高中数学课件：充分,必要,充要条件
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人教高中数学必修一A版《充分条件与必要条件》集合与常用逻辑用语教学说课复习课件
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1．记集合 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若 p 是 q 的充分不必要条件，
则集合 A，B 的关系是什么？若 p 是 q 的必要不充分条件呢？
提示：若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A B，若 p 是 q 的必要不充分 条件，则 B A.
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2．记集合 M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若 M⊆N，则 p 是 q 的什么条 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件
(2)若 p⇒q，但 q p，则称 p 是 q 的充分不必要条件．
(3)若 q⇒p，但 p q，则称 p 是 q 的必要不充分条件．
(4)若 p q，且 q p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
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思考 2：(1)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命
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充要条件的探求与证明
【例 3】 试证：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根的
充要条件是 ac＜0.
[思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．
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[证明] ①必要性：因为方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根，所
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人教A版必修第一册高中数学1.4-充分条件与必要条件精品课件
若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
4
解：令 = { > 2，或 < −1}.由4 + < 0，得 = {| < − }.
当 ⊆
时，即−
4
≤ −1，即 ≥ 4，
4
此时 < − ≤ −1 ⇒ > 2或 < −1，
∴当 ≥ 4时，4 + < 0是 > 2或 < −1的充分条件.
2．必要条件的判断
3．充要条件的判断
感谢您的观看
命题.下面我们将进一步考察“若p,则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学
中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件.
知识梳理
一般地，“若 ,则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出.这时，我们就说，
由可以推出，记作 ⇒ ，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
小试牛刀
1．在△ABC 中，AB2＋AC2＝BC2 是△ABC 为直角三角形的(
A
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2
2
2
当 B＝90°或 C＝90°时，△ABC 为直角三角形，但不能推出 AB ＋AC ＝BC ，故选 A.
小试牛刀
1
2． “x>1”是“ <1”的( A )
∵ = 2 ⇒ 2 = 4， 2 = 4 ⇏ = 2，∴B是假命题；
∵ ∩ = ⇒ ∪ = ，∴C是真命题；
∵ ⇏ ，∴不是的必要条件，D是假命题.
例题解析
方法技巧：
1.定义法判断必要条件的步骤：
(1)分清“条件”与“结论”.
4
解：令 = { > 2，或 < −1}.由4 + < 0，得 = {| < − }.
当 ⊆
时，即−
4
≤ −1，即 ≥ 4，
4
此时 < − ≤ −1 ⇒ > 2或 < −1，
∴当 ≥ 4时，4 + < 0是 > 2或 < −1的充分条件.
2．必要条件的判断
3．充要条件的判断
感谢您的观看
命题.下面我们将进一步考察“若p,则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学
中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件.
知识梳理
一般地，“若 ,则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出.这时，我们就说，
由可以推出，记作 ⇒ ，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
小试牛刀
1．在△ABC 中，AB2＋AC2＝BC2 是△ABC 为直角三角形的(
A
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2
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2
当 B＝90°或 C＝90°时，△ABC 为直角三角形，但不能推出 AB ＋AC ＝BC ，故选 A.
小试牛刀
1
2． “x>1”是“ <1”的( A )
∵ = 2 ⇒ 2 = 4， 2 = 4 ⇏ = 2，∴B是假命题；
∵ ∩ = ⇒ ∪ = ，∴C是真命题；
∵ ⇏ ，∴不是的必要条件，D是假命题.
例题解析
方法技巧：
1.定义法判断必要条件的步骤：
(1)分清“条件”与“结论”.
人教高中数学充分条件与必要条件PPT完美版
探求充分条件、必要条件的步骤
(1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向; (2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到 使结论成立的充 要条件; (3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成 立的必要不充分 条件或充分不必要条件.
