财经应用数学3.2 充分条件、必要条件、充要条件

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高一数学充分条件与必要条件笔记

高一数学充分条件与必要条件笔记充分条件与必要条件是数学中重要的概念，它们描述了命题成立的条件和结论之间的关系。

1. 充分条件：如果由条件A可以推出结论B，那么就说A是B的充分条件。

简单来说，就是有了A，就可以得到B。

2. 必要条件：如果由结论B可以推出条件A，那么就说A是B的必要条件。

简单来说，就是没有A，就没有B。

充分必要条件：如果由A可以推出B，由B也可以推出A，那么就说A是B的充分必要条件，简称充要条件。

既不充分也不必要条件：如果由A不能推出B，由B也不能推出A，那么就说A 是B的既不充分也不必要条件。

可以根据这些定义来判断某一条件是否为另一条件的充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件。

同时，这些判断也可以基于逻辑推理关系来进行。

1. 充分条件：如果由条件A可以推出结论B，那么就说A是B的充分条件。

简单来说，就是有了A，就可以得到B。

比如，如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数。

在这里，“能被2整除”就是“偶数”的充分条件。

2. 必要条件：如果由结论B可以推出条件A，那么就说A是B的必要条件。

简单来说，就是没有A，就没有B。

比如，如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数。

在这里，“能被2整除”就是“偶数”的必要条件。

3. 充分必要条件：如果由A可以推出B，由B也可以推出A，那么就说A是B 的充分必要条件，简称充要条件。

比如，在三角形中，如果一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形。

在这里，“是直角”就是“直角三角形”的充分必要条件。

4. 既不充分也不必要条件：如果由A不能推出B，由B也不能推出A，那么就说A是B的既不充分也不必要条件。

比如，在三角形中，“是等腰三角形”不能推出“有一个角是直角”，也不能推出“是直角三角形”，因此，“是等腰三角形”就是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件。

这些判断可以根据逻辑推理关系来进行。

在判断某一条件是否为另一条件的充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件时，可以通过逻辑推理的方法来验证。

充分条件和必要条件的记忆口诀

充分条件和必要条件的记忆口诀充要条件和必要条件是数学中比较容易混淆的知识点，为帮助大家更好的区分二者，整理了记忆口诀及相关内容如下，供大家参考。

充分条件和必要条件的口诀如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。

如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件。

充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。

其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B 的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。

必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。

如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。

数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B 的必要条件。

充要条件和必要条件的解题方法1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件。

注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”。

2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”。

3.在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。

要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。

对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。

4.充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件，有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分。

充分条件,必要条件,充要条件题型解析文章

充分条件,必要条件,充要条件题型解析在数学中，充分条件、必要条件和充要条件是重要的概念，它们在题型解析中起着至关重要的作用。

了解它们的含义和应用能够帮助我们更深入地理解数学题目，并在解题过程中更加灵活地运用相关知识。

1. 充分条件充分条件指的是某一条件成立，则结论一定成立。

在数学中，通常用“A⇒B”来表示充分条件，意思是如果A成立，则B一定成立。

在判断一个三角形为等边三角形时，我们可以用“三条边相等是等边三角形的充分条件”来说明。

也就是说，如果三角形的三条边相等，那么它一定是等边三角形。

这种条件的成立，是保证结论成立的充分条件。

2. 必要条件必要条件指的是某一条件成立是必须的，如果它不成立，则结论也一定不成立。

在数学中，通常用“A⇐B”来表示必要条件，意思是如果B不成立，则A也不成立。

举个例子，在判断一个数为3的倍数时，我们可以用“能被3整除是3的倍数的必要条件”来说明。

也就是说，如果一个数能被3整除，那么它一定是3的倍数。

这种条件的不成立，是导致结论不成立的必要条件。

3. 充要条件充要条件是充分条件和必要条件的结合，它指的是某一条件成立是充要的，即该条件既是充分条件，也是必要条件。

在数学中，通常用“A⇔B”来表示充要条件，意思是A成立当且仅当B成立。

举个例子，对于一个自然数是奇数的条件，我们可以用“能被2整除是偶数的充要条件”来说明。

也就是说，一个自然数是奇数，当且仅当它不能被2整除。

这种条件的成立是确保结论成立的充要条件。

通过以上对充分条件、必要条件和充要条件的解释，我们可以更清晰地理解这些概念在数学题型中的应用。

在具体的题目解析中，我们可以根据题目要求和条件限制，灵活地运用这些概念，从而更加准确地得出结论。

个人观点：在数学学习过程中，充分条件、必要条件和充要条件是十分重要的概念。

通过对这些概念的深入理解，我们可以更加灵活地运用数学知识，在解题过程中准确地得出结论。

这些概念的理解也有助于培养逻辑思维能力，提高数学解题的能力和水平。

充分条件和必要条件(含区分和例题)

充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B,A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。

简单地说,满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。

（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如：1。

A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。

2。

A=“某人触犯了刑律"；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”. 3。

A=“付了足够的钱”;B=“能买到商店里的东西”. 例子中A都是B的充分必要条件:其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。

区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A～～则A是B的充要条件(充分且必要条件)由A可以推出B~由B不可以推出A～~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B～由B不可以推出A~～则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件,但由条件推不出结论。

此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。

此条件为充要条件例子:1。

充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a,天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。

2。

必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件.我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了.我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果.充分条件是事物运行发展的必然性条件,体现必然性的哲学内涵.如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必然属于。

2. 必要性条件。

事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。

如亲情关系和父子关系,亲情关系符合父子关系的一种现象表达,但不能推倒出亲情关系属于父子关系.集合表示：设A、B是两个集合，A是B的充分条件，即满足A的必然满足B，表示为A包含于B；A是B的必要条件,即满足B的必然满足A，表示为A包含B,或B包含于A;A是B的充分不必要条件，即A是B的真子集，表示为A真包含于B；A是B的必要不充分条件，即B是A的真子集，表示为A真包含B，或者B真包含于A; A是B的充分必要条件，即A、B等价，表示为A=B。

数学中的充分条件、必要条件如何理解？

数学中的充分条件、必要条件如何理解？
在数学中：命题的条件和结论之间有着一定的联系。

这些联系就是由：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件（充分必要条件）”、“充分而非必要条件”、“必要而非充分条件”，这些条件组成。

