100所名校高考模拟金典卷(十)理科数学

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100所名校高考模拟金典卷-理科数学(1)

正视图侧视图俯视图2 2100所名校高考模拟金典卷·数学（一）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1、若集合{}0,1,2,3A =, 集合{},1B x x A x A =-∈-∉, 则集合B 的元素个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、4 2、在复平面内, 复数2334ii-+-（i 为虚数单位）所对应的点位于（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 3、下列命题中正确的是（）A 、若p ：存在x R ∈, 210x x ++<, 则⌝p ：对任意x R ∈, 210x x ++<。

B 、若p q ∨为真命题, 则p q ∧为真命题。

C 、“函数()f x 为奇函数”是“()00f =”的充分不必要条件。

D 、命题“若2320x x -+=, 则1x =”的否命题为真命题。

4、执行如图所示的程序框图, 则输出的S 的值为（）A 、3B 、6-C 、10D 、15-5、已知变量x,y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩, 则21z x y =+-的最大值是（）A 、9B 、8C 、7D 、66、如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形, 则该几何体的体积为（）A 、B 、4C 、D 、27、用1,2,3,4,5,6组成不重复的六位数, 满足1不在左右两端, 2,4,6三个偶数中有且仅有两个偶数相邻, 则这样的六位数的个数为（）A 、432B 、288C 、216D 、144 8、设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 且1sin tan cos βαβ+=, 则（）A 、32παβ-=B 、22παβ-=C 、32παβ+=D 、22παβ+=9、已知等边△ABC 中, D 、E 分别是CA 、CB 的中点, 以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e , 则12e e +的值为（）A 、B 、3C 、2D 、3210、已知定义在R 上的函数()f x 、()g x 满足()()xf x ag x =（0a >且1a ≠）, ()()()()''f x g x f x g x <, 其中()0g x ≠且()()()()115112f f g g -+=-, 则在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭中, 任取前k 项相加, 和大于6364的概率为（）A 、15 B 、35 C 、45 D 、25ACBO ED二、填空题：本大题共6小题, 考生作答5小题, 每小题5分, 共25分。

2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷及答案解析(13页)

2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =，所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确；对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的；故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图本题考查程序框图.解题分析模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图本题考查古典概型.解题分析现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩，则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图本题考查数列的综合应用. 解题分析当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭，依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解解↔答15.答案 221x y -=命题意图本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图本题考查多面体与球.解题分析如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥，所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ，所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析（1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=，于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++，由023112x --=，得054x =，故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图本题考查导数综合.解题分析（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++，从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ，所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析（1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析（1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤；当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。

(完整版)100所名校高考模拟金典卷(六)理科数学

100所名校高考模拟金典卷（六）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x L的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 的共轭复数记为z ，i 的虚数单位，若21z i=+，则复数1z +的虚部为A ．2B ．－2C ．1D ．－12．集合{}|3x M y R y =∈=，{}1,0,1N =-，则下列结论正确的是A ．{}0,1M N =IB ．(0,)M N =+∞UC ．()(,0)R C M N =-∞UD ．{}()1,0R C M N =-I3．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，则(2)f -，()f π，(3)f -的大小关系是A ．()(3)(2)f f f π>->-B ．()(2)(3)f f f π>->-C ．()(3)(2)f f f π<-<-D ．()(2)(3)f f f π<-<-4．角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，且其终边过两直线1:2l y x =与2:30l x y +-=的交点P ，则sin 2θ等于A ．35B ．45C ．45-D ．35-5．若20122012012012(12)()x a a x a x x R -=+++∈L ，则20121222012222a a a +++L 等于 A ．0B ．－2C ．－1D ．26．一个锥体的三视图如图所示，则该锥体的表面积是A．2B．12+C．22+ D．1+7．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使14a =，则14m n+的最小值为 A ．32B ．53C ．94D ．不存在8．已知集合{}*|2,A x x k k N ==∈，如图所示的程序框图，则输出x 的值等于A ．4B ．9C ．11D ．139．点(,2)6P π-是函数()sin()(0,||)2f x x m πωϕωϕ=++><的图像的一个对称中心且点P 到该图像的对称轴的距离的最小值为2π，则 A ．()f x 的最小正周期是π B ．()f x 的值域为[]0,4 C ．()f x 的初相ϕ为3π D ．()f x 在4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，2()xf x eex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为A ．0x y +=B ．10ex y e -+-=C ．10ex y e +--=D ．0x y -=11．过双曲线22221(0)5x y a a a-=>-的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为正视图侧视图俯视图A．)B．C．(D．(12．设函数3()f x x x =+，若当02πθ≤≤时，2(sin )(sin cos 2)0f m f θθθ+-+>恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(3,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(,3)-∞-D ．(,1)-∞-第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P X ≤=，则(0)P X ≤＝．14．已知函数12log (1),()2(1),xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩则()2f f ⎡⎤⎣⎦＝． 15．长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中1::AB AD AA =，则四棱锥O ABCD -的体积为．16．已知1sin 20sin 40sin80sin 604=oooo ； 1sin 25sin 35sin85sin 754=o o o o ；1sin 35sin 25sin 95sin1054=o o o o ；……根据上述式子的规律，写出一个表示一般规律的式子：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC ，角A 、B 、C 所对的边分别；a 、b 、c ，且tan 21tan A cB b+=．（1）求角A ；（2）若(0,1)m =-u r ，2(cos ,2cos )2C n B =，试求||m n +u r r 的最小值．18．（本小题满分12分）为调查地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）用分层抽样方法从需要帮助的70位老年人中选出7人，以这7人为样本，随机抽取5人再调查，求最小有2位女性的概率．下面的临界值供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 分别是11A C 、1AA 的中点，AO ⊥平面111A B C ．已知90BCA ∠=o ，12AA AC BC ===．（1）证明：OE ∥平面11AB C ；（2）求异面直线1AB 与1A C 所成的角；（3）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线1C 的方程是2(0)y ax a =>，圆2C 的方程是22(1)5x y ++=，直线:2(0)l y x m m =+<是1C ，2C 的公切线，F 的1C 的焦点．（1）求m 与a 的值；（2）设A 是抛物线1C 上的一动点，以A 为切点作1C 的切线交y轴于点B ，若FM FA FB =+u u u u r u u u r u u u r，则点M 在一定直线上，试证明之．O A BCA 1B 1C 1E21．（本小题满分12分）已知函数[]1()3ln(2)ln(2)2f x x x =+--．（1）求x 为何值时，()f x 在[]3,7上取得最大值；（2）设()ln(1)()F x a x f x =--，若()F x 是单调递增函数，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图所示，已知PA 与O e 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且2DE EF EC =⋅．（1）求证：P EDF ∠=∠；（2）求证：CE EB EF EP ⋅=⋅ 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2cos(4ρθ-（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知关于x 的不等式|2|1x m -≤的整数解有且仅有一个值为2．（1）求整数m 的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：|1||3|x x m -+-≥．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题17．。

2020届全国百所名校金典卷理数 1-6(含答案)

一必考题共)"分! '&!#本小题满分'!分$
已知&"#'是等差数列(&$#'是由正数组成的等比数列(且"*+%,($!+-("($!+%'.(",/$, +&.! #'$求数列&"#'(&$#'的通项公式) #!$记%#+$#%"#(求数列&%#'的前# 项和!
'.!#本小题满分'!分$ 如图(在四棱锥 &%'()* 中('(&)('*()('*)*(且 &)+()+!'*+!)*+
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(!某调查机构对全国互联网行业进行调查统计(得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图,
3"后从事互联网行业者岗位分布条形图(则下列结论中一定正确的是
#注+3"后指&33"年及以后出生(1" 后指 &31"%&313 年之间出生(1" 前指 &363 年及以前
!##++**!#+#! 最大值为4+(时&该双曲线的离心率的取值范围是
(!#槡!&/5$
)!#槡!&0*
*!#+&0*
$!+0&/5$
+!!若不等式($%6.$%$! 的解集中恰有两个整数&则实数(的最大值为

