怎样理解充分条件、必要条件和充要条件
高一数学充分条件与必要条件笔记
高一数学充分条件与必要条件笔记充分条件与必要条件是数学中重要的概念，它们描述了命题成立的条件和结论之间的关系。
1. 充分条件：如果由条件A可以推出结论B，那么就说A是B的充分条件。
简单来说，就是有了A，就可以得到B。
2. 必要条件：如果由结论B可以推出条件A，那么就说A是B的必要条件。
简单来说，就是没有A，就没有B。
充分必要条件：如果由A可以推出B，由B也可以推出A，那么就说A是B的充分必要条件，简称充要条件。
既不充分也不必要条件：如果由A不能推出B，由B也不能推出A，那么就说A 是B的既不充分也不必要条件。
可以根据这些定义来判断某一条件是否为另一条件的充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件。
同时，这些判断也可以基于逻辑推理关系来进行。
1. 充分条件：如果由条件A可以推出结论B，那么就说A是B的充分条件。
简单来说，就是有了A，就可以得到B。
比如，如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数。
在这里，“能被2整除”就是“偶数”的充分条件。
2. 必要条件：如果由结论B可以推出条件A，那么就说A是B的必要条件。
简单来说，就是没有A，就没有B。
比如，如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数。
在这里，“能被2整除”就是“偶数”的必要条件。
3. 充分必要条件：如果由A可以推出B，由B也可以推出A，那么就说A是B 的充分必要条件，简称充要条件。
比如，在三角形中，如果一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形。
在这里，“是直角”就是“直角三角形”的充分必要条件。
4. 既不充分也不必要条件：如果由A不能推出B，由B也不能推出A，那么就说A是B的既不充分也不必要条件。
比如，在三角形中，“是等腰三角形”不能推出“有一个角是直角”，也不能推出“是直角三角形”，因此，“是等腰三角形”就是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件。
这些判断可以根据逻辑推理关系来进行。
在判断某一条件是否为另一条件的充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件时，可以通过逻辑推理的方法来验证。
充分条件必要条件充要条件的概念
充分条件必要条件充要条件的概念
充分条件、必要条件与充要条件是逻辑学与数学中的基本概念，它们的定义如下：
1. 充分条件：
在数学和逻辑学中，充分条件是一个能够导致某个结果的条件。
换句话说，如果存在一个条件，那么我们就可以合理地认为它能导致某个结果。
例如，如果A 是B 的充分条件，那么我们可以说只要A 发生，B 就一定会发生。
2. 必要条件：
在数学和逻辑学中，必要条件是一个没有它就不能产生结果的条件。
换句话说，如果没有一个条件，那么我们就无法合理地推断出某个结果。
例如，如果B 是A 的必要条件，那么我们可以说只有B 发生，A 才会发生。
3. 充分且必要条件：
充分且必要条件是同时满足两个条件的条件。
换句话说，如果A 是B 的充分条件，同时B 是A 的必要条件，那么我们可以说A 是B 的充分且必要条件。
在逻辑学和数学中，这种条件通常被称为充要条件。
充分条件、必要条件和充要条件的概念可以应用于各种情况，包括数学证明、逻辑推理和计算机科学。
例如，在计算机科学中，这些概念可以帮助我们编写更加可靠和健壮的代码，因为它们可以确保我们只使用必要的条件，从而避免不必要的复杂性和错误。
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件张万库充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。
怎样理解这三个概念呢？1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。
谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。
2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，有了条件A ，结论B 一定成立（A B ⇒）；没有条件A ，结论B 未必不成立，也有可能成立。
这样的条件A 就是结论B 的充分条件。
例如，在命题“若x>0，则x 20>”中，有了条件“x>0”，就一定有结论“x 20>”成立。
把条件“x>0”换成“x <0”或“x ≠0”，仍有结论“x 20>”成立。
因此条件“x >0”是结论“x 20>”的充分条件。
教材中由“p q ⇒”定义“p 是q 的充分条件”，说的就是命题“若p 则q ”中条件p 对于结论q 成立的作用。
3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，没有条件A ，结论B 一定不成立（⌝⇒⌝A B ）；但是有了条件A ，结论B 却未必一定成立。
这样的条件A 就是结论B 的必要条件。
例如，在命题“若x R x Q ∈∈，则”中，没有条件“x Q ∈”，就一定不会有结论“x Q ∈”。
但是有了条件“x R ∈”，却未必有结论“x R ∈”，还有可能是x C Q R ∈。
因此条件“x R ∈”是结论“x Q ∈”的必要条件。
利用“⌝⇒⌝A B ”判断条件A 是结论B 的必要条件，有时是很困难的。
我们可以利用“⌝⇒⌝A B ”的等价命题“B A ⇒”来判断，但一定要注意A 还是条件，B 还是结论，即若由结论B 能推出条件A ，则条件A 对于结论B 的成立是必要的。
充分条件与必要条件知识点
充分条件与必要条件知识点充分条件和必要条件是高中数学中的重要概念。
虽然这些概念比较抽象，但是它们的理解对于学生来说非常重要。
下面是关于高一数学中充分条件和必要条件的知识点。
1.充分条件、必要条件和充要条件充分条件指的是，如果条件A成立，那么结果B也成立。
也就是说，条件A是B成立的充分条件。
必要条件则是指，如果条件A成立，那么结果B也成立。
也就是说，结果B是条件A成立的必要条件。
充要条件则是指，如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B。
简单来说，如果满足条件A，那么结果B必然成立；如果不满足条件A，那么结果B必然不成立。
因此，条件A是结果B的充分必要条件。
反之，如果有事物情况B，则必然有事物情况A；如果没有事物情况B，则必然没有事物情况A。
因此，结果B是条件A的充分必要条件。
简单来说，如果满足结果B，那么条件A必然成立；如果不满足结果B，那么条件A必然不成立。
因此，结果B是条件A的充分必要条件。
也就是说，条件A可以推导出结果B，结果B也可以推导出条件A。
2.充分条件、必要条件和充要条件的判断对于命题“若…，则…”，其条件与结论之间的逻辑关系如下：如果条件A成立，那么结果B也成立，用符号表示为A B。
如果条件A成立，但结果B不一定成立，用符号表示为A B。
如果条件A和结果B互相成立，用符号表示为A B。
具体来说，如果XXX且B成立，则条件A是结果B成立的充分条件，结果B是条件A成立的必要条件。
如果XXX 且B成立，则条件A是结果B成立的充分且不必要条件，结果B是条件A成立的必要且非充分条件。
如果A和B互相成立，并且B能推导出A成立，则条件B是结果A成立的充分条件，结果A是条件B成立的必要条件。
如果A和B互相成立，那么它们互为充要条件。
要证明A是B的充要条件，需要分两步：①先证明A是B成立的充分条件；②再证明A是B成立的必要条件。
如果A和B互相成立，那么它们互为充要条件。
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。
怎样理解这三个概念呢？1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。
谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。
2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A则B”，有了条件A，结论B一定成立（）；没有条件A，结论B未必不成立，也有可能成立。