1、充分条件
如果命题“ p → q ” 为真，那么p 叫做q的充分条件。

也就是说，若条件p成立时，则事件q必然发生。

例如：“若两角是对顶角，则此两角相等”为真，“两角是对顶角”是“两角相等”的充分条件。

也就是说，由“两角是对顶角”这个条件成立，就可以保证“两角相等”成立。

简而言之，充分条件就是有之则必然。

2、必要条件
如果命题“→p →q ”为真，那么p就叫做使q成立的必要条件。

也就是说，若条件p不成立，则事件q就一定不发生。

例如“若两角不相等，则此两角一定不是对顶角”为真。

“两角相等”是“两角是对顶角”的必要条件。

即要使“两角是对顶角”成立，“两角相等”是必不可缺少的。

需要注意的是，必要条件具备也不能保证结论成立。

如上例：“两角相等”，也不能保证“两角是对顶角”。

简而言之：必要条件就是无之则不然。

充分条件与必要条件充要条

1．充要条件整体设计教材分析《充要条件》是高中数学教材中的重要内容，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考的热点．由于本节内容涉及对概念下概念和运用概念进行推理，因此需要全面的把握概念；本节教材是在给出了充分条件，必要条件的概念的基础上，导出了充要条件的概念．由于这节课概念性、理论性较强，内容相对照较抽象，学生较难明白得和把握，因此一样的教学方式容易使学生感到枯燥乏味．为此，教材紧密结合了已学过的数学实例和生活实例导出概念，幸免了空泛地讲数学概念、思想、方式．始终以学生为主，让学生在自我试探、彼此交流中去总结概念、“下概念”，去体会概念的本质属性，同时结合问题激发学生的学习爱好，引发学生探讨的好奇心．课时划分1课时教学目标知识与技术(1)明白得充要条件的概念，了解充分而没必要要条件，必要而不充分条件，既不充分也没必要要条件的概念；(2)学会对命题进行充分没必要要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也没必要要条件的判定；(3)通过学习，使学生明白得对条件的判定应该归结为判定命题的真假．进程与方式在观看、试探、解题进程中，培育学生思维的周密性品质；在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维能力，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础．情感、态度与价值观激发学生的学习热情和学生的求知欲，培育严谨的学习态度和踊跃进取的精神．重点难点教学重点：明白得充要条件的概念；学会对命题进行充要性的判定；教学难点：充分性与必要性的推导顺序及充要条件的证明．教学过程引入新课温习提问：1．什么叫做p是q的充分条件？什么叫做q是p必要条件？请说出“p q”的含义．2．指出以下各组命题中，p q 及q p是不是成立：(1)p：内错角相等；q：两直线平行．(2)p：三角形三边相等；q：三角形三个角相等．活动设计：让学生稍作试探，以提问的形式回忆相关知识．学情预测：对问题1，通过上节课的学习学生能够顺利回答充分条件与必要条件的概念，但对符号“p q”的含义，学生可能回答不够严谨，教师给予补充完善．活动结果：(1)一样的，“假设p，那么q”为真命题，，咱们就说，由p可推出q，记作p q，而且说p是q的充分条件；同时q是p的必要条件．“p q”的含义指由p通过推理能够得出q.(2)问题2中的两个命题都有p q及q p成立，即原命题和逆命题都是真命题．设计用意：引导学生从熟悉的知识动身，发觉新问题、新知识．探讨新知提出问题问题1：请同窗们举出形如“假设p，那么q”形式的命题的例子，且原命题和逆命题都是真命题．活动设计：学生先口答，教师板书．学情预测：学生的回答可能不满是原命题和逆命题都是真命题的例子，教师要帮忙学生加以甄别．问题2：关于命题“假设p，那么q”，具有p q及q p成立，即原命题和逆命题都是真命题．那么p是q的什么条件？q是p的什么条件呢？活动设计：学生先独立试探，然后学生分小组讨论，教师适时介入全班引导．活动结果：上述问题中，p q，p是q的充分条件，q是p的必要条件．另一方面q p，q是p的充分条件，p是q的必要条件．教师(板书)：充要条件的概念：一样的，若是既有p q，又有q p，就记作p，咱们说，p是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，若是p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．归纳地说，若是p q，那么p与q互为充要条件．设计用意：充要条件的概念与原命题和逆命题真假的判定，和具有“假设p，那么q”形式的命题真假的判定是分不开的，因此充要条件的概念引入结合了具体命题真假的判定，以加深明白得．明白得新知1以下各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；(2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；(3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c.思路分析：要判定p是不是是q的充要条件，就要看p可否推出q，同时看q可否推出p，二者必需同时成立．解：在(1)(3)中，p q，因此(1)(3)中的p是q的充要条件．在(2)中，尽管有p q，可是q p，因此(2)中的p不是q的充要条件．点评：充要条件的判定方式：若是“假设p，那么q”与“假设q，那么p”都是真命题，那么p确实是q的充要条件，不然不是．说明：(1)符号“”叫做等价符号．“p q”表示“p q且q p”；也表示“p 等价于q”．(2)“充要条件”有时还能够改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”“仅当”表示“必要”．巩固练习对任意实数a，b，c，给出以下命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的个数是…()A．1 B．2 C．3 D．4答案：B提出问题：在“假设p，那么q”形式的命题中，有的p是q的充分条件，有的p既是q的充分条件又是必要条件，可否对存在的各类情形作分类？对存在的各类情形结合下面的试探题加以说明．试探：以下各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：x是6的倍数，q：x是2的倍数；(2)p：x是2的倍数，q：x是6的倍数；(3)p：x是2的倍数，也是3的倍数，q：x是6的倍数；(4)p：x是4的倍数，q：x是6的倍数．活动设计：学生随着教师的引导，试探问题、回答下列问题、合理地对数学命题进行分类．学情预测：学生踊跃试探，结合试探题进行分类，但分类标准不唯一，可能显现多种分类方式，现在教师结合试探题踊跃引导．活动结果：分析总结取得四种情形(1)p是q的充要条件；(即p q)(2)p是q的充分但没必要要条件；(即p q且q p)(3)p是q的必要但不充分条件；(即p q且q p)(4)p是q的既不充分也没必要要条件．(即p q且q p)设计用意：通过以上这些问题的讨论，能够进一步加深对充分条件、必要条件、充要条件的明白得．运用新知2已知：⊙O的半径为r，：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．思路分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要别离证明充分性(p q)和必要性(q p)即可．证明：如下图，作OP⊥l于点P，那么OP＝d.(1)充分性(p q)：假设d＝r，那么点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)△OPQ中，OQ>OP＝r.因此，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙⊙O相切．(2)必要性(q p)：假设直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，那么OP⊥l.因此d＝OP＝r.点评：(1)证明充要条件时，既要证明原命题成立，又要证明逆命题成立．(2)证明原命题成立，即证明命题条件的充分性；证明原命题的逆命题成立，即证明命题条件的必要性．(3)证明充要条件时，第一要明确命题的条件和结论别离是什么，即命题的要求是什么．变练演编3判定以下各组命题中，p是q的什么条件：(1)p：x>5；q：x>－1；(2)p：x>－1；q：x>5；(3)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x－2＝0；(4)p：x ＝±1；q：x2－1＝0.思路分析：依照充分条件、必要条件、充要条件的概念，一一进行判定．解：(1)p是q的充分但没必要要条件；(2)p是q的必要但不充分条件；(3)p是q的必要但不充分条件；(4)p是q的充要条件．点评：四种“条件”的情形反映了命题的条件与结论之间的因果关系，因此在判按时应该：(1)确信条件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推出结论，从结论推出条件(方式有：直接证法或间接证法)；(3)确信条件是结论的什么条件；(4)充要性包括：充分性p q，必要性q p，这两个方面缺一不可．提出问题：试探以下问题：(1)将例3的第(3)题p：(x－2)(x－3)＝0；q：x－2＝0中的所有“＝“换成“＞”，会有如何的结果？(2)同上，如假设换成“≠”会有如何的结果？活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，将所有发觉的结果一一列举，熟练充要条件的判定方式．活动结果：(1)p 是q 的既不充分也没必要要条件．(2)p 是q 的充分但没必要要条件．达标检测1．假设集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件2．以下各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m ＜－2或m ＞6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点．②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f(x)是偶函数． ③p ：cosα＝cosβ；q ：tanα＝tanβ.④p ：A ∩B ＝A ；q ：U B U A.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．有限集合S 中元素的个数记做card(S)，设A ，B 都为有限集合，给出以下命题： ①A ∩B ＝的充要条件是card(A ∪B)＝card(A)＋card(B)；②A B 的必要不充分条件是card(A)≤card(B)；③A B 的充分没必要要条件是card(A)≤card(B)；④A ＝B 的充要条件是card(A)＝card(B)．其中真命题的序号是( )A ．③④B ．①②C ．①④D ．②③答案：课堂小结1．知识收成：(1)充要条件的概念：假设p q 且q p ，那么p 是q 的充要条件．(2)判定p 是q 的什么条件，不仅要考查p q 是不是成立，还要考查q p 是不是成立．2．方式收成：(1)判定p q 是不是成立，方式1：判定假设p 那么q 形式命题的真假．方式2：假设p 那么q 形式命题真假难判按时，判定其逆否命题的真假．方式3：集合的观点．(2)证明充要条件，需证明充分性(p q)和必要性(q p)．3．思维收成：体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，养成严谨缜密的思维适应．布置作业讲义习题 A 组 3(2)(4)，4补充练习基础练习1．设M ，N 是两个集合，则“M ∪N ≠”是“M ∩N ≠”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又没必要要条件2．设p ，q 是两个命题，p ：log 12(|x|－3)＞9，q ：x 2－56x ＋16＞0，那么p 是q 的…( ) A ．充分而没必要要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件3．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件4．设集合M ＝{x|0＜x ≤3}，N ＝{x|0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件答案：拓展练习5．设p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，问(1)s 是r 的什么条件？(2)p 是q 的什么条件？答案：(1)s 是r 的充要条件；(2)p 是q 的必要条件．设计说明设计思想由于这节课概念性、理论性较强，因此要多借助学生熟悉的实例去帮忙学生明白得概念；另外本节用符号语言表述数学命题也增加了学习的难度，要在用的进程中，慢慢提高学生对数学语言、符号语言的转换能力．设计用意用类比的方式，将有些概念进行类比，以便更好地明白得和运用；同时还要用联系的观点去熟悉相关知识，用集合的观点去明白得相关概念，以此提高学生分析问题和解决问题的能力．设计特点引导学生之前面学习的“充分条件”和“必要条件” 动身，对新知有所熟悉．结合学生熟知的原命题与逆命题真假的判定归纳出新知识的特点，同时在应用新知的进程中，将所学的知识层次化，体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，感受对立统一思想，培育良好的思维品质．备课资料备选例题1．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋mx －1和点A(3,0)，B(0,3)．求证：抛物线C 与线段AB有两个不同的交点的充要条件是3＜m ≤103. 思路分析：要证p 是q 的充要条件，只需要别离证明充分性(p q)和必要性(q p)即可．解：(1)必要性：由已知得，线段AB 的方程为y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)．由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，因此方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋mx －1，y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)(*)有两个不同的实数解．消元得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0(0≤x ≤3)．设f(x)＝x 2－(m ＋1)x ＋4，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(m ＋1)2－4×4＞0，f (0)＝4≥0，f (3)＝9－3(m ＋1)＋4≥0，0＜m ＋12＜3，解得3＜m ≤103. (2)充分性：当3＜m ≤103时， x 1＝m ＋1－(m ＋1)2－162＞m ＋1－(m ＋1)22＝0，因此x 1＞0. x 2＝m ＋1＋(m ＋1)2－162≤103＋1＋(103＋1)2－162＝3，因此x 2≤3. 因此方程x 2－(m ＋1)x ＋4＝0有两个不等的实根x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2≤3，方程组(*)有两组不同的实数解．因此，抛物线y ＝－x 2＋mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件是3＜m ≤103. 点评：证明充要条件时，要分清充分性是证明如何一个式子成立，即当3＜m ≤103时，证明抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点；必要性是证明如何一个式子成立，即当抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点时，证明：m 的取值范围是3＜m ≤103. 2．已知p ：|1－x －12|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．思路分析：p 是q 的必要而不充分条件，即p 是q 的充分而没必要要条件，从集合的角度可知集合P 是集合Q 的真子集．解： (法一)：∵p 是q 的必要而不充分条件，∴q 是p 的必要而不充分条件．∴p 是q 的充分而没必要要条件．由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m(m>0)，∴q ：Q ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．又由|1－x －13|≤2，得－2≤x ≤10. ∴p ：P ＝{x|－2≤x ≤10}．又∵p 是q 的充分而没必要要条件，∴P Q ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ≥10. 解得m ≥9.(法二)：由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m.∴q ：A ＝{x|x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}由|1－x －13|≤2，得－2≤x ≤10. ∴p ：B ＝{x|x ＞10或x ＜－2}．∵p 是q 的必要而不充分条件，∴A B ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.点评：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一样地，在涉及求字母参数的取值范围的充要条件问题中，常常要利用集合的包括、相等关系来考虑．(设计者：赵海彬)。

