充分条件、必要条件、充要条件
充分条件、必要条件、充要条件题型解析
ʏ朱珠充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象性而成为同学们难以理解的内容㊂下面就这方面的题型进行举例分析㊂一㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的判断充分条件与必要条件:若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒/q,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件㊂一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q,则p是q的充分必要条件,简称充要条件㊂概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件㊂判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q,及q⇒p这两个命题的正确性,若p⇒q真,则p是q成立的充分条件;若q⇒p 真,则p是q成立的必要条件㊂要否定p与q不能相互推出时,举出一个反例即可㊂例1(1)已知实系数一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0),则下列结论正确的是()㊂①Δ=b2-4a cȡ0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4a c=0是这个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4a c>0是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4a c<0是这个方程没有实根的充要条件㊂A.③④B.②③C.①②③D.①②④(2)若p:AɘB=A,q:∁U B⊆∁U A,则p 是q的()㊂A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析:对于(1),利用Δ=b2-4a c判断方程根的情况,当Δ=0时,一元二次方程有两个等根;当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的根;当Δ<0时,一元二次方程没有实数根㊂对于(2),画出V e n n图(如图1),结合图形,可帮助求解㊂图1解:(1)Δȡ0⇔一元二次方程a x2+b x+ c=0(aʂ0)有实根,①正确㊂Δ=0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根,②正确㊂Δ>0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0 (aʂ0)有实根,但a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根⇒/Δ>0,③错误㊂Δ<0⇔一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)无实根,④正确㊂应选D㊂(2)结合图1可得AɘB=A⇔A⊆B⇔∁U A⊇∁U B,即p是q的充要条件㊂应选C㊂充分条件与必要条件的两种判断方法:直接利用定义判断;集合法,将命题p,q分别看作集合A, B,当A⊆B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当A=B时,p,q互为充要条件㊂二㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的应用利用充分条件㊁必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p 与q的关系(充分㊁必要㊁充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,最后求出参数的取值范围㊂例2已知集合A={x|a<x<a+2}, B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围㊂分析:由A是B的充分不必要条件,说0 1知识结构与拓展高一数学2023年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.明集合A 是B 的真子集,即A ⫋B ,由此可得实数a 满足的条件,从而得到实数a 的取值范围㊂解:因为A 是B 的充分不必要条件,所以A ⫋B ㊂又因为A ={x |a <x <a +2},B ={x |x <-1或x >3},所以a +2ɤ-1或a ȡ3,解得a ȡ3或a ɤ-3,所以实数a 的取值范围是{a |a ȡ3或a ɤ-3}㊂充分条件㊁必要条件中的含参数问题,往往是通过集合的包含关系来解答的㊂三㊁充要条件的证明充要条件的证明,可分为充分性和必要性的证明,证明时要注意两种叙述方式的区别:①p 是q 的充要条件,由p ⇒q 是充分性,由q ⇒p 是必要性;②p 的充要条件是q ,由p ⇒q 是必要性,由q ⇒p 是充分性㊂例3 求证:方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等实根的充要条件是0<m <13㊂分析:先找出条件和结论,然后证明充分性和必要性都成立㊂证明:先证充分性(由条件推结论)㊂因为0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0的判别式Δ=4-12m >0,所以方程有两个不相等的实根㊂设方程的两根为x 1,x 2,当0<m <13时,x 1+x 2=2m >0且x 1x 2=3m>0,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,所以0<m <13⇒方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根㊂再证必要性(由结论推条件)㊂若方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,则Δ=4-12m >0,x 1x 2=3m>0,所以0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根⇒0<m <13㊂综上可得,方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13㊂ 证明p 是q 的充要条件,既要证明命题 p ⇒q为真,又要证明 q ⇒p 为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性㊂证明充要条件,即证明原命题和逆命题都成立㊂要注意 p 是q 的充要条件 与 p 的充要条件是q 这两种说法的差异,要分清哪个是条件,哪个是结论㊂1.求证:关于x 的方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂提示:先证明p ⇒q ,即证明必要性,再证明q ⇒p ,即证明充分性㊂设命题p :方程a x 2+b x +c =0有一个根是1,命题q :a +b +c =0㊂先证明p ⇒q ,即证明必要性,由x =1是方程a x 2+b x +c =0的根,可得a ㊃12+b ㊃1+c =0,即a +b +c =0㊂再证明q ⇒p ,即证明充分性,由a +b +c =0,可得c =-a -b ,因为a x 2+b x +c =0,所以a x 2+b x -a -b =0,即a (x 2-1)+b (x -1)=0,也即(x -1)(a x +a +b )=0,所以x =1是方程的一个根㊂综上可知,方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂2.已知三个不等式:a b >0,b c -a d >0,c a -db>0(其中a ,b ,c ,d 均为实数)㊂用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,则可组成的正确命题的个数是( )㊂A.0 B .1 C .2 D .3提示:a b >0为①,b c -a d >0为②,ca-d b >0为③㊂若①②成立,则1a b (b c -a d )>,可得c a -d b >0,即③成立㊂若①③成立,则a bc a -d b>0,可得b c -a d >0,即②成立㊂若②③成立,则由③得b c -a da b>0,由②b c -a d >0得a b >0,即①成立㊂应选D ㊂作者单位:江苏省阜宁县东沟中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学重点《充分条件与必要条件》教案