例1：下列条件中,使不等式组
分不必要条件是 ( A )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.p是q的充分条件是指p成立可以充分保证q成立,但即使q成立,p也未必成立. (√ ) 2.p是q的必要条件是指“要使p成立,必须要使q成立”,也就是说“若p不成立,则 q一定不成立”. ( ✕ ) 3.三角形相似是三角形全等的必要条件. ( √ ) 4.p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同. ( √) 5.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. ( √ ) 6.“A∩B是空集”是“A与B均是空集”的充要条件.( ✕ )
要条件. (2)当条件和结论是不等式时,可以利用集合间的关系判断充 分性和必要性.
充分条件、必要条件的证明与探究
充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“p⇒q”为真,又要证 明“q⇒p”为真,
前者证明的是充分性,后者证明的是必要性. (2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行 等价转化,注意转 化过程中必须保证前后是能互相推出的.
充分条件、必要条件和充要条件的判断
观察下面4个电路图.
问题 1.①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? 提示:充分不必要. 2.②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? 提示:必要不充分. 3.③中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? 提示:充要. 4.④中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件? 提示:既不充分也不必要. 5.将①中开关A与灯泡B位置互换,开关C始终是断开状态,结论变吗? 提示:结论变,变为充要.
高中数学《充分条件与必要条件》课件
1．2.1 充分条件与必要条件
课前自主预习
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
充分条件与必要条件 命题真假
“若 p，则 q”是真 “若 p，则 q”是假
命题
命题
推出关系 条件关系
p □01 ⇒ q p 是 q 的 □03 充分
条件
q 是 p 的 □04 必要
条件
p □02 ⇒/ q p □05 不是 q 的充
(1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程 x2＋ax＋a＋3＝0 有实根； (2)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (3)p：四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
解 (1)当|a|≥2 时，如 a＝3，则方程 x2＋3x＋6＝0 无实根，而方程 x2＋ ax＋a＋3＝0 有实根，则必有 a≤－2 或 a≥6，可推出|a|≥2，故 p 不是 q 的 充分条件，且 p 是 q 的必要条件．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
探究 2 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围 例 2 已知集合 A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题 p：
x∈A，命题 q：x∈B，并且綈 p 是綈 q 的必要条件，求实数 m 的取值范围．
课前自主预习
课堂互动探究
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)a＋b＝0⇒/ a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，故 p 不是 q 的充分条件， 且 p 是 q 的必要条件．
(3)四边形的对角线相等⇒/ 四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对 角线相等，故 p 是 q 的充分条件，且 p 不是 q 的必要条件．
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随堂基础巩固
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充分条件与必要条件 命题真假
“若 p，则 q”是真 “若 p，则 q”是假
命题
命题
推出关系 条件关系
p □01 ⇒ q p 是 q 的 □03 充分
条件
q 是 p 的 □04 必要
条件
p □02 ⇒/ q p □05 不是 q 的充
(1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程 x2＋ax＋a＋3＝0 有实根； (2)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (3)p：四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
解 (1)当|a|≥2 时，如 a＝3，则方程 x2＋3x＋6＝0 无实根，而方程 x2＋ ax＋a＋3＝0 有实根，则必有 a≤－2 或 a≥6，可推出|a|≥2，故 p 不是 q 的 充分条件，且 p 是 q 的必要条件．
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答案
探究 2 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围 例 2 已知集合 A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题 p：
x∈A，命题 q：x∈B，并且綈 p 是綈 q 的必要条件，求实数 m 的取值范围．
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课堂互动探究
课前自主预习
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随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)a＋b＝0⇒/ a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，故 p 不是 q 的充分条件， 且 p 是 q 的必要条件．
(3)四边形的对角线相等⇒/ 四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对 角线相等，故 p 是 q 的充分条件，且 p 不是 q 的必要条件．
人教版高中数学必修第一册第一章1.4 充分条件和必要条件第2课时【课件】
【例2】 下列各题中，p是q的什么条件？ (1) p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2) p：四边形的对角线相等，q：四边形为矩形；
(3) p：x＝1或x＝2，q：x－1＝ x 1 ；
(4) p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根．
思路点拨：先判断p是否能推出q，再判断q是否能推出p.
