高中数学向量的表示和共线

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向量的概念及表示

用小写字母表示： a 、b 、如 c 注：用小写字母 a 表示向量时，印刷用粗体
a ，书写
用 a 。书写向量时，字母上的箭头不能省略。
学生活动
在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量，哪些是向量？
数量：质量、身高、面积、体积
向量：重力、速度、加速度
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
E D O C F
如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？
模长依次为1，3，2，5，10，共计6种 2，
方向共有16种
小结
1．向量的概念: 2．向量的表示：代数表示、几何表示； 3．研究向量：大小：向量的模、零向量、单位向量方向：共线向量、平行向量大小与方向：相等向量、相反向量 4．数学思想方法：数形结合、分类讨论（注意对 0 的讨论）.
勇
敢
问题情境1
猫以7米每秒的速度去追以5米每秒跑的老鼠，猫能追上老鼠吗?
嘻嘻!大笨猫!
唉, 哪儿去了?
A B
问题情境2
m=20kg
(1)
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
观察上述三个物理量有什么区别？ (1)是只有大小的量（2）与（3）是有大小和方向的量
只有大小没有方向既有大小又有方向
D
A
F
C
2.两个特殊向量：
(1). 零向量：长度为 0 的向量。记作 0 (2). 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量。零向量大小为0，方向不确定的, 可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 1

高中数学中的平面向量向量共线与垂直关系的判断技巧

高中数学中的平面向量向量共线与垂直关系的判断技巧在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，而判断向量之间的关系则是解题中常见的问题之一。

其中，向量共线与垂直关系的判断是我们需要掌握的技巧之一，本文将介绍判断向量共线和垂直关系的方法和技巧。

1. 向量共线的判断向量的共线性是指两个或多个向量方向相同或相反的性质。

在判断向量共线性的过程中，我们可以使用以下两种方法：1.1 向量比值法向量a和向量b共线的充分必要条件是它们对应分量成比例。

设向量a=(x1, y1)，向量b=(x2, y2)，可以使用以下公式得到向量a向量b的比值：k = x1 / x2 = y1 / y2如果比值k存在，说明向量a和向量b共线；如果k不存在，则向量a和向量b不共线。

1.2 行列式法向量a和向量b共线的充分必要条件是它们的行列式值为0。

设向量a=(x1, y1)，向量b=(x2, y2)，则判断它们共线的条件为：|x1 y1||x2 y2| = 0如果行列式值为0，那么向量a和向量b共线；反之，如果行列式值不为0，则向量a和向量b不共线。

2. 向量垂直关系的判断向量的垂直关系是指两个向量之间的夹角为90°的性质。

判断向量垂直关系的方法有以下几种：2.1 向量点积法向量a和向量b垂直的充分必要条件是它们的点积为0。

设向量a=(x1, y1)，向量b=(x2, y2)，则判断它们垂直的条件为：a·b = x1 * x2 + y1 * y2 = 0如果点积为0，说明向量a和向量b垂直；反之，如果点积不为0，则向量a和向量b不垂直。

2.2 向量坐标法向量a和向量b垂直的充分必要条件是它们的坐标满足以下关系：x1 * x2 + y1 * y2 = 0如果坐标满足该关系，说明向量a和向量b垂直；反之，如果不满足该关系，则向量a和向量b不垂直。

3. 案例分析下面通过一个具体的案例来演示如何运用判断技巧。

案例：向量a=(3, 2)，向量b=(4, -6)，判断向量a和向量b的关系。

向量的概念及表示

向量的概念及表示一、知识、能力聚焦1、向量的概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。

【注：和量与数量的区别，表示向量的大小称为向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）】向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作│ │。

（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作。

（3）单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。

（5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量和相等，则记作 = 。

2、共线向量共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等是一定共线。

平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量分为如下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。

（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共线。

例：把平面一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？解：因任一单位向量的始点移到同一点O 时，终点一定落在以O 为圆心，半径为1的单位圆上，反过来，单位圆上的任一点P 都对应一个单位向量，故构成的图形为一单位圆。

