由x 2－y 2＝2知，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴a ＝2，c ＝2.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2.又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. 二、填空题6．(2013·南京调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是________．解析：∵2a ＝2，∴a ＝1.又c a＝2，∴c ＝2，∴双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)．答案：(±2,0)7．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3,0)，且焦距与实轴长之比为5∶3，则双曲线的标准方程是________．解析：可求得a ＝3，c ＝5.焦点的位置在x 轴上，所得的方程为x 29－y 216＝1. 答案：x 29－y 216＝1 8．(2013·武汉调研)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程为________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴a 2＋b 2＝4－1＝3.又4a 2－1b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1， ∴双曲线的方程为x 22－y 2＝1. 答案：x 22－y 2＝1 三、解答题9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．解：切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，∴所求的双曲线方程为x 2809－y 280＝1. 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且点(4，－10)在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点(4，－10)在双曲线上，∴λ＝42－(－10)2＝6.∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：若点M (3，m )在双曲线上，则32－m 2＝6，∴m 2＝3.由双曲线x 2－y 2＝6知焦点F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝9－(23)2＋m 2＝0，即MF 1→⊥MF 2→，故点M 在以F 1F 2 为直径的圆上．(3)S △F 1MF 2＝12×|F 1F 2|×|m |＝23×3＝6.一、选择题1．已知双曲线x 225－y 29＝1的左支上一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是线段MF 2的中点，O 是坐标原点，则|ON |等于( )A ．4B ．2C ．1 D.23解析：选A.设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的定义知：|MF 2|－|MF 1|＝10.又因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，而|ON |＝12|MF 1|＝4. 2．(2013·贵阳模拟)已知O 为平面直角坐标系的原点，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，E 为OF 2的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C ，D 两点，B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2C. 3D.233解析：选B.作草图，易知直线BC 的方程为x a ＋y b ＝1，圆心O 到BC 的距离为1⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2＝c 2， ∴2ab ＝c 2，∴4a 2(c 2－a 2)＝c 4，同除以a 4得，e 4－4e 2＋4＝0，∴(e 2－2)2＝0，∴e 2＝2，∴e ＝2或－2(舍)，∴e ＝ 2.二、填空题3.如图所示，△F AB 中，∠F AB ＝150°，△F AB 的面积等于2－3，那么以F 为右焦点，A ，B 分别为实轴，虚轴上一个端点的双曲线的标准方程是________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则A ，B ，F 的坐标分别为(a,0)，(0，b )，(c,0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 12b (c －a )＝2－3，b a ＝tan 30°，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2 2.∴双曲线的标准方程为x 26－y 22＝1.答案：x 26－y 22＝1 4．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18， ∴当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2.答案：－2三、解答题5．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b ax 对称的直线l 2与x 轴平行． (1)求双曲线C 的离心率e ；(2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －y b＝0的倾斜角为α. 因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q .依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233. (2)由b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3·3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2362－4·8·(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.高%考[试∠题╬库。

高考数学(理)一轮知识点专题讲座：双曲线(含答案)