【解】 (1)因为a＋b＝0⇏a2＋b2＝0，a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的必要不充分
1.4 充分条件与必要条件(第2课时)
教学目标
1. 理解充分条件、必要条件和充要条件的概念,能根据这些 概念对相关问题作出正确的判断.
2. 掌握充要条件的判定、证明和探求的基本思路和常用方法, 提高推理和论证的能力.
3. 体会等价转化和分类讨论等数学思想方法,学会理性思考, 养成良好的思维习惯.
学习目标
【方法规律】 通过判断原命题和逆命题是否均为真命题或者是否有 p⇔q，判断是否为充要条件．
【变式训练1】 已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0” 的___充__要___条件．
【解】 因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0.所以充分性成
立．因为ab＞0，所以a与b同号．又因为a＋b＞0，所以a＞0 且b＞0.所以必要性成立．故“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且 ab＞0”的充要条件．
【解】 (1) 由x＝1⇒x3＝x，但由x3＝x⇒x＝0或x＝±1，所以“x＝1”是 “x3＝x”的充分不必要条件．
(2) 若p：△ABC有两个角相等，不能推出△ABC是正三角形；而 △ABC是正三角形能推出△ABC有两个角相等，所以p是q的必要不充 分条件．
【例3】 [教材改编题]已知a≠0，求证：“x＝1为方程 ax2＋bx＋c＝0的一根”的充要条件是“a＋b＋c＝0”．
高中数学同步教学课件 充分条件、必要条件
②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,
同时q也不是p的必要条件.
跟踪训练 1 判断下列各题中,p是否是q的充分条件:
(1)p:x2=y2,q:x=y;
若x2=y2,则x=y或x=-y,
因此p⇏q,∴p不是q的充分条件.
(2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0;
思
感
悟
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是
求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集
合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.
跟踪训练 3 已知集合A={y|y=x2-3x+1,x∈R},B={x|x+2m≥0};p:x∈A,q:x∈B.
C中,因为p⇒q,所以q是p的必要条件;
D中,因为对顶角相等,即p⇒q,所以q是p的必要条件.
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5.使x>1成立的一个必要条件是
A.x>0
√
B.x>3
C.x>2
D.x<2
只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出.
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随堂演练
1.若p是q的充分条件,则q是p的
A.充分条件
B.必要条件
同时q也不是p的必要条件.
跟踪训练 1 判断下列各题中,p是否是q的充分条件:
(1)p:x2=y2,q:x=y;
若x2=y2,则x=y或x=-y,
因此p⇏q,∴p不是q的充分条件.
(2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0;
思
感
悟
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是
求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集
合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.
跟踪训练 3 已知集合A={y|y=x2-3x+1,x∈R},B={x|x+2m≥0};p:x∈A,q:x∈B.
C中,因为p⇒q,所以q是p的必要条件;
D中,因为对顶角相等,即p⇒q,所以q是p的必要条件.
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5.使x>1成立的一个必要条件是
A.x>0
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C.x>2
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只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出.