高中数学重点《充分条件与必要条件》教案学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。
对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。
华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。
方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。
下面就和一起看看有关高中数学重点《充分条件与必要条件》教案。
高中数学选修1-1《充分条件与必要条件》教案1教学准备教学目标运用充分条件、必要条件和充要条件教学重难点运用充分条件、必要条件和充要条件教学过程一、基础知识（一）充分条件、必要条件和充要条件1.充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。
2.必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。
3.充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A 是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件。
（二）充要条件的判断1若成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。
2.若且BA，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件。
3.若成立则A、B互为充要条件。
（1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；（2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提条件推出A。
二、范例选讲例1.（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？（1）在△ABC中，p：A>B q：BC>AC；（2）对于实数x、y，p：x y≠8 q：x≠2或y≠6；（3）在△ABC中，p：SinA>SinB q：tanA>tanB；（4）已知x、y∈R，p：（x-1）2 （y-2）2=0 q：（x-1）（y-2）=0解：（1）p是q的充要条件（2）p是q的充分不必要条件（3）p是q的既不充分又不必要条件（4）p是q的充分不必要条件练习1（变式1）设f（x）=x2-4x（x∈R），则f（x）>0的一个必要而不充分条件是（ C ）A、x<0B、x<0或x>4C、│x-1│>1D、│x-2│>3（3）若A是B的充分条件，B是C的充要条件，D是C的必要条件，则A是D的条件.答案：（1）充分条件（2）充要、必要不充分（3）A=> B <=> C=> D故填充分。
高考数学充分条件与必要条件
（一）充分条件、必要条件和充要条件定义 1．充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成 立的充分条件。 2．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必 然结果，则条件B是A成立的必要条件。
A B
3．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也 是A成立的充要条件。
充分不必要
练习1.设f(x)=x2-4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要而不
充分条件是（ C）
A、x<0 C、│x-1│>1
B、x<0或x>4 D、│x-2│>3
P32例1变式
记住：小范围能推出大范围，大范围不能推 出小范围。
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•
；车吉祥 https:// 车吉祥
AB
第三种方法：等价法
利用 A B与B A
A B与B A
等价关系。
B A与A B
的互为逆否命题的
证明A是B的充要条件，分两步：
（1）充分性：把A当作已知条件，结合前提 条件推出A。
例1．（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，
p是q的什么条件？
（1）（2）（3）在P32考例1
（1）在△ABC中，p：A>B q：BC>AC； 充要
（2）对于实数x、y，p：x+y≠8 q：x≠2或充y≠分6不；必要 （3）在△ABC中，p：SinA>SinB 即q：不ta充nA分>又tan不B必；要
（4）已知x、y∈R p：(x-1)2+(y-2)2=0 q：(x-1)(y-2)=0
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充分条件必要条件充要条件的概念
充分条件必要条件充要条件的概念
充分条件、必要条件与充要条件是逻辑学与数学中的基本概念，它们的定义如下：
1. 充分条件：
在数学和逻辑学中，充分条件是一个能够导致某个结果的条件。
换句话说，如果存在一个条件，那么我们就可以合理地认为它能导致某个结果。
例如，如果A 是B 的充分条件，那么我们可以说只要A 发生，B 就一定会发生。
2. 必要条件：
在数学和逻辑学中，必要条件是一个没有它就不能产生结果的条件。
换句话说，如果没有一个条件，那么我们就无法合理地推断出某个结果。
例如，如果B 是A 的必要条件，那么我们可以说只有B 发生，A 才会发生。
3. 充分且必要条件：
充分且必要条件是同时满足两个条件的条件。
换句话说，如果A 是B 的充分条件，同时B 是A 的必要条件，那么我们可以说A 是B 的充分且必要条件。
在逻辑学和数学中，这种条件通常被称为充要条件。
充分条件、必要条件和充要条件的概念可以应用于各种情况，包括数学证明、逻辑推理和计算机科学。
例如，在计算机科学中，这些概念可以帮助我们编写更加可靠和健壮的代码，因为它们可以确保我们只使用必要的条件，从而避免不必要的复杂性和错误。
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件张万库充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。
怎样理解这三个概念呢？1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。
谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。
2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，有了条件A ，结论B 一定成立（A B ⇒）；没有条件A ，结论B 未必不成立，也有可能成立。
这样的条件A 就是结论B 的充分条件。
例如，在命题“若x>0，则x 20>”中，有了条件“x>0”，就一定有结论“x 20>”成立。
把条件“x>0”换成“x <0”或“x ≠0”，仍有结论“x 20>”成立。
因此条件“x >0”是结论“x 20>”的充分条件。
教材中由“p q ⇒”定义“p 是q 的充分条件”，说的就是命题“若p 则q ”中条件p 对于结论q 成立的作用。
3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，没有条件A ，结论B 一定不成立（⌝⇒⌝A B ）；但是有了条件A ，结论B 却未必一定成立。
这样的条件A 就是结论B 的必要条件。
例如，在命题“若x R x Q ∈∈，则”中，没有条件“x Q ∈”，就一定不会有结论“x Q ∈”。
但是有了条件“x R ∈”，却未必有结论“x R ∈”，还有可能是x C Q R ∈。
因此条件“x R ∈”是结论“x Q ∈”的必要条件。
利用“⌝⇒⌝A B ”判断条件A 是结论B 的必要条件，有时是很困难的。
我们可以利用“⌝⇒⌝A B ”的等价命题“B A ⇒”来判断，但一定要注意A 还是条件，B 还是结论，即若由结论B 能推出条件A ，则条件A 对于结论B 的成立是必要的。
充分条件、必要条件
一、充分条件、必要条件、充要条件的定义
1．若p 则q 为真，q p ⇒；若p 则q 为假，q p ⇒
条件 结论
2．定义
（1）若q p ⇒，则p 是q 的充分条件
（2）若p q ⇒，则p 是q 的必要条件
（3）若q p ⇒且p q ⇒，则q 是p 的充要条件
二、充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断断
步骤： ①分清条件、结论
②
技巧：①可先化简命题再进行判断；②否定一个命题只需举出一个反例即可。
（2）集合法：集合A ，B 分别是使命题p ，q 为真命题的对象所组成的集合.
