2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2练习：第三章 推理与证明 章末复习课3 Word版含解析

题型一合情推理与演绎推理

1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．

2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．

例1(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…则每组内各数之

和f(n) (n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________．

(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则

①a2＋b2＝c2；

②cos2A＋cos2B＝1；

③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.

把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？

(1)答案f(n)＝n3

解析由于1＝13,3＋5＝8＝23，

7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.

(2)解选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．

①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S21＋S22＋S23＝S2.

②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.

③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R

＝a2＋b2＋c2

2.

反思与感悟(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．

(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．跟踪训练1下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________．

①A、B为定点，若动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则点P的轨迹是椭圆；

②由a1＝1，a n＋1＝3a n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的通项a n和S n的表达式；

③由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab；

④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．

答案②③④

题型二综合法与分析法

综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互

渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程． 例 2 用综合法和分析法证明．

已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α

1－cos α.

证明 (分析法)

要证明2sin 2α≤sin α

1－cos α

成立．

只要证明4sin αcos α≤sin α

1－cos α

.

∵α∈(0，π)，∴sin α>0.

只要证明4cos α≤1

1－cos α.

上式可变形为4≤1

1－cos α＋4(1－cos α)．

∵1－cos α>0，

∴

11－cos α＋4(1－cos α)≥21

1－cos α

·4(1－cos α)＝4，

当且仅当cos α＝12，即α＝π

3

时取等号．

∴4≤1

1－cos α

＋4(1－cos α)成立．

∴不等式2sin 2α≤sin α

1－cos α成立．

(综合法)

∵11－cos α

＋4(1－cos α)≥4， (1－cos α>0，当且仅当cos α＝12，即α＝π

3

时取等号)

∴4cos α≤1

1－cos α.

∵α∈(0，π)，∴sin α>0.

∴4sin αcos α≤sin α

1－cos α.

∴2sin 2α≤sin α

1－cos α

.

跟踪训练 2 求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin β

sin α.

证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α

＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β， 两边同除以sin α得

sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin β

sin α.

题型三 反证法

反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．

反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则綈q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则綈q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的．

例 3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋y

x <2中至少有一个成立．

证明 假设1＋x y <2和1＋y

x <2都不成立，

则有1＋x y ≥2和1＋y

x ≥2同时成立．

因为x >0且y >0，

所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2.

这与已知x ＋y >2矛盾．

故1＋x y <2与1＋y x

<2至少有一个成立．

反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．

求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根， 则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0， 有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，