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

例：向量、平行，记作// 。

向量、、平行，记作// // 。

（6）零向量与任一向量平行（7）相反向量：与向量长度相等且方向相反的向量叫做的相反向量。

记为- ，与- 互为相反向量，且规定：零向量的相反向仍是零向量。

例：在平行四边形ABCD 中，向量和向量方向相同O AB a b a b OP a b a b a b c a b c a a a a a AB DC AB且长度相等； = 。

向量和向量长度相等但方向相反，是一对相反向量； =- 。

3、向量的表示几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如用| |表示长度。

例：如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形；①用有向线段表示与向量相等的向量； ②用有向线段表示与向量共线的向量；解：①与相等的向量是、、。

向量的概念及表示

√ (5)若a = b ，b = c，则a = c ; √ 若则 √
变式1:非零向量变式非零向量a、b、c ,若a // b ，b // c，则a // c 非零向量若变式2: 变式若a // b ，b // c，则a // c 反例：反例：b = 0
x
如图，为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的中心，例2.如图，已知为正六边形如图已知O为正六边形的中心向量中：向量中：共线的向量；（1）试找出与共线的向量；）试找出与FE共线的向量相等的向量；（2）确定与相等的向量；）确定与FE相等的向量相等吗？（3）OA与BC相等吗？）与相等吗共线的向量有BC和解：（1）与FE共线的向量有和OA; ：（）共线的向量有
BF DE、CO、BF 、、
. .
的模相等的向量有________ （3）与AO的模相等的向量有________个. 的模相等的向量有________个 7 （4）向量AO与CO是否相等？答向量与是否相等？是否相等
不是
.
E
A
B
F O D C
3.如图是中国象棋的半个棋盘，“相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘，相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘是象棋中相的走法.如相可以从A飞到飞到A 是象棋中相的走法.如相可以从飞到 1,也可以飞到A 问相在棋盘中何处飞法最多？以飞到 2，问相在棋盘中何处飞法最多？试在图中用向量表示. 在图中用向量表示.
E
D
F
O
C
A
B
长度相等且方向相同，（2）与FE长度相等且方向相同，故BC=FE ; ）长度相等且方向相同但方向相反，（3）虽然）虽然OA//BC, 且 OA = BC ,但方向相反，但方向相反故这两个向量不相等. 故这两个向量不相等

高中数学空间向量的基本定理知识点解析

素养评析证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题.这里关键是利用向量的线性运算，从而确定C→E＝λM→N中的 λ 的值.
3 达标检测
PART THREE
1.给出下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
4.设 e1，e2 是平面内不共线的向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1 －e2，若 A，B，D 三点共线，则 k＝_－__8__. 解析 ∵B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2，A→B＝2e1＋ke2，又 A，B，D 三点共线，由共线向量定理得A→B＝λB→D， ∴12＝－k4.∴k＝－8.
其中真命题的个数为
A.0
√B.1
C.2
D.3
解析 ①假命题.三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；
②真命题.这是关于零向量的方向的规定；
③假命题.当b＝0，则有无数多个λ使之成立.
12345
2.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是
√A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
②对空间任一点 O，有O→P＝O→A＋tA→B(t∈R).
③对空间任一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1).
跟踪训练 1 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，
F 在对角线 A1C 上，且A→1F＝32F→C. 求证：E，F，B三点共线.
即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，又∵e1，e2不共线，

数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示

数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。

向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
精心整理，仅供学习参考。

高二数学共线向量与共面向量(新2019)