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1.若p是q的充分条件,则q是p的
A.充分条件
B.必要条件
新人教版高中数学必修一《1 1.4 充分条件与必要条件》课件
p 不是 q 的_充__分___条件 q 不是 p 的__必__要__条件
■名师点拨 对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释 (1)“若 p，则 q”形式的命题为真命题． (2)由条件 p 可以得到结论 q. (3)p 是 q 的充分条件或 q 的充分条件是 p. (4)只要有条件 p，就一定有结论 q，即 p 对于 q 是充分的． (5)q 是 p 的必要条件或 p 的必要条件是 q. (6)为得到结论 q，具备条件 p 就可以推出． 显然，“p 是 q 的充分条件”与“q 是 p 的必要条件”表述的是 同一个逻辑关系，即 p⇒q，只是说法不同．
1.4 充分条件与必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语
考点 充分条件、必要
条件的概念
充分条件、必要 条件的判断
充分条件、必要 条件的应用
学习目标 理解充分条件、必要条 件、充要条件的概念 结合具体命题掌握判 断充分条件、必要条 件、充要条件的方法
掌握证明充要 条件的一般方法
核心素养 数学抽象 逻辑推理 逻辑推理
(2)集合法 对于集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}，具体情 况如下： 若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； 若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； 若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； 若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；
若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件．
设 p：x＜3，q：－1＜x＜3，则 p 是 q 成立的( ) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C.因为x|－1<x<3 {x|x<3}，所以 p 是 q 成立的必要
不充分条件．
设 a，b 是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 D.若 a＋b>0，取 a＝3，b＝－2，则 ab>0 不成立；反 之，若 ab>0，取 a＝－2，b＝－3，则 a＋b>0 也不成立，因此 “a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．
1.4 充分条件与必要条件课件ppt
3.掌握证明充要条件的一般方法.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
上午上学时,小明上学迟到了,老师问小明为什么迟到了,小明对老师说:“老
师,今天早上我起来晚了”,老师说:“你的理由很充分啊!”老师为什么说小明
的理由很充分呢?通过本节课的学习,你就能找出答案.
[知识点拨]
知识点一:充分条件与必要条件
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
)
【解析】若a≥b≥0，则|a|＝a≥b即|a|≥b；若b≤a≤0，则|a|＝
－a≥0≥b，即|a|≥b；若a≥0≥b，则|a|＝a≥0≥b即|a|≥b；或由
|a|≥a，a≥b可得|a|≥b，可知充分条件成立；当a＝－3，b＝－2时，
微练习
已知A,B,C是△ABC的三个内角,则“A+C=2B”是“B=60°”的(
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
)
课堂篇 探究学习
探究一
充分条件、必要条件的判断
例1(1)判断下列各题中,p是不是q的充分条件:
①p:a∈Q,q:a∈R.
②p:a<b,q: <1.
由p可以推出q,记作p⇒q.
(2)类似地,如果“若p,则q”为假命题,说明p与q之间有什么关系?
提示 说明由条件p不能推出结论q,记作p
q.
(3)若p是q的充分条件,p是唯一的吗?q是唯一的吗?
提示 不一定唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如x>2是x>1的
充分条件,x>5、x>10等都是x>1的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
上午上学时,小明上学迟到了,老师问小明为什么迟到了,小明对老师说:“老
师,今天早上我起来晚了”,老师说:“你的理由很充分啊!”老师为什么说小明
的理由很充分呢?通过本节课的学习,你就能找出答案.
[知识点拨]
知识点一:充分条件与必要条件
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
)
【解析】若a≥b≥0，则|a|＝a≥b即|a|≥b；若b≤a≤0，则|a|＝
－a≥0≥b，即|a|≥b；若a≥0≥b，则|a|＝a≥0≥b即|a|≥b；或由
|a|≥a，a≥b可得|a|≥b，可知充分条件成立；当a＝－3，b＝－2时，
微练习
已知A,B,C是△ABC的三个内角,则“A+C=2B”是“B=60°”的(
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
)
课堂篇 探究学习
探究一
充分条件、必要条件的判断
例1(1)判断下列各题中,p是不是q的充分条件:
①p:a∈Q,q:a∈R.
②p:a<b,q: <1.
由p可以推出q,记作p⇒q.
(2)类似地,如果“若p,则q”为假命题,说明p与q之间有什么关系?
提示 说明由条件p不能推出结论q,记作p
q.
(3)若p是q的充分条件,p是唯一的吗?q是唯一的吗?
提示 不一定唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如x>2是x>1的
充分条件,x>5、x>10等都是x>1的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它
高中数学必要条件与充分条件优秀课件
试一试
探讨以下生活中名言名句的必要关系 水滴石穿 骄兵必败 名师出高徒
小结
1.必要条件、 充分条件的定义 2.必要条件 、充分条件的判断方法 3.认知生活中的充要关系
a=0是a·b=0的 .
a·b=0是a=0的
.