2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(十)试题

100所名校高考模拟金典卷·数学（十）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.1.已知集合{}2|4M x x =…，{2,1,0,1,2}N =--，则（） A ．M N ⋂=∅B ．N M ⊆C ．{1,0,1}M N ⋂=-D ．M N ⋃=R2.下列复数中实部比虚部小的是（） A ．92i +B ．34i -C ．2(3)i +D ．(45)i i +3.已知向量(2,)a m =r ，(1,3)b =-r ，若()a b b +⊥r r r，则m =（）A ．1-B ．1C ．4D ．4-4.在ABC △中，sin B A =，a =，且4C π=，则c =（）AB ．3C ．D ．5.为比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值大于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值平均水平大于甲的六维能力指标值平均水平D ．甲的数学运算能力指标值大于甲的直观想象能力指标值6.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V 、2V ，则（）A ．122V V >B ．122V V =C ．12163V V -=D ．12173V V -=7.如图，正方形BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE 和CG ，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（）A ．35B ．38C ．310D ．3208.已知的数1()2cos22f x x x =-，把函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称中心是（） A ．3,022k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈ZB ．2,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C ．35,024k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z D ．5,04k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z 9.执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是（）A ．4B ．5C ．6D ．810.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面αP 平面1A BD ，平面α⋂平面ABCD l =，则直线l 与直线1CD 所成的角为（） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ △是以1PFQ ∠为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（） AB ．2CD12.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x …时，()0g x '>恒成立，且()f x 满足：①对x ∀∈R ，都有((f x f x +=-；②当[x ∈时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式()2[()]2g f x g a a -+„对3322x ⎡∀∈---⎢⎣恒成立，则a 的取值范围是（）A ．RB ．[0,1]C．112424⎡--+⎢⎣⎦D ．(,0][1,)-∞⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.若实数,x y 满足约束条件1031010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则32z x y =+的最小值为______.14.若5212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为2m-，则12d m x x =⎰______. 15.已知2sin cos 213cos 7ααα⋅=-，且tan()3αβ+=，则tan β=______.16.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A B C 、、三点，令1||||AF BF λ=，2||||BC BF λ=，则当3πα=时，12λλ+=______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.公差大于32的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，345,,4a a S +成等比数列，等比数列{}n b 的前n 项和为122n +-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用,A B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()*n n ∈N 个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415. （1）求n 的值；（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次随机抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望.19.如图1，在梯形ABCD 中，AB CD P ，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E F 、 .2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE .（2）若DE CF P ，CD =P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，求直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值.20.已知长度为AB 的两个端点A B 、分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =u u u r u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)，且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M N 、，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数？若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()ln f x a x =+，且()||f x a x „. （1）求实数a 的值；（2）令()()xf x g x x a=-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证6()7f m <<. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），过原点O ，且倾斜角为α的直线l 交M 于A B 、两点.（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求||||OA OB +的取值范围. 23.[选修4—5：不等式选讲]已知()|1|||f x x x m =+++，2()32g x x x =++. （1）若0m >，且()f x 的最小值为1，求m 的值；（2）若不等式()3f x „的解集为A ，不等式()0g x „的解集为B ，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.（十）1.答案 B命题意图本题考查集合的交集.解题分析由24x ≤，解得22x -剟，即{|22}M x x =-剟，N M ∴⊆. 2.答案 D命题意图本题考查复数的实部与虚部.解题分析因为2(3)96186i i i +=+-=+，(45)54i i i +=-+，故四个选项中只有D 项中的复数的实部比虚部小. 3.答案 A命题意图本题考查向量的坐标运算.解题分析由题意，得(3,3)a b m +=-r r ，()a b b +⊥r r r Q ，()33(3)0a b b m ∴+⋅=--=r r r，解得4m =.4.答案 A命题意图本题考查解三角形.解题分析由正弦定理知b =，因为a =，所以4b =.因为2222cos104c a b ab π=+-=，所以c =5.答案 C命题意图本题考查网状图与统计的知识.解题分析对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以A 项错误；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值大于甲的数学建模能力指标值，所以B 项错误；对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为123(434534)66+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为1(543543)46+++++=，因为2346<，所以选项C 正确；对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值小于甲的直观想象能力指标值，故D 项错误.故选C 项. 6.答案 D命题意图本题考查三视图与几何体的体积.解题分析由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为318446416V =-⨯⨯=.由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为219992433V =⨯⨯⨯=，12416243173V V ∴-=-=.7.答案 C命题意图本题考查几何概型.解题分析设CG BF H ⋂=，由BCH FGH △∽△，得122HF a BH a ==，即13FH a =，则25ABFG BCDE S S a +=正方形正方形，22211832332CEH GFH S S S a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭△△阴影，由几何概型的概率公式，得22332510a P a ==.8.答案 A命题意图本题考查三角函数的图象与性质. 命题意图1()2cos22f x x x =-Q ，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，将函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，可得2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，将函数2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，可得2sin 33x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，2()sin 33x g x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令233x k ππ-=，k ∈Z ，得322k x ππ=+，k ∈Z ，函数()g x 的对称中心为3,022k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z . 满分导考考←→分9.答案 C命题意图本题考查程序框图与数列求和.解题分析模拟程序运行，可得程序框图的功能是求11111232S k k ⎛⎫=-+⋯+- ⎪+⎝⎭1111251221242k k ⎛⎫=+--> ⎪++⎝⎭时k 的最小整数值，解得5k >，则输出k 的值是6. 10.答案 C命题意图本题考查异面直线的夹角.解题分析如图所示，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面αP 平面1A BD ，平面α⋂平面ABCD l AF ==，11CD BA Q P ，BD AF P ，则直线l 与直线1CD 所成的角即为直线BD 与直线1BA 所成的锐角，因为1A BD △为等边三角形，所以160A BD ∠=︒.11.答案 D命题意图本题考查双曲线的离心率. 解题分析如图，设1PF m =，2QF n =，则1QF m =，||PQ =，由双曲线的定义可知212PF PF n m a -=+-=，122QF QF m n a -=-=，解得m =，2)n a =，在12QF F △中，由余弦定理得2221212122cos135F F QF QF QF QF =+-︒，即22222242)22)122c a a a a ⎛=+-⨯⨯⨯-= ⎝⎭，所以c e a ===12.答案 D命题意图本题考查函数的性质与最值.解题分析 Q 函数()g x 满足当0x ≥时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0,)+∞上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，()2[()]2g f x g a a ∴-+„，3322x ⎡∈---⎢⎣恒成立2|()|2f x a a ⇔-+„恒成立，只要使得定义域内2max |()|2f x a a -+„，由((f x f x +=-，得(()f x f x +=，即函数()f x 的周期T =Q 当[x ∈时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，∴该函数过点(，(0,0)，，如图，且函数()f x 在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2.3322x ⎡∈---⎢⎣Q ，函数()f x 的周期是∴当3322x ⎡∈---⎢⎣时，函数()f x 的最大值为2，由222a a ≤-+，即222a a -+„，则20a a -…，解得1a ≥或0a „.13.