【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点34 双曲线加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标双曲线的定义、标准方程与几何性质二.知识梳理 1．双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点②(*)动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e(e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线，这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2．双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+⑶(*)顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c==+⑷(*)焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或⑸(*)两准线间的距离: 2122a K K c=⑹(*)21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，12212cot2PF F F PF S b ∆∠= ⑺离心率：121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b⑼(*)通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a（通径长的一半）其中222b a c +=a PF PF 221=- 3. 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22b y =1，c=22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22b x =1，c=22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4.双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x|≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a by ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y=a b x ，y=－abx ⑸(*)准线：l 1：x=－c a 2，l 2：x=c a 2，两准线之距为2122a K K c =⋅⑹(*)焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺(*)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ⑻(*)与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x三.考点逐个突破 1.双曲线的定义例1.(1) 双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 A ．14B ．12C ．D ．解析：双曲线的标准方程为2211y x m-=，所以0m >，且2211,a b m ==，因为24a b =，所以2a b =，224a b =，即41m=，解得4m =，选D （2）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围分析：由|PM|－|PN|=2m ，得||PM|－|PN||=2|m|知点P 的轨迹是双曲线，由点P 到x 轴、y 轴距离之比为2，知点P 的轨迹是直线，由交轨法求得点P 的坐标，进而可求得m 的取值范围解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得||||x y =2，即y=±2x （x ≠0）①因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，从而得 ||PM|－|PN||<|MN|=2 ∵||PM|－|PN||=2|m|>0，∴0<|m|<1因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上故22m x －221my -=1 ②将①代入②，并解得x 2=22251)1(m m m --，∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0 解得0<|m|<55，即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力解决此题的关键是用好双曲线的定义(3) 给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上______________________________________________________ 答案：|PF 2|=17解析：易知P 与F 1在y 轴的同侧，|PF 2|－|PF 1|=2a ，∴|PF 2|=17 2.双曲线的标准方程例2. （1）已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，），则此双曲线的方程是，离心率是 .解析：由双曲线的焦点可知c =，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为2F ，则有2PF x ⊥，且24PF =，点P 在双曲线右支上.所以16PF ===，所以126422PF PF a -=-==，所以2221,4a b c a ==-=，所以双曲线的方程为1422=-y x ，离心率ce a== (2)根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）分析：设双曲线方程为22a x －22by =1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程解法一：（1）设双曲线的方程为22a x －22by =1，由题意，得243(3)19b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得a 2=49，b 2=4 所以双曲线的方程为492x －42y =1（2）设双曲线方程为22a x －22by =1由题意易求c=25又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b=1又∵a 2+b 2=（25）2， ∴a 2=12，b 2=8故所求双曲线的方程为122x －82y =1解法二：（1）设所求双曲线方程为92x －162y ＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x －162y ＝41（2）设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1点评：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax ±by=0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2=λ（λ≠0） 3.双曲线的几何性质例3.(1) 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A.45B. 5C. 25D.5【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2ba=,2c e a ====,故选D. 答案:D.【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.(2) 双曲线22133x y -=的渐近线方程为_____；离心率为______.解析：由双曲线的方程可知双曲线的焦点在轴，223a b ==，所以26a b c ===，即c =by x x a =±=±，离心率c e a ===. （3）双曲线2213645x y -=的渐近线方程为______；离心率为______．解析：由双曲线的标准方程可知，2236,45a b ==，所以281,9c c ==，6,a b ==所以双曲线的渐近线方程为b y x x x a =±==，离心率9362c e a === （4）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为，且过点(2,3)，则它的渐近线方程为 .解析：由题意知24c =，所以2c =.又点(2,3)在双曲线上，所以2a =，即1a =，所以b ===.双曲线的渐近线方程为by x a=±=. 4.综合运用例4.(1) 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是解析：双曲线的渐近线为43y x =±，不妨取43y x =，即430x y -=.双曲线的右焦点为(5,0)，圆心到直线430x y -=的距离为4d ==，即圆的半径为4，所以所求圆的标准方程为22(5)16x y -+=.（2）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=解析：抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以双曲线中4c =.又2ce a==，所以2,a b ====.所以双曲线飞渐近线方程为b y x x a =±==，选D.(3) 已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C和圆2C ：222x y c +=的一个交点为，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为 ABC ．D1+解析：因为圆的半径为，所以三角形12PF F ∆为直角三角形，又12212PF F PF F ∠=∠，所以126PF F π∠=，所以21,PF c PF ==.又122PF PF c a -=-=，即1c a ==+，选D. (4) 已知双曲线的方程为1422=-y x , 直线l 通过其右焦点F 2，且与双曲线的右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线的左焦点F 1连结起来，求|F 1A|·|F 1B|的最小值解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),A 到双曲线的左准线x= ─c a 2= ─54的距离d=|x 1+54|=x 1+54，由双曲线的定义，d AF ||1=e=25,∴|AF 1|=25(x 1+54)=25x 1+2, 同理，|BF 1|=25x 2+2, ∴|F 1A|·|F 1B|=(25x 1+2)(25x 2+2)=45x 1x 2+5(x 1+x 2)+4 (1) 双曲线的右焦点为F 2(5,0),(1)当直线的斜率存在时设直线AB 的方程为：y=k(x─5)，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=14)5(22y x x k y 消去y 得 (1─4k 2)x 2+85k 2x─20k 2─4=0,∴x 1+x 2=145822-k k , x 1x 2= ─1442022-+k k ,代入(1)整理得|F 1A|·|F 1B|=1452514402222-++-k k k k +4=1456522-+k k +4=14485)41(6522-+-k k +4=481+)14(4852-k ∴|F 1A|·|F 1B|>481; (2)当直线AB 垂直于x 轴时，容易算出|AF 2|=|BF 2|=21, ∴|AF 1|=|BF 1|=2a+21=29(双曲线的第一定义), ∴|F 1A|·|F 1B|=481 由(1), (2)得：当直线AB 垂直于x 轴时|F 1A|·|F 1B| 取最大值481（5）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值试对双曲线C ′：22a x －22by =1写出具有类似特性的性质，并加以证明解：类似的性质为若MN 是双曲线22a x －22by =1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中22a m －22bn =1又设点P 的坐标为（x ，y ），由k PM =m x n y --，k PN =mx ny ++，得k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y --，将y 2=22a b x 2－b 2，n 2=22a b m 2－b 2，代入得 k PM ·k PN =22ab。

