2014年全国高中数学青年教师展评课：向量加法运算及其几何意义教学设计及点评(天津杨村一中王蕊)

2.2平面向量的线性运算

向量加法运算及其几何意义（第1课时）

（人教A版高中课标教材数学必修4）

教学设计

授课教师：王蕊天津市武清区杨村第一中学

指导教师: 申铁天津市中小学教育教学研究室

梁栋天津市武清区杨村第一中学

张永成天津市武清区教研室

2014年12月

一、教学内容分析

本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修4）中第二章《平面向量》第二节“平面向量的线性运算”的第一课时．

向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，其工具作用主要体现在向量的运算方面，向量的加法运算是向量运算的基础．平面向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的．向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则是通过画图得到的，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件，向量的加法在这里起着承上启下的作用．通过不断与数进行类比，学习向量加法及其几何性质，充分体现了类比思想在研究问题过程中的重要作用．

因此，本节课的教学重点：向量加法的定义与向量加法的三角形法则与平行四边形法则及其几何意义，以及利用法则作两个向量的和向量，体会类比思想在研究问题中的重要作用．二、教学目标设置

1．使学生经历从物理模型抽象为数学问题的过程，掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算；通过类比猜想、作图验证掌握向量加法的相关性质；通过数学建模解决实际问题.

2．在学习过程中，使学生掌握通过类比思想提出猜想，并给予证明的解决问题的方法，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识．

3．在数学建模过程中，经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．

三、学生学情分析

（一）学生程度

我所授课的对象是天津市杨村一中的学生．学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，

学生的理解能力比较强．虽然初中已经经历了有理数加法的学习，但是对向量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强。

（二）知识层面

1．学生初中已经学习过有理数加法、减法等运算并掌握了它们的运算率；

2．掌握了向量、零向量及其共线向量的定义.

（三）能力层面

1．具有物理学习中的力的合成基础；

2．具有一定的数形结合和类比思想的基础．

根据以上三个方面的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以自主完成求不共线的两个非零向量的和的作图，部分同学能够注意到零向量与数零的区别以及共线的两个向量的和的求法。但有些学生对平移向量依然在原图上处理，极易造成图形混乱。在具体操作过程中，需要老师的引导和帮助。

教学难点：理解向量的加法法则及其几何意义，向量加法运算律的作图证明；数的加法对向量加法的负迁移，造成向量加法的意义的理解困难。

四、教学策略分析

1．《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，以问题串驱动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.

2.为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助多媒体或实物投影仪等信息技术手段，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．3．数学是一门培养重要思维的学科．因此本堂课我采取了“开放型探究式”教学模式，体现以学生发展为本的精神．从问题提出到问题解决都竭力把探究问题的主动权交给学生，让学生操作实验、直观感知、自主探索、合作交流，使学生全面参与、全员参与、全程参与，真正确立其主体地位．而教师作为数学学习的组织者、引导者、合作者，及时给予点拨和纠正．

五、教学过程

(一)创设情景

类比导入，引入新知

同学们七年级学习有理数加法时探讨过一个问题，小明从原点出发向东走了2米，再向东走了3米，两次行走后，相对于原点他的最后位置在什么地方？假如小明从原点出发向东走了2米，再沿着东北方向走了3米，这时他两次行走的路程是多少？

师生活动：

教师提问，学生思考回答。从数的加法引入向量的加法。

设计意图

以一个贴近学生生活的实例，引出课题“向量的加法运算及其几何意义”，激发学生学习兴趣。从位移入手，帮助学生清楚认识向量的加法与数的加法在本质上的区别。

（二）合作探究

自主探究，讲授新知

问题1：向量的加法如何定义

师生活动：教师展示课件，引导学生将引例中小明的路径抽象成向量，回顾位移合成知识.学生总结向量加法的定义.

设计意图：

结合实例，回忆物理中关于位移合成的知识，使学生对向量加法运算的学习建立在学生已有的认知基础之上，并建立两点共识：①向量可以相加；②向量的和仍是一个向量.使学生更好的把握向量加法定义及向量加法的特点.

同时通过对位移合成的观察，使学生对向量加法运算的“三角形法则”产生充分感知，为三角形法则知识的建构，奠定了良好的基础，进而提出向量加法及向量加法三角形法则的定义． 如图，已知向量，在平面内任取一点A ，作＝，＝，则向量叫做与的和，记作+，即 +=+=.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．

向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

A B

C

问题2：两个向量的和向量方向如何确定？

师生活动：教师提问，学生归纳总结三角形法则的重点： “首尾相接，起点指向终点” 设计意图：

使学生亲身参与探究过程，通过图形观察概括总结定义，能够激发学生的求知欲，有利于学生对知识的建构。通过问题讨论使学生深入思考，并且会用类比的思想来提出定义. 问题3：对任意的两个向量a ，b ，|a +b |与|a |，|b |之间具有怎样的大小关系？ 师生活动：

教师提问，学生作图思考，最后师生在合作探究中共同得出结论：

（1）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||；

（2）当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则a +b 的方向与b 相同，且|+|=|b |-|a |

（3）当向量a 与b 不共线时，||||||b a -<|a +b |<|a |+|b | 所以，综合以上结论有：≤-||||||b a |a +b |≤|a |+||

设计意图:

通过对有关向量加法中模的大小关系的探究，使学生认识到数的加法与向量加法的联系与区别，强化数形结合思想，自主探究中完成知识的建构.

合作探究，巩固新知

探究一：零向量

例1：已知向量、，求作向量+

师生活动：

a

b b

b