答案 2命题意图本题考查简单的线性规划.解题分析由题得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线322zy x =-+经过点(0,1)C 时，直线的纵截距最小，所以32z x y =+的最小值为30212⨯+⨯=.14.答案 24命题意图本题考查二项式定理与定积分.解题分析 5212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项为 55210315511C (1)C 22rr rr r rr r x T x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1031r -=，得3r =，所以x 的系数为23515C 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，522m -=-，5m =，则552221112d 2d 5124mx x x x x ===-=⎰⎰.15.答案 113-或7- 命题意图本题考查三角恒等变换. 解题分析 2222sin cos sin cos tan 213cos sin 2cos tan 27ααααααααα⋅⋅===---Q，1tan 2α∴=-或tan 4α=. 又tan()tan 3tan tan tan()1tan()tan 13tan αβααβαβααβαα+--=+-==+++Q ，代入tan α的值可得1tan 13β=-或tan 7β=-.16.答案 5命题意图本题考查直线与抛物线的位置关系.解题分析设()11,A x y ，()22,B x y ，则由过抛物线24y x =的焦点的直线的性质可得122416||2sin 603AB x x =++==︒，12103x x ∴+=，又21214p x x ==Q ，13x ∴=，213x =.分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点,E D ，则1||||3(1)31||||(1)3AF AE BF BD λ--====--，同理可得2||||12||||sin 30BC BC BF BD λ︒====，125λλ∴+=.17.命题意图本题考查求数列的通项与前n 项和. 解题分析（1）13a =-Q ，345,,4a a S +成等比数列，()24354a a S ∴=+，即2(33)(32)(1110)d d d -+=-+-+，解得2d =或1211d =（舍去），25n a n ∴=-. 设等比数列{}n b 的公比为q ，12b =Q ，()32222224b =---=，212b q b ∴==，2n n b ∴=. （2）|25|2nn c n =-⋅Q ，当1n =时，16T =；当2n =时，210T =；当3n ≥时，250n ->，341101232(27)2(25)2n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，①4512201232(27)2(25)2n n n T n n +=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②()41108222(25)2n n n T n +-⇒-=-++++--⋅L ①②，可得134(27)2n n T n +=+-⋅，16,110,234(27)2,3n n n T n n n +=⎧⎪∴==⎨⎪+-⋅⎩….18.命题意图本题考查排列组合与分布列.解题分析（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28n C +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是2828564(8)(7)15n C C n n +==++，整理得到(7)(8)210n n ++=，即2151540n n +-=，解得7n =.（2）若2个全是大集团，共有2721C =种情况；若2个全是小集团，共有28C 28=种情况，故全为大集团的概率为21321287=+.（3）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，048715C C 1(0)C 39P X ===；138715C C 8(1)C 39P X ===；2287215C C 28(2)C 65P X ===； 3187415C C 56(3)C 195P X ===；4087415C C 2(4)C 39P X ===. 故X 的分布列为：数学期望为()012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.命题意图本题考查线面垂直的证明与求线面角.解题分析（1）连接BE .由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在题图2中，AF BE ⊥，由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，AF ∴⊥平面BDE .DE ⊂Q 平面BDE ，AF DE ∴⊥.AE DE ⊥Q ，AE AF A ⋂=，DE ∴⊥平面ABFE .（2）在题图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E ⋂=，即AE ⊥平面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF P 交CF 于点M ，连接CE ，由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理的逆定理可得DC CF ⊥，则6CDM π∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知,,GE EA EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG u uu r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，22,,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，C ，10,,22D ⎛- ⎝⎭，(AC =-u u u r 12,2AD ⎛=-- ⎝⎭u u u r ，12,,3CP ⎛=-⎝u u u r . 设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r得2012022x y x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩取1x =得(1,n =-r . 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，|cos ,|CP n 〈〉==u u u r r，则sin θ=.20.命题意图本题考查轨迹方程与定点、定值问题. 解题分析（1）设(,)P x y ，()0,0A m ，(0,)B n ，由于2BP PA =u u u r u u u r，所以()()00(,)2,22,2x y n m x y m x y -=--=--，即0222x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，所以0323m x n y⎧=⎪⎨⎪=⎩.又因为||AB =，所以22018m n +=，从而2299184x y +=，即曲线C 的方程为22182x y +=. （2）由题意设直线l 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由224182x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224880m y my +++=，所以()122122228484643240m y y m y y m m m ⎧+=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪∆=-+>⎪⎩，故()121223284x x m y y m +=++=+，()2212121226484164m x x m y y m y y m -=+++=+.假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，则()()()()12122222121212884(4)MT NT y y y y k k x t x t x x t x x t t m t ⋅===---++-+-. 当280t -=，且40t -≠时，MI NT k k ⋅为常数，解得t =±.显然当t =t =-所以存在两个定点1T，2(T -，使得直线MT 与NT的斜率之积为常数，当定点为1T2(T -21.命题意图本题考查函数的恒成立与隐零点问题.解题分析（1）法1：由题意知2ln ||a x a x +„恒成立等价于2ln 0a at t -+„在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，则22()ath t a t t-'=-=. 当0a „时，()0h t '>，故()h t 在(0,)+∞上单调递增，由于(1)0h =，所以当1t >时，()(1)0h t h >=，不合题意.当0a >时，2()a t a h t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=，所以当20t a <<时，()0h t '>；当2t a >时，()0h t '<，所以()h t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()h t 在2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，即max 2()22ln 22ln h t h a a a ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.所以要使()0h t „在0t >时恒成立，则只需max ()0h t „，即22ln22ln 0a a -+-„，令()22ln22ln a a a ϕ=-+-，则22()1a a a aϕ-'=-=，所以当02a <<时，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>，即()a ϕ在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.又因为(2)0ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =.法2：由题意知2ln ||a x a x +„恒成立等价于2ln 0a at t -+„在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，由于(1)0h =，故2ln 0()(1)a at t h t h -+⇔剟，所以(1)h 为函数()h t 的最大值，同时也是一个极大值，故(1)0h '=.又因为22()ath t a t t -'=-=，所以2a =，此时2(1)()t h t t-'=，当01t <<时，()0h t '>，当1t >时，()0h t '<，即()h t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故2a =合题意. （2）由（1）知()22ln ()(2)2xf x x x xg x x x a x +==>--，所以22(2ln 4)()(2)x x g x x --'=-，令()2ln 4s x x x =--，则22()1x s x x x-'=-=，由于2x >，所以()0s x '>，即()s x 在(2,)+∞上单调递增.又因为(8)0s <，(9)0s >，所以0(8,9)x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，即()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()200000min000022ln 2()22x x x x x g x g x x x x +-====--，（因为002ln 4x x =-），即0m x =，所以()000()22ln 2(6,7)f m f x x x ==+=-∈，即6()7f m <<.22.命题意图本题考查极坐标方程及其应用.解题分析（1）由题意可得，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R . 曲线M 的普通方程为22(1)(1)1x y -+-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以M 的极坐标方程为22(cos sin )10ρρθθ-++=. （2）设()1,A ρα，()2,B ρα，且12,ρρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得22(cos sin )10ρααρ-++=. 当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，28sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭，所以122(cos sin )ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，||OA 、||OB 分别是点A B 、的极径，从而12||||2(cos sin )4OA OB πρρααα⎛⎫+=+=+=+⎪⎝⎭.当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故||||OA OB +的取值范围是. 23.命题意图本题考查绝对值不等式.解题分析（1）()|1||||(1)()||1|f x x x m x x m m =++++-+=-…（当1x =-时，等号成立），()f x Q 的最小值为1，|1|1m ∴-=，2m ∴=或0m =. 又0m >Q ，2m ∴=.（2）由()0g x „得，[2,1]B =--，B A ⊆Q ，x B ∴∀∈()3f x „，即4(1)||3||4442m x x m x m x x x m x x +-+++⇔++⇔--++⇔-剟剟?，且4422m m +⇔--剟，且404m m ⇔剟?.。