【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《双曲线》

范围对称性顶点
助学微博
一条规律
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
求双曲线方程的两种方法： (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a、2b 或 2c，从而求出 a2、b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2、 2 的值， b 即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线 x2 y2 方程设为 2－ 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求 λ 的值． m n
22 ∴ 2－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. 2 y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 8 32 2 2 y x 答案－＝1 8 32
法二完
考向二求双曲线的标准方程
x 2 y2 【训练 2】已知双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)和椭 x 轴上和 y 轴上，设出相应 a b 的标准方程可解；也可根据渐近线方程的形式设出双 x 2 y2 圆＋＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是曲线的方程，再进行求解． 16 9 【方法锦囊】椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
x2 y2 4．(2011· 山东)已知双曲线 2－ 2＝1(a＞ a b 0，b＞0)的两条渐近线均和圆 C：x2＋y2 －6x＋5＝0 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )． 2 x y2 x2 y2 A. －＝1 B. －＝1 5 4 4 5 2 2 x y x2 y2 C. －＝1 D. －＝1 3 6 6 3 5．(2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy x2 y2 中，若双曲线m － 2 ＝1 的离心率为 m ＋4 5，则 m 的值为________．

高考数学一轮总复习第八章双曲线

又双曲线的离心率 e＝ a2a＋b2＝ a7，所以 a7＝247，所以 a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为 x42－y32＝1.
(2)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22 －y2＝k，将点(2，－2)代入得 k＝222－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为y22－x42＝1. [答案] (1)x42－y32＝1 (2)y22－x42＝1
为 y＝±43x，即 4x＋3y＝0 或 4x－3y＝0.
• [答案] 4x＋3y＝0或4x－3y＝0
5．给出下列命题： ①平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线． ②平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线． ③方程xm2－yn2＝1(mn＞0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．
所以 e＝ac＝ a2a＝ 2. [答案] ④⑤
• [典例透析]
• 考向一双曲线的定义及应用
• 例1 (1)( ·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则 △F2PQ的周长为( )
• A．19
B．26
• C．43
D．50
• (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆 C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
• 思路点拨 (1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．
• (2) 根据双曲线的定义求轨迹方程．
[解析] (1)如图，由双曲线的定义可得||PQFF22||－－||PQFF11|＝|＝22aa，，将两式相加得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a， ∴△F2PQ 的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ| ＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.

2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结_共11页

顶点
质轴
(a,0), (a,0)
(0,a), (0, a)
实轴长 2a，虚轴长 2b
离心率渐近线 2．共渐近线的双曲线系方程：
ybx a
e c (1, ) a
yax b
x2 y2
x2 y2
与双曲线a2－b2＝1 有相同渐近线的双曲线系方程可设为a2－b2＝λ(λ≠0)，
若 λ>0，则双曲线的焦点在 x 轴上；若 λ<0，则双曲线的焦点在 y 轴上．
题型 2 求双曲线的标准方程 [例 2 ] 已知双曲线 C 与双曲线 x2 － y 2 =1 有公共焦点，且过点（3 2 ，2），
16 4 求双曲线 C 的方程．
[解析] 解法一：设双曲线方程为 x2 － y 2 =1.由题意易求 c=2 5 .
a2 b2
又双曲线过点（3 2 ，2），∴ (3 2)2 － 4 =1.
a2
2
b2
e 13 3
热点考点题型探析
考点 1 双曲线的定义及标准方程
题型 1：运用双曲线的定义 [例 1] 已知两圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆 M 与两圆
C1、C2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是( )
x2 y2
x2 y2
A．x＝0 B. 2 －14＝1(x≥ 2)
Pi 与 P7i i 1,2,3关于 y 轴对称，则 P1F P2 F P3 F P4 F P5 F P6 F 的
值是（） A．9 B．16 C．18
D．27
[解析] P1F P6F P2F P5F P3F P4F 6 ，选 C
3.
P
是双曲线