这样的条件A就是结论B的充分条件。
例如：只要天下雨，地就会湿。
“下雨”就是“地湿”的充分条件，有“下雨”这个条件就一定有“地湿”这个结果，但“地湿”这个结果不一定就是“天下雨”造成的，也许还可能有其他的条件原因，如洒水车洒的、别人喷的等等。
3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A则B”，没有条件A，结论B一定不成立（）；但是有了条件A，结论B却未必一定成立。
这样的条件A就是结论B的必要条件。
例如：只有阳光充足，菜才能长得好。
“阳光充足”就是“菜长得好”的必要条件，有“阳光充足”这个条件“菜”不一定就长得好，还需要施肥、浇水等其他条件。
但“菜”要长得好一定要有“阳光充足”这个条件。
4. 充要条件：即充分必要条件。
或者说是无条件的。
充要条件的特征是“有之必然，无之必不然”，即对于给定的命题“若A则B”，有了条件A，结论B一定成立；没有条件A，结论B一定不成立。
这样的条件A就是结论B的充要条件。
例如：有两条对应边平行且相等的四边形是平行四边形。
“两条对应边平行且相等”是“平行四边形”的充要条件。
5.在命题“若A则B”中，条件A是结论B的充分（必要、充要）条件，在逆命题“若B则A”中，条件B就是结论A的必要（充分、充要）条件。
运用充分条件、必要条件、充要条件的概念和观点思考问题、解决问题时，一定要弄清问题中所涉及的命题是什么（即弄清谁是条件，谁是结论）。
充分条件、必要条件、充要条件-高中数学知识点讲解
充分条件、必要条件、充要条件1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若则”为真时，可表示为，称为的充分条件，是的必要条件．事实上，p q p q p q q p与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若不成立，则一定不成立．这就是说，p q ￢q ￢p q p q 对于是必不可少的，所以说是的必要条件．例如：．显然，则．等价于p q p p：x＞2；q：x＞0 x p x qx q x p，则一定成立．2、充要条件：如果既有“”，又有“”，则称条件是成立的充要条件，或称条件是成立p q q p p q q p的充要条件，记作“”．与互为充要条件．p q p q【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；p q q p p q②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；p q q p p q③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；p q q p p q④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．p q q p p q⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．1/ 1。
数学中的充分条件、必要条件如何理解？
数学中的充分条件、必要条件如何理解？
在数学中：命题的条件和结论之间有着一定的联系。
这些联系就是由：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件（充分必要条件）”、“充分而非必要条件”、“必要而非充分条件”，这些条件组成。
1、充分条件
如果命题“ p → q ” 为真，那么p 叫做q的充分条件。
也就是说，若条件p成立时，则事件q必然发生。
例如：“若两角是对顶角，则此两角相等”为真，“两角是对顶角”是“两角相等”的充分条件。
也就是说，由“两角是对顶角”这个条件成立，就可以保证“两角相等”成立。
简而言之，充分条件就是有之则必然。
2、必要条件
如果命题“→p →q ”为真，那么p就叫做使q成立的必要条件。
也就是说，若条件p不成立，则事件q就一定不发生。
例如“若两角不相等，则此两角一定不是对顶角”为真。
“两角相等”是“两角是对顶角”的必要条件。
即要使“两角是对顶角”成立，“两角相等”是必不可缺少的。
需要注意的是，必要条件具备也不能保证结论成立。
如上例：“两角相等”，也不能保证“两角是对顶角”。
简而言之：必要条件就是无之则不然。
充分条件,必要条件,充要条件题型解析文章
充分条件,必要条件,充要条件题型解析文章充分条件、必要条件、充要条件是数学和逻辑学中非常重要的概念，对于解题、证明和推理都有着重要的作用。
在解题中，对于这些条件的理解可以帮助我们更好地找到解题的关键点，进行有效的推理，从而得出正确的结论。
下面我将就这些条件的概念、特点、解题技巧和例题进行解析，希望能为你对这些条件的理解提供一些帮助和启发。
一、充分条件、必要条件、充要条件的概念1. 充分条件：如果A是B的充分条件，那么表示A是B发生的一个足够的条件，即如果B发生，则A一定发生。
充分条件通常用“若……则……”表示。
2. 必要条件：如果A是B的必要条件，那么表示A是B发生的一个必需条件，即只有当A发生时，B才能发生。
必要条件通常用“只有……才……”表示。
3. 充要条件：A是B的充要条件，表示A不仅是B发生的充分条件，也是B发生的必要条件，即当且仅当A发生时，B才能发生。
二、充分条件、必要条件、充要条件的特点1. 充分条件和必要条件是对偶关系，即A是B的充分条件，等价于B 是A的必要条件，反之亦然。
2. 充要条件是充分条件和必要条件的结合，即A是B的充要条件，表示A既是B发生的充分条件，又是B发生的必要条件。
3. 在数学证明中，常常用“充要条件”的推理方式来进行证明，因为它包含了充分条件和必要条件的双重性质，能够更准确地得出结论。
三、解题技巧与例题解析充分条件、必要条件、充要条件在数学中有着广泛的应用，特别是在逻辑推理、证明方法和解题技巧中。
在解题时，我们可以根据充分条件和必要条件的特点，灵活运用以下几种方法来进行推理和证明：1. 分情况讨论法：对于充分条件和必要条件，我们可以分别讨论条件成立和不成立的情况，从而得出结论。
2. 双向推理法：对于充要条件，我们可以采用双向推理的方法，即从A推出B，再从B推出A，从而证明A是B的充要条件。
下面通过一个例题来进行解析：例题：已知命题P：若x > 3，则x^2 > 9。
第2节 充分条件与必要条件
第2节充分条件与必要条件知识梳理充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.()(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2.设a ，b ∈R 且ab ≠0，则ab >1是a >1b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 若“ab >1”，当a ＝－2，b ＝－1时，不能得到“a >1b ”， 若“a >1b ”，例如当a ＝1，b ＝－1时，不能得到“ab >1”， 故“ab >1”是“a >1b ”的既不充分也不必要条件.3.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________. 答案 m ＝－24.(多选题)(2020·临沂质检)设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是( ) A.x ＜1 B.x ＞1 C.x ＞－1 D.x ＞3答案 BC5.(2020·天津卷)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由a 2＞a ，得a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0， ∴“a ＞1”是“a 2＞a ”的充分不必要条件.6.(2021·合肥七校联考)已知集合A ＝{x |13<3x <27，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<3x <27，x ∈R ＝{x |－1<x <3}.∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B，所以m＋1>3，即m>2.