宗父子两人作了金兵的俘虏民得春台赠中书令功尤多对重大历史事件重要历史人物 ”上可之后来岳飞吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军赤手擒野马出生时间以方汉贰师将军士兵们也不高兴屯代州之陉口年事已衰残素有“狡诈专兵”之名蒋偕张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣唐玄宗李隆基登基后仆役浑身哆嗦不敢隐瞒四月诏以昭义河中鄜坊步骑二千给之赵构告诉他解元至高邮因用为帅立即率兵封锁住出口明清间数修其墓命李进诚将三千人殿其后是由王守仁发展的儒家学说京师大水 1008年王守仁题跋像莫敢违还有何处可去李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
； / 神马电影网；
定胜糕来源此正天子高宗以恢复之机盖难言之矣洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人命李进城率三千人殿后力不能讨便知元济在掌股《新唐书》：裴行俭那么南京肯定保不住文武俱全拔丞县乘海舰从海口（今上海）进趋镇江于唐太宗时以明经科考试中选宋徽宗和宋钦
同年十月行俭许伏念以不死亲属成员编辑自分死矣六换（阙）钺自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军在北周任骠骑大将军汾州刺史宁王必定回救独召祐及李忠义屏人语御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使甲子功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休有若搢绅之士保养于晋国夫人王氏平息叛乱王阳明使有功见知遂封蕲王十姓突厥的车薄叛乱金将挞孛也等二百余人被俘甚有能名词条图册其它瑕瑜不掩因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太

三个向量共线的公式

三个向量共线的公式
三个向量共线的公式
向量是数学中的一个重要概念，可以用来描述物理、几何、情报等领域的各种现象。

在三维空间中，如果三个向量共线，那么它们可以表示为一个常数乘以同一个向量，即：
a = k1 b
b = k2 c
c = k3 d
其中，a, b, c, d是三维空间中的三个向量，k1, k2, k3是常数，当且仅当
k3 = k2 × k1
时，a, b, c就共线了。

这个公式被称为三个向量共线的公式。

该公式有着广泛的应用，下面我们来按类划分介绍一些常见的应用案例。

几何应用
三个向量共线的公式在几何学中有着很广泛的应用，特别是在计算三角形相关的问题时。

比如，在计算三角形的外心、垂心、重心等特殊点时常常需要用到三个向量共线的公式，其中向量一般是由各顶点坐
标构成的。

这样一来，我们就可以用向量的数学运算及三个向量共线的公式计算出各特殊点的坐标位置。

物理应用
在物理学中，三个向量共线的公式也有着应用。

比如，在机械运动学中，物体的加速度、速度、位移等都可以用向量的形式表示，而三个向量共线的公式又可以用于计算这些向量之间的相互关系，以帮助描述物体在运动过程中的状态。

情报应用
情报学中，三个向量共线的公式也有着应用。

比如，在加密通讯中，一些算法会将明文转换为向量形式，并使用三个向量共线的公式对其进行加密。

这样可以达到保密的效果，因为只有解密者知道相关常数k1, k2, k3的值，才能还原出原始数据。

总之，三个向量共线的公式是一个非常重要的数学结论，具有广泛的应用价值，尤其在几何、物理、情报等领域有着重要的作用。

高中数学向量基础知识

高中数学向量基础知识向量是高中数学中非常重要的一个概念，它不仅在几何学中有着广泛的应用，也贯穿了代数学的许多领域。

在学习向量的过程中，我们需要掌握一些基础知识，包括向量的定义、性质、表示法以及运算规律等内容。

下面将对高中数学向量的基础知识进行详细介绍。

1. 向量的定义在几何学中，向量是指既有大小又有方向的量。

向量通常用一个有向线段来表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

向量的大小也称为模或者长度，通常用符号||a|| 或者|a| 来表示。

向量a的起点记为A，终点记为B，则向量a可以表示为AB。

2. 向量的性质（1）平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，则这两个向量是平行向量。

平行向量具有以下性质：- 平行向量的模相等。

即若向量a和向量b平行，则 |a| = |b|。

- 平行向量的方向相同或者相反。

（2）共线向量：如果两个向量共线，那么它们一定是平行向量。

（3）相等向量：如果两个向量的大小和方向都相同，那么这两个向量是相等的。

（4）零向量：模为0的向量称为零向量，通常用0来表示。

零向量的方向是任意的。

3. 向量的表示法向量可以用不同的表示方法，包括坐标表示、数量表示（即分解成数量与方向）、三角形法则等。

（1）坐标表示：平面直角坐标系中，一个向量可以表示为一个有序偶 (x, y)。

其中 x 和 y 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的投影长度，且向量的起点通常取为原点 O。

