内蒙古赤峰市宁城县2016届高三下学期第三次统一模拟考试数学(文)试题(附答案)

宁城县高三年级统一考试数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页～第2页，第II 卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1．若集合{}2,1,0,1,2Α=--，{}2|1Βx x =>，则=ΑΒ（A ）{|11}x x x <->或 （B ）{}2,2- （C ）{}2 （D ）{0}2． 已知两点(0,0),(2,0)O A -，以线段OA 为直径的圆的方程是 （A ）22(1)4x y -+= （B ）22(1)4x y ++=（C ）22(1)1x y -+= （D ）22(1)1x y ++= 3. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是(A)y =(B) 1y x =(C) 1()2xy = (D) 12log y x = 4．设a,b 为向量，则“g a b a b =”是“//a b ”的（ ）． （A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件5．已知函数 f (x ) 的部分对应值如表所示. 数列{}n a 满足11,a =且对任意*n ∈N ，点1(,)n n a a +都在函数()f x 的图象上，则2016a 的值为（A ） 1 （B ）2 （C ） 3 （D ） 4 6．函数()=sin2cos 2f x x x -的一个单调递增区间是 （A ）3[,]44ππ-（B ）3[,]44ππ- （C ）3[,]88ππ- （D ）3[,]88ππ-7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）8. 向量12,,,e e a b 在正方形网格中的位置如图所示，则a b -=9. 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是 （A ）12 （B ）14 （C（D10.在△ABC 中，AB=AC ，M 为AC 的中点，ABC 面积的最大值是（A（B ）2 （C ）32（D ）3 11.设12()ln ,0f x x x x =<<，若a f =，121(()())2b f x f x =+，12()2x x c f +=，则下列关系式中正确的是（A ）a b c =< （B ）a b c => （C ）b c a =< （D ）b c a => 12. 四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上, 2AB = ，1BC CD ==,60BCD ∠=,AB ⊥平面BCD ,则球O 的表面积为（A ）1242e e -- （B ）1224e e -- （C ）123e e - （D ）123e e -（D ）（C ））（B ）（A ）（A ）8π （B）3 （C）3（D ）163π宁城县高三年级统一考试(2016.03.20)数学试题（文科） 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13．已知复数()12z i i +=，则z 等于 ;. 14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是 ;15．若,x y 满足0,30,30,y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为 ;.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()2121,221n n n S a a n S ==≥-，则2016S =_____________.三、解答题（共6小题，满分70分） 17.（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，AD AC ⊥，cos 3B =，AB =，BD （Ⅰ）求ABD ∆的面积； （Ⅱ）求线段DC 的长.AB CD18．（本题满分12分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t 满足：27c 30c t＃o o ）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：c ）的记录如下：(Ⅰ)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.(Ⅱ)设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为12,D D ，估计12,D D 的大小？（直接写出结论即可）.(Ⅲ)从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都．在 [27，30]之间的概率. 温度19．（本题满分12分）如图所示，三棱锥D ABC -中，AC ,BC ,CD 两两垂直，1AC CD ==,，点O 为AB 中点.（Ⅰ）若过点O 的平面α与平面ACD 平行，分别与棱DB ,CB 相交于,M N ，在图中画出该截面多边形，并说明点,M N 的位置（不要求证明）； （Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离.20．（本题满分12分）如图，椭圆222210x y W :(a b )a b +=>>其左顶点A 在圆22:16O x y +=上.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）直线AP 与椭圆W 的另一个交点为P ，与圆O 的另一个交点为Q .是否存在直线AP ，使得||3||PQ AP =? 若存在，求出直线AP 的斜率；若不存在，说明理由.OyxO B A21.（本小题满分12分）设函数()x x b e f x a =++在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y ++=．（自然对数的底数 2.718)e =⋅⋅⋅（Ⅰ）求,a b 值，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0x ≥时，24()f x x >-．四、选做题请考生在22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点[来D ，F 为BD 中点，连接AF 交CH 于点E ， （Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB ； （Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O 的半径．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极E F HCBOAD轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24(sin cos )40ρρθθ-++=，. （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知,,a b c R ∈，且2221a b c ++=．（1）求证：a b c ++≤（2）若不等式211()x x a b c -++≥++对一切实数,,a b c 恒成立，求x 的取值范围．