考点一充分条件与必要条件的判定【例1】(1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n 共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A解析(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l 可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.感悟升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练1】(1)(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是()A.l⊂α，l⊥βB.l⊥α，m⊥β，l⊥mC.α⊥γ，β∥γD.l⊂α，m⊂β，l⊥m(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 (1)ABC (2)C解析 (1)由面面垂直的判定可以判断A ，B ，C 符合题意，对于选项D ，l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，也可以得到α∥β，D 不符合题意.故选ABC.(2)若存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β，则当k ＝2n (n ∈Z )，α＝2n π＋β，有sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )，α＝(2n ＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n ＋1)π－β]＝sin β.若sin α＝sin β，则α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β(k ∈Z )， 即α＝k π＋(－1)k β(k ∈Z ).故选C. 考点二 充分、必要条件的应用【例2】(经典母题)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围. 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . ∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3].【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【迁移2】设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， p 是q 的充分不必要条件. ∴p ⇒q 且q ⇒p ，即P S . ∴⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，又因为S 为非空集合， 所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0， 综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).感悟升华 1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键 (1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练2】设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x－a )[x －(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}. 由q 是p 的必要而不充分条件，知A B . 所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.考点三 充要条件的探求【例3】已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件.解 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根， 所以⎩⎨⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0，解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数. 又因为m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.感悟升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性.【训练3】 (1)命题“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A.a ≥4B.a ＞4C.a ≥1D.a ＞1(2)(2021·武汉质检)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________. 答案 (1)B (2)ac ＜0解析 (1)要使“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件.(2)ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ＞0，ca ＜0，即ac ＜0.A 级 基础巩固一、选择题1.设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 由|x －1|<1可得0<x <2，由“0<x <5”不能推出“0<x <2”，但由“0<x <2”可以推出“0<x <5”.故“0<x <5”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件.2.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.3.(多选题)(2021·长沙质检)若x 2－x －2＜0是－2＜x ＜a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A.1 B.2C.3D.4答案 BCD解析 由x 2－x －2＜0，解得－1＜x ＜2.∵x 2－x －2＜0是－2＜x ＜a 的充分不必要条件，∴(－1，2)(－2，a )，∴a ≥2. ∴实数a 的值可以是2，3，4.4.(2019·北京卷)设函数f (x )＝cos x ＋b sin x (b 为常数)，则“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 当b ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x －b sin x ＝f (x )，∴－b sin x ＝b sin x 对x ∈R 恒成立，∴b ＝0. 故“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件. 5.“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由log 2(2x －3)＜1⇔0＜2x －3＜2⇔32＜x ＜52，4x＞8⇔2x ＞3⇔x ＞32，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件，故选A.6.(2021·湖南雅礼中学月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.(－∞，1) C.(3，＋∞) D.[3，＋∞) 答案 D解析 |x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4，解得a ≥3.7.(2020·东莞模拟)若实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，则“a ＞b ”是“a ＋ln a ＞b ＋ ln b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析设f(x)＝x＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵a＞b，∴f(a)＞f(b)，∴a＋ln a＞b＋ln b，充分性成立；∵a＋ln a＞b＋ln b，∴f(a)＞f(b)，∴a＞b，必要性成立，故“a＞b”是“a＋ln a＞b＋ln b”的充要条件，故选C.8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]答案A解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.