2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(一)试题

100所名校高考模拟金典卷·数学（一）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<=-≤<„，则A B =U （） A.{|22}x x -<< B.{|24}x x -≤≤ C.{|22}x x -≤≤D.{|24}x x -<„2.已知a 是实数，1(1)a a -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（）A.2D.13.某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为（） A.36.5B.30C.33D.274.已知1sin cos 2x x -=，则sin 2x =（）A.12 B.14C.345.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m -+-=相切，则实数m 的值为（） A.8B.7C.6D.56.已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则|23|a b -=r r（）C.4D.57.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为（）A.163πB.3π C.29π D.169π8.（2019年全国Ⅰ卷）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“——”，右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.516B.1132C.2132D.11169.对于函数(),y f x x =∈R ，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()f x 是偶函数”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象上存在|()|y f x =两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（） A.2sin 2x -B.2sin 2xC.2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D.2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭11.已知双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左、右焦点分别是12F F 、，P 为双曲线左支上任一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是（）A.)+∞B.C.(1,3]D.[3,)+∞12.若不等式2ln ax x x -„的解集中恰有两个整数，则实数a 的最大值为（） A.3-B.ln 333- C.1-D.ln 222- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设实数x y ，满足约束条件101010y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++≤⎩……，则34z x y =-的最大值是____________. 14.若5()(1a x +的展开式中2x 项的系数是15，则a =_____________.15.在ABC △中，sin 5B =，45C =︒，点D 在边BC 的延长线上，AD =1CD =，则sin DAC ∠=____________，AB =____________.16.如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD ，2PA PC ==，在这个四棱锥中放入一个球则球的最大半径为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是由正数组成的等比数列，且54a =-，29b =， 3218a b =-，4478.a b +=（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c b a =-，求数列{}n c 的前n 项和.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥且22PC BC AD CD ====2PA =（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD .（2）若M 为侧棱PD 的中点，求二面角M AC D --的正弦值.19.已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+，其中R x ∈. （1）当2πθ=时，判断函数()f x 是否有极值；（2）若,32ππθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，()f x 总是区间()21,a a -上的增函数，求a 的取值范围. 20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线l ，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程;（2）设O 为坐标原点,过点F 的直线l '与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.21.某省高考改革试点方案规定：从2017年秋季高中人学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A B B C C D D E +++、、、、、、、共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩依照等比例转换法则，分别转换到[][91,100] [81,90] [71,80] [61,70]51,60、、、、、[41,50][31,40] [21,30]、、八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).（1）估计物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案,，从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望. （附：若随机变量()2~,Nξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954,(33)0.997P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程」在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线l 的参数方程为21x t y t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程（不要求具体过程）；（2）设()2,1P --，若||,| |,||PM MN PN 成等比数列，求a 和MN 的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()||| 2f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）()00,50x f x ∃∈-R …，求实数a 的取值范围. 答案参考一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 答案 B命题意图本题考查集合的运算.解题分析集合{|24},{|22}A x x B x x =-<=-≤<„，则{|24}A B x x =-U 剟. 2. 答案C命题意图本题考查复数的概念与几何意义.解题分析 ()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，所以||z =3. 答案D命题意图本题考查线性回归方程解题分析回归方程y 1ˆ9.6 2.9,(4235) 3.54yx x =+=+++=，由回归方程过点(,)x y ，故36.5y =，即1(452450)364y a =+++=，解得27a =. 4.答案 D命题意图本题考查三角恒等变换. 解题分析因为1sin cos 2x x -=，所以221sin cos 2sin cos 4x x x x +-=，所以3sin 24x =.5.答案B命题意图本题考查抛物线的概念与性质. 解题分析抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，知()314r =--=，得916m +=，即7m =. 6.答案A命题意图本题考查向量的数量积.解题分析由题意可得||2a ==r 且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r ，所以2a b ⋅=r r，由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==7.答案 D命题意图本题考查多面体的体积.解题分析从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体. 容易算得底面面积14433S ππ=⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 8.答案A命题意图本题考查中国古代数学文化与独立重复试验的应用.解题分析因为每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，每个爻是阳爻的概率是12，故该重卦恰有3个阳爻的概率是3336115C 12216⎛⎫⎛⎫⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 9.答案 B命题意图本题考查函数的性质与充分、必要条件.解题分析若函数()y f x =是偶函数，则()()f x f x -=，此时，|()||()|f x f x -=，因此|()|y f x =的图象关于y 轴对称，但当|()|y f x =的图象关于y 轴对称时，未必推出|()|y f x =是偶函数，如2y x =，|2|y x =的图象也关于y 轴对称，但2y x =并非偶函数，故“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是偶函数”的必要不充分条件. 10.答案A命题意图本题考查三角函数的图象与性质. 解题分析()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 11.答案B命题意图本题考查双曲线的概念与性质及基本不等式.解题分析 112222111222424PF PF a PF PF aPF aPF ==+++，因为1PF c a -…，当211212,444c a a a a PF aPF -=++剟，当且仅当12PF a =，1222PF PF 取最大值14a，即2a c a -…，所以3e „；当2c a a ->时，1222|PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意. 因为b a >，所以22211b e a=->，所以e >3e ≤.归因导学错→学12.答案D命题意图本题考查导数与最值. 解题分析由2ln ax x x -„，即ln xa x x-„恰有两个整数解，令ln ()x g x x x =-，得221ln ()x x g x x--'=，令2()1ln h x x x =--，易知()h x 为减函数.当()0,1x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增；当,()1x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减.(1)1g =-，ln 2(2)22g =-，ln 3(3)33g =-. 由题意可得(3)(2)g a g <„，ln 3ln 23232a ∴-<≤-. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13. 答案4命题意图本题考查简单的线性规划.解题分析根据实数x y ，满足约束条件101010y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++≤⎩……，画出可行域，设34z x y =-，如图，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，即max 304(1)4z =⨯-⨯-=.14.答案1命题意图本题考查二项式定理.解题分析由题意得2455C C 15a +=解得1a =.15.答案102命题意图本题考查解三角形. 解题分析在ADC △中，由sin sin AD DCACD DAC=∠∠，即1sin135sin DAC=︒∠，故sin DAC ∠=. 又因为()sin sin 45ADC CAD ∠=︒-∠==在ABD △中，sin sin AB ADADC B=∠∠，55=，即AB = 16.答案1命题意图本题考查多面体与球.解题分析设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD SA SB SC SP 、、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R .四棱锥的体积13P ABCD V -==四棱锥的表面积S表11222422=⨯+⨯⨯=+因为13P ABCD V S -=⨯表R ⨯，所以|31P ABCD V R S -====表.三、解答题：共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.命题意图本题考查数列的综合.解题分析（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为等比数列的各项都不为0，3218a b =-，29b =，32a =-，则公差5324(2)2d a a =-=---=-，1d =-，10a =，所以等差数列{}n a 的通项公式为1(1)0(1)(1)1n a a n d n n =+-=+-⋅-=-.所以1143a =-=-.因为4478a b +=，481b =，242b b q =，所以29q =因为0n b >，故0q >，所以3q =，故等比数列{}n b 的通项公式为222933.n n n n b b q--==⋅= （2）由（1）知31nn n n c b a n =-=+-，设数列{}n c 的前n 项和为n S ，则()1313(01)33(1)132222n n n n n n n S +-+--=+=-+-. 18.命题意图本题考查面面垂直与二面角.解题分析（1）Q 在底面ABCD 中，AD BC AD CD ⊥∥，，且22BC AD CD ===2AB AC ∴==，BC =AB AC ∴⊥，又AB PC AC PC C AC ⊥=⊂Q I ，，平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，AB ∴⊥平面PAC ，又AB ⊂Q 平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD .（2）2PA AC ==Q，PC =PA AC ∴⊥，又PA AB ⊥Q ，AB AC A =I ，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .取BC 的中点E,则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直,∴可以分别以直线AE AD AP 、、为x y z 、、轴建立空间直角坐标系,且由（1）知(0,0,2)AP =u u u r 是平面ACD 的一个法向量，设平面MAC 的一个法向量为()111,,n x y z =r ，因为0,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,0)A，C ，所以0,2AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，AC =u u u r ，因为00AM n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，所以111100y z +=⎨+=，解得1112,2,x y z ==-=所以(2,n =-r，所以cos ,AP n 〈〉==u u u r r 所以二面角MAC D -的正弦值sin 5θ==.19.命题意图本题考查函数与导数.解题分析（1）当2πθ=时，321cos 0,()4,()12032f x x f x x θ'==+=… ()f x ∴在R 上是增函数，故函数()f x 不存在极值.（2）21()126cos 12cos 2f x x x x x θθ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭，令()0f x =，得0x =或cos 2x θ=. ①当2πθ=时，由（1）知()f x 为R 上的增函数，∴只须21a a -<，即1a <. ②当,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的递增区间为cos (,0),,2θ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. 若(21,)(,0)a a -⊆-∞，则0a ≤. 若cos (21,),2a a θ⎛⎫-⊆+∞ ⎪⎝⎭，则cos 212a θ-…时任意,32ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立， 1214a ∴-…，又21a a -<，518a ∴<„.综上所述，a 的取值范围是5(,0],18⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭U .20.命题意图本题考查椭圆的方程与面积最大问题.解题分析（1）由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，22221c y a b ∴+=，23||2b y a ==，又222a b c =+Q ，2,1a b c ∴===，所求椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上)），∴设:1l x ty '=+，()2222113469043x ty x y t y ty =+⎧⎪⎨+=⇒++-=⎪⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r Q ，∴四边形AOBE 为平行四边形，∴122234DBB S y y S t =-==+△，1m =…，得2124131m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 3S =.21.命题意图本题考查概率统计以及离散型随机变量的分布列和期望.解题分析（1）因为物理原始成绩()2~60,13N ξ。