2021年高考数学总复习：充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

解析：因为
x x－1
＞0，所以x＜0或x＞1，所以
x x－1
＞0的否
定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x0＞0,0≤x0≤1，故选B.
答案：B
返回
2．已知命题p：∃m0∈R ，f(x)＝2x－m0x是增函数，则綈p为( )
A．∃m0∈R ，f(x)＝2x－m0x是减函数 B．∀m∈R ，f(x)＝2x－mx是减函数 C．∃m0∈R ，f(x)＝2x－m0x不是增函数 D．∀m∈R ，f(x)＝2x－mx不是增函数
真特称命题
假
存在一个对象使命题真所有对象使命题假
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判断方法二否定为假否定为真否定为假否定为真
2.全称命题与特称命题的否定 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． (2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
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考点二充分条件、必要条件的判定 [师生共研过关]
“0<x<2”．由“0<x<5”不能推出“0<x<2”，但由“0<x<2”可以推出
“0<x<5”，所以“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要不充分条件．故选B.
(2)∵ a>0，b>0，若a＋b≤4，∴ 2 ab≤ a＋b≤4.∴ ab≤4，此时
充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这
与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a>0，b>0时，“a＋
b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
(3)|―A→B ＋―A→C |＞|―B→C |⇔|―A→B ＋―A→C |＞|―A→C －―A→B |⇔―A→B 2＋―A→C 2＋