二、填空题9.“sin α＝sin β”是“α＝β”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).答案必要不充分10.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.答案－1<k<3解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|2<2，解得－1<k<3.11.(2020·河南名校联考)设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).解析 由x 2－5x ＋4≥0得x ≤1或x ≥4，可知{x |x >4}是{x |x ≤1或x ≥4}的真子集，∴p 是q 的充分不必要条件.12.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38. B 级 能力提升13.(多选题)(2021·青岛调研)下列叙述正确的是( )A.“a ＜1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件B.若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C.“a ＞1”是“1a ＜1”的充分不必要条件D.若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0” 答案 AC解析 若方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a ＞0，x 1x 2＝a ＜0，∴a ＜0，∴“a ＜1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故A 正确.a ＞c 且b ＝0时，推不出ab 2＞cb 2，故B 不正确.a ＞1⇒1a ＜1，1a ＜1⇒/ a ＞1，∴“a ＞1”是“1a ＜1”的充分不必要条件，C 正确. 当a ＝0，b ＝0，c ＜0时，满足b 2－4ac ≤0，但此时ax 2＋bx ＋c ≥0不成立，所以D 不正确.14.(2020·福州模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝ －f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立.故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件.15.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－x －6≤1，B ＝{x |log 3(x ＋a )≥1}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，0]解析 由⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－x －6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}.由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }.由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.16.ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是________.答案 a ≤1解析 (1)当a ＝0时，为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合题目要求.(2)当a ≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a .①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a ＜0，得a ＜0. ②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a ＜0，1a ＞0，得0＜a ≤1.综上，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.。
充分条件必要条件的区别通俗易懂
充分条件必要条件的区别通俗易懂
充分条件和必要条件是数学中常用的概念，用于描述一个命题的性质。
充分条件：充分条件是指如果某个条件成立，那么这个命题一定成立。
可以理解为某个条件是命题成立的充分原因或足够条件。
举个例子，我们来考虑一个命题：“如果一个动物是猫，
那么它有尾巴。
”这里，“是猫”就是这个命题成立的充分条件，也就是说，只要一个动物是猫，那么它一定有尾巴。
必要条件：必要条件是指如果某个命题成立，那么这个条件一定成立。
可以理解为某个条件是命题成立的必要条件或必需条件。
继续用前面的例子来解释，我们说“如果一个动物有尾巴，那么它是猫。
”这里，“有尾巴”就是这个命题成立的必要条件，也就是说，只有当一个动物有尾巴时，它才能是猫。
总结起来，充分条件是指某个条件可以推导出命题成立，必要条件是指命题成立可以推导出某个条件。
充分条件是解释为条件导致结果，而必要条件则解释为结果需要条件。
高考数学充分条件与必要条件
2．若A B，则p 是q的必要条件。
3．若A=B，则p 是q的充要条件。
B，则p 是q的充分条件。
记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。
第三种方法：等价法
利用
A B与B A
等价关系。
A B与B A
的互为逆否命题的
B A与A B
证明A是B的充要条件，分两步： Nhomakorabea四、作业
； / PCB抄板打样；
瞳孔壹缩,他还看到中年男子几次将要说话,但却没有任何の话语传来,让他心中壹凛,估计是阵法の缘故丶或许是他摸出了这系阵の壹些端倪,所以想要告诉自己,但又被阵法阻拦,心中壹定,就要冲向中年男子而去丶也就是在这时,那青袍声发现了他在疾冲,当即舍去中年男子直奔他而来, 要灭杀他!虽然这青袍声在他黄脸汉子看来有些怪异,但此时却不是思索の时候,当下他掐诀,眉心壹道激射出壹道潋滟の剑芒丶"咻!"剑芒疾驶,直奔青袍声の眉心,青袍声也不甘示弱,神链噢驰要将那剑芒磨灭!同时还有那名中年男子也疾驶而上,壹口长剑直至青袍声!"轰!"几乎是瞬间, 壹道剑芒洞穿青袍声の肩膀,同时数道恐怖の规则神链化作の长枪险些将黄脸男子洞穿胸口丶在同壹时刻,那又有数道规则神链守护在青袍声の身旁,以防中年男子の袭杀丶然而在最后の时刻中年男子却没有杀向青袍声,反而露出诡异の笑容,速度几乎是壹闪直奔毫无防备の黄脸汉子丶" 噗!"霎时,壹条手臂直接噢起,血流如注,吃痛之后の黄脸汉子另壹只手握起の拳头抛发出猛烈之芒,神色愤怒の轰向中年男子丶"轰!"然而那名中年男子壹击得手后就直接消散开来,使得黄脸男子壹拳落在空出,虚空直接在黄脸男子壹拳下化为虚无!"是师兄?"就在此时,壹手捂着肩膀の青 袍声对着黄脸男子叫道丶"什么?你
充分条件与必要条件_学生4