2020届全国100所名校高考模拟金典卷高三理科数学(十)试题(带答案解析)

A． B．2C． D．
12．已知定义在上的函数，，其中为偶函数，当时，恒成立；且满足：①对，都有；②当时， .若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
13．若实数满足约束条件，则的最小值为______.
14．若的展开式中的系数为，则 ______.
(1)求和M的极坐标方程；
(2)当时，求的取值范围．
23．已知， .
（1）若且的最小值为1，求ห้องสมุดไป่ตู้的值；
（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
解不等式化简集合，观察两个集合间的关系，即可得答案；
【详解】
，解得，即，，
.
故选：B.
15．已知，且，则 ______.
16．如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于三点，令，，则当时， ______.
17．公差大于的等差数列的前项和为，，成等比数列，等比数列的前项和为 .
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和 .
A．， B．，
C．， D．，
9．执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）
A．4B．5C．6D．8
10．平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为（）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的左支上，与双曲线的右支交于点，若是以为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）

100所名校高考模拟金典卷(一)理科数学

100所名校高考模拟金典卷（一）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数232ii --等于A ．4755i -B ．7455i -C ．7455i +D ．4755i +2．已知集合{}22|log (32)A x y x x ==-+，2{|0}3x B x x +=<-，则A B I 等于A ．{|21x x -<<或23}x <<B ．{}|23x x -<<C ．{}|3x x >D ．{}|2x x <-3．向量a b ⋅=-r r ||a =rb r 在向量a r 方向上的投影为 A ．6B ．3C ．－3D ．－64．下列函数()f x 中，满足：对任意的12,(,0)x x ∈-∞，当12x x <时，总有12()()f x f x >，且其图像关于原点中心对称的是A ．2()f x x =B ．3()f x x =C ．1()f x x=D ．()xf x e =5．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +等于A ．7B ．5C ．－5D ．－76．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A B C D ．7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．28．已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于A ．135B ．270C ．9．设函数2()sin()2cos 1(0)62f x x x πωωω=--+>，直线y =()y f x =图像相邻两交点的距离为π，则函数()y f x =在区间[]0,π上的单调增区间为A ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是双曲线右支上一点，12F F u u u u r 在1F P u u u r 方向上的投影的大小恰好为1||F P u u u r ，且它们的夹角为6π，则双曲线的离心率e 是 AB C 1D 111．设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值是12，则2294a b +的最小值为 A ．12B ．1C ．2D ．5212．已知集合{}1,2,3M =，{}1,2,3,4N =，定义函数:f M N →．若点(1,(1))A f ，(2,(2))B f ，(3,(3))C f ，△ABC 的外接圆圆心为D ，且()DA DC DB R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的函数()f x 有正视图A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．边长为2的正方体内切球的表面积为．14．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：若由资料可知：y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为$y bx a =+，其中已知 1.23b =，请估计使用年限为20年时，维修费用约为万元．15．如图是一个长为4、宽为2的长方形，图中阴影部分是由曲线y =1(1)3y x =-，4x =及x 轴围成的图形．随机的向长方形内投入一点，则该点落入阴影部分的概率为：． 16．（2012年·福建）数列{}n a 的通项公式为cos12n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2012S ＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)4ax =r ，(cos ,1)b x =-r ．（1）当a r ∥b r 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅r r r，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a =2b =，sin B =，求()4cos(2)(0,)63f x A x ππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的取值范围． 18．（本小题满分12分）为缓解某路段交通压力，计划将该路段实施“交通限行”．在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：（1）作出被调查人员年龄的频率分布直方图；（2）若从年龄在[)15,25，[)25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通限行”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1BC =，12BB =，190BCC ∠=o ，AB ⊥平面11BB C C ．（1）在棱1CC （不包含端点1,C C ）上确定一点E ，使得1EA EB ⊥（要求说明理由）；（2）在（1）的条件下，若AB =求二面角11A EB A --的大小．20．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，离心率12e =，在x 轴负半轴上有一点B 且212BF BF =u u u u r u u u r ．（1）若过A 、B 、2F 三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l '与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =．（1）求()f x 的最小值；（2）当0,0a b >>，求证：()()()()ln 2f a f b f a b a b +≥+-+．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，△ABC 内接于圆O ，AB AC =，直线MN 切圆O 于点C ，BD ∥MN ，AC 与BD 相交于点E ．（1）求证：AE AD =；AA 1B 1C 1B CE（2）若6,4AB BC ==，求AE 的长．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴正半轴重合．直线l的参数方程为1,1,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线；（2）设直线l 与曲线C 相交于点P 、Q 两点，求||PQ 的值． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数()|1|2f x x =-+，()|2|3g x x =-++．（1）解不等式()2g x ≥-；（2）当x R ∈时，()()2f x g x m -≥+恒成立，求实数m 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力13．4 14．24.6815．234816．3018三、解答题17．。

2019届高考名校考前提分仿真卷理科数学(十)试题(解析版)

A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2019·中山一中]假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号______________________．
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2019·宁波期末]已知集合，，则（）
A． B． C． D．
2．[2019·江南十校] 的值为（）
∴双曲线方程为，∴双曲线的右焦点坐标为．
又抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，
∴ ，，∴双曲线的方程为．故选B．
5．【答案】B
【解析】对于A，，有，则函数为偶函数，不符合题意；
对于B，，有，函数为奇函数，且在上的单调递增，符合题意；
对于C，，有，函数为奇函数，但在上不是单调函数，不符合题意；
??08pxx????r????777qxxxx???????r????7878pqxx????????2sin225sin18045sin452????????????????21i1ii1i1i1iz???????????????2iii1if???????cbyxa??c30xy??3ba?223ba?222213xyaa????20a216yx???402a?24a?221412xy??????ln1fxx??????????ln1ln1fxxxfx?????????fx??????222020xxxfxxxx???????????????fxfx?????fxr????????2000102xxxfxxx????????????????????????fxfx?????fxr??11fxxx?????fx??0xx?r23aeabbeabbc????bdadabbcab??????222333aebdabbcbcababbcababbcbcabbc???????????????????221233abbcabbc????1abbc??1cos2abbcabbcbad????112113236aebd?????????sin2yx???x8??sin2sin284fxxx????????????????????????????fx42k????4k?????fx4??1164444333vsh??????12k?1s?112121320s????12111k???k

2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷及其答案(一)

初高中数学学习资料的店
1 初高中数学学习资料的店
100所名校高考模拟金典卷·数学（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<=-≤<„，则A B =U （）
A.{|22}x x -<<
B.{|24}x x -≤≤
C.{|22}x x -≤≤
D.{|24}x x -<„
2.已知a 是实数，1(1)a a -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（）
A.2
D.1
3.某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：
根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9y
x =+则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为（） A.36.5
B.30
C.33
D.27 4.已知1sin cos 2
x x -=，则sin 2x =（） A.
12 B.14 C.34 D.2
5.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m -+-=相切，则实数m 的值为（
）
A.8
B.7
C.6
D.5
6.已知平面向量a r ，b r 满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则|23|a b -=r r （）
C.4
D.5。