充分条件与必要条件知识点

充分条件与必要条件知识点充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象而成为学生难于理解的内容,下面是高一数学充分条件与必要条件的知识点.（一）充分条件、必要条件和充要条件1.充分条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,则条件A是B成立的充分条件；2.必要条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件；3.充要条件：如果有事物情况A,则必然有事物情况B；如果没有事物情况A,则必然没有事物情况B,A就是B的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足A,必然B；不满足A,必然不B,则A 是B的充分必要条件；反之，如果有事物情况B,则必然有事物情况A；如果没有事物情况B,则必然没有事物情况A,B就是A的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足B,必然A；不满足B,必然不A,则B是A的充分必要条件.即A可以推导出B,且B也可以推导出A.或者说，如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，即AoB,则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件.（二）充分条件、必要条件与充要条件的判断命题“若…，则…”，其条件与结论之间的逻辑关系如下，其中符号“n”叫做推出，符号“会”叫做推不出或叫做不能推出，符号“o”叫做互相推出.1.若AnB且B弃A成立，则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件；2.若AnB且B=^>Λ成立，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件;3.若A=母B且BnA成立，则B是A成立的充分条件，A是B成立的必要条件；4.若A=B且B=A成立，即A=B成立，则A、B互为充要条件.证明A是B的充要条件，分两步：①充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；②必要性：把B当作己知条件，结合命题的前提条件推出A.5.若A弃B且B=M>A成立，则A是B的既不充分也不必要条件.6.若B=e>A且A=e>B成立，则B是A的既不充分也不必要条件.即：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件；能由结论推出条件，但由条件推不出结论；此条件为必要条件；既能由结论推出条件，又能有条件推出结论，此条件为充要条件；由条件推不出结论，由结论推不出这个条件，这个条件就是即不充分也不必要条件;充分条件、必要条件的常用判断法L定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断BnA或者AnB是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可.2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断.3集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:若AGB,则P是q的充分条件,q是P的必要条件；若A3B,则P是q的必要条件，q是P的充分条件；i A=B,则P是q的充要条件；若A不包含于B,且B不包含于A,则P是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看，若p：χ∈Λ,q：x∈B.①若AqB,则P是q的充分条件，q是P的必要条件；②若A是B的真子集，则P是q的充分不必要条件；③若A=B,则p、q互为充要条件；④若A 不是B的子集且B不是A的子集，则P是q的既不充分也不必要条件.4.充分必要条件的常见集合表示：设A、B是两个集合.①如果A是B的充分条件，那么满足A的必然满足B,表示为AqB；②如果A是B的必要条件，那么满足B的必然满足A,表示为B G A,或A33；③如果A是B的充分不必要条件，那么A是B的真子集；④如果A是B的必要不充分条件，那么B是A的真子集；⑤如果A是B的充分必要条件，那么A、B等价，表示为A=B.5.充分条件与必要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.充分条件与必要条件的内涵.1.充分条件:指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果.充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的内涵.如母亲与女儿的关系属于亲情关系吗？答案是必然属于.2.必要性条件:事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行.如亲情关系与母女关系，亲情关系符合母女关系的一种现象表达，但不能推出亲情关系属于母女关系.题型解释充分条件与必要条件相关知识例1：（I）A"三角形三条边相等”；B二“三角形三个角相等”；（2）A“某人触犯了刑律”；B二”应当依照刑法对他处以刑罚”；（3）A“付了足够的钱"；B二“能买到商店里的东西”.解：A都是B的充分必要条件：其一，A必然导致B；其二，A是B发生必需的.例2：（I）A.天下雨了，B.地面一定湿；（2）A.地面一定湿,B.天下雨了解：天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B且B=e>A成立，所以A是B充分条件；（2）天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B>B且BnA成立，以B是A必要条件；例3：已知P:xi,X2是方程x>5χ-6=O的两根，Q:X I+X2=-5,则P是Q的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：∙.∙χι,X2是方程X2+5X-6=0的两根，,Xi,X2的值分别为1,-6,1∙X I+X2=1-6=-5,故选A.例4：P是Q的充要条件的是（）A.P:3x+2>5,Q：-2x-3>-5B.P:a>2,b<2,Q:a>bC.P:四边形的两条对角线互相垂直平分，Q:四边形是正方形D.Pra≠O,Q:关于X的方程ax=l有唯――解解：对于A,P:3x+2>5=>x>l,Q L2X-3>-5=>X V1,,P推不出Q,Q推不出P,P是Q既不充分也不必要条件；对于B,P:a>2,b<2zz>Q:a>b；但Q推不出P,故P是Q的充分不必要条件；对于C,若“两条对角线互相垂直平分”成立今“四边形是正方形"；反之，若“四边形是正方形”成立n“两条对角线互相垂直平分”成立，故P是Q的必要条件；对于D,P:a¥0QQ:关于X的方程ax=l有唯一解，故P是Q的充分必要条件；故选D.例5：若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A 成立的（）A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：TA是B的充分条件，,A=B①，YD是C成立的必要条件，,CnD②，C<z>B③，由①③得AnC④，由②④得A=D,,D是A成立的必要条件，故选B.例6：设命题甲为：0<x<5,命题乙为：∣χ-2∣V3,那么甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：解不等式|x-2V3,得TVxV5,「0VxV5,-l<x<5,但TVxV5,0VxV5,二•甲是乙的充分不必要条件，故选A.说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A,条件乙为x∈B.当且仅当A=B时•，甲为乙的充要条件.例7：给出下列各组条件：（l）P：ab=O,Q:a2+b2=0；⑵P:xy2O,Q:∣x∣+∣y∣=∣x+y|；（3）P:m>0,Q：方程χ2-x-iTFO有实根；（4）P:IXTl>2,Q:x<-1.其中P是Q的充要条件的有（）A.1组B.2组C.3组D.4组解：（DP是Q的必要条件；（2）P是Q充要条件；（3）P是Q的充分条件；（4）P是Q的必要条件，故选A.。

数学充分条件和必要条件知识点

数学充分条件和必要条件知识点数学充分条件和必要条件知识点充分条件和必要条件是中学数学中的重要概念,是透彻理解定理含义,深刻认识解题步骤的有力工具,在数学中有着广泛的应用。