充分条件与必要条件【要点梳理】要点一：充分条件与必要条件、充要条件的概念 1. 符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒； “若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/. 2. 充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p 是q 的充要条件.总结：口诀“前推后，充分条件；后推前，必要条件；前后互推，充要条件” 要点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 1. 从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系.①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件； ③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件； ④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2. 从集合与集合间的关系看 若p ：x ∈A ，则q ：x ∈B .①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件； ③若A =B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 总结：小范围 大范围 要点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）.要点诠释：对于命题“若p ，则q ” ：①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题. 【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1. 指出下列各题中，p 分别是q 的什么条件？ (1) p ：(2)(3)0x x --=， q ： 2x =；(2) p ：0c =， q ： 抛物线2y ax bx c =++过原点； (3) p ：一个四边形是矩形， q ： 四边形的邻边相等. 举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：A B ∠=∠， q ：A ∠和B ∠是对顶角. （2）p ：1x =， q ：21x =； 【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件. （1）p ：0a >且0b >， q ：0ab >； （2）p ：1xy>， q ： x y >. 例2. 已知p ：0<x <3，q ：|x -1|<2，则p 是q 的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 举一反三：【变式1】设x ∈R ，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x < 【变式2】下列各小题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：22x -≤≤， q ： 20x -<<； （2）p ：03x <<， q ：13x -<<.【变式3】设条件甲为“250x x -<”，条件乙为“2560x x --<””那么甲是乙的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x y 、∈R ，求证：|x y +|=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0.举一反三：【变式1】已知a b c ，，都是实数，证明ac < 0是关于x 的方程2ax bx c ++=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负的实根的充要条件.类型三：充要条件的应用例4. 已知条件p ：2x +ax ＋1≤ 0，条件q ：23x x －＋2≤ 0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．举一反三：【变式1】已知命题p ：()110c x +c c <<>－，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【变式2】已知p ：1|1|23x --≤，q ：22210(0)x x m m -+-≤>，若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【巩固练习】 一、选择题1．设a b 、∈R ，那么ab ＝0的充要条件是( ) A ．a ＝0且b ＝0 B ．a ＝0或b ≠ 0 C ．a ＝0或b ＝0 D ．a ≠ 0且b ＝02．命题p ：(1)(2)x y －－＝0；命题q ：22(1)(2)x y －＋－＝0，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．已知a b c d ，，，为实数，且c d >，则“a b >”是“a c b d >－－”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．4．“0b=c=”是二次函数“2y=ax +bx+c ”的图象经过原点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题p ：不等式221ax +ax+>0的解集为R ，命题q ：0<a <1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题7．若x ∈R ，则函数()()20f x ax +bx+c a ≠＝的值恒为正的充要条件是_________________，恒为负的充要条件是_________________．8．已知数列{}n a ，那么“对任意的n ∈N ＋，点()n n P n a ，，都在直线2y=x ＋1上”是“{}n a 为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”， “必要不充分条件”， “充要条件”， “既不充分也不必要条件”填空：(1) “m ≠3”是“m ≠3”的________；(2) “四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________； (3) “a >b ，c d >”是“a c b d > ”的________．10. 函数()()20f x =ax bx c a ≠＋＋的图象关于y 轴对称的充要条件是________． 三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：x ＝1； q ：x －1(2) p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5. (3) p ：三角形是等边三角形； q ：三角形是等腰三角形． 12．(1)写出x < 2的一个充分不必要条件； (2) 写出x > 1的一个必要不充分条件； (3) 写出x1>2的一个充要条件.13．已知p ：2820x x -->0，，q ：2221x x a -+->0， 若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.14．不等式221x mx －－>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．15．证明：方程2ax +bx+c ＝0有一根为1的充要条件是a+b+c ＝0.【课后作业】 一、选择题1．命题(1)(2)0p x y =：－－；命题22(1)(2)0q x y =：－＋－，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件2．“0b=c=”是二次函数“2y=ax +bx+c ”的图象经过原点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题p ：不等式221ax +ax +>0的解集为R ，命题q ：0<a <1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设集合{}|M=x x a >，{|1}P=x x a < ，那么“x M ∈或x P ∈”是“()x M P ∈”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，sin sin A B >是A B >的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题中的真命题是( )A ．“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件B ．“AB ≠ ”是“A →B ”的充要条件C ．“24b ac －< 0”是一元二次不等式“2ax +bx+c > 0的解集为R ”的充要条件D ．