4)由于复合命题“在没有电梯的楼房里，如果一个人上
楼，那么他要走楼梯〞为真，因此
一个人走楼梯是他上楼的 .
一个人上楼是他走楼梯的 .
(1)必要条件 (2)充分条件 (3)充分条件 (4)必要条件
充分条件 必要条件 必要条件 充分条件
判断以下各命题中;p是q的什么条件，q又是p的什么条件
P
q
(1)假设x>2
那么x>1
(2)假设两三角形面积相等 等
那么这两个三角形全
(3)假设三角形有两个角相等
那么它是等腰三角形
(4)假设a²>b²
那么a>b
⑴p是q的充分条件 q是p的必要条件 ⑵p是q的必要条件 q是p的充分条件 ⑶p是q的充分条件也是必要条件 q是p的充分 条件也是必要条件
⑷p对于q既不是充分条件也不是必要条件，q 对于p也既不是充分条件也不是必要条件
辨一辨
选用“必要条件〞或“充分条件〞填入空格
由于复合命题“如果a是整数，那么a是有理数〞为真，
因此：
a是有理数为a是整数的： .
a是整数为a是有理数的： .
2)由于复合命题“如果X-2=O，那么X²-4=0〞为真，因
此：
X-2=0是X²-4=0的
.
X²-4=0是X-2=O的
.
3)由于复合命题条件
万源黄钟职业：谢兴明
❶假设a=b 那么a²=b² ❷假设a²=b²那么a=b
高中数学人教A版必修第一册1.4充分条件与必要条件课件
1.4 充分条件与必要条件
教学目标
01 理解必要条件、充分条件的意义，理解性质定理与必要条件的 关系、判定定理与充分条件的关系.
02 理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 03 结合具体问题，学会利用集合等知识判断充分条件、必要条
件和充要条件，分清充分性与必要性.
知识点1 充分条件与必要条件
一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q. 由 p 可以推出 q，记作 p q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要 条件.
如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条
件 p 不能推出结论 q，记作 p q ，p 不是 q
的充分条件，q 不是 p 的必要条件.
解：这是平行四边形的一条性质定理， p q ，所以 q 是 p 的必要条件.
（2）若两个三角形类似，则这两个三角形的三边成比例；
这是三角形相似的一条性质定理， p q ，所以 q 是 p 的必要条件.
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； 如图，四边形 ABCD 的对角线互相垂直，但它不是菱形， p q ，
例 4 已知： O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d. 求证： d r 是直线 l 与 O 相切的充要条件.
证明：设 p： d r ，q：直线 l 与 O 相切. （1）充分性（ p q ）：如图，作 OP l 于点 P，则 OP d . 若 d r ，则点 P 在 O 上. 在直线 l 上任取一点 Q（异于点 P），连接 OQ. 在 Rt△OPQ 中， OQ OP r . 所以，除点 P 外直线 l 上的点都在 O 的外部， 即直线 l 与 O 仅有一个公共点 P. 所以直线 l 与 O 相切.
教学目标
01 理解必要条件、充分条件的意义，理解性质定理与必要条件的 关系、判定定理与充分条件的关系.
02 理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 03 结合具体问题，学会利用集合等知识判断充分条件、必要条
件和充要条件，分清充分性与必要性.
知识点1 充分条件与必要条件
一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q. 由 p 可以推出 q，记作 p q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要 条件.
如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条
件 p 不能推出结论 q，记作 p q ，p 不是 q
的充分条件，q 不是 p 的必要条件.
解：这是平行四边形的一条性质定理， p q ，所以 q 是 p 的必要条件.
（2）若两个三角形类似，则这两个三角形的三边成比例；
这是三角形相似的一条性质定理， p q ，所以 q 是 p 的必要条件.