这些概念寓意深刻,较为抽象,常常成为教学中的难点。

以下店铺搜集整合了数学充分条件和必要条件相关知识点，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。

数学充分条件和必要条件知识点如下：一、充分条件和必要条件当命题“若 A 则B”为真时，A 称为 B 的充分条件，B 称为 A 的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判断法1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B 是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。

3.集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆ B，则p是q的充分条件。

若A⊇B，则p是q的必要条件。

若A=B，则p是q的充要条件。

若A ⊈B，且B⊉A，则p是q的既不充分也不必要条件。

三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。

一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

充分条件与必要条件的解题技巧

充分条件与必要条件1. 定义：对于"若p 则q"形式的命题：①若pq,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件； ②若p q,但q p,则p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件； ③若且≠>,则是成立的必要不充分条件；④若既有p q,又有q p,记作p q,则p 是q 的充分必要条件〔充要条件〕. ⑤若≠>且≠>,则是成立的既不充分也不必要条件．从集合的观点上关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断、相应的集合关系．建立与、相应的集合,即成立,成立．若,则是的充分条件,若,则是成立的充分不必要条件；若,则是的必要条件,若,则是成立的必要不充分条件；若,则是成立的充要条件；若A B 且B A,则是成立的既不充分也不必要条件．例1已知p ：x 1,x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根,q ：x 1＋x 2＝－5,则p 是q 的[ ]A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解∵x 1,x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根∴x 1,x 2的值分别为1,－6,∴x 1＋x 2＝1－6＝－5．因此选A ．变式1设命题甲为：0＜x ＜5,命题乙为|x －2|＜3,那么甲是乙的[ ]A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2 p 是q 的充要条件的是[ ]A ．p ：3x ＋2＞5,q ：－2x －3＞－5B ．p ：a ＞2,b ＜2,q ：a ＞bC ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分,q ：四边形是正方形D ．p ：a ≠0,q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解解对A ．p ：x ＞1,q ：x ＜1,所以,p 是q 的既不充分也不必要条件；对B ．p q 但q p,p 是q 的充分非必要条件；q p ⇒p q p q p q q p p q p q p q (){:p A x p x =}(){:q B x q x =}A B ⊆p q AB p q B A ⊆p q BA p q AB =p q ⊆/⊇/p q对C ．p q 且q p,p 是q 的必要非充分条件；说明：当a ＝0时,ax ＝0有无数个解例3〔年〕""是""的〔〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分解：当时,,即．反之,当时,有, 或,即≠>．综上所述,""是""的充分不必要条件,故选A ．变式3 ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[ ]A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0例4〔2008##>设集合,,那么""是""的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析：本题条件与结论的形式都是集合形式,只要理清集合之间的关系,按照充要条件与集合的对应关系即可作出判断．解：∵,∴.故选A ．例5．已知p ：40x m +<,q ：220x x -->,若p 是q 的一个充分不必要条件,求m 的取值范围解：由p ：40x m +<得4m x <-；由q ：220x x -->得1x <-或2x > ∵p 是q 的一个充分不必要条件,∴只有p ⇒q 成立,∴14m -≤-,∴4m ≥ 变式5已知命题：,命题：,若￢是￢的充分不必要条件,##数的取值范围．例6已知命题：有两个不等的负根,命题：1020092()6k k Z παπ=+∈1cos 22α=2()6k k Z παπ=+∈1cos 2cos 4cos 332k ππαπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭p q ⇒1cos 22α=()2236k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈()2236k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈q p 2()6k k Z παπ=+∈1cos 22α=01x A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭{}03B x x =<<m A ∈m B ∈{}01A x x =<<A B p 1123x --≤q ()222100x x m m -+-≤>p q m p 210x mx ++=q ()2442x m x +-+无实数根．若命题与命题有且只有一个为真,##数的取值范围．分析：对命题和命题的条件进行化简可得的范围,再对、的真假进行讨论,得到参数成立的条件,利用交集求出的取值范围．解：∵方程有两个不等的负根,∴,解得. ∵方程无实数根, ∴,解得. 若命题为真,命题为假,则,得. 若命题为假,命题为真,则,得.综上所述,实数的取值范围为或．变式6命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x R ∈恒成立；命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增若p q ∨为真,而p q ∧为假,##数a 的取值范围.[解释]变式1解解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5．∵0＜x ＜5－1＜x ＜5,但－1＜x ＜50＜x ＜5∴甲是乙的充分不必要条件,选A ．变式3解：用排除法解之．当a ＝1时,方程有负根x ＝－1,当a ＝0时,x ＝当a ≠0时综上所述a ≤1．即ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1．变式5解：记, ∵￢是￢的充分不必要条件, ∴是的充分不必要条件,即. ∴,解得.所以实数的取值范围是p q m p q m p q m 210x mx ++=2400m m ⎧->⎨-<⎩2m >()2442x m x +-+10=()2162160m --<13m <<p q 213m m m >⎧⎨≤≥⎩或3m ≥p q 213m m ≤⎧⎨<<⎩12m <≤m 12m <≤3m ≥{}1122103x A x x x ⎧-⎫=-≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭p q q p BA 012110m m m >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩03m <<m 03m <<变式6．解：命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x R ∈恒成立；pT ⇒()22240a ∆=-<,即22a -<<命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增；qT ⇒1a >∵p q ∨为真,而p q ∧为假,∴pq 一真一假p 真q 假时,pT ⇒22a -<<；qF ⇒1a ≤;∴21a -<≤p 假q 真时,pF ⇒22a a ≤-≥或；qF ⇒1a >;∴2a ≥。

充分条件与必要条件

假设某个条件不是必要的，然后推导出与已知事实或逻辑相矛盾的结论，从而证明该条件是必要的。
03
充分条件与必要条件的转化
转化原理与方法
原理
充分条件和必要条件之间存在逻辑关系，当某一条件成为另一条件的充分条件时，另一条件则成为该条件的必要条件。通过逻辑推理，可以实现充分条件与必要条件的转化。
方法
不充分性
必要条件虽然重要，但它本身并不足以保证结果的实现。还需要其他条件的配合。
逻辑关系
在逻辑上，必要条件与结果之间存在“只有...才...” 的关系。
必要条件的判断方法
分析法
通过对结果的产生过程进行详细分析，找出其中的关键环节和因素，进而确定必要条件。
反证法
归纳法
从一系列具体事例中归纳出它们的共性特征，作为必要条件。这种方法具有一定的或然性，需要注意反例的存在。
02
必要条件
必要条件的定义
必要条件是指在某个逻辑命题中，如果缺少了该条件，则该命题不成立。换句话说，必要条件是某个结果发生的先决条件，没有它结果就不会发生。
在数学逻辑中，必要条件通常表示为：如果P则Q，其中P是Q的必要条件。这意味着，如果Q为真，则P必须也为真。
必要条件的性质
必要性
必要条件是不可或缺的，缺少了它，相应的结果便无法实现。
充分条件与必要条件
2024-01-23
目录
• 充分条件与必要条件概述 • 必要条件 • 充分条件与必要条件的转化 • 充分条件与必要条件在数学中的应用 • 充分条件与必要条件在生活中的应用
01
充分条件与必要条件概述
定义与概念
充分条件
如果A发生，则B一定发生，即A 是B的充分条件。