2014届高考数学大一轮复习(Word版题库含解析)9.6 双曲线

9.6 双曲线一、选择题1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为（） A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1解析 (数形结合法)因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D.答案 D【点评】本题利用双曲线的定义列出关于a 、c 的等式，从而迅速获解.2. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（）A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1答案 A3．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2D ．3解析设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝ca＝ 3.答案 B5．设F 1、F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y 0|＝2|y 0|＝2，|y 0|＝1，x 203－y 20＝1，x 20＝3(y 20＋1)＝6，1PF ·2PF ＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3. 答案 B6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )．A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝－·b a⇒⎩⎨⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5.7．如图，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )A.58B.5C.43D.34解析根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.答案 B 二、填空题8．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析由题意得：双曲线x 23－y 26＝1的渐近线为y ＝±2x .∴焦点(3,0)到直线y ＝±2x 的距离为322＋1＝ 6. 答案 69．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析根据已知|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝ 2.答案 y ＝±2x10.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为____________．c=3,所以b=2,即25a =,所以该双曲线的方程为22154x y -=. 答案 22154x y -= 11．如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎨⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案 x 2－y 23＝112．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a2－9b 2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b 2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2. 答案 2三、解答题13．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程．解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.14．求适合下列条件的双曲线方程．(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)、⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5.(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)．解析 (1)设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则因为点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1.令m ＝1a 2，n ＝1b 2，则方程组化为⎩⎨⎧32m －9n ＝1，25m －8116n ＝1.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝116，n ＝19.∴a 2＝16，b 2＝9.所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.(2)由双曲线的渐近线方程y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (6，2)，∴69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为34y 2－13x 2＝1.15．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解析 (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．16．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解析 (1) ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明法一由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0. 法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6， ∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0. (3) ∵△F 1MF 2中|F 1F 2|＝43，且|m |＝3，1 2·|F1F2|·|m|＝12×43×3＝6.∴S△F1MF2＝。

2014届高考数学一轮复习讲义：8.5双曲线

(4)双曲线的渐近线经过 A1、A2 任作平行 y 轴的平行线 x＝±a，经过 B1、B2 作 x 轴的平行线 y＝±b，四条直线围成一个矩形，矩形两条对角线的方程 y ＝±bax，双曲线xa22－by22＝1 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．
我们把 y＝±bax 叫作双曲线的渐近线．
注意：①双曲线有渐近线这是双曲线与椭圆和抛物线的最大不
同．
②画双曲线的图像一般要先画双曲线的渐近线，这样精确．
③在双曲线方程xa22－yb22＝1 中，若 a＝b，那么双曲线的方程为 x2－y2＝a2，渐近线方程为 y＝±x，它们互相垂直，实轴与虚轴等长，
这样的双曲线称为等轴双曲线．
④渐近线的记法只需把“xa22－ yb22＝ 1”中的“1”换成 “0”即
(6)与双曲线xa22－ yb22＝1(a＞ 0， b＞0)共焦点的圆锥曲线方程为
x2 a2－
λ－b2y＋2
＝ λ
1(λ＜
a2，且
λ≠－b2)．
3．双曲线的几何性质(以标准方程xa22－by22＝1(a，b＞0)为例) (1)双曲线的范围(如图所示)
由双曲线方程xa22－by22＝1 可知xa22≥1，从而 x≤－a 或 x≥a，双曲线在两直线 x＝a，x＝－a 的外侧，是无限延伸的．需要指出的是，双曲线在直线 x＝－a 和 x＝a 之间没有图像，当|x|无限增大时，|y| 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭曲线．
∴ac11＝＝51，3，
∴焦距为 2c1＝10，又∵8＜10，∴曲线 C2 是双曲线，设其方程为xa222－yb222＝1(a2＞0，
b2＞0)，
则 a2＝4，c2＝5，∴b22＝52－42＝32， ∴曲线 C2 的方程为4x22－3y22＝1.