⎩
⎨⎧⇒⇒p q q p 充分不必要条件 A B 必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
三、充分条件与必要条件的应用
例：已知p ：，q ：{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0}，若p 是q 的充分不
必要条件，求实数m的取值范围．
令A＝，
……………………………………………………2分
B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}
＝{x|[x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0，m>0}，
∴B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}.………………4分
∵p是q的充分不必要条件，
∴A B.……………………………………………6分
四、证明充要条件
步骤：①分清条件、结论；
②证明充分性：条件⇒结论；
③证明必要性：结论⇒条件；
④下结论。
技巧：证明充要条件，即证明命题的原命题和逆命题都成立．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．。
充分条件、必要条件、充要条件-高中数学知识点讲解
充分条件、必要条件、充要条件1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若则”为真时，可表示为，称为的充分条件，是的必要条件．事实上，p q p q p q q p与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若不成立，则一定不成立．这就是说，p q ￢q ￢p q p q 对于是必不可少的，所以说是的必要条件．例如：．显然，则．等价于p q p p：x＞2；q：x＞0 x p x qx q x p，则一定成立．2、充要条件：如果既有“”，又有“”，则称条件是成立的充要条件，或称条件是成立p q q p p q q p的充要条件，记作“”．与互为充要条件．p q p q【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；p q q p p q②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；p q q p p q③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；p q q p p q④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．p q q p p q⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．1/ 1。
充分条件与必要条件充要条件
充分条件与必要条件充要条件教学目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.(重点)2.会用充分不必要条件，必要不充分条件、充要条件.既不充分也不必要条件表达命题间的关系.(重点)3.会求问题成立的充分条件、必要条件、充要条件，会证明充要条件.(难点、易错点)教材整理1 充分条件与必要条件阅读教材P9～P10部分，完成下列问题.充分条件与必要条件判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.()(2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.()(3)x＞a2＋b2(a＞0，b＞0)是x＞2ab的充分条件.()【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 充要条件阅读教材P11～P12部分，完成下列问题.充要条件1.推出关系：p⇒q，且q⇒p，记作p⇔q.2.简称：p是q的充分必要条件，简称充要条件.3.意义：p⇔q，则p是q的充要条件或q是p的充要条件，即p与q互为充要条件.课堂练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件.( )(2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题.( )(3)q 不是p 的必要条件时，“p ⇒/q ”成立.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√例题分析判断下列各题中p 是q 的什么条件？(1)p ：α＝π3，q ：cos α＝12；(2)在△ABC 中，p ：a ＞b ，q ：sin A ＞sin B ；(3)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形.【精彩点拨】 根据定义法，集合法，等价法作出判断.【自主解答】 (1)∵α＝π3⇒cos α＝12，cos α＝12⇒/α＝π3，∴p 是q 的充分条件.(2)∵由正弦定理a sin A ＝b sin B ，知a ＞b ⇒sin A ＞sin B ，sin A ＞sin B ⇒a ＞b ，∴p 是q 的充要条件.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧四边形的对角线相等D ⇒/四边形是平行四边形，四边形是平行四边形D ⇒/四边形的对角线相等， ∴p 是q 的既不充分也不必要条件.小结充分、必要、充要条件的判断方法1.定义法若p ⇒q ，q ⇒/p ，则p 是q 的充分条件；若p ⇒/q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.2.集合法对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；即小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围.3.等价法等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断. [再练一题]1.设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由2x＞1＝20得x＞0，所以p⇒q但q⇒/p，所以p是q的充分条件.【答案】 A2.指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：sin α＞sin β，q：α＞β.【解】(1)∵x2＝2x＋1⇒/x＝2x＋1，x ＝2x ＋1⇒x 2＝2x ＋1，∴p 是q 的必要条件.(2)∵a 2＋b 2＝0⇒a ＝b ＝0⇒a ＋b ＝0，a ＋b ＝0⇒/a 2＋b 2＝0，∴p 是q 的充分条件.(3)∵当x ＝1或x ＝2成立时，可得x －1＝x －1成立，反过来，当x －1＝x －1成立时，可以推出x ＝1或x ＝2，∴p 既是q 的充分条件也是q 的必要条件.(4)由sin α＞sin β不能推出α＞β，反过来由α＞β也不能推出sin α＞sin β，∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.是否存在实数p ，使4x ＋p ＜0是x 2－x －2＞0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由.【精彩点拨】 用集合的观点研究问题，先求出4x ＋p ＜0和x 2－x －2＞0所对应的集合，再由“4x ＋p ＜0”⇒“x 2－x －2＞0”求p 的范围.【自主解答】 由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x ＜－1，令A ＝{x |x ＞2或x ＜－1}，由4x ＋p ＜0，得B ＝ ⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－p 4，当B ⊆A 时，即－p 4≤－1，即p ≥4，此时x ＜－p 4≤－1⇒x 2－x －2＞0，∴当p ≥4时，4x ＋p ＜0是x 2－x －2＞0的充分条件.小结1.解答本题的关键是分清4x ＋p ＜0⇒x 2－x －2＞0.2.解答这类题主要根据充分条件、必要条件与集合的关系，转化为集合与集合间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.[再练一题]3.若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分条件，则实数m 的取值范围是_______.【解析】 p ：x (x －3)<0，则0<x <3，q ：2x －3<m ，则x<m＋32，由题意知p⇒q，∴m＋32≥2，∴m≥3.【答案】m≥3探究1 如何证明充要条件？【提示】充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.探究2如何求解充要条件？【提示】探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.【精彩点拨分清条件p与结论q→证充分性p⇒q→证必要性q⇒p→结论p⇔q【自主解答】充分性：(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0.∴方程一定有两个不等实根.设为x1，x2，则x1x2＝ca＜0，∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca＜0，即ac＜0，综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 小结有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件⇒结论”是证明命题的充分性，由“结论⇒条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性.已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.【精彩点拨】 求解过程要保证每一步的变形转化过程都可逆，直接求出充要条件.【自主解答】 令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，则方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，－2k －12＞1，f (1)＞0⇔k ＜－2. 因此k ＜－2是使方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根的充要条件.小结 探求充要条件一般有两种方法1.先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明.2.将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证.