一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 二、填空题7．关于x 的方程22(1)2m x m+x+－＝0的实数根的总和为2的充要条件是________． 8．已知数列{}n a ，那么“对任意的n ∈N ＋，点()n n P n a ，，都在直线2y=x ＋1上”是“{}n a 为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”、 “必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空：(1) “m ≠3”是“m ≠3”的________；(2) “四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________； (3) “a >b ，c d >”是“a c b d > ”的________．10. 函数()()20f x =ax bx c a ≠＋＋的图象关于y 轴对称的充要条件是________． 三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：x ＝1； q ：x －1(2) p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5. (3) p ：三角形是等边三角形； q ：三角形是等腰三角形．12．已知p ： 2820x x -->0,，q ：2221x x a -+->0, 若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.13．不等式221x mx －－>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．14．证明：方程2ax +bx+c ＝0有一根为1的充要条件是a+b+c ＝0.15. 求不等式22(32)(1)a a+x +a x －－＋2>0的解是一切实数的充要条件．全称量词与存在量词【要点梳理】要点一：全称量词与全称命题 全称量词全称量词的概念：在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词． 常见的全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”、“任何”、“一切”等． 全称量词的表示：通常用符号“∀”表示，读作“对任意”． 全称命题全称命题的概念：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的形式：对M 中任意一个x ，有()p x 成立．记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题．要点二：存在量词与特称命题 存在量词存在量词的概念：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词．常见的存在量词：“有些”、“至少有一个”、 “有一个”、“存在”等．存在量词的表示：通常用符号“∃”表示，读作“存在”． 特称命题特称命题的概念：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题的形式：存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立．记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：（1）全称命题表示整体或全部的含义，而特称命题反映对个体或整体一部分的判断. （2）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,αβ∈∈R R 使sin()sin sin αβαβ+=+．（2）有些特称命题也可能省略了存在量词．例如：“正方形是矩形”，“球面是曲面等等”.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述.要点三： 全称命题与特称命题的否定总结：全称命题的否定是特称命题.全称命题的否定: （两变）1. “全称量词”变“存在量词”2. 否定结论 全称命题P ： 特称命题:例1 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2)p: 每个实数的平方都是正数；3) p:写出下列命题的否定：1)有的同学期末考试数学成绩不及格； 2）∃ x 0∈R, x 02＋1＜0.总结：特称命题的否定是全称命题特称命题的否定:（两变）1. “存在量词”变“全称量词”2. 否定结论 特称命题 : 全称命题P ：要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的； (3) 一些常见量词的否定如下表所示： 正面词 是 等于 都是 大于 小于 至少一个 至多一个 小于等于 否定词不是不等于不都是不大于不小于一个也没有至少两个大于等于【典型例题】类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析例1．指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示．（1）对任意正实数2,20a a a -->；（2）对某个大于10的正整数n ，(2)1024n =． 举一反三：【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）任何一个实数除以1仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数0x ，使2030x ->； （4）有一个实数，不能作除数； （5）棱柱是多面体；（6）有些四边形的四个边都相等．【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题．（1）∀x ∈R ，211x +≥； （2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数．类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例2．判断下列命题的真假：（1）4,12x x ∀∈+≥N ；（2）300,1x x ∃∈<Z ． 举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假： （1）2,10x x ∀∈+>R ； （2）2,1x x ∀∈≥N ； （3）3,3x x ∃∈=Z ； （4）2,320x x x ∀∈-+=R ； （5）2,10x x ∃∈+=R .类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假．（1）三角形的内角和为180°； （2）每个二次函数的图象都开口向下； （3）存在一个四边形不是平行四边形； （4）2,20x R x ∀∈+>；（5）200,10x R x ∃∈+=． 举一反三：【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假． （1）2,440x R x x ∀∈-+≥； （2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,10x R x x ∃∈++≤； （4）至少有一个实数x 0，使得220x +=．【变式2】“a 和b 都不是偶数””的否定形式是（ ） A ．a 和b 至少有一个是偶数B ．a 和b 至多有一个是偶数C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数【巩固练习】一、选择题1．将“222x +y xy ß”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．任意x y ，∈R ，都有222x +y xy ßB ．存在x y ，∈R ，都有222x +y xy ßC ．任意x ＞0，y ＞0，都有222x +y xy ßD ．存在x ＜0，y ＜0，都有222x +y xy ß2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x Þ0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数A ．