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； 如图，四边形 ABCD 的对角线互相垂直，但它不是菱形， p q ，
例 4 已知： O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d. 求证： d r 是直线 l 与 O 相切的充要条件.
证明：设 p： d r ，q：直线 l 与 O 相切. （1）充分性（ p q ）：如图，作 OP l 于点 P，则 OP d . 若 d r ，则点 P 在 O 上. 在直线 l 上任取一点 Q（异于点 P），连接 OQ. 在 Rt△OPQ 中， OQ OP r . 所以，除点 P 外直线 l 上的点都在 O 的外部， 即直线 l 与 O 仅有一个公共点 P. 所以直线 l 与 O 相切.
苏教版高中数学必修第一册2.2充分条件、必要条件、充要条件【授课课件】
综上所述，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根的充 要条件是 ac＜0．
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
1
2
3
定义法判断充分条件、必要条件 1确定谁是条件，谁是结论. 2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件， 否则就不是充分条件. 3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件， 否则就不是必要条件.
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
1
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
C [两直线平行，同位角相等．两条直线被第三条直线所截得
()
(3)若 q 是 p 的必要条件，则 q 成立，p 也成立．
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
知识点2 充要条件 (1)如果p⇒q，．指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件． (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； [解] 因为四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，四边 形是平行四边形 四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不 必要条件．
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
1
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3
定义法判断充分条件、必要条件 1确定谁是条件，谁是结论. 2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件， 否则就不是充分条件. 3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件， 否则就不是必要条件.
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
C [两直线平行，同位角相等．两条直线被第三条直线所截得
()
(3)若 q 是 p 的必要条件，则 q 成立，p 也成立．
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2.2 充分条件、必要条件、 充要条件
1
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
知识点2 充要条件 (1)如果p⇒q，．指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件． (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； [解] 因为四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，四边 形是平行四边形 四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不 必要条件．
湘教版高中数学《充分条件和必要条件》课件
一 充分条件和必要条件
例 4 试证： (1)在实数范围内，x=1是x2=1的充分而不必要条件； (2)四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件． 证明 (1)x=1⟹ x2=1，则x=1是x2=1的充分条件；由于(－1)2=1，故x2=1⇏x=1， 则x=1不是x2=1的必要条件．因此，x=1是x2=1的充分而不必要条件． (2)记p：四边形的两组对边分别相等，q：四边形为矩形． q⟹p，则p是q的必要条件；由于平行四边形的两组对边分别相等，p⇏q，则p 不是q的充分条件．因此，四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不 充分条件．
一 充分条件和必要条件
例 5 下面列出直角三角形的6条性质： ①两锐角之和等于直角； ②有且只有一条边是最长边； ③有一条边上的中线等于此条边的一半； ④有一边的平方等于另两边的平方之和； ⑤有一条边上的高分此边所成两线段的积等于此高的平方； ⑥有一条边是三角形外接圆的直径． 试指出哪些性质是三角形为直角三角形的充要条件． 解 以上除②之外，其余5条都是三角形为直角三角形的充要条件．
ax2+4x－3=0没有正的实根”也不是“a<0”的必要条件． 命题(6)为真命题； 故“a=b”是“a2=b2”的充分条件，“a2=b2”是“a=b”的必要条件．
一 充分条件和必要条件
如果既有p⟹q，又有q⟹p，就记作p⟺q．即p既是q的充分条件，又是q的 必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．当然，此时q也是 p的充分必要条件．
一 充分条件和必要条件
练习
1. 下列命题中，哪些命题是“四边形是矩形”的充分条件？
(1)四边形的对角线相等；
(2)四边形的两组对边分别相等；
(3)四边形有三个内角都为直角；
湘教版高中数学必修第一册-1.2.2充分条件和必要条件【课件】
≤ y ≤ 2}，
B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
7
∴A B，∴1－m2≤ .