[再练一题]4.已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0.【证明】 (1)必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy<0，又由x >y ，得y －x <0，所以xy >0.(2)充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .综上所述，1x <1y 的充要条件是xy >0.练习1.“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 由x ＋2＞1得x ＞－1，故选B.(小范围可推大范围，大范围不能推小范围) 【答案】 B2.设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A.充分条件B.必要条件C.必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD .当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分.综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分条件.【答案】 A3.实数a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( )A.ab ＝0B.ab ＞0C.a 2＋b 2＝0D.a 2＋b 2＞0【解析】 a 2＋b 2＞0，则a ，b 不同时为零；a ，b 中至少有一个不为零，则a 2＋b 2＞0.故选D. 【答案】 D4.若“x ＜m ”是“(x －1)(x －2)＞0”的充分条件，则m 的取值范围是________.【解析】 由(x －1)(x －2)＞0可得x ＞2或x ＜1，由已知条件，知{x |x ＜m }{x |x＞2，或x ＜1}，∴m ≤1. 【答案】 (－∞，1]5.判断下列各题中p 是q 的什么条件.(1)p ：x >1，q ：x 2>1；(2)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；(3)p ：a <b ，q ：a b <1.【解】 (1)由x >1可以推出x 2>1；由x 2>1，得x <－1或x >1，不一定有x >1.因此，p 是q 的充分条件.(2)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要条件.(3)由于a <b ，当b <0时，a b >1；当b >0时，a b <1，故若a <b ，不一定有a b <1；当a >0，b >0，a b <1时，可以推出a <b ；当a <0，b <0，a b <1时，可以推出a >b .因此p 是q 的既不充分也不必要条件.。
充分条件与必要条件知识点
充分条件与必要条件知识点充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象而成为学生难于理解的内容,下面是高一数学充分条件与必要条件的知识点.（一）充分条件、必要条件和充要条件1.充分条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,则条件A是B成立的充分条件；2.必要条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件；3.充要条件：如果有事物情况A,则必然有事物情况B；如果没有事物情况A,则必然没有事物情况B,A就是B的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足A,必然B；不满足A,必然不B,则A 是B的充分必要条件；反之，如果有事物情况B,则必然有事物情况A；如果没有事物情况B,则必然没有事物情况A,B就是A的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足B,必然A；不满足B,必然不A,则B是A的充分必要条件.即A可以推导出B,且B也可以推导出A.或者说，如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，即AoB,则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件.（二）充分条件、必要条件与充要条件的判断命题“若…，则…”，其条件与结论之间的逻辑关系如下，其中符号“n”叫做推出，符号“会”叫做推不出或叫做不能推出，符号“o”叫做互相推出.1.若AnB且B弃A成立，则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件；2.若AnB且B=^>Λ成立，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件;3.若A=母B且BnA成立，则B是A成立的充分条件，A是B成立的必要条件；4.若A=B且B=A成立，即A=B成立，则A、B互为充要条件.证明A是B的充要条件，分两步：①充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；②必要性：把B当作己知条件，结合命题的前提条件推出A.5.若A弃B且B=M>A成立，则A是B的既不充分也不必要条件.6.若B=e>A且A=e>B成立，则B是A的既不充分也不必要条件.即：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件；能由结论推出条件，但由条件推不出结论；此条件为必要条件；既能由结论推出条件，又能有条件推出结论，此条件为充要条件；由条件推不出结论，由结论推不出这个条件，这个条件就是即不充分也不必要条件;充分条件、必要条件的常用判断法L定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断BnA或者AnB是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可.2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断.3集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:若AGB,则P是q的充分条件,q是P的必要条件；若A3B,则P是q的必要条件，q是P的充分条件；i A=B,则P是q的充要条件；若A不包含于B,且B不包含于A,则P是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看，若p：χ∈Λ,q：x∈B.①若AqB,则P是q的充分条件，q是P的必要条件；②若A是B的真子集，则P是q的充分不必要条件；③若A=B,则p、q互为充要条件；④若A 不是B的子集且B不是A的子集，则P是q的既不充分也不必要条件.4.充分必要条件的常见集合表示：设A、B是两个集合.①如果A是B的充分条件，那么满足A的必然满足B,表示为AqB；②如果A是B的必要条件，那么满足B的必然满足A,表示为B G A,或A33；③如果A是B的充分不必要条件，那么A是B的真子集；④如果A是B的必要不充分条件，那么B是A的真子集；⑤如果A是B的充分必要条件，那么A、B等价，表示为A=B.5.充分条件与必要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.充分条件与必要条件的内涵.1.充分条件:指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果.充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的内涵.如母亲与女儿的关系属于亲情关系吗？答案是必然属于.2.必要性条件:事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行.如亲情关系与母女关系，亲情关系符合母女关系的一种现象表达，但不能推出亲情关系属于母女关系.题型解释充分条件与必要条件相关知识例1：（I）A"三角形三条边相等”；B二“三角形三个角相等”；（2）A“某人触犯了刑律”；B二”应当依照刑法对他处以刑罚”；（3）A“付了足够的钱"；B二“能买到商店里的东西”.解：A都是B的充分必要条件：其一，A必然导致B；其二，A是B发生必需的.例2：（I）A.天下雨了，B.地面一定湿；（2）A.地面一定湿,B.天下雨了解：天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B且B=e>A成立，所以A是B充分条件；（2）天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B>B且BnA成立，以B是A必要条件；例3：已知P:xi,X2是方程x>5χ-6=O的两根，Q:X I+X2=-5,则P是Q的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：∙.∙χι,X2是方程X2+5X-6=0的两根，,Xi,X2的值分别为1,-6,1∙X I+X2=1-6=-5,故选A.例4：P是Q的充要条件的是（）A.P:3x+2>5,Q：-2x-3>-5B.P:a>2,b<2,Q:a>bC.P:四边形的两条对角线互相垂直平分，Q:四边形是正方形D.Pra≠O,Q:关于X的方程ax=l有唯――解解：对于A,P:3x+2>5=>x>l,Q L2X-3>-5=>X V1,,P推不出Q,Q推不出P,P是Q既不充分也不必要条件；对于B,P:a>2,b<2zz>Q:a>b；但Q推不出P,故P是Q的充分不必要条件；对于C,若“两条对角线互相垂直平分”成立今“四边形是正方形"；反之，若“四边形是正方形”成立n“两条对角线互相垂直平分”成立，故P是Q的必要条件；对于D,P:a¥0QQ:关于X的方程ax=l有唯一解，故P是Q的充分必要条件；故选D.例5：若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A 成立的（）A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：TA是B的充分条件，,A=B①，YD是C成立的必要条件，,CnD②，C<z>B③，由①③得AnC④，由②④得A=D,,D是A成立的必要条件，故选B.例6：设命题甲为：0<x<5,命题乙为：∣χ-2∣V3,那么甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：解不等式|x-2V3,得TVxV5,「0VxV5,-l<x<5,但TVxV5,0VxV5,二•甲是乙的充分不必要条件，故选A.说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A,条件乙为x∈B.当且仅当A=B时•，甲为乙的充要条件.例7：给出下列各组条件：（l）P：ab=O,Q:a2+b2=0；⑵P:xy2O,Q:∣x∣+∣y∣=∣x+y|；（3）P:m>0,Q：方程χ2-x-iTFO有实根；（4）P:IXTl>2,Q:x<-1.其中P是Q的充要条件的有（）A.1组B.2组C.3组D.4组解：（DP是Q的必要条件；（2）P是Q充要条件；（3）P是Q的充分条件；（4）P是Q的必要条件，故选A.。
