2014年全国高中数学青年教师展评课：向量加法运算及其几何意义教学设计及点评(天津杨村一中王蕊)

2.2平面向量的线性运算向量加法运算及其几何意义（第1课时）（人教A版高中课标教材数学必修4）教学设计授课教师：王蕊天津市武清区杨村第一中学指导教师: 申铁天津市中小学教育教学研究室梁栋天津市武清区杨村第一中学张永成天津市武清区教研室2014年12月一、教学内容分析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修4）中第二章《平面向量》第二节“平面向量的线性运算”的第一课时．向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，其工具作用主要体现在向量的运算方面，向量的加法运算是向量运算的基础．平面向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的．向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则是通过画图得到的，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件，向量的加法在这里起着承上启下的作用．通过不断与数进行类比，学习向量加法及其几何性质，充分体现了类比思想在研究问题过程中的重要作用．因此，本节课的教学重点：向量加法的定义与向量加法的三角形法则与平行四边形法则及其几何意义，以及利用法则作两个向量的和向量，体会类比思想在研究问题中的重要作用．二、教学目标设置1．使学生经历从物理模型抽象为数学问题的过程，掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算；通过类比猜想、作图验证掌握向量加法的相关性质；通过数学建模解决实际问题.2．在学习过程中，使学生掌握通过类比思想提出猜想，并给予证明的解决问题的方法，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识．3．在数学建模过程中，经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．三、学生学情分析（一）学生程度我所授课的对象是天津市杨村一中的学生．学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力比较强．虽然初中已经经历了有理数加法的学习，但是对向量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强。

（二）知识层面1．学生初中已经学习过有理数加法、减法等运算并掌握了它们的运算率；2．掌握了向量、零向量及其共线向量的定义.（三）能力层面1．具有物理学习中的力的合成基础；2．具有一定的数形结合和类比思想的基础．根据以上三个方面的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以自主完成求不共线的两个非零向量的和的作图，部分同学能够注意到零向量与数零的区别以及共线的两个向量的和的求法。

但有些学生对平移向量依然在原图上处理，极易造成图形混乱。

在具体操作过程中，需要老师的引导和帮助。

教学难点：理解向量的加法法则及其几何意义，向量加法运算律的作图证明；数的加法对向量加法的负迁移，造成向量加法的意义的理解困难。

四、教学策略分析1．《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，以问题串驱动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.2.为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助多媒体或实物投影仪等信息技术手段，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．3．数学是一门培养重要思维的学科．因此本堂课我采取了“开放型探究式”教学模式，体现以学生发展为本的精神．从问题提出到问题解决都竭力把探究问题的主动权交给学生，让学生操作实验、直观感知、自主探索、合作交流，使学生全面参与、全员参与、全程参与，真正确立其主体地位．而教师作为数学学习的组织者、引导者、合作者，及时给予点拨和纠正．五、教学过程(一)创设情景类比导入，引入新知同学们七年级学习有理数加法时探讨过一个问题，小明从原点出发向东走了2米，再向东走了3米，两次行走后，相对于原点他的最后位置在什么地方？假如小明从原点出发向东走了2米，再沿着东北方向走了3米，这时他两次行走的路程是多少？师生活动：教师提问，学生思考回答。

从数的加法引入向量的加法。

设计意图以一个贴近学生生活的实例，引出课题“向量的加法运算及其几何意义”，激发学生学习兴趣。

从位移入手，帮助学生清楚认识向量的加法与数的加法在本质上的区别。

（二）合作探究自主探究，讲授新知问题1：向量的加法如何定义师生活动：教师展示课件，引导学生将引例中小明的路径抽象成向量，回顾位移合成知识.学生总结向量加法的定义.设计意图：结合实例，回忆物理中关于位移合成的知识，使学生对向量加法运算的学习建立在学生已有的认知基础之上，并建立两点共识：①向量可以相加；②向量的和仍是一个向量.使学生更好的把握向量加法定义及向量加法的特点.同时通过对位移合成的观察，使学生对向量加法运算的“三角形法则”产生充分感知，为三角形法则知识的建构，奠定了良好的基础，进而提出向量加法及向量加法三角形法则的定义． 如图，已知向量，在平面内任取一点A ，作＝，＝，则向量叫做与的和，记作+，即 +=+=.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法A BC问题2：两个向量的和向量方向如何确定？师生活动：教师提问，学生归纳总结三角形法则的重点： “首尾相接，起点指向终点” 设计意图：使学生亲身参与探究过程，通过图形观察概括总结定义，能够激发学生的求知欲，有利于学生对知识的建构。

通过问题讨论使学生深入思考，并且会用类比的思想来提出定义. 问题3：对任意的两个向量a ，b ，|a +b |与|a |，|b |之间具有怎样的大小关系？ 师生活动：教师提问，学生作图思考，最后师生在合作探究中共同得出结论：（1）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||；（2）当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则a +b 的方向与b 相同，且|+|=|b |-|a |（3）当向量a 与b 不共线时，||||||b a -<|a +b |<|a |+|b | 所以，综合以上结论有：≤-||||||b a |a +b |≤|a |+||设计意图:通过对有关向量加法中模的大小关系的探究，使学生认识到数的加法与向量加法的联系与区别，强化数形结合思想，自主探究中完成知识的建构.合作探究，巩固新知探究一：零向量例1：已知向量、，求作向量+师生活动：ab bb教师展示问题，学生“同桌”间合作探究，教师深入学生中与他们交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的解题过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．通过强调三角形法则“首尾相连”这一特点，进行适当点拨，帮助他们突破思维的障碍.在第（2）题中，启发学生探讨两个相反方向的向量当长度相同时求和，得出0，引导学生区别数0与0，引申出规定：=+=+。