2020届全国100所名校高考模拟金典卷高三理科数学(十)试题

100所名校高考模拟金典卷·数学（十）（120分钟150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的. 1.已知集合{}2|4M x x =…，{2,1,0,1,2}N =--，则（）A. M N ⋂=∅B. N M ⊆C.{1,0,1}M N ⋂=-D.M N =R U【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合M ，观察两个集合间的关系，即可得答案；【详解】Q 24x ≤，解得22x -剟，即{|22}M x x =-剟，{2,1,0,1,2}N =--， N M ∴⊆.故选：B.【点睛】本题考查集合间的基本关系和基本运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2.下列复数中实部比虚部小的是（） A.92i +B.34i - C. 2(3)i + D. (45)i i +【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算，化简C ，D 选项，即可得答案；【详解】Q 2(3)96186i i i +=+-=+，(45)54i i i +=-+，∴四个选项中只有D 项中的复数的实部比虚部小.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算、实部与虚部的概念，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知向量(2,)a m =r ，(1,3)b =-r ，若()a b b +⊥r r r，则m =（）A.1-B. 1C. 4D.4-【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直数量积为0，可得关于m 的方程，解方程即可得答案；【详解】由题意，得(3,3)a b m +=-r r，()a b b +⊥r r r Q ，()33(3)0a b b m ∴+⋅=--=r r r，解得4m =.故选：C.【点睛】本题考查向量垂直的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4.在ABC V 中，sin 22sin B A =，2a =，且4C π=，则c =（）A.10B. 3C.33D. 23【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理可得22b a =，再利用余弦定理，即可得答案；【详解】由正弦定理知22b a =，因为2a =，所以4b =.因为2222cos104ca b ab π=+-=，所以10c =.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5.比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A. 乙逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B. 甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C. 乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D. 甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】C 【解析】【分析】利用雷达图对每一个选项的命题逐一分析推理得解.【详解】对于选项A, 甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；对于选项B, 甲的数学建模能力指标值为4，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C,甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确；对于选项D, 甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题. 故选C【点睛】本题主要考查雷达图的识别和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，2V ，则（）A. 122V V >B. 222V V =C. 12163V V -=D. 12173V V -=【答案】D 【解析】由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为318446416V =-⨯⨯=；由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为219992433V =⨯⨯⨯=.∴12416243173V V -=-= 故选D.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 7.如图，正方形BCDE 和ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE 和CG ，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（）A.35B.38C.310D.320【答案】C 【解析】分析：先利用三角形相似得出13FH a =，求出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式进行求解．详解：设CG BF H =I，由BCH FGH ∆∆∽，得122HF a BH a ==，即13FH a =，则25ABFG BCDE S S a +=正方形正方形，2221183=()2332CFH GFH S S S a a a ∆∆+=+=阴影，由几何概型的概率公式，得22332510a P a ==.故选C ．点睛：本题考查三角形相似、几何概型的概率公式等知识，意在考查学生的基本运算能力． 8.已知的数31()2cos 22f x x x =-，把函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称中心是（） A. 3,022k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z B. 2,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C. 35,024k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z D. 5,04k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z 【答案】A 【解析】【分析】根据辅助角公式可得()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用平移变换和伸缩变换得到()g x 的解析式，进而利令233x k ππ-=，k ∈Z ，即可得到对称中心. 【详解】31()2cos22f x x x =-Q，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，可得2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，将函数2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，可得2sin 33x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，2()sin 33x g x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令233x k ππ-=，k ∈Z ，得322k xππ=+，k ∈Z ， ∴函数()g x 的对称中心为3,022k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z .故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换中的辅助角公式、平移变换和伸缩变换、图象的对称中心，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9.执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】分析模拟程序运行，可得程序框图的功能是求11111232S k k ⎛⎫=-+⋯+- ⎪+⎝⎭1111251221242k k ⎛⎫=+--> ⎪++⎝⎭时k 的最小整数值，解不等式即可得答案；【详解】分析模拟程序运行，可得程序框图的功能是求11111232S k k ⎛⎫=-+⋯+- ⎪+⎝⎭1111251221242k k ⎛⎫=+--> ⎪++⎝⎭时k 的最小整数值，解得5k >，则输出k 的值是6. 故选：C.【点睛】本题考查程序框图的循环结构，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 10.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面αI 平面ABCD l =，则直线l 与直线1CD 所成的角为（）A. 30oB. 45oC. 60oD. 90o【答案】C 【解析】如图所示，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面α⋂平面AF ABCD l ==，11//,//CD BA BD AF Q ，则直线l 与直线1CD 所成的角即为直线AF 与直线1BA 所成的角为60o . 故选C.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ V 是以1PFQ ∠为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（） 2B. 253【答案】D 【解析】【分析】设1PF m =，2QF n =，利用双曲线的定义可得22m a =，22)n a =，再利用余弦定理可得,a c 的关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设1PF m =，2QF n =，则1QF m =，||2PQ m =，由双曲线的定义可知2122PF PF m n m a -=+-=，122QF QF m n a -=-=，解得22m a =，22)n a =，在12QF F V 中，由余弦定理得2221212122cos135F F QF QF QF QF =+-︒，即22222224(22)(222)222(222)122c a a a a a ⎛⎫=+--⨯⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，所以223c c e a a===. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x >时，'()0g x >恒成立；且()f x 满足：①对x R ∀∈，都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对3323,2322x ⎡⎤∀∈---⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的取值范围是（）A.RB. [0,1]C. 133133,2424⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦D. (,0][1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】∵函数()g x 满足：当0x >时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0)+∞，上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由(3)(3)f x f x +=，得(23)()f x f x +=，即函数()f x 的周期3T =[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(30)(00)(30)-，，，，，如图，且函数在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2，∵33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，，函数的周期是23，∴当33232322x ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，时，函数()f x 的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即222a a -+≤，则20a a -≥，解得1a ≥或0a ≤.故选D ．【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-的值域为[22]-，，还考查了函数恒成立．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.若实数,x y 满足约束条件1031010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则32z x y =+的最小值为______.【答案】2 【解析】【分析】作出不等式组对应的区域，当直线322zy x =-+经过点(0,1)C 时，直线的纵截距最小. 【详解】由题意得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线322zy x =-+经过点(0,1)C 时，直线的纵截距最小，所以32z x y =+的最小值为30212⨯+⨯=. 故答案为：2.【点睛】本题考查简单线性规划的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的运用.14.若5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为2m -，则12d m x x =⎰______.【答案】24【解析】【分析】根据二项式定理可求得m 的值，再代入定积分中，即可得答案；【详解】Q 5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55210315511C (1)C 22rr rr r rr r x T x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1031r -=，得3r =，∴x 的系数为23515C 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，522m -=-，5m =，则552221112d 2d 5124mx x x x x ===-=⎰⎰.故答案为：24.【点睛】本题考查二项式定理展开式指定项系数、定积分计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 15.已知2sin cos 213cos 7ααα⋅=-，且tan()3αβ+=，则tan β=______.【答案】113-或7- 【解析】【分析】利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值，再代入两角差的正切公式中，即可得答案；【详解】2222sin cos sin cos tan 213cos sin 2cos tan 27ααααααααα⋅⋅===---Q，1tan 2α∴=-或tan 4α=.又tan()tan 3tan tan tan()1tan()tan 13tan αβααβαβααβαα+--=+-==+++Q ，将tan α的值代入上式可得：1tan 13β=-或tan 7β=-. 故答案为：113-或7-. 【点睛】本题考查同角三角函数的商数关系、两角差的正切，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意两种情况的值.16.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于、、A B C三点，令1||||AFBFλ=，2||||BCBFλ=，则当3πα=时，12λλ+=______.【答案】5【解析】【分析】设()11,A x y，()22,B x y，求出两点的坐标，再根据焦半径公式求出12,λλ的值，即可得答案；【详解】设()11,A x y，()22,B x y，则由过抛物线24y x=的焦点的直线的性质可得122416||2sin603AB x x=++==︒，12103x x∴+=，又21214px x==Q，13x∴=，213x=.分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点,E D，则1||||3(1)31||||(1)3AF AEBF BDλ--====--，同理可得2||||12||||sin30BC BCBF BDλ︒====，125λλ∴+=.故答案为：5.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.公差大于32的等差数列{}n a的前n项和为n S，13a=-，345,,4a a S+成等比数列，等比数列{}n b的前n项和为122n +-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nn n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）25n a n =-；2nn b =（2）16,110,234(27)2,3n n n T n n n +=⎧⎪==⎨⎪+-⋅⎩…【解析】【分析】（1）根据等比中项可得()24354a a S =+，从而求得d ，再利用等差数列和等比数列的通项公式，即可得答案；（2）对n 进行讨论，化简数列|25|2nn c n =-⋅，再利用错位相减进行求和. 【详解】（1）13a =-Q ，345,,4a a S +成等比数列，()24354a a S ∴=+，即2(33)(32)(1110)d d d -+=-+-+，解得2d =或1211d =（舍去），25n a n ∴=-. 