2014版高考数学(理)(人教A版,浙江省专用)一轮作业手册第49讲双曲线(基础热身+能力提升+挑战自我,含

课时作业(四十九) [第49讲双曲线](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2012·厦门质检] 已知双曲线方程为x 24－y 23＝1，则此双曲线的右焦点坐标为( )A ．(1，0)B ．(5，0)C ．(7，0)D ．(7，0)2．[2012·石家庄质检] 双曲线x 24－y 2＝1的离心率是( )A.12B.32C.52D. 3 3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则该双曲线的方程为( )A.x 28－y 224＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 224－y 28＝1 D.x 24－y 212＝1 4．[2012·福建卷] 已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5能力提升 5．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 6．[2012·课程标准卷] 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．87．[2012·惠州一模] 已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A. 3B.233C.43D.538．[2012·全国卷] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45 9．[2013·锦州模拟] 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 10．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率为________．11．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为________．12．[2012·广州模拟] 已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值是________．13．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若A (1，4)，则|PF |＋|P A |的最小值是________．14．(10分)双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA →|，|AB →|，|OB →|成等差数列，且BF →与F A →同向．(1)求双曲线的离心率；(2)设直线AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．15．(13分)已知过点A (4，6)的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (4，0)，直线l 过点F 且与双曲线右支交于点M ，N ，点B 为直线l ′：x ＝a 2c与x 轴的交点．(1)求双曲线的方程；(2)若△BMN 的面积为365，求直线l 的方程．难点突破16．(12分)[2012·天津一中模拟] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中A (a ，0)，B (0，－b )．(1)求双曲线的方程；(2)若B 1是双曲线虚轴在y 轴正半轴上的端点，过点B 作直线交双曲线于点M ，N ，求B 1M →⊥B 1N →时，直线MN 的方程．课时作业(四十九)【基础热身】1．D [解析] 双曲线方程为x 24－y 23＝1，其中a 2＝4，b 2＝3，焦点在x 轴上，此双曲线的右焦点坐标为(7，0)．2．C [解析] 双曲线x 24－y 2＝1中，a 2＝4，b 2＝1⇒c 2＝a 2＋b 2＝5，所以双曲线x 24－y 2＝1的离心率是e ＝c a ＝52.3．D [解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2－y 23＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 23λ＝1，a 2＝λ，b 2＝3λ，∵焦点坐标为(－4，0)，(4，0)， ∴c ＝4.c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16⇒λ＝4，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.4．A [解析] 由抛物线方程y 2＝12x 易知其焦点坐标为(3，0)，又根据双曲线的几何性质可知4＋b 2＝32，所以b ＝5，从而可得渐近线方程为y ＝±52x ，即±5x －2y ＝0，所以d＝|±5×3－2×0|5＋4＝5，故选A.【能力提升】5．B [解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，直线过右焦点F ，且垂直于x 轴交双曲线于A ，B 两点，则|AB |2＝2b 2a 2＝4a ，所以b 2＝2a 2，所以双曲线的离心率e ＝1＋b 2a2＝ 3.6．C [解析] 由题意可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)．易知抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2a 2＝1，x ＝－4，得16－y 2＝a 2(*)，因为|AB |＝43，所以y ＝±2 3.代入(*)式，得16－(±23)2＝a 2，解得a ＝2(a >0)．所以C 的实轴长为2a ＝4，故选C.7．B [解析] 设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，由已知得⎩⎨⎧m 2＋n 2＝|F 1F 2→|2＝12，|m －n |＝2，得m ·n ＝4.由S △F 1MF 2＝12m ·n ＝12|F 1F 2|·d 解得d ＝233.故选B.8．C [解析] 双曲线的方程为x 22－y 22＝1，所以a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，所以解得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，所以根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝（22）2＋（42）2－422×22×42＝34，选C.9．B [解析] A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，AB 过F ，斜率k AB ＝1. ∵x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，∴两式作差有（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，∴4b 2＝5a 2.