充分条件和必要条件教案

充分条件和必要条件【教学目标】知识与技能：通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用.过程与方法：充要条件是重要的数学概念．它主要讨论命题的条件和结论的关系．通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．情感态度与价值观：通过问题情境的引入渗透爱国主义教育。

通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

【教学重点】充分条件、必要条件和充要条件的概念．【教学难点】充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用.【教学方法】自主、合作、探究【教学过程】创设情境激发求知（多媒体展示）情境一当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”. 你想一想这个时候你的妈妈还会补充说你是她的孩子吗？情境二播放音乐《没有共产党就没有新中国》，让学生说出其歌名.学生活动探究新知判断下列命题是真命题还是假命题（1）若，则；（2）若，则；（3）两个全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形.（上述三个问题的设计意图为：①复习巩固上节课知识；②顺其自然，引入本节课的内容。

）生：（1）、（3）是真命题，（2）、（4）是假命题．（对于命题“若则”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假呢？看能不能推出，如果能推出，则原命题是真命题，否则就是假命题．对于命题“若则”，如果由经过推理能推出，也就是说，如果成立，那么一定成立．换句话说，只要有条件就能充分地保证结论的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作．）模型构建数学理论1.充分条件与必要条件定义（板书）p ，那么就说，p 是q 的充分条件(sufficient 一般地，如果已知qcondition)，q 是p 的必要条件(necessary condition)．师：请用充分条件与必要来叙述上述（1）的条件与结论之间的关系．（学生口答）生：“”是“”成立的充分不必要条件，“”是“”成立的必要不充分条件.运用理论解决问题例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：(1) p：x=y；q：x2=y2.（2）p：三角形ABC的三条边相等；q：三角形ABC的三个角相等．解: (1) x=y是x2=y2的充分不必要条件，x2=y2是x=y的必要不充分条件.(2) p是q的充分条件且是必要条件，q是p的充分条件且是必要条件.(设计意图:①对所学理论直接应用;②引入充要条件的概念.)模型构建数学理论 2．充要条件定义（板书）一般地，如果是的充分条件，又是的必要条件，则称是的充分必要条件，简称充要条件( sufficient and necessary condition)记作.师：请大家总结出判断充分、必要条件的一个算法. 模型构建数学理论3．用算法表示判断充分、必要条件的基本步骤(板书) Step1:认清条件和结论；Step2:考察q p ⇒和p q ⇒的真假； Step3:下结论. 运用理论解决问题例2.用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填写下表B A 是B 的什么条件 B 是的什么条件是有理数是实数、是奇数是偶数是4的倍数是6的倍数（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；②一定能推出，而不一定推出，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；③、是奇数，那么一定是偶数；是偶数，、不一定都是奇数（可能都为偶数），所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；④表示或，所以是成立的必要非充分条件；⑤由交集的定义可知且是成立的充要条件；⑥由知且，所以是的充分非必要条件；⑦由知或，所以是，成立的必要非充分条件；⑧易知“是4的倍数”是“是6的倍数”的既非充分又非必要条件；(设计意图：通过对上述几个简单问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．)例3.请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：(1) “|x-2|<3”是“0<x<5”的＿＿＿＿＿＿条件；(2)“x2≤0”是“x≥0”的条件;（3）“m是4的倍数”是“m是6倍数” 的条件.分析：(1)应首先对|x-2|<3进行化简,然后再进行判断,还可以从集合的角度加以理解;(必要不充分条件)(2)可以直接判断,更好的方法是考察它的逆否命题;(充分不必要条件)(3)很容易直接判断.(既不充分也不必要条件)(设计意图：①对所学理论进一步应用;②通过解决本题让学生总结出判断充分、必要条件的一般方法和策略.)模型构建数学理论4. 判别充分、必要条件方法和策略(板书) （1）先简化命题; （2）集合法;（3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断; (4) 否定一个命题只要举出一个反例即可. 运用理论巩固练习基础训练（感受、理解）课本（苏教版选修1-1）第8页练习l 、2.（基础训练是所学知识的直接、简单应用，意在使学生理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，由学生口答完成.）能力训练（思考、运用）1.用今天所学的知识解决刚开始提出的三个情境问题;解析：①“这是我妈妈”和“我是妈妈的孩子”互为充要条件，所以不需要补充说了；②共产党是新中国成立必须具备的条件；2．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（）A.//,//a b ααB.//,//,//a b αβαβC. ,,//a b αβαβ⊥⊥D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥ 3．在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >，B A m cos cos :<，B A n tan tan :>问:p 是q 的什么条件？p 是m 的什么条件？p 是n 的什么条件？分析：第2题是立体几何中常见的题目的变形问法，是对立体几何中有关定理和性质的变相考查，稍加分析可知，本题应选C.第3题是对正弦定理、三角函数的单调性的考查.当然本题的第3个问也可以用举反例的方法加以判别.这两道题与前面所学的知识有效地进行了联系和沟通.）（师生互动，共同完成）解：1、C ；2、p 是q 的充要条件，p 是m 的充要条件，p 是n 的既不充分也不必要条件.（能力训练是知识的变形应用和逆向思维训练，深化概念，发展思维，使学生能比较深刻地理解充分条件、必要条件和充要条件的本质.）创新提高（探究、拓展）1．是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？ 2．是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？解：欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12mx x x x <-⊆<-或3}x >，则只要12m -≤-即2m ≥，故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2230x x -->的充分条件．（2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12mx x x x <-⊇<-或3}x >，则这是不可能的，故不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．（创新提高题有一定的难度，供部分有余力的学生做，作为选做题）提炼小结反思提高（教师启发学生完成，必要时给予补充）（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念. （2）判断充分、必要条件的一个算法： ①认清条件和结论；②考察q p ⇒和p q ⇒的真假； ③下结论.（3）判别方法和策略： ① 先简化命题；②集合法；③将命题转化为等价的逆否命题后再判断;④否定一个命题只要举出一个反例即可.布置作业合情推理【教学目标】掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