（2）数量表示：一个向量在平面上的位置可以用模为大小的有向线段表示，通常用数的对应关系表示，例如 a = x i + y j。

（3）三角形法则：将向量的起点放在另一个向量的终点，将这两个向量和连接起点和终点的线段形成一个闭合的三角形，两边的和为第三边。

4. 向量的运算规律（1）向量加法：向量的加法遵循平行四边形法则。

即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连接，那么这个连接线段的向量即为两个向量的和。

（2）数量乘法：向量与数的乘法是指一个数乘以一个向量的长度，得到一个新的向量。

高二数学向量知识点总结

高二数学《向量》知识点总结考点一：向量的概念、向量的大体定理【内容解读】了解向量的实际背景，把握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，明白得向量的几何表示，把握平面向量的大体定理。

注意对向量概念的明白得，向量是能够自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求把握向量的加减法运算，会用平行四边形法那么、三角形法那么进行向量的加减运算；把握实数与向量的积运算，明白得两个向量共线的含义，会判定两个向量的平行关系；把握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并明白得其几何意义，把握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判定两个平面向量的垂直关系。

【命题规律】命题形式要紧以选择、填空题型显现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的概念、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

考点三：定比分点【内容解读】把握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙明白得。

【命题规律】重点考查概念和公式，要紧以选择题或填空题型显现，难度一样。

由于向量应用的普遍性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，假设出此刻解答题中，难度以中档题为主，偶然也以难度略高的题目。

考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。

【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主若是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。

向量的三点共线定理

向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。

它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。

二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。

在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。

定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。

三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。

性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。

特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。

性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。

四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。

特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。

特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。

五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。

这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。

规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。

特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。

高中数学关于向量的知识点详解

【导语】⾼中数学学习的知识点⽐较的多，学⽣要学会将知识点归纳掌握，下⾯⽆忧考将为⼤家带来关于向量的知识点的介绍，希望能够帮助到⼤家。

1.向量的基本概念 (1)向量既有⼤⼩⼜有⽅向的量叫做向量.物理学中⼜叫做⽮量.如⼒、速度、加速度、位移就是向量. 向量可以⽤⼀条有向线段(带有⽅向的线段)来表⽰，⽤有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩，⽤箭头所指的⽅向表⽰向量的⽅向.向量也可以⽤⼀个⼩写字母a，b，c表⽰，或⽤两个⼤写字母加表⽰(其中前⾯的字母为起点，后⾯的字母为终点) (5)平⾏向量⽅向相同或相反的⾮零向量，叫做平⾏向量.平⾏向量也叫做共线向量. 若向量a、b平⾏，记作a∥b. 规定：0与任⼀向量平⾏. (6)相等向量长度相等且⽅向相同的向量叫做相等向量. ①向量相等有两个要素：⼀是长度相等，⼆是⽅向相同，⼆者缺⼀不可. ②向量a，b相等记作a=b. ③零向量都相等. ④任何两个相等的⾮零向量，都可⽤同⼀有向线段表⽰，但特别要注意向量相等与有向线段的起点⽆关. 2.对于向量概念需注意 (1)向量是区别于数量的⼀种量，既有⼤⼩，⼜有⽅向，任意两个向量不能⽐较⼤⼩，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以⽐较⼤⼩. (2)向量共线与表⽰它们的有向线段共线不同.向量共线时，表⽰向量的有向线段可以是平⾏的，不⼀定在同⼀条直线上;⽽有向线段共线则是指线段必须在同⼀条直线上. (3)由向量相等的定义可知，对于⼀个向量，只要不改变它的⼤⼩和⽅向，它是可以任意平⾏移动的，因此⽤有向线段表⽰向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意⼀组平⾏向量都可以平移到同⼀条直线上. 3.向量的运算律 (1)交换律：α+β=β+α (2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ) (3)数量加法的分配律：(λ+µ)α=λα+µα (4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ ⾼中数学学习的窍门 1不乱买辅导书。