又∵a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5，故选B.10.17 [解析] 因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，所以b ＝4a ，c 2＝17a 2，e ＝17.11．4a ＋2m [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .那么△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .12．16 [解析] 因为双曲线方程为x 216－y 29＝1，所以2a ＝8.由双曲线的定义得 |PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，① |QF 2|－|QF 1|＝2a ＝8.② ①＋②，得|PF 2|＋|QF 2|－(|PF 1|＋|QF 1|)＝16. 所以|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝16.13．9 [解析] 因为A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F ′(4，0)，于是由双曲线的定义得|PF |－|PF ′|＝2a ＝4.而|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5.两式相加得|PF |＋|P A |≥9，当且仅当A ，P ，F ′三点共线时，等号成立．14．解：(1)设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ，由勾股定理可得(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，得d ＝14m ，tan ∠AOF ＝b a ，tan ∠AOB ＝tan2∠AOF ＝AB OA ＝43，由倍角公式，得2×b a 1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝43，解得b a ＝12，则离心率e ＝52. (2)设过F 与l 1垂直的直线方程为y ＝－a b (x －c )，与双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1联立，将a ＝2b ，c ＝5b 代入，化简有154b 2x 2－85bx ＋21＝0，4＝1＋⎝⎛⎭⎫a b 2|x 1－x 2|＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫a b 2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，将数值代入，有4＝5⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫325b 152－428b 25，解得b ＝3，故所求的双曲线方程为x 236－y 29＝1.15．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－36b 2＝1，a 2＋b 2＝16，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24－y 212＝1，x ＝ty ＋4⇒(3t 2－1)y 2＋24ty ＋36＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－24t3t 2－1，y 1y 2＝363t 2－1.∵直线l 与双曲线右支相交，∴x 1x 2＝(ty 1＋4)(ty 2＋4)＝t 2y 1y 2＋4t (y 1＋y 2)＋16＝t 2·363t 2－1＋4t ·－24t 3t 2－1＋16>0⇒3t 2＋43t 2－1<0⇒t 2<13.又B (1，0)，∴S △BMN ＝12|BF |·|y 1－y 2|＝32·（－24t ）2－4×36×（3t 2－1）|3t 2－1|＝181＋t 2|3t 2－1|＝181＋t 21－3t 2＝36 5 ⇒t 2＝1945或t 2＝14.∵t 2<13，∴t 2＝14⇒t ＝±12，∴直线l 的方程为2x ＋y －8＝0或2x －y －8＝0. 【难点突破】16．解：(1)设直线AB ：x a －yb＝1，由题意，⎩⎨⎧ba ＝3，ab a 2＋b 2＝32，∴⎩⎨⎧a ＝3，b ＝3，∴双曲线方程为x 23－y 29＝1.(2)由(1)得B (0，－3)，B 1(0，3)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设直线MN ：y ＝kx －3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，3x 2－y 2＝9， ∴3x 2－(kx －3)2＝9，整理得(3－k 2)x 2＋6kx －18＝0，(1)∴x 1＋x 2＝6k k 2－3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－6＝18k 2－3，x 1x 2＝18k 2－3，y 1y 2＝k 2(x 1x 2)－3k (x 1＋x 2)＋9＝9.∵B 1M →＝(x 1，y 1－3)，B 1N →＝(x 2，y 2－3)， B 1M →·B 1N →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋9＝0，即18k2－3＋9－54k2－3＋9＝0，解得k2＝5，∴k＝±5代入(1)有解，∴l MN：y＝±5x－3.。

2014年高考数学一轮复习热点难点精讲精析 8.5双曲线

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.5双曲线三、双曲线（一）双曲线的定义与标准方程 ※相关链接※1．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。

2．求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程；（2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上； ②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。

注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：221(0)mx ny mn +=<。

※例题解析※〖例〗已知动圆M 与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。

解答：设动圆M 的半径为r则由已知1212|||||||MC r MC r MC MC ==-∴-=。

又1C （-4，0），2C （4，0），∴|1C 2C |=8，∴<|1C 2C |。

根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以1C （-4，0）、2C （4，0）为焦点的双曲线的右支。