充分必要条件定理
充分必要条件定理
一、充分条件：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件。
由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A 是B的充分不必要条件
二、必要条件：如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。
此条件为必要条件。
由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B 的必要不充分条件。
三、充要条件：如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。
此条件为充要条件。
由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B 的充要条件（充分且必要条件）。
四、由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件。
举例:两直线平行,同位角相等.前面的条件"两直线平行"可以推导出"同位角相等",所以"两直线平行"是"同位角相等"的充分条件,又可以说"同位角相等"是"两直线平行"的必要条件.又因为"同位角相等,两直线平行"也是成立的,根据上面的分析可得"同位角相等"是"两直线平行"的充分条件,又可以说"两直线平行"是"同位角相等"的必要条件.结合这两次分析可得:两直线平行是同位角相等的充分条件,又是必要条件,这样就可以讲是充分必要条件,简称充要条件.。
充分条件和必要条件
课题 充分条件和必要条件教学目标 1） 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；2） 会判断充分条件，必要条件和充要条件． 3） 从集合的观点理解充要条件。
4） 会证明简单的充要条件的命题。
重 点 充分条件，必要条件和充要条件的判断．难 点充要条件的理解和充要条件的命题的证明。
【知识点梳理】1、命题“若p 则q ”为真，记作p ⇒q ；“若p 则q ”为假，记作“p ≠ q ”.2、充分与必要条件：①如果已知p ⇒q ，则称p 是q 的充分条件，而q 是p 的必要条件.②如果既有p ⇒q ，又有q ⇒q ，即p ⇔q,则称p 是q 的充要条件.3、充分、必要条件与四种命题的关系：①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p 则q ”以及逆否命题“若 p 则 q ”都是真命题.②如果p 是q 的必要条件，则逆命题“若q 则p ”以及否命题“若 p 则 q ”为真命题. ③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题。
4、充要条件的判断方法：四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法，集合思想）；⑶确定条件是结论的什么条件.【典型例题分析】例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件； （2）(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件； （3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件；（4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.分析：从集合观点“小范围⇒大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为2,2.x y >⎧⎨>⎩结合不等式性质易得4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，反之不成立，若12x =，10y =，有4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，但2,2.x y >⎧⎨>⎩不成立，所以2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件. （2）因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-，401x x -≥+的解集为(1,4]-，故(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的必要不充分条件. （3）当2παβ==时，tan ,tan αβ均不存在；当tan tan αβ=时，取4πα=，54πβ=，但αβ≠，所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”，故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若⌝q 则⌝p ”的真假.例2.已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，则p 是s 的_________条件.分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答.解：故p 是s 的的充要条件.点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用.例3.已知20:100x p x x ⎧⎫+≥⎧⎪⎪⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，:{11,0}q x m x m m -≤≤+>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.分析：若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件等价其逆否形式，即q 是p 的必要不充分条件. 解：由题知：{}:210p P x x =-≤≤，:{11,0}q Q x m x m m =-≤≤+>p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件.∴P Q Ø，即12,110,0.m m m -≤-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩得9m ≥.故m 的取值范围为9m ≥.p r q ⇐⇒ ⇑s点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件；若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件；若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件． 例4.求证：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为－1的充要条件是0a b c -+=． 分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．证明：必要性：若1x =-是方程20ax bx c ++=的根，求证：0a b c -+=．1x =-是方程20ax bx c ++=的根，∴2(1)(1)0a b c ⋅-+⋅-+=，即0a b c -+=． 充分性：关于x 的方程20ax bx c ++=的系数满足0a b c -+=，求证：方程有一根为－1． 0a b c -+=，∴b a c =+，代入方程得：2()0ax a c x c +++=，得()(1)0ax c x ++=，∴1x =-是方程20ax bx c ++=的一个根．故原命题成立．点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可【小结】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件；若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件；若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力【课堂练习】【基础达标】1.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件．若q p ⇒，则p 是q 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件．（2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____充要_____条件．（3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的__必要不充分 条件．（4）已知:p a b >，22:q ac bc >，那么p 是q 的____必要不充分___条件．3.函数2y ax bx c =++(0)a ≠过原点的充要条件是0c =．4.对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件.其中真命题的序号是____②_④___．5.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是0x >．【能力提高】6．设集合{2}M x x =>，{3}P x x =<，则“()x M P ∈⋃”是“()x M P ∈⋂”的__________条件．7．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。
充分条件和必要条件充要条件
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探求充要条件一般有两种方法 1.先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条 件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明. 2.将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过 程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分 性和必要性分开来证.
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充X分XX条件、必要条件、充要条件旳应用
是否存在实数 p，使 4x＋p＜0 是 x2－x－2＞0 的充分条件？如果存 在，求出 p 的取值范围；否则，说明理由.