0B ．1C ．2D ．33. 下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )A ．对任意的a b ，∈R ，都有222220a +b a b+<－－B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x xD ．对数函数在定义域上是单调函数4．命题“存在x ∈Z ，使220x x m ++Þ”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使22x x m ++>0B ．不存在x ∈Z ，使 22x x m ++>0C ．对于任意的x ∈Z 都有22x x m ++Þ0D ．对于任意x ∈Z 都有22x x m ++>05．命题21log 0p x x ∀>>：，，则¬p 是( )A ．21log x x ∀>，Þ0 B ．21log x x ∀>，>0C ．21log x x ∃>，Þ0D ．21log x x ∃>，>0 6. 下列说法中，正确的是( )A ．命题“若22am bm ＜，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在x ∈R ，2x x －＞0 ”的否定是“任意x ∈R ，2x x －≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件二、填空题7．命题“有些末位是0的整数，可以被3整除”________特称命题．(填“是”或“不是”)；此命题的否定是__________________________．8．下列命题中真命题为________，假命题为________． ①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ③正四面体中两侧面的夹角相等④有的实数是无限不循环小数⑤有些三角形不是等腰三角形⑥所有的菱形都是正方形9．命题“对任何x ∈R ， 2250x x ++>”的否定是____________．10. 已知命题p ：“任意[]21,20x x a ∈，－ß”，命题q ：“存在x ∈R ，02x +2ax+2a －＝”． 若命题p 和命题q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题11．写出下列命题的否定．(1) 所有自然数的平方是正数；(2) 任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；(3) 对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y >0；(4) 有些质数是奇数．12．判断命题的真假，并写出命题的否定．(1) 存在一个三角形，它的内角和大于180°.(2) 所有圆都有内接四边形．13．写出下列命题的否定：(1) 若2x >4，则x >2；(2) 若m ß0，则2x +x m －＝0有实数根；(3) 可以被5整除的整数，末位是0；(4) 被8整除的数能被4整除；(5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．14. 命题“存在x ∈R ，2239x ax+－＜0”为假命题，求实数a 的取值范围．。
充分条件和必要条件的联系和区别是什么
充分条件和必要条件的联系和区别是什么
什么是充分条件和必要条件？
假设A是条件，B是结论:
由A可以推出B,由B可以推出A，则A是B的充要条件（充分且必要条件）。
由A可以推出B,由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件。
由A不可以推出B,由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件。
由A不可以推出B,由B不可以推出A，则A是B的不充分不必要条件。
简单⼀点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件。
如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论,此条件为必要条件。
如果既能由结论推出条件，⼜能有条件推出结论,此条件为充要条件。
什么是必要性, 充分性?
必要条件:如果能从命题p推出命题q,条件q是条件p的必要条件。
如果⽆A必⽆B，有A可能有B也可能没有B，则A是B的必要条件。
例如，没有电，电灯就不会亮。
有电,电灯可能亮也可能不亮，所以，电是电灯亮的必要条件。
充分条件:
如果有A必有B，⽆A则可能⽆B也可能有B，那么A就是B的充分条件。
例如，⼀个⼈如果会⽣孩⼦，那就必然是⼥的；如果不会⽣孩⼦，那就可能不是⼥⼈但也可能是⼥⼈。
因此，会⽣孩⼦是⼥⼈的充分条件。
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只须”“等价于”“……反过来也成⽴”。
充分条件必要条件充要条件的区别
充分条件必要条件充要条件的区别
充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A 为B的真子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A。
必要条件：如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B蕴涵于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，就说A是B的必要条件。
充要条件
充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件 ( 简称：充要条件 )，反之亦然。
如：
1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。
2. A=“某人触犯了法律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。
例1中A是B的充分必要条件；
例2中A是B的必要不充分条件；（A触犯法律包含各种法，有刑法有民法；B已经确定是刑法。
B属于A所以A是B的必要不充分条件）
例3中A是B的必要不充分条件；（ A付够了钱可以买的是车、房子等；但是B能买到商店里的东西一定是要付够钱）。
充分条件和必要条件的记忆口诀
充分条件和必要条件的记忆口诀充要条件和必要条件是数学中比较容易混淆的知识点，为帮助大家更好的区分二者，整理了记忆口诀及相关内容如下，供大家参考。
充分条件和必要条件的口诀如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件。
充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B 的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B 的必要条件。
充要条件和必要条件的解题方法1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件。
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”。
2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”。
3.在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。
要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。
对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。
4.充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件，有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分。
什么是充分条件？什么是必要条件？什么是充要条件？