222222,4,141(214a c b c a x y M x ==∴=-=∴-=≥点的轨迹方程是（二）双曲线的几何性质 ※相关链接※1．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。

2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。

同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线（2）求已知渐近线的双曲线的方程；（3）渐近线的斜率与离心率的关系。

中职高考数学一轮复习讲练测专题8-5 双曲线 (讲)解析版

专题8.5双曲线【考纲要求】1.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程；2.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；3.了解等轴双曲线的概念和特点．【考向预测】1. 双曲线定义的应用2. 求双曲线的标准方程3. 求双曲线的离心率【知识清单】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．2.双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__考点一双曲线的定义及其应用例. 已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(A) A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0[解析]A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点p的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A．【变式探究】P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝__－8__.[解析] 双曲线方程为x 216－y 216＝1，∴a ＝4，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，又∵P 在左支上，F 1为左焦点， ∴|PF 1|－|PF 2|＝－8. 考点二双曲线的标准方程例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)、(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)． [解析] (1)由已知得，c ＝5,2a ＝8，即a ＝4. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9. ∵焦点在x 轴上，∴所求的双曲线标准方程是x 216－y 29＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝124m ＋8n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝18n ＝－14，∴双曲线方程为x 28－y 24＝1.例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.[解析] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知a b ＝23.又∵双曲线过点P (6，2)，∴4a 2－6b 2＝1，依题意可得⎩⎨⎧a b ＝234a 2－6b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43b 2＝3.故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.(2)设所求双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43.由题意得⎩⎨⎧b a ＝439a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94b 2＝4.∴所求的双曲线方程为x 294－y 24＝1.(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.【方法归纳】利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求．【变式探究】1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．[解析] (1)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝a 2＋b 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(2)已知双曲线经过两个已知点，因焦点位置不确定，需分类讨论求解，或设出一般方程求解．(1)解法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20，① ∵双曲线经过点(32，2)， ∴18a 2－4b2＝1.② 由①②得a 2＝12，b 2＝8， ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.解法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.(2)设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，mn <0.∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.2. 已知双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程是__x 24－y 2＝1__.[解析] 设双曲线方程为y 2－14x 2＝λ，代入点(4，3)，可得3－14×16＝λ，∴λ＝－1，∴双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.故答案为x 24－y 2＝1.考点三双曲线的简单几何性质求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出双曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近线方程等几何性质．例.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.[解析] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x . 【变式探究】把本例中的双曲线方程改为9y 2－4x 2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．[解析]把方程9y 2－4x 2＝36化为标准形式为y 24－x 29＝1，∴a ＝2，b ＝3，c ＝13，∴顶点为(0，－2)，(0,2)，焦点坐标为(0，－13)，(0，13)，离心率e ＝c a ＝132.渐近线方程为y ＝±23x .考点四双曲线的离心率例1. 双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( C )A ．54B ．52 C ．53或54D ．52或153 [解析] 当焦点在x 轴上时b a ＝34，∴e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝54，当焦点在y 轴上时，a b ＝34，∴e ＝ca＝1＋b 2a 2＝53，故选C ．【变式探究】1.渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( C )A ．22B ．1C ．2D ．2[解析] 由题意可得ba＝1，∴ e ＝1＋b 2a2＝1＋12＝ 2.故选C ． 2. “m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2，∴a 2＝m >0，b 2＝3. ∵e ＝c a ＝1＋b 2a2＝1＋3m＝2，∴m ＝1.∴“m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的充要条件．故选C ．。