设等比数列{}n b 的公比为q ，12b =Q ，()32222224b =---=，212b q b ∴==，2n n b ∴=. （2）|25|2nn c n =-⋅Q ，当1n =时，16T =；当2n =时，210T =；当3n ≥时，250n ->，341101232(27)2(25)2n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，①4512201232(27)2(25)2n n n T n n +=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②①-②()41108222(25)2n n nT n +⇒-=-++++--⋅L ，可得134(27)2n n T n +=+-⋅，16,110,234(27)2,3n n n T n n n +=⎧⎪∴==⎨⎪+-⋅⎩…. 【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式、错位相减法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意n T 要写成分段的形式.18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()nn N*∈个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415． ()1求n 的值；()2若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；()3若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．【答案】（1）n 7=；（2）37；（3）详见解析. 【解析】【分析】（1）由题意根据全是小集团的概率列方程求出n 的值；（2）根据古典概型的概率公式计算全为大集团的概率值；（3）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28n C +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是()()28285648715n C C n n +==++，整理得到()()78210n n ++=即2151540n n +-=，解得7n =．（2）若2个全是大集团，共有2721C =种情况；若2个全是小集团，共有2828C =种情况；故全为大集团的概率为21321287=+．（3）由题意知，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4，计算()04874151039C C P X C ===，()13874158139C C P X C ===，， ()228741528265C C P X C ===，()3187415563195C C P X C ===， ()40874152439C C P X C ===；故X 的分布列为：X0 1 2 3 4P139 839 2865 56195 239数学期望为()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）． 19.如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，过,A B 分别作AECD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E F 、.2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE .（2）若//DE CF ，3CD =P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，求直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）520【解析】【分析】（1）连接BE ，证明DE ⊥平面ABFE 内的两条相交直线,AF AE ，即可证明结论；（2）过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知,,GE EA EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG u u u r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的一个法向量(1,3)n =-r，求出|cos ,|CP n 〈〉u u u r r即可得答案；【详解】（1）连接BE ，由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在题图2中，AF BE ⊥，由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，AF ∴⊥平面BDE .DE ⊂Q 平面BDE ，AF DE ∴⊥.AE DE ⊥Q ，AE AF A ⋂=，DE ∴⊥平面ABFE .（2）在题图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =I，即AE ⊥平面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ，由题意得2DM=，1CM =，由勾股定理的逆定理可得DC CF ⊥，则6CDM π∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知,,GE EA EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG u u u r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，22,,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1,3)C ，130,,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,1,3)AC =-u u u r 132,,2AD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，12,,33CP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r .设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 得230132022x y z x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩取1x =得(1,1,3)n =-r . 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，2253|cos ,|1573CP n -〈〉==⎛⎫⋅+- ⎪⎝⎭u u u r r，则5sin θ=.【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用、向量法求线面角的正弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20.已知长度为AB 的两个端点A B 、分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =u u u r u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)，且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M N 、，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数？若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22182x y +=（2）存在两个定点1T，2(T -，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，当定点为1T时，常数为34+，当定点为2(T -时，常数为34- 【解析】【分析】（1）设(,)P x y ，()0,0A m ，(0,)B n ，利用向量关系2BP PA =u u u r u u u r坐标化，可得曲线C 的方程；（2）由题意设直线l 的方程为4x my =+，()11,Mx y ，()22,N x y ，假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，将MT NT k k ⋅表示成关于,m t 的函数，利用恒成立问题，可得定点坐标.【详解】（1）设(,)P x y ，()0,0A m ，(0,)B n ，由于2BP PA =u u u r u u u r，所以()()00(,)2,22,2x y n m x y m x y -=--=--，即0222x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，所以0323m x n y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.又因为||AB =，所以22018m n +=，从而2299184x y +=，即曲线C 的方程为22182x y +=.（2）由题意设直线l 的方程为4x my =+，()11,Mx y ，()22,N x y ，由224182x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224880m y my +++=，所以()122122228484643240m y y m y y m m m ⎧+=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪∆=-+>⎪⎩，故()121223284x x m y y m +=++=+，()2212121226484164m x x m y y m y y m -=+++=+.假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，则()()()()121222*********84(4)MT NT y y y y k k x t x t x x t x x t t m t ⋅===---++-+-.当280t -=，且40t -≠时，MI NT k k ⋅为常数，解得t =±显然当t =t =-34-.所以存在两个定点1T，2(T -，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，当定点为1T 时，常数为2(T -时，常数为34-.【点睛】本题考查椭圆的轨迹方程、椭圆中的定值与定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 21.已知函数2()ln f x a x =+且()f x a x ≤.（1）求实数a 的值；（2）令()()xf x g x x a=-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：6()7f m <<. 【答案】（1）2a =.（2）见解析. 【解析】试题分析：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，由于()10h =，故2ln 0a at t -+≤ ()()1h t h ⇔≤，可证：()ht 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减.故2a =合题意.（2）由（1）知()()xf x g x x a=- 22ln (2)2x x xx x +=>-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4sx x x =--，可证()08,9x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，进而证明()()0f m f x = ()0022ln 26,7x x =+=-∈，即()67f m <<.试题解析：（1）法1：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，则()22'at h t a tt-=-=，当0a ≤时，()'0h t >，故()h t 在()0,+∞上单调递增，由于()10h=，所以当1t >时，()()10h t h >=，不合题意.当0a >时，()2'a t a h t t⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，所以当20t a <<时，()'0h t >；当2t a >时，()'0h t <，所以()h t 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()ht 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 2h t h a⎛⎫= ⎪⎝⎭22ln22ln a a =-+-. 所以要使()0ht ≤在0t >时恒成立，则只需()max 0h t ≤，亦即22ln22ln 0a a -+-≤，令()22ln22ln a a a ϕ=-+-，则()22'1a a a aϕ-=-=，所以当02a <<时，()'0a ϕ<；当2a >时，()'0a ϕ>，即()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 又()20ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =.法2：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln ht a at t =-+，由于()10h =，故2ln 0a at t -+≤ ()()1h t h ⇔≤，所以()1h为函数()h t 的最大值，同时也是一个极大值，故()'10h =.又()22'ath t a t t-=-=，所以2a =，此时()()21't h t t-=，当01t <<时，()'0h t >，当1t >时，()'0h t <，即：()ht 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减.故2a =合题意. （2）由（1）知()()xf x g x x a=- 22ln (2)2x x xx x +=>-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4sx x x =--，则()22'1x s x xx-=-=，由于2x >，所以()'0s x >，即()s x 在()2,+∞上单调递增；又()80s <，()90s >，所以()08,9x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，即()gx 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增. 所以()()0mingx g x = 000022ln 2x x x x +=- 2000022x x x x -==-.（∵002ln 4x x =-）即0m x =，所以()()0f m f x = ()0022ln 26,7x x =+=-∈，即()67f m <<.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ (ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． (1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()R θαρ=∈，22(cos sin )10ρθθρ-++=（2）(2,【解析】【分析】（1）结合cos ,sin x y ρθρθ==消去参数，得到极坐标方程，即可．（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到()122cos sin ρραα+=+，用α表示OA OB +，结合三角函数的性质，计算范围，即可．【详解】（Ⅰ）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=.（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=，当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，228sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径.从而：122OA OB ρρ+=+= ()cos sin 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(2,.【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大． 23.已知()1f x x x m =+++，()232g x x x =++.（1）若0m >且()f x 的最小值为1，求m 的值；（2）不等式()3f x ≤的解集为A ，不等式()0g x ≤的解集为B ，B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）2m =；（2）04m ≤≤ 【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得()11f x m ≥-=，解出方程即可；（2）易得[]2,1B =--，()3f x ≤即4x m x +≤+，即42m x +≥-且4m ≤，再根据B A ⊆列出不等式即可得结果. 试题解析：（1）()()()111f x x x m x x m m =+++≥+-+=-(当1x =-时，等号成立） ∵()f x 的最小值为 1，∴11m -=，∴2m = 或0m =，又0m >，∴2m =.（2）由()0gx ≤得，[]2,1B =--，∵B A ⊆，∴(),3x B f x ∀∈≤，即()13x x m -+++≤ 44442m x m x x x m x x +⇔+≤+⇔--≤+≤+⇔≥-且4m ≤ 422m +⇔-≤-且404m m ≤⇔≤≤21。