【精彩点拨】 用集合的观点研究问题，先求出 4x＋p＜0 和 x2－x－2＞0 所对应的集合，再由“4x＋p＜0”⇒“x2－x－2＞0”求 p 的范围.
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.( ) (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( ) (3)x＞a2＋b2(a＞0，b＞0)是x＞2ab的充分条件.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( ) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( ) (3)q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
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[小组合作型] 充分、必要、充要条件旳判断
件. 【答案】 A
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知识讲解_充分条件与必要条件_基础
充分条件与必要条件【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件；③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =；(2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点(3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）:1p x =，2:1q x =；【答案】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/， ∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab >（2）p :1>y x , q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件∵1>yx 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：-1<x<3. 如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)， 从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）X 1 2 PQA.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】（2015 天津文）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】 (2015 福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B ．【变式4】（2016 北京理）设a r ，b r 是向量，则“||||a b =r r ”是“||||a b a b +=-r r r r ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥r r r r r r r r r r r r，故是既不充分也不必要条件，故选D.类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=ac <0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0， 则x 1·x 2=ac <0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根， 若方程有两异号的实根，则必须满足100440a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根，则必须满足102001440a a aa ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p q ⇒，即A B ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥【巩固练习】一、选择题1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝φ”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.(2015 北京文)设a b r r ，是非零向量，“||||a b a b =r r r r g ”是“//a b r r ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的( )A ．充分非必要条件B ． 必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．b ＝c ＝0是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016 四川理）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 6. （2016 天津理）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件二、填空题7．若x ∈R ，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值恒为正的充要条件是______，恒为负的充要条件是______．8．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：(1)“m ≠3”是“|m |≠3”的________；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________；(3)“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________．10. 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于y 轴对称的充要条件是________．三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：x ＝1； q ：x －1(2)p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5.(3)p ：三角形是等边三角形；q ：三角形是等腰三角形．12．(1)写出|x|<2的一个充分不必要条件；(2) 写出x>-1的一个必要不充分条件；(3) 写出x1>2的一个充要条件 13．已知p: x 2-8x-20>0, q: x 2-2x+1-a 2>0, 若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.14．不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．15．证明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.【答案与解析】1. 【答案】C ．【解析】由题意A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得“A∩B ＝∅”；若“A∩B ＝∅”能推出存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，∴U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的充分必要的条件．故选：C ．2. 【答案】 A【解析】 ||||cos a b a b a b =<>r r r r r r g g ，，由已知得cos 1a b <>=r r ，，即0//a b a b <>=r r r r ，，．而当//a b r r 时，a b <>r r ，还可能是π，此时||||a b a b =-r r r r g ，故“||||a b a b =r r r r g ”是“//a b r r ”的充分而不必要条件．故答案为：A ．3. 【答案】B【解析】当a ＝5，b ＝0时，满足a ＋b ＞4，但a ＞2且b ＞2不成立，即充分性不成立， 若a ＞2且b ＞2，则必有a ＋b ＞4，即必要性成立，故“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的必要不充分条件，故选：B ．4. 【答案】 A【解析】 若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0，故选A.5. 【答案】 A【解析】直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A ．6. 【答案】 C【解析】 由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.7. 【答案】 a >0且b 2－4ac <0a <0且b 2－4ac <08. 【答案】 充分不必要【解析】 点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列， 但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1.9. 