宁城县高三年级统一考试(2016.03.20)数学试题（文科）参考答案一、选择题：1-12BDAC BDBC DBAD二、填空题：1314、0；15、32-；16、14031三、解答题17．解：∵cos B =∴02B π<<．又∵22sin cos 1B B +=，∴sin 3B =．∵AB =BD =，∴1sin 2ABD S AB BD B ∆=⋅123=⨯2=5分（Ⅱ）∵2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅， 且AB =BD ，cos 3B =，∴218329AD =+-⨯=，∴3AD =．又∵2222BD AD AB cos ADB BD AD +-∠===⋅∴cos ADC ∠=． 又∵在t R DAC ∆中, 090DAC ∠= ,∴AD cos ADC DC ∠=,即33DC=,∴DC = ………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）农学家观察试验的起始日期为7日或8日. ………………………….3分 （少写一个扣1分）（Ⅱ）最高温度的方差大. …………………………….6分（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A ， …………….7分 则基本事件空间可以设为{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),...,(29,20,31)}Ω=，共计29个基本事件 ………………………….9分由图表可以看出，事件A 中包含10个基本事件， 所以10()29P A =， 所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为1029. …………….12分 19．（Ⅰ）当M 为棱DB 中点，N 为棱BC 中点时，平面a ∥平面ACD .…………6分 （Ⅱ）因为CD AC ⊥，CD BC ⊥， 所以直线CD ⊥平面ABC ， …………8分AD ===,2BD ==.又 2.AB =所以AB BD =，……………………………………9分 设点E 是AD 的中点，连接BE ，则BE AD ⊥,又C ABD D ABC V V --=，而111222ABC S AC BC ∆=⋅=⨯=， 设点C 到平面ABD 的距离为h ，则有1133ABD ABC S h S CD ∆∆⋅=⋅， ……10分即122h ⋅=⨯，∴7h =C 到平面ABD 的距离为7. ……12分 20. 解：（Ⅰ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上，所以4a =.e c a ==，所以c =, 所以2224b a c =-=, 所以W 的方程为221164x y +=. ……………………….5分 （Ⅱ）因为圆心到直线AP 的距离为d =， ……………………….6分所以||AQ = ……………………………7分因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， ……………………………8分 代入得到22222||1433113||111PQ k k AP k k k +=-=-==-+++. …………………….11分 显然23331k-≠+，所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. ……………….12分 21. 解：（Ⅰ）()x a f x e '=+，由已知，(0)1f '=-，(0)1f =-，故2a =-，2b =-，2()x f x e '=-，当(,ln 2)x ∈-∞时，0()f x '<，当(ln 2,)x ∈+∞时，0()f x '>，故()f x 在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增；……（6分）（Ⅱ）方法1：不等式24()f x x >-，即2221xx x e+-<， 设22()2x x x g x e +-=，24()xx g x e -'=，[0,2)x ∈时，()0g x '>，(2,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在[0,2)递增，在(2,)+∞递减， 当0x ≥时，()g x 有最大值16)2(2<=eg ， 因此当0x ≥时， 24()f x x >-． …………（12分） 方法2：设22()()(4)22xg x f x x e x x =--=--+，()22()x g x e x f x '=--=在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，因为(0)10g '=-<，06)2(2>-='e g ，0ln 22<<，所以()g x '在[0,)+∞只有一个零点0x ，且0(0,2)x ∈，0022x e x =+， 当0[0,)x x ∈时，0()g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，0()g x '>，()g x 在0[0,)x 单调递减，在0(,)x +∞单调递增，当0x ≥时，0220000()()2240x g x g x e x x x ≥=--+=->， 因此当0x ≥时， 24()f x x >-． …………（12分） 22. （Ⅰ）证明：因为AB 是直径， 所以∠ACB ＝90°又因为F 是BD 中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB 因此∠BCF=∠CAB ……………………5分 （Ⅱ）解：直线CF 交直线AB 于点G ， 由FC=FB=FE 得：∠FCE=∠FEC 可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG由切割线定理得：（1＋FG ）2＝BG×AG=2BG 2 ……① 在Rt △BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2……② 由①、②得：FG 2-2FG-3=0解之得：FG 1＝3，FG 2＝－1（舍去） 所以AB ＝BG＝所以⊙O………10分23. 解：（Ⅰ）将11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t，化为普通方程20x y +-=再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入20x y +-=，得cos sin 2ρθρθ+=…………………5分（Ⅱ）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程2cos sin 24(sin cos )40ρθρθρρθθ+=⎧⎨-++=⎩因为0,02ρθπ≥≤<，所以可解得1120ρθ=⎧⎨=⎩或2222ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，因此l 与C 交点的极坐标分别为(2,0)，(2,)2π．……………………………10分24. 证明：（Ⅰ）()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++GE FHCBOAD()222123a b c ≤+++=-------------------------------------4分所以a b c ++≤-------------------------------5分 当且及仅当a b c ==时等号成立。