3
4
3
4
解得m≥ 或m≤－ .
16
3
3
故m的取值范围为m≤－ 或m≥ .
4
4
易错辨析 混淆条件与结论致误
例4 使不等式0＜x＜2成立的一个充分但不必要条件是(
1
A．0＜x＜1
至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．
(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直
接证明充要性．
跟踪训练3 求证：关于x的方程ax2 ＋bx＋c＝0有一个根为1的充要
条件是a＋b＋c＝0.
证明：设p：a＋b＋c＝0；q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
(1)充分性(p⇒q)：因为a＋b＋c＝0，
要点二 充要条件
p⇔q
如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．即p既是q的充分条件，
又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条
逆命题
件．换句话说，如果一个命题和它的________都成立，则此命题的条
件和结论互为充分必要条件．
状元随笔 对于充要条件，要熟悉它的同义语“p是q的充要条件”
关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
跟踪训练4
集合A＝ =
2
−
3
2
3
+ 1，
4
≤ x ≤ 2 B ＝ {x|x ＋
m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值
范围．
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5、a＞b成立的充分不必要的条件是（D ）
A. ac＞bc
B. a/c＞b/c
C. a+c＞b+c D. ac2＞bc2
6.关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的
解集为R的充要条件是( C)
(A)m＜0
(B)m≤0
(C)m＜1
(D)m≤1
7.若A是B的必要而不充分条件，C是B 的充要条件，D是C的充分而不必要条 件，那么D是A的__充__分_不__必_ 要条件
1. 2.1—1.2.2 充分、必要、充要条件
回 顾 p、q分别表示某条件
1）p q--则称条件p是条件q 的充分条件 2）q p--则称条件p是条件q 的必要条件
回 顾 p、q分别表示某条件
1）p q且q p
则称条件p是条件q的充分不必要条件
2）p q且q p
则称条件p是条件q的必要不充分条件
来学校和回家的路上要注意安全
3:已知关于x的方程 (1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R).
求：⑴方程有两个正根的充要条件； ⑵方程至少有一个正根的充要条件。
【解题回顾】 一是容易漏掉讨论方程二次项系数是否为零， 二是只求必要条件忽略验证充分条件.即以所求 的必要条件代替充要条件.
同学们
来学校和回家的路上要注意安全
同学们
3）p q且q p
则称条件p是条件q的充要条件
4）p q且q p
则称条件p是条件q的既充分也不必要条件
例:下列各题中, p是q的什么条件?
1) p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数; 充要条件
2) p：整数a是６的倍数， q： 整数a是２和３的倍数. 充要条件
2：用“充分不必要，必要不充分，充要，既 不充分又不必要填空。 1）sinA>sinB是A>B的_既_不_充__分_又_不_必_要__条件。
【解题回顾】充要条件的证明一般分两步： 证充分性即证A =>B， 证必要性即证B=43;y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0
充要条件的证明的两个方面： 1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥0 2、充分性: xy≥0→ |x+y|=|x|+|y| 3、点明结论
2）在ΔABC中，sinA>sinB是 A>B的 ____充_要___条件。
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q}
1）若A B且B A，则称p是q的充分不必要条件 2）若A B且B A，则称p是q的必要不充分条件
1)
A
B
2)
A
B
3)若A B且B A,则称p是q的既不充分又不必要的条件. 4）若A B且B A，既A=B，则称p是q的充要条件
A
B
3)
A =B 4)
巩固练习
1.已知P：｜2x-3｜≧1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6,
则非p是非q的（A ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
8.已知p是q的必要而不充分条件， 那么┐p是┐q的___充__分_不__必__要_条__件__.
9：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条
件,则A为C的（ ）条Ａ件
A.充要
B必要不充分
C充分不必要 D不充分不必要
充要条件的证明
1:求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有 一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
3、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},
那么”x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的(B )
A.充要条件
B必要不充分条件
C充分不必要 D不充分不必要
4、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是(A)
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2