【答案】 (1)必要不充分条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件10．【答案】b ＝0【解析】f (x )关于y 轴对称⇔002b b a -=⇔=.11. 【解析】 (1)充分不必要条件当x ＝1时，x －1＝1x -成立；当x －1＝1x -时，x ＝1或x ＝2.(2)充要条件∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5.(3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．12. 【解析】(1)此题为开放题，只要写出{x|-2<x<2}的一个非空真子集即可，如x=0.(2) 仿(1) 只要写出一个包含{x|x>-1}的集合即可，如{x|x>-2}即x>-2.(3) 0<x<2113．【解析】解不等式x 2-8x-20>0，得p: A={x|x>10或x<-2}解不等式x 2-2x+1-a 2>0，得q: B={x|x>1+a 或x<1-a, a<0}依题意，p ⇒q 且q p, 说明A ÜB ， 于是有⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+>211010a a a 且等号不同时成立，解得：0<a≤3,∴正实数a的取值范围是0<a≤314．【解析】令f(x)＝x2－2mx－1要使x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，只需f(x)＝x2－2mx－1在[1,3]上的最小值大于0即可．（1）当m≤1时，f(x)在[1,3]上是增函数，f(x)min＝f(1)＝－2m>0，解得m<0，又m≤1，∴m<0.（2）当m≥3时，f(x)在[1,3]上是减函数，f(x)min＝f(3)＝8－6m>0，解得43m ，又m≥3，∴此时不成立．（3）当1<m<3时，f(x)min＝f(m)＝－m2－1＝－(m2＋1)>0不成立，综上所述，m的取值范围为m<0.15. 【解析】证明：(1)充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴ax2＋bx＋c＝ax2＋bx－a－b＝0，∴a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)[a(x＋1)＋b]＝0，∴x＝1或a(x＋1)＋b＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．(2)必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a＋b＋c＝0.综上(1)(2)命题得证．。
充分条件和必要条件--优质获奖精品课件 (22)
q是p的充 分不必要条件
⇒
q⇒p p⇒/q
⇒
命题p的范围 要大于q的范围
⇒
列出不等 式进行求解
【解】 p：－2≤x≤10. q ： x2 － 2x ＋ 1 － m2≤0⇔[x － (1 － m)][x － (1 ＋ m)]≤0(m>0)⇔1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m} {x|－2≤x≤10}， 故有11－ ＋mm≥ <1－0 2，或11－ ＋mm>≤－102，，解得 m≤3. 又 m>0，所以实数 m 的范围为{m|0<m≤3}．
→ 证必要性q⇒p → 结论p⇔q
【证明】 充分性：当q＝－1时，Sn＝pn－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)， 当n＝1时，也成立， ∴数列{an}的通项公式为an＝pn－1(p－1)． 又∵p≠0 且 p≠1，∴aan＋n1＝ppn－n（1（pp－－11））＝p， ∴数列{an}为等比数列． 必要性：当 n＝1 时，a1＝S1＝p＋q， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件； ④若A B，则p是q的充分不必要条件； ⑤若A B，则p是q的必要不充分条件； ⑥若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．
(3)等价法： 将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． 判定充分条件、必要条件时，可以与四种命题的关系 结合起来．把p与q分别记作原命题的条件与结论，则原命 题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下： ①如果原命题为真，逆命题为假，那么p是q的充分不 必要条件；
忽略隐含条件致误 已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两 个大于1的实根的充要条件． 【易错分析】 失分点一：考虑问题不全面，忽略 条件 Δ≥0；失分点二：对根的限制不准确，将两实根大 于 1 的充要条件误认为是x1＋x2>2，
什么是充分条件？什么是必要条件？什么是充要条件？
什么是充分条件什么是必要条件什么是充要条件假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论,这个条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论,这个条件为充要条件·定义：1.充分条件：假如A命题成立，则B命题必然成立。
那么我们把A命题叫做B命题的充分条件。
2.必要条件：假如A命题不成立，则B命题一定不成立，那么我们把A命题叫做B命题的必要条件。
3.充要条件：假如A命题成立，则B命题必然成立，且假如A命题不成立则B命题一定不成立。
那么A命题就叫做B命题的充分必要条件，简称充要条件。
定义：1.充分条件，如果A发生必然导致B发生，则A为B的充分条件。
2.必要条件，如果A不发生必然导致B不发生，则A为B的必要条件。
3.如果A为B的充分条件，且为B的必要条件，则A为B的充分必要条件,简称充要条件。
（1.充分条件：有甲这个条件一定会推出乙这个结果，但有乙这个结果不一定是因为有甲这唯一一个条件。
关联词是：只要……就…… , 甲→乙, 是“顺推”的结果。
只要有甲这个条件就必然有乙这个结果。
是甲“包含”乙的关系。
例如：只要天下雨，地就会湿。
分析：有“下雨”这个条件就一定有“地湿”这个结果，但“地湿”这个结果不一定就是“天下雨”造成的，也许还可能有其他的条件原因，如洒水车洒的、别人喷的等等。
2.必要条件：有甲这个条件不一定能推出乙这个结果，但乙这个结果一定要有甲这个条件。
有乙这个结果必须要有甲这个条件满足。
甲&丙&丁=1 ←乙，是“逆推”的关系。
充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
②当 a≠2 时，因为 B⊆A，所以 B＝{x|－2＜x＜－a}，
答案：A
题型三 充分条件、必要条件的应用 例 3 已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，求 m 的取值范围．
解：由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}． 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件，知 S⊆P.
题型一 全称量词命题与存在量词命题
例 1 (1)(2020·陕西部分学校模拟)命题“∀x＞0，x－x 1＞0”的否定是(
)
A．∃x0≥0，x0x－0 1≤0
B．∃x0＞0,0≤x0≤1
C．∀x＞0，x－x 1≤0
D．∀x＜0,0≤x≤1
解析：∵x－x 1＞0，∴x＜0 或 x＞1， ∴x－x 1＞0 的否定是 0≤x≤1， ∴命题的否定是“∃x0＞0,0≤x0≤1”．故选 B.
5．设 x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：x>y x>|y|(如 x＝1，y＝－2)， 但当 x>|y|时，能有 x>y. ∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件． 答案：C
6．已知 p：x>a 是 q：2<x<3 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是________． 解析：由已知，可得{x|2<x<3} {x|x>a}，∴a≤2. 答案：(－∞，2]
一、命题的前提、条件、结论(共18张PPT)
C. z是复数“z z 0 ”是“z=0”成立的必要不充分条件
OZ2重合 ”是 D. 设z1,z2是复数，则“ 向量OZ1与向量
|z1|=|z2|成立的充要条件
充要条件
练习1：设集合M={x|0<x≤3}，N={x|0<x≤2}，那么 B “a∈M”是“a∈N”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2：判断下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p: ab=0 , q: a2+b2=0 (2)p: xy≥0 , q: |x|+|y|=|x+y| (3)p: |x-1|>2 , q: x<-1 (4)p: m>0 , q: 方程x2-x-m=0有实根 分析：(1) p ≠＞q ，同时q ＝ ＞ p，故p为q的必要不充分条件; (2)p是q的充要条件； (3)p: A={x|x>3或x<-1} , q: B={x|x<-1} ∴A B，故p是q的必要不充分条件 (4)m>0 则△=(-1)2+4m=1+4m>0，故方程有实根 若方程有实根则△=1+4m>0，得m>-1/4，无法得 到m>0，故p是q的充分不必要条件