设计意图：熟悉运用三角形法则求两个向量的和向量的几何作图技能. 巩固三角形法则求和步骤. 探究二：平行四边形法则求向量的加法思考：力的合成与向量的加法有着怎样的关系？师生活动：学生阅读教科书探究，类比三角形法则得出平行四边形法则。

力的合成也可以看做是向量加法的一个物理模型。

向量的物理模型是位移，向量加法的定义是由三角形法则、平行四边形法则这样的作图语言描述出来的，同时，这也恰恰体现了向量加法的几何意义。

设计意图： 通过学生的自主学习，类比概括平行四边形法则的精髓，使学生的知识融会贯通，更好的理解掌握教学内容。

探究三：向量加法的运算律1、 向量加法的交换律+=+思考：三角形法则与平行四边形法，它们求向量和的结果是否一样？师生活动：OA OB OC+= AC Bb aO a a b +学生在教师的引导下观察图形，通过动手画图，探究交换律的证明的过程设计意图：用画图检验向量的交换律。

从实数运算律类比向量的结合律，学生自主探索.2、向量加法的结合律(+) +=+ (+)思考：类比有理数加法的结合律，猜想证明向量加法的结合律师生活动：教师提问，前后4人一组，分组交流，了解学生思考问题的进展过程，鼓励学生在学习了两种求和方法的认知基础上、通过作图展示突破思维的障碍，学习小组展示成果，学生在合作探究中得出结论：(a+b) +c=a+ (b+c)。

教师让学生明确探究途径是使用加法法则作图研究，并且作图需要设计，选择理想的方法，清晰表述证明过程，学生通过合作交流、自主探究，通过画图动手验证，完成对相关运算律的证明．设计意图：通过与数的运算律进行类比，自然提出“向量加法是否也有运算律”的问题，通过设计“探究”活动，作图验证，在合作交流中完成知识的建构.向量建模学以致用例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的从长江南岸A点出发，以3速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度；（2）求船实际航行速度的大小与方向.（用与江水速度间的夹角表示）解：（1、AB为邻边作平行四边形ABCD,则AC（2）在Rt||=3||tan==∠ABCAB60=∠∴CAB答：船实际航行速度的大小约为4km/h，方向与水的流速间的夹角为060.师生活动：教师提问，学生讨论回答．设计意图：培养学生数学建模能力，以及数学的应用意识．（三）、总结提炼(1) 本节课你都有哪些收获？(2) 给你印象最深的是什么？(3)课后，你还想进行什么探究师生活动：教师引导，学生回答.设计意图:对所学内容进行小结，为实际应用打下基础．通过开放型问题，拓展学生的视野，提高学生探究意识.(四)、反馈训练1.根据图示填空（1）a b += ；（2）c d += ；（3）a b d ++= ；（4）c d e ++= ；2.化简： （1）AB BC CD ++=（2）12231n n A A A A A A -++⋅⋅⋅+=（五）、作业布置：（1）作业：P91 习题2．2的1．2．3．（2）拓展探究：数有减法，向量是否有减法呢？结合本节课的探究方法，请大胆的提出猜想，并结合三角形法则与平行四边形法则进行探究．设计意图：在布置作业环节中，设置了两组练习，一组必做题，一组探究题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生的学习兴趣．教学点评向量加法运算及其几何意义（第1课时）作课 武清区杨村一中 王蕊点评 武清区教研室 张永成王蕊老师是天津市武清区杨村第一中学的青年教师．《向量加法运算及其几何意义》这节课是人教A 版必修4第2章第2 单元的第一课时．这节课有很多亮点，主要表现在以下几方面:1.正确地确立了教学目标和教学重点教学目标是教学活动的出发点和归宿，对一节课起着定向、定位的作用．一节课的教学目标应是学科目标、章节目标的具体化，与章节、学科目标构成系列．向量加法是学习平面向量基本概念之后首先要掌握的最基本、最重要的运算．一方面，通过类比实数的运算，研究向量的运算及运算律，渗透数学建模思想，加深对向量概念的认识；另一方面，其他平面向量的线性运算如减法运算、向量数乘运算，都可以归结为加法运算，向量加法也为后续学习起到铺垫作用．因此，本节课将向量加法运算及其几何意义定位为理解与掌握是恰当的．另外，通过例题和实际问题的解决，让学生经历和体验数学知识发生、发展的过程，提高了数学建模能力．教学重点一般是指知识结构中起基础和纽带作用的内容．本节课的重点是向量加法的三角形法则和平行四边形法则．这两种运算法则是向量作为数学工具初步应用的依据，因此是本节课乃至以后学习的关键．2. 引入自然，直奔主题本节课通过一个学生熟悉的实例引入课题，使学生感到亲切、自然．通过类比实数运算，直接切入向量加法运算的主题，干净利落．3.结构合理，内容处理得当结构确定功能，一个好的课堂结构应该是知识结构和学生的认知结构能够有机融合．本节课先讲三角形法则，然后引导学生发现平行四边形法则；在学习向量运算律时，又紧紧依据向量的两种运算法则获得有关运算律；在处理零向量的运算时，并没有直接硬性规定，而是根据零向量的几何特性，尽可能说明规定的合理性．整节课知识层层递进，体现了用教材的课改理念．4.活动设计有序有效新课程改革倡导自主、探究、合作，要求改善学生的学习方式。