什么是充分条件什么是必要条件什么是充要条件假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论,这个条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论,这个条件为充要条件·定义：1.充分条件：假如A命题成立，则B命题必然成立。
那么我们把A命题叫做B命题的充分条件。
2.必要条件：假如A命题不成立，则B命题一定不成立，那么我们把A命题叫做B命题的必要条件。
3.充要条件：假如A命题成立，则B命题必然成立，且假如A命题不成立则B命题一定不成立。
那么A命题就叫做B命题的充分必要条件，简称充要条件。
定义：1.充分条件，如果A发生必然导致B发生，则A为B的充分条件。
2.必要条件，如果A不发生必然导致B不发生，则A为B的必要条件。
3.如果A为B的充分条件，且为B的必要条件，则A为B的充分必要条件,简称充要条件。
（1.充分条件：有甲这个条件一定会推出乙这个结果，但有乙这个结果不一定是因为有甲这唯一一个条件。
关联词是：只要……就…… , 甲→乙, 是“顺推”的结果。
只要有甲这个条件就必然有乙这个结果。
是甲“包含”乙的关系。
例如：只要天下雨，地就会湿。
分析：有“下雨”这个条件就一定有“地湿”这个结果，但“地湿”这个结果不一定就是“天下雨”造成的，也许还可能有其他的条件原因，如洒水车洒的、别人喷的等等。
2.必要条件：有甲这个条件不一定能推出乙这个结果，但乙这个结果一定要有甲这个条件。
有乙这个结果必须要有甲这个条件满足。
甲&丙&丁=1 ←乙，是“逆推”的关系。
知识讲解_充分条件与必要条件_基础
充分条件与必要条件【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件；③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =；(2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点(3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）:1p x =，2:1q x =；【答案】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/，∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab > （2）p :1>yx , q : x y >. 【答案】 （1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1>yx 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：-1<x<3.如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)， 从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】（2015 天津文）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】 (2015 福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B ．【变式4】（2016 北京理）设a ，b 是向量，则“||||a b = ”是“||||a b a b +=- ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=ac <0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0， 则x 1·x 2=ac <0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根， 若方程有两异号的实根，则必须满足100440a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根，则必须满足102001440a a aa ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p q ⇒，即A B ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥。
对充分和必要条件这两个逻辑关系的再理解?
对充分和必要条件这两个逻辑关系的再理解
什么是充分和必要条件？
我记得初中的时候学过分和必要条件知识，这种逻辑关系有时候容易弄错。
现在一起再回忆一下。
下面我先用非严格的数学语言描述一遍：
假设有A和B两个命题：
充分条件：如果A能推出B，则A为B的充分条件；
必要条件：如果B能推出A，则A为B的必要条件；
充分必要条件：如果A能推出B，B也能推出A，则A为B的充分必要条件，简称充要条件。
通俗一点说：
如果事件A成立，就有另一事件B成立，则A为B的充分条件。
比如张三是学生（事件A），则张三一定是人（事件B），则“张三是学生”是“张三是人”的充分条件。
如果一事件B成立，则另一事件A一定成立，则A为B的必要条件。
比如：张三要想是个学生（事件B），必须先是个人（事件A），所以“张三是个人”是“张三是学生”的必要条件。
简单来说就是：
满足充分条件，事情一定发生；
不满足必要条件，事情就发生不了（但满足了也未必发生）。
充分条件和必要条件的区别
充分条件和必要条件的区别
必要条件是指必须具备的重要条件，而充分条件是指一定能够保证结果出现的条件；必要条件可以由结果推出条件，而充分条件是由条件一定能够推出结果，但由结果推出的不仅仅是这个条件，还有别的存在。
简单一点就是：由条件能推出结论,但由结论推不出这个条件,这个条件就是充分条件.如果能由结论推出条件,但由条件推不出结论.此条件为必要条件.如果既能由结论推出条件,又能有条件推出结论.此条件为充要条件。
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怎样理解充分条件、必要条件和充要条件
充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。
怎样理解这三个概念呢？
1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。
谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。
2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A则B”，有了条件A，结论B一定成立（）；没有条件A，结论B未必不成立，也有可能成立。
这样的条件A就是结论B的充分条件。
例如：只要天下雨，地就会湿。
“下雨”就是“地湿”的充分条件，有“下雨”这个条件就一定有“地湿”这个结果，但“地湿”这个结果不一定就是“天下雨”造成的，也许还可能有其他的条件原因，如洒水车洒的、别人喷的等等。
3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A则B”，没有条件A，结论B一定不成立（）；但是有了条件A，结论B却未必一定成立。
这样的条件A就是结论B的必要条件。
例如：只有阳光充足，菜才
能长得好。
“阳光充足”就是“菜长得好”的必要条件，有“阳光充足”这个条件“菜”不一定就长得好，还需要施肥、浇水等其他条件。
但“菜”要长得好一定要有“阳光充足”这个条件。
4. 充要条件：即充分必要条件。
或者说是无条件的。
充要条件的特征是“有之必然，无之必不然”，即对于给定的命题“若A则B”，有了条件A，结论B一定成立；没有条件A，结论B一定不成立。
这样的条件A就是结论B的充要条件。
例如：有两条对应边平行且相等的四边形是平行四边形。
“两条对应边平行且相等”是“平行四边形”的充要条件。
5.在命题“若A则B”中，条件A是结论B的充分（必要、充要）条件，在逆命题“若B则A”中，条件B就是结论A的必要（充分、充要）条件。
运用充分条件、必要条件、充要条件的概念和观点思考问题、解决问题时，一定要弄清问题中所涉及的命题是什么（即弄清谁是条件，谁是结论）。
点评：充分条件、必要条件和充要条件的学习与运用，是一个极好的思维训练资源。
只要准确理解、有意识运用这几个概念思考问题和解决问题，就可以少犯错误，变得聪明起来。
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