充分条件、必要条件、充要条件
例题讲解
例 1、判断下列条件是结论的什么条件
（1）集合“ A B ”是“ A C B C ”的 条件．
（2）x、y R“ xy 0 ”是“ x2 y2 0 ” 条件．
（3）“ A B ”是“ A B A ” 的
条件．
（4）“ x2 5x 6 0 ”是“ x 2 ” 的 条件．
x B ”是“ x A B ”
条件．
（8）、“ x y 2 ”是“ x 1且 y 1”的
条件．
例题讲解
例 2、设 A 是 B 的充分非必要条件，B 是 C 的必要非充分条件， 同时 B 是 D 的充分非必要条件， C 是 D 的必要非充分条件， 则 C 是 A 的什么条件？
例题讲解 例 3、判断下列电路图中 p 与 q 的充要关系．
其中 p：开关闭合；q：灯亮．
p
q
p
q
p
p
q
q
例题讲解
例 4、（1）写出 x 0 的一个必要非充分条件； （2）写出 x 0 的一个充分非必要条件．
例 5、（1充分也非必要条件是 ;
（3）写出 x 1的一个必要非充分条件是
；
（4）写出 x 1的一个充分非必要条件是
例题讲解
例 1、判断下列条件是结论的什么条件
（5）“ x1 0且x2 0 ”是“ x1 x2 0且x1 x2 0 ”的
条件．
（6）“ x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 且 xy 4 ”的 条件．
（7）集合 A x x 2,集合 B x x 3 ,那么“ x A且
引入：
用符号“ ”或“ ”把 、 两件事联系起来：
① ： k 是能被 4 整除的自然数； ： k 是偶数。
② ：两个角是对顶角 ；
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充分条件、必要条件、充要条件
三维目标
知识与技能：
1、理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“ ”的含义。
2、初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。
3、在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。
过程与方法
1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。
2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。
3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中。
情感态度价值观
1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。
2、通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点。
3、通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。
教学重点
知识方面：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。
在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。
方法技能方面：
1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。
2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。
教学难点
⑴在中q 是p的必要条件的理解；
⑵如何判断p是q的什么条件；
⑶判断命题条件与结论间关系时，条件p的确定
教学设计
一、创设情境，引入新课
思考1：当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈．”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？为什么？【因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于说明你是她的孩子】
思考2：这在数学中是一层什么样的关系呢？【充分条件与必要条件】
二、复习回顾
思考1：什么叫做命题？【能判断真假的语句】
思考2：什么叫做真命题，什么叫做假命题？
思考3：常见的逻辑连接词有哪些，他们表示什么意思？【或、且、非】
知识探究（一）
思考1：条件p ：x ＞0，结论q ：x 2＞0，如果条件“x ＞0”成立，那么结论“x 2
＞0”成立 一定成立吗？
思考2：该语句用数学符号怎么表示？【x ＞0⇒x 2
＞0】 思考3：要使结论q ：x 2＞0成立，有条件p ：x ＞0足够了吗，“充分”了吗？
思考4：怎样利用做够，充分语句叙述该语句？【要使p 成立，q 足够充分了了】 结论：如果已知p ⇒q ，那么我们说，p 是q 的充分条件．
练习：判断下列条件p 是不是q 的充分条件？
条件p ：x ＝y ，结论q ：x 2=y 2
知识探究（二）
思考1：条件p ：(x －1)(x －2)＝0，结论q ：x ＝1，p 是q 的充分条件吗？
思考2：而由条件（x －1）（x －2）＝0一定有x ＝1成立，即（x －1）（x －2）＝0⇒/x ＝1成立吗？
思考3：如果条件（x －1）（x －2）＝0不成立，结论x ＝1成立吗？
思考4：要使x ＝1成立，必须具备（x －1）（x －2）＝0的条件吗？【我们就说（x －1）（x －2）＝0是x ＝1成立的必要条件．】
结论：如果已知q ⇒p ，那么我们说，p 是q 的必要条件．
思考5：该结论还可以怎样理解，你能举例说明吗同学讨论？【如果p 不成立，那么q 就不成立，即⌝p ⇒⌝q ．也就是说，要使q 成立，就必须p 成立．例：没有氧气，人类就不能生存；有了氧气，人类未必就能生存．我们说，氧气是人类生存的必要条件．】
知识探究（三）
思考1：对于探究一中的条件p 和结论q ，q p ⇒成立吗？因此，q p 是必要条件吗？ 思考2：由此你得到什么结论？
若p ⇒q 且q ⇒/p ，即p 是q 成立的充分条件，但不是必要条件，我们称p 是q 的充分不必要条件．
思考3：对于探究二中的条件p 和结论q ，p q ⇒吗，因此，p q 是的充分条件吗？ 思考4：由此你得到什么结论？
若p ⇒/q 且q ⇒p ，即p 是q 成立的必要条件，但不是充分条件，我们称p 是q 的必要不充
分条件．
思考5：条件p：三角形的三条边相等，结论q：三角形的三个角相等，p⇒q，q⇒p成立是的什么条件？
吗？因此，p q
结论：如果p⇒q且q⇒p，记作p⇔q．这时，p既是q成立的充分条件，又是q的必要条件，我们称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件．
另外，如果p⇒/q且q⇒/p，那么称p是q的既不充分又不必要条件
思考6：你怎样理解必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件？
我国古代《墨经》里对充要条件有精辟的论述：
“有之则必然，无之则未必不然，是为‘大故’；无之则不然，有之则未必然，是为‘小故’．”也就是说，
充分条件的特征是：“有它就行，没它未必不行”；
必要条件的特征是：“没它不行，有它未必行”；
充要条件的特征是：“有它就行，没它不行”．
由此可看出，充分条件、必要条件都不是唯一的，而充要条件是唯一的，是互逆的．
知识运用
三．练习：
1．填空（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种）：
“x是6的倍数”是“x是2的倍数”的条件；
“x是2的倍数”是“x是6的倍数”的条件；
“x既是2的倍数也是3的倍数”是“x是6的倍数”的条件；
“x是4的倍数”是“x是6的倍数”的条件．
2、x≤－1是x≤1 的条件．
x2－1＜0是（x＋2）（x－3）＜0的充分而不必要条件
（x＋2）（x－3）＜0是x2－1＜0的条件．
x2－1＝0是| x |＝3的条件．
x2－1＝0是| x |＝1的条件．
小结：
对于两个不等式而言：
（ⅰ）解集范围小的成立，则解集范围大的也成立；但是，反过来不能成立．
（ⅱ）若两个不等式的解集无包含与被包含关系，则它们相互都不能推得
课堂小结：
1）充分条件、必要条件、充要条件的概念.
（2）判断充分、必要条件、充要条件的基本步骤：
①认清条件和结论；
②考察p⇒q和q⇒p的真假
附：板书设计
充分条件、必要条件、充要条件
1、定义：
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
形象记忆：箭尾
．．是箭尾
．．的必要条件。
．．的充分条件，箭头
．．是箭头
2、若p⇔q，则p是q的充分必要条件，q是p的充分必要条件（简称充要条件）。
若p⇒q但q⇒p，则p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件。
3、判断p与q的充要条件关系的步骤：
①判断p⇒q与q⇒p是否成立。
②再由形象记忆法判断p与q的条件关系。