充分、必要、充要条件概论

p与q互为充要条件(或称“p与q等价”) ②“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示
充分，“仅当”表示必要
定 义2：
如果既有p q又有q p就记做p q
称:p是q的充分必要条件,简称充要条件
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件p与q互Βιβλιοθήκη 充要条件 (也可以说成”p与q等价”)
p：“有水”；q：“鱼能生存”． 判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．
2、学生活动：
⑴ p ：小明是南京人 q ：小明是中国人
⑵ p ：x >5 ， q ：x >0；
⑷ p ：A∩B=A， q ：A B；
在⑴、⑵、⑷中，p q ，即只要
有条件p 就一定能“充分”保 证q 成立，这时称p是q成立的
(2)p: x>0，y>0 q: xy>0
(3)p: a>b
q: a+c>b+c
解：（1）p是q的充要条件 (2)p是q的充分不必要条件。
（3）p是q的充要条件
例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”填空：
(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的必＿要＿不＿充＿分＿＿条件.
• （1）若x＝y，则x2＝y2 真 • （2）若 a = 0，则 ab = 0 真 • （3）若x2>1，则x>1 假 • （4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0 真
推出符号“ ”的含义
• 如果命题“若p则q”为真，则记作p q。
• 如果命题“若p则q”为假，则记作p q。
引入：若p则q型的命题
(3)x 为无理数 x2 为无理数
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中 q是p的必要条件？
(1) 若x=y，则x2=y2。 是 (2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。是
(3) 若a>b，则ac>bc。不是
(1)x=yx2=y2
(2) 两个三角形全等 这两个三角形的面积相等
练习1
已知p,q都是r的必要条件，
s是r的充分条件，q是s的充分条件，则
（1）s是q的什么条件？ （2）r是q的什么条件？
充要条件 充要条件
（3）P是q的什么条件？ 必要条件
充分条件与必要条件的理解
从集合角度理解：
p q，相当于p
q，
即
p
•P足以导致q,也就是
充分条件.
2、学生活动
⑴ q ：小明是中国人 p ：小明是南京人
命题⑴ p q,根据逆否命题qp,
即如果没有q成立,就一定没有p成 立, q成立是p成立“必须要有” 的条件,称 q是 p的必要条件.
研究以下两个命题
1若 a = 0，则 ab = 0
2若x2>1，则x>1
a 0 ab 0 x2 1 x 1
(2)“同位角相等”是“两直线平行”充的要＿＿＿条
件.
充分不必要
(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件.
(4)“四边形既不的充对分角也线不相必等要”是“四边形为平行四 边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.
例3．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件： 如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 充分不必要 条件； 如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 必要不充分 条件； 如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 充要 条件； 如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件；
在命题中研究条件对结论的制约程度 在真命题1中p足以导致q，也就是说条件p充分了。
在假命题2中条件p不充分。
在命题中研究结论对条件的制约程度
在真命题1中，q是p成立所必须具备的前提。 在假命题2中，q不是p成立所必须具备的前提
三、充分条件与必要条件
定义1：
如果已知p=>q,则说p是q的充分条件，q是p的必要条件
• （1）若x＝y，则x2＝y2 真
x y x2 y2
• （2）若 a = 0，则 ab = 0 真
a 0 ab 0
• （3）若x2>1，则x>1 假
x2 1 x 1
• （4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0 真
x 1或x 2 x2 3x 2 0
➢ 1、问题：鱼非常需要水，没了水，鱼就 无法生存，但只有水，够吗？
(3) a>b ac>bc。
思考：
• 已知p：整数a是６的倍数， • q：整数a是２和３的倍数， • 那么p是q的什么条件？
p q p是q的充分条件
q p p是 q的必要条件
定义2：
如果既有p=>q又有q=>p，就记做p<=>q，则称p是 q的充分必要条件，简称充要条件。
注： ①显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。
如果已知q=>p,则说q是p的充分条件，p是q的必要条件
注： ①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以
保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的形式,即“有之必成立”。
②必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则非p” 为真 （非q=>非p）的形式，即“无之必不成立”。
③p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它们是同一个 逻辑关系“p=>q”的不同表达方法。
全方位考虑p与q的关系
1) p q且q p 2) p q且q p 3) p q且q p 4) p q且q p
p是q充分不必要条件 p是q必要不充分条件 p是q既不充分也不必要条件
p是q充要条件
例1、下列各题中，哪些p是q的充要条件?
(1)p: b=0 q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数
1.2.1推出与充分条件、必要条件
一、复习引入
1、命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系：
原命题
互逆
若p则q
逆命题 若q则p
互否
互为 逆否 互 否
否命题 若 p则 q 互逆
逆否命题 若 q则
p
注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
引入：若p则q型的命题
判断下列命题的真假
定 义1： 如果已知p q，则说p是q的充分条
件， q是p的必要条件。
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件？
是 （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； 是 （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； 不是 （3）若x 为无理数，则x2 为无理数
解：(1)x=1 x2 – 4x+3=0 (2)f（x）=x f（x）为增函数