第1章第2讲充分条件与必要条件

第一章集合、常用逻辑用语、不等式
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(2)方法一：由(1)若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 0≤m≤3，
当 m＝0 时，S＝{1}，满足题意；当 m＝3 时，S＝{x|－2≤x≤4}满
足题意，故 m 的取值范围为[0，3]．
方法二：若 x∈P 是 x∈S 的必要且充分条件，则 P＝S，即
第一章集合、常用逻辑用语、不等式
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(2)“1x>1”是“ex－1<1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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(A )
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[ 解析 ] (1) ① 显然 x ∈ (A ∪ B) 不一定有 x ∈ B ，但 x ∈ B 一定有 x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．
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题组一走出误区
1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．
(√ )
(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B. ( √ )
(3)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件． ( √ )
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(A )
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6．(2021·浙江，3，4分)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是
“a＝b”的
(B )
A．充分不必要条件

充分条件与必要条件

充分条件与必要条件以下是关于充分条件与必要条件，希望内容对您有帮助，感谢您得阅读。

教学目标（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．教学建议（一）教材分析1．知识结构首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识．2．重点难点分析本节的重点与难点是关于充要条件的判断．（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系．（2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该：①首先分清条件是什么，结论是什么；②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方·法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；③最后再指出条件是结论的什么条件．（3）在讨论条件和条件的关系时，要注意：①若，但，则是的充分但不必要条件；②若，但，则是的必要但不充分条件；③若，且，则是的充要条件；④若，且，则是的充要条件；⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件．（4）若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．①若，则是的充分条件；显然，要使元素，只需就够了．类似地还有：②若，则是的必要条件；③若，则是的充要条件；④若，且，则是的既不必要也不充分条件．（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．·（二）教法建议1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的，要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题．2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．教学设计示例充要条件·教学目标：（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．教学重点难点：关于充要条件的判断教学用具：幻灯机或实物投影仪教学过程设计1．复习引入练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：（1）若，则；（2）若，则；（3）全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；（5）若，则；（6）若方程有两个不等的实数解，则．（学生口答，教师板书．）（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．置疑：对于命题“若，则”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看能不能推出，如果能推出，则原命题是·真命题，否则就是假命题．对于命题“若，则”，如果由经过推理能推出，也就是说，如果成立，那么一定成立．换句话说，只要有条件就能充分地保证结论的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作．2．讲授新课（板书充分条件的定义．）一般地，如果已知，那么我们就说是成立的充分条件．提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．（学生口答）（1）“，”是“”成立的充分条件；（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；（3）“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件．从另一个角度看，如果成立，那么其逆否命题也成立，即如果没有，也就没有，亦即是成立的必须要有的条件，也就是必要条件．（板书必要条件的定义．）·提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．（学生口答）．（1）因为，所以是的充分条件，是的必要条件；（2）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；（3）因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；（4）因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；（5）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；（6）因为“方程的有两个不等的实根”“”，而且“方程的有两个不等的实根”“”，所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件，而且是必要条件．总结：如果是的充分条件，又是的必要条件，则称是的充分必要条件，简称充要条件，记作．·（板书充要条件的定义．）3．巩固新课例1 （用投影仪投影．）BA是B的什么条件B是的什么条件是有理数是实数、是奇数是偶数·是4的倍数是6的倍数（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；②一定能推出，而不一定推出，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；③、是奇数，那么一定是偶数；是偶数，、不一定都是奇数（可能都为偶数），所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；④表示或，所以是成立的必要非充分条件；⑤由交集的定义可知且是成立的充要条件；⑥由知且，所以是成立的充分非必要条件；⑦由知或，所以是，成立的必要非充分条件；⑧易知“是4的倍数”是“是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．）例2 已知是的充要条件，是的必要条件同时又·是的充分条件，试与的关系．（投影）解：由已知得，所以是的充分条件，或是的必要条件．4．小结回授今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础．课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第 35页练习l、2；第36页练习l、2．（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）5．课外作业：教材第36页习题1.8 1、2、3．·。

充分条件、必要条件、充分必要条件

充分条件、必要条件、充分必要条件一．已经学过什么：（一）主要知识：1．有关概念及关系的判定；充分条件必要条件充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件2．充要条件关系的证明．充分性、必要性（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．二．考点分析及考试要求：掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系三．考过什么：（一）.江苏高考四年没有直接考（二）.其他省高考题选录1.（11湖南文）３．"1""||1"x x >>是的条件2.（10上海文）16.“()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的条件3.（10山东文）(7)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的条件4、（09上海）15.”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的条件（三）.近期模拟题选录1.（12苏北四市一检）10、已知222:450,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为2.（12南通一检）设a ＞0，集合A ={（x ，y ）|3,40,20x x y x y a ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥}，B ={（x ，y ）|222(1)(1)x y a -+-≤}．若点P （x ，y ）∈A 是点P （x ，y ）∈B 的必要不充分条件，则a 的取值范围是．四．会怎么考：题型一、单一判断型关键是考察给定的两个条件中，分清哪个是条件，哪个是结论后，再判断是“条件⇒结论”还是“结论⇒条件”？由此判断其条件关系.例1已知条件p:|x+1|＞2,条件q:5x-6＞x 2,则⌝p 是⌝q 的什么条件？解析：记A={x|⌝p}={x||x+1|≤2}={x|-3≤x ≤1},B={x|⌝q}={x|5x-6≤x 2}={x|x ≥3或x ≤2},显然A ⊂≠B ，故⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件.说明：满足条件p 所对应的集合与满足条件⌝p 所对应的集合是互为补集的关系，这里用到了补集的思想.题型二、多重判断型关键是将所有充分(必要)条件有“⇒”、“⇔”和“⇒/”表示，画出它们的关系网络图，再找要求的两个条件之间的互推关系.例2已知p,q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件，q 是s 的充要条件，则p 是q____条件. 解：由题意画出关系网络图，如右图：∴p 是q 的必要条件.题型三、条件证明型关键是要弄清条件和结论之间的关系，分两步证明，即证充分性(由条件推出结论)和必要性(由结论推出条件).例3求证：关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.证明：必要性因为方程ax 2+bx+c=0有一个根为-1，所以x=-1适合方程ax 2+bx+c=0，即a ·(-1)2+b ·(-1)+c=0,也就是a-b+c=0.再证充分性因a-b+c=0，所以a ·(-1)2+b ·(-1)+c=0，也就是x=-1适合方程ax 2+bx+c=0，因此方程ax 2+bx+c=0有一个根为-1.综上所述，命题得证.说明：必须注意“p 是q 的充分而不必要条件”与“p 的充分而不必要条件是q ”这两种语句的区别.前者用数学符号表示即为“p ⇒q ”且“q ⇏p ”,而后者即为“q ⇒p 且p ⇏q ”，这两种表达意义相反，必须搞清楚.题型四、条件探求型探求充要条件问题一般有两种处理方法，一是将题意等价转化化简求得；二是先由题意求出条件，再证明充分性.例4设a 、b 、c 为△ABC 的三边，求方程x 2+2ax+b 2=0与x 2+2cx-b 2=0有公共根的充要条件. 解析：先由题意求出条件：设α是两方程的公共根，显然α≠0，则α2+2a α+b 2=0…①，α2+2c α-b 2=0…②，①+②，得2α2+2α(a+c)=0,∴α=-(a+c),代入①，得(a+c)2-2a(a+c)+b 2=0,即a 2=b 2+c 2,以上求条件的过程事实上就是必要性的证明过程.再证明充分性：∵a 2=b 2+c 2,∴方程x 2+2ax+b 2=0可化为x 2+2ax+a 2-c 2,它的解为x 1=-(a+c),x 2=c-a,同理方程x 2+2cx-b 2=0可化为x 2+2cx+c 2-a 2，它的解为x 3=-(a+c),x 4=a-c,∵x 1=x 3,∴方程x 2+2ax+b 2=0与x 2+2cx-b 2=0有公共根.综上所述得，方程x 2+2ax+b 2=0与x 2+2cx-b 2=0有公共根的充要条件是a 2=b 2+c 2.题型五、条件应用型此类题型主要是根据两个条件的条件关系，探求满足条件的相关知识.例5已知p:x 2-8x-20≤0,q:|x-1|≤m,求m 的取值范围，使p 为q 的必要条件.解析：记A={x|p},B={x|q}，要使p 为q 的必要条件只要B ⊆A ，而A={x|-2≤x ≤10}.(1)当m ＜0时，B=∅，满足B ⊆A.(2)当m ≥0时，B={x|1-m ≤x ≤m+1},要使B ⊆A ，只要1-m ≥-2且1+m ≤10，解得0≤m ≤3.综合(1)(2)知，当m ≤3时，p 为q 的必要条件.例6已知p:|1﹣x-13|≤2,q:x 2-2x ＋1-m 2≤0(m ＞0),若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.解：由|1﹣x-13|≤2，得-2≤x ≤10,∴┐p:x ∈A={x|x ＜-2或x ＞10}, 由x 2-2x+1-m 2≤0，得1-m ≤x ≤1+m(m ＞0),∴┐q:x ∈B={x|x ＜1-m 或x ＞1+m}(m ＞0),由┐p是┐q 的必要而不充分条件，即┐p ⇒┐q 知A ⊇B ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞01-m ≤-2⇒m ≥31+m ≥10故m ≥9为所求的范围.五．巩固练习1.（12无锡调研）2．已知复数i a z 3)4(2+-=，R a ∈，则“2a =”是“z 为纯虚数”的_____ ▲ 条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）2、（08安徽）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的条件3、（08陕西） “18a =”是“对任意的正数x ，21a x x+≥”的条件 4、（08上海）给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的条件必要非充分【解析】直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直，即充分性不成立；5．已知q p m m x x q x p ⌝⌝>≤-+-≤--是若),0(012:,2311:22的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围。