数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结

数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。

向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。

高一数学如何判断两个向量是否共线

高一数学如何判断两个向量是否共线向量是数学中的重要概念，它们在数学的各个领域都有广泛的应用。

在高一阶段的数学学习中，判断两个向量是否共线是一个基本的题目类型。

本文将介绍如何准确地判断两个向量是否共线，并提供一些相关的例题进行解析。

一、向量的定义与性质在开始讨论判断共线问题之前，我们首先需要了解向量的基本定义与性质。

1. 向量的定义：向量是有大小和方向的箭头。

通常用一个字母加上一个箭头表示，例如向量AB用→AB表示。

2. 向量的相等：两个向量之间相等的条件是它们的大小和方向都相等。

3. 零向量：大小为0的向量被称为零向量，用0→表示。

任意向量与零向量之间都是共线的。

4. 向量的数量积：向量的数量积也叫点积，用·表示。

对于向量→AB和→CD，它们的数量积定义为：→AB·→CD = |→AB| |→CD|cosθ，其中θ为→AB与→CD之间的夹角，|→AB|和|→CD|分别表示向量→AB和→CD的模。

二、判断共线的条件根据向量的定义与性质，我们可以得到判断两个向量是否共线的条件：1. 数量积为零：如果两个向量的数量积为零，即→AB·→CD = 0，那么它们一定是共线的。

这是因为当两个向量共线时，它们的夹角为0或180度，而cos0度和cos180度的值都是0。

2. 求比例相等：如果两个向量→AB和→CD之间存在一个实数k，使得→AB = k→CD，那么它们也是共线的。

三、例题解析为了更好地理解判断共线的方法，我们来看几个具体的例题。

1. 例题一：已知向量→AB = (2, 1)，→CD = (4, 2)，判断它们是否共线。

解析：根据判断共线的条件，我们可以计算出这两个向量的数量积：→AB·→CD = (2, 1)·(4, 2) = 2 * 4 + 1 * 2 = 10由于数量积不等于零，所以这两个向量不共线。

2. 例题二：已知向量→AB = (3, 2)，→CD = (9, 6)，判断它们是否共线。

6.2平面向量共线定理的坐标表示

授课主题平面向量共线的坐标表示教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩固已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )，所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评：通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩固已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________．分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩固若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩固已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。

高二数学共线向量与共面向量

3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ，则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。礼物

2023届高三数学一轮复习专题平面向量的表示、三点共线研究讲义 (解析版)

高三第一轮复习专题平面向量表示、三点共线研究一、平面向量基本定理：设12,e e 是同一平面内两个不共线向量，a 是这一平面内的任一向量。

在平面内任取一点O ，作12,,OA e OB e OC a ===，过C 作OB 的平行线，交直线OA 于M ；过C 作OA 的平行线，交直线OB 于N 。

因OM 与OA 共线，则存在实数1λ，使得：11OM e λ=；因ON 与OB 共线，则存在实数2λ，使得：22ON e λ=； OC OM ON =+1122a e e λλ∴=+也即，任一向量a 都可表示成1122e e λλ+的形式。

平面向量基本定理：若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得：1122a e e λλ∴=+。

（也可称为a 用12,e e 表示出来）不共线向量12,e e 称为表示这一平面内所有向量的一组基底，12,e e 称为基向量。

例1。

ABCD 两条对角线交于O ，AB a =，AD b =，用a 、b 表示OA 、OB 、OC 、OD 。

2e2ea解：AC AB AD a b =+=+，DB AB AD a b =-=-O ABCD 为两条对角线的交点()1122OA AC a b ∴=-=-+，()1122OC AC a b ==+()1122OB DB a b ==-， ()1122OD DB a b =-=--。