高考数学一轮总复习8.6双曲线练习

第六节双曲线时间：45分钟分值：100分、选择题答案 D=2 .34- k .因此两曲线的焦距相等，故选A.答案 AC 32 2 2由 e ==;,贝U a = 2，故 b = c - a = 9-4 = 5,a 2［基［础［必 ~做2 x 1. （2014 •新课标全国卷I ）已知双曲线g 2y3 = 1( a >0)的离心率为2，贝U a =()A. 2D. 1解析由已知得害=2，且a >0,解得a = 1，故选 D.2. （2014 •广东卷）若实数k 满足0<k <9,2 x则曲线圭C ,25 9-k2 2 2y 1与曲线缶-寿=1的A. 焦距相等B.实半轴长相等C. 虚半轴长相等D.离心率相等解析因为2 20<k<9,所以方程盒—9^= 1 2 2与之-七=1均表示焦点在X 轴上的双曲2x线.双曲线25- 9-k中，其实轴长为 10, 虚轴长为 2 9- k ,焦距为 2 , 25+ 9-k =2寸34- k ;双曲线25- k 9 2-=1中，其实轴长为2 25 -k ，虚轴长为6，焦距为2 25- k + 93.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为F （3,0）,离心率等于|,则C 的方程是（）2 2x yA. — — 一=14 52 2x y2 2x yB. — — = 14 52 2x y咛-.5= 1解析由双曲线C 的右焦点为F （3,0），知c = 3.2 2所以双曲线C 的方程为x -生=1.4 5 答案 B4. （2014 •新课标全国卷I 2 2）已知F 为双曲线C ： x — my = 3n （m>0）的一个焦点，则点到C 的一条渐近线的距离为（）A. ,3B. 3C. 3mD. 3m2 2解析由题意，可得双曲线C 为3m —= 1,则双曲线的半焦距 c = 3m+ 3.不妨取右焦1y =± —霹，即x ± my= 0.所以由点到直线的距离公式得d= ：H 3. 故选 A.答案 A线C 的方程为（）2 2x yA. — — = 1 4 122 2x yD — — = 1 12 4解析设双曲线的右顶点为 B,则B （a,0）.点（，3仆3, 0），其渐近线方程为 5. （2014 •江西卷）过双曲线 C ：2 2 a 2 -b 2=1的右顶点作x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点A,若以C 的右焦点为圆心, 半径为4 的圆经过A, O 两点（O 为坐标原点），则双曲2 2x yB. — — = 1 7 92 2x yC- — =1b 一不妨取渐近线y =-x ，则A 点的坐标为（a , b ）, a从而可知| OA = c .•.•由已知可得 | OF = | AF | = c = 4, •••△ OAF 为边长是c 的等边三角形. 又 ABL OF , • | OB = a = 2, | AB | = b = 2 .3.2 2故所求的双曲线方程为X -y 2= 1. 答案 A 在第一象限内且在l l 上，若丨2丄PF ,丨2// PR ,则该双曲线的离心率为（）A. 5B. 2C. ,2D. 3b解析由题意可知R （ — c, 0） , F 2（c, 0） , P （x 0, y 。

2014届高三一轮数学(理)复习第58讲双曲线

【拓展演练 2】
若双曲线 C 的焦点和椭圆2x52 ＋y52＝1 的焦点相同，且过
点(3 2，2)，则双曲线 C 的方程是
.
解析：由已知，c2＝25－5＝20，且焦点在 x 轴上，设双
曲线 C 的方程为ax22－by22＝1，则a32＋a22b22＝－22b022＝1
，
求得ab22＝＝182 ，故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
三双曲线的几何性质及应用
【例 3】(2013·合肥质检)中心在原点，对称轴为坐标轴
的双曲线 C 的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1 都相切，则双
曲线 C 的离心率是( )
A.
3或
6 2
B．2 或 3
2 C.
3
3或
2
2 D.
3 3或
6 2
解析：由题可知，当双曲线的焦点在 x 轴上时，渐近线的方程为 y＝±bax，由圆心(2,0)到渐近线的距离得 a|22＋b| b2＝ 1，则 a2＝3b2，易得双曲线的离心率 e＝2 33；当双曲线的焦点在 y 轴上时，渐近线的方程为 y＝±abx，由圆心(2,0)到渐近线的距离得 a|22＋a| b2＝1，则 3a2＝b2，易得双曲线的离心率 e＝2，故选 C.
的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.x52－y42＝1
B.x42－y52＝1
C.x32－y62＝1
D.x62－y32＝1
解析：由已知可得圆心 C(3,0)，圆的半径为 2，双曲线的渐近线方程为 bx±ay＝0，
则 a32＋b b2＝2，即33b＝2，所以 b＝2，从而 a2＝c2－b2＝32－22＝5，故所求双曲线的方程为x52－y42＝1，应选 A.