怎样理解充分条件、必要条件和充要条件

怎样理解充分条件、必要条件和充要条件张万库充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。

怎样理解这三个概念呢1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。

谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。

2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，有了条件A ，结论B 一定成立（A B ⇒）；没有条件A ，结论B 未必不成立，也有可能成立。

这样的条件A 就是结论B 的充分条件。

例如，在命题“若x>0，则x 20>”中，有了条件“x>0”，就一定有结论“x 20>”成立。

把条件“x>0”换成“x <0”或“x ≠0”，仍有结论“x 20>”成立。

因此条件“x >0”是结论“x 20>”的充分条件。

教材中由“p q ⇒”定义“p 是q 的充分条件”，说的就是命题“若p 则q ”中条件p 对于结论q 成立的作用。

3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，没有条件A ，结论B 一定不成立（⌝⇒⌝A B ）；但是有了条件A ，结论B 却未必一定成立。

这样的条件A 就是结论B 的必要条件。

例如，在命题“若x R x Q ∈∈，则”中，没有条件“x Q ∈”，就一定不会有结论“x Q ∈”。

但是有了条件“x R ∈”，却未必有结论“x R ∈”，还有可能是x C Q R ∈。

因此条件“x R ∈”是结论“x Q ∈”的必要条件。

利用“⌝⇒⌝A B ”判断条件A 是结论B 的必要条件，有时是很困难的。

我们可以利用“⌝⇒⌝A B ”的等价命题“B A ⇒”来判断，但一定要注意A 还是条件，B 还是结论，即若由结论B 能推出条件A ，则条件A 对于结论B 的成立是必要的。

知识讲解_充分条件与必要条件(经典)

充分条件与必要条件编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件；③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =；(2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点(3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）:1p x =，2:1q x =；【答案】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/， ∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab >（2）p :1>yx , q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1>yx 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】（2015 天津文）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】 (2015 福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B ．类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy ≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y ≠0；②x ≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy ≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ，∴xy ≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy ≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=ac <0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0，则x 1·x 2=ac <0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足100440a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩；若方程有两个负的实根，则必须满足102001440a a a a ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1类型三：充要条件的应用例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p q ⇒，即A B ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

四种条件与集合间的包含关系

四种条件与集合间的包含关系四种条件是指充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件，建立与p 、q 相应的集合，即{}{})(:,)(:x q x B q x p x A p ==四种条件与集合间的包含关系如下：1、充分必要条件若q q p 但,⇒≠>p ，则p 是q 的充分不必要条件。

从集合间的包含关系看B A ⊄例1 已知)0(012:,102:22>≤-+-≤≤-m m x x q x p ，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。

思路点拨：先求不等式的解集，然后根据充分不必要条件的意义建立不等式组求解即可。

解：102:≤≤-x p 设集合{}102≤≤-=x x A由)0(01222>≤-+-m m x x 得)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x)0(11:>+≤≤-∴m m x m q 设集合{})0(11>+≤≤-=m m x m x B的充分不必要条件是p qA B ⊄∴ ⎩⎨⎧≤+->-⎩⎨⎧<+-≥-∴101211012m 1m m m 或解得 33<≤m m 或3≤∴m 又0>m所求实数m 的取值范围为30≤<m2、必要不充分条件若p p q 但,⇒≠>q ，则p 是q 的必要不充分条件。

从集合的包含关系看A B ⊄ 例2 已知0541:,325:2>-+>-x x q x p ，求p 是q 的什么条件？思路点拨：先求不等式的解集，然后根据p 、q 相应的集合间的包含关系确定p 是q 的什么条件。

解：由325>-x 得 325325-<->-x x 或511:-<>∴x x p 或记⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>=511x x x A 或由032032122>-+>-+x x x x 得即0)3)(1(>+-x x{}31-<>=∴x x x B 或A B ⊄∴∴P 是q 的必要不充分条件3、充要条件若p q q p ⇒⇒且,则p 是q 的充要条件。

财经应用数学3.2 充分条件、必要条件、充要条件

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第1章 第2讲 充分条件与必要条件

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