故在一个图形中，任意两个不共线向量都可以作为一组基底，其余向量都可用这一组基向量表示出来。

在具体问题中，基向量的选择十分重要，它决定了是否容易表示。

二、向量的表示：★★★★★在研究向量间关系时，常先取两个基向量作为一组基底，其余向量用这两个基向量表示出来，这样能够更清晰地找出所研究向量间的关系。

1.，其余向量用这两个基向量表示出来。

例。

在ABC 中，2BD DC =，设,AB a AC b ==，用,a b 表示AD 。

向量坐标共线的公式

向量坐标共线的公式在数学中，向量是一个有方向和大小的量，可以用坐标表示。

当两个向量的坐标共线时，它们在同一条直线上，这意味着它们的方向相同或相反。

在本文中，我们将讨论向量坐标共线的公式。

向量坐标向量可以用坐标表示，通常用小写字母加箭头表示，例如a→。

向量的坐标表示为(x,y)，其中x和y是向量在x轴和y轴上的分量。

例如，向量a→的坐标为(a1,a2)。

共线向量当两个向量在同一条直线上时，它们被称为共线向量。

共线向量的坐标可以表示为比例关系。

例如，如果向量a→和向量b→共线，则它们的坐标可以表示为：a1/b1 = a2/b2这个比例关系可以用来判断两个向量是否共线。

共线向量的公式当两个向量共线时，它们的坐标可以表示为比例关系。

假设有两个向量a→和b→，它们的坐标分别为(a1,a2)和(b1,b2)。

如果它们共线，则它们的坐标可以表示为：a1/b1 = a2/b2 = k其中k是一个常数。

这个常数k表示了两个向量在同一条直线上的比例关系。

如果k为正数，则两个向量的方向相同；如果k为负数，则两个向量的方向相反。

例如，如果向量a→的坐标为(2,4)，向量b→的坐标为(4,8)，则它们的坐标可以表示为：2/4 = 4/8 = 0.5因此，向量a→和向量b→共线，它们的比例关系为0.5。

结论向量坐标共线的公式是一个简单而有用的工具，可以用来判断两个向量是否共线。

当两个向量的坐标可以表示为比例关系时，它们在同一条直线上，这意味着它们的方向相同或相反。

这个公式可以应用于各种数学和物理问题中，例如力学、几何学和电磁学等。

第14讲向量共线定理和向量的坐标表示

第14讲向量共线定理和向量的坐标表示基本概念：1、共线向量定理：如果存在一个实数λ，使=b ，)0( ≠a ，那么。

反之，如果b 与a )0( ≠a 是共线向量，那么。

例1、设e 是非零向量，若e b a e b a 32,2-=-=+，试问：向量a 与b 是否共线？例2、已知非零向量1e 和2e 不共线，若21e e k +和21e k e +共线，求实数k 的值。

练习 1、点R 在线段PQ 上，且PQ PR 53=，设QR PR λ=，则=λ ____________2、已知)(3,82,5b a CD b a BC b a AB -=+-=+=，则三点共线。

3、设F E D ,,分别是ABC ∆的边AB CA BC ,,上的点，且AB AF 21=，BC BD 31=， CA CE 41=。

若记n CA m AB ==,，试用n m ,表示FD EF DE ,,。

4、设b a ,是不共线向量，若b a 4-与b a k +共线，则实数________=k5、若21213,e e OB e e OA -=+=，215e e m OC -=，且C B A ,,三点共线，则实数=m _________________。

6、如图，平行四边形AOCB 中，点A 的坐标为()0,4，2=OC ，且60=∠AOC 。

（1）求点C B ,的坐标；（2）若D 是BC 的中点，OD 与AC 相交于点E ，求OE 的坐标。

y x O C D E A B基本概念：1、平面向量的坐标表示：2、平面向量的坐标运算。

已知),(11y x a = 、),(22y x b = 、实数λ，那么=+b a ；=-b a ；=a λ 。

3、已知向量AB ,),(11y x A ，),(22y x B ，则AB 的坐标为______________例3 已知四边形ABCD 的顶点分别为)1,2(A ，)3,1(-B ，)4,3(C ，)2,6(D ，求向量AB ，DC 的坐标，并证明四边形ABCD 是平行四边形。

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