所名校高考模拟金典卷数学理科

100所名校高考模拟金典卷〔八〕理科数学本卷子分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差(n s x x =++-其中x 为样本平均数柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的外表积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第一卷〔选择题共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合{}|21x A x =>，{}2|340B x x x =-->，则U AC B 等于A ．{}|04x x ≤<B ．{}|04x x <≤C ．{}|10x x -≤≤D ．{}|14x x -≤≤ 2．已知()(3)1010a bi i i ++=+〔i 为虚数单位〕，其中,a b 为实数，则ab 的值为A ．2B ．4C ．8D ．163．已知椭圆22214x yb+=过圆2220x y y++=的圆心，则该椭圆的离心率为 A BC ．32D 4．已知具有线性相关关系的两个变量x 与之间的几组数据如下表：则y 与x 的线性回归方程ybx a =+必过A ．(1,3) B．(1.75,4)C ．(1.5,4)D ．(3,7)5．在△ABC 中，||2AB =，||3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC正视图侧视图的面积为32，则BAC ∠等于 A ．120°B ．135°C ．150°D ．30°或150°6．已知某几何体的三视图如右图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，依据图中的数据可得此几何体的体积为A．132+ B ．4136π+ C．166+ D ．2132π+ 7．函数1,(20),(||)822sin(),(0),3kx x y x x πϕπωϕ+-≤<⎧⎪=<⎨+≤≤⎪⎩A ．11,,226k πωϕ=== B ．11,,22k ωϕ===C ．1,2,26k πωϕ=-==D ．2,2,3k πωϕ=-==8．如图，是中国X 世界园艺博览会某地域的绿化美化示意图，其中A 、B 、C 、D 是被划分的四个地域，现用红、黄、蓝、白4种不同颜色的花选栽，要求每个地域只能栽同一种花，同意同一颜色的花可以栽在不同的地域，但相邻的地域不能栽同一色花，则A 、D 两个地域都栽种红花的概率是A ．34B ．12C ．14D ．189．“1k =〞是“直线1y kx k =+-经过不等式组1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面地域〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知函数2()2af x x x=++为偶函数，则函数()f x 的图像与直线3y x =，0x =，1x =所围成的平面图形的面积为A ．56B ．1C ．53D ．211．已知在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，13AA =．在该长方体内部的球O 与长方体的底面ABCD 以及四个侧面都相切，点E 是棱1DD 上一点，线段BE 过球心O ．假设直线1B E 与平面11CC D D 所成的角的正切值为5，则球O 的外表积为 A ．8πB ．6πC ．5πD ．4π12．如图函数||1y x =-的图像与方程221x y λ+=的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是A ．(][),10,1-∞- B ．[)1,1-C ．{}1,0-D ．[][)1,01,-+∞第二卷〔非选择题共90分〕考前须知：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知平面向量a 与b -的夹角为60°，||2||2a b ==，则(2)a ab +＝．14．某程序框图如右图所示，现将输出(,)x y 的值依次记为：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，…假设程序运行中输出的一个数组是(,10)x -，则该数组中的x ＝．15．已知cos()6x π-=，则cos cos()3x x π+-＝．16．设()g x 是定义在R 上以1为周期的函数，假设()2()f x x g x =+在[]0,1上的值域为[]1,3-，则()f x 在区间[]0,3上的值域为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔本小题总分值12分〕已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =且51217S a -=．等比数列{}n b 中，12b a =，236b S =．〔1〕求n a 与n b ；〔2〕设1n n n c a b +=，设12n n T c c c =+++，求n T ．18．〔本小题总分值12分〕某次有1000人参加数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如下图，规定85分及其以上为优秀．〔1〕下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a 、b 的值；行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；〔3〕在〔2〕中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生，求成绩为优秀的学生人数X 的分布列与数学期望．19．〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，90ADB ∠=，2AB AD =．〔1〕证明：PA BD ⊥；〔2〕假设PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 20．〔本小题总分值12分〕已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点．〔1〕假设2AF FB =，求直线AB 的斜率；〔2〕设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．21．〔本小题总分值12分〕已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a R ∈．〔1〕求()f x 的单调区间；〔2〕假设()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．〔本小题总分值10分〕【选修4－1：几何选讲】如图，在正△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且13BD BC =，13CE CA =，AD ，BE 相交于点P ，求证：〔1〕P 、D 、C 、E 四点共圆；〔2〕AP CP ⊥．23．〔本小题总分值10分〕【选修4－4：坐标系与参数方程】已知某圆的极坐标方程是2cos()604πρθ--+=，求：PABCDABCPED〔1〕圆的一般方程和一个参数方程；〔2〕圆上全部点(,)x y 中xy 的最大值和最小值． 24．〔本小题总分值10分〕【选修4－5：不等式选讲】已知函数()|2|f x x a a =-+．〔1〕假设不等式()6f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤，求实数a 的值；〔2〕在〔1〕的条件下，假设存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围．100所名校高考模拟金典卷〔八〕理科数学参考答案一、选择题，此题考查根底知识，根本概念和根本运算能力13． 14． 15． 16．三、解答题 17．。

100所名校高考模拟金典卷(十)理科数学

100所名校高考模拟金典卷（十）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差(n s x x =++-其中x 为样本平均数柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数2334ii-+-所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}|23A x x =-≤<，{}|lg(1)B x y x ==-，那么集合AB 等于A ．{}|13x x -<<B ．{|1x x ≤-或3}x >C ．{}|21x x -≤<-D ．{}|13x x <<3．已知,p q 为两个命题，则“p q ∧是真命题”是“p ⌝为假命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人．从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是A ．简单随机抽样法B ．抽签法C ．随机数表法D ．分层抽样法 5．双曲线223412x y -=的离心率为ABC ．2D6．程序框图如右图，若5n =，则输出s 的值为A ．30B ．50C ．62D ．667．已知实数,x y 满足条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若3z x y =+得最大值为8，则k 等于A ．－8B ．－6C ．－4D ．－18．设4cos (0)52παα=-<<，1tan(3)2πβ-=，则tan(3)αβ-等于 A ．247- B ．724- C ．724 D ．2479．如图右图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC xOA yOB =+，则A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<10．已知函数()sin(),(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的部分图像如图所示，欲得到函数()cos()3g x A x πωϕ=++(0,0,0)A ωϕπ>><<的图像，可由函数()y f x =的图像通过怎么平移得到A ．向右平移12π个单位B ．向左平移6π个单位C ．向右平移6π个单位D ．向左平移512π11．已知点P 为抛物线24y x =上一点，记点P 到y 轴的距离为1d ，点P 到直线:34120l x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值为A ．125 B ．135C ．2D ．8312．设X 是一个非空集合，τ是集合X 的若干子集组成的集合，若满足：①∅属于τ，X 属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 的拓扑．设{},,X a b c =，对于下面给出的集合τ：（1）{}{}{}{}{},,,,,,,a b a c a b c τ=∅；（2）{}{}{}{}{},,,,,,,a c a c a b c τ=∅ （3）{}{}{}{}{},,,,,,,,a a b a c a b c τ=∅；（3）{}{}{}{}{},,,,,,,a b b c a b c τ=∅ 则τ是集合X 的拓扑的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．求11432(3)x x +展开式的2x 的系数是．14．对五个样本点(1,2.98),(2,5.01),(3,),(4,8.99),(6,13)m 分析后，得到回归直线方程为21y x =+，则样本中m 的值为．15．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，当tan()3A B -=时，角C 的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，123,2,3S S S 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n n b a -的首项为－6，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）形状如图所示的三个游戏盘中（图①是正方形，M 、N 分别是其所在边的中点，图②是半径分别为2和4的两个同心圆，O 为圆心，图③是正六边形，点P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次水平摇动三个游戏盘，当小球静止后，就完成了一局游戏．① ② ③ （1）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？（2）用随机变量X 表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件个数与小球没有停在阴影部分的事件个数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，已知△AOB ，2AOB π∠=，6BAO π∠=，4AB =，D 为线段AB 的中点．若△AOC 是△AOB 绕直线AO 旋转而成的．记二面角B AO C --的大小为θ．（1）当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值；ABCO D（2）当3[,]23ππθ∈时，求二面角C OD B --的余弦值的取值范围． 20．（本小题满分12分）已知函数()ln ()1af x x a R x =+∈+．（1）当92a =时，如果函数()()f x g x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（2）当2a =时，试比较()f x 与1的大小．21．（本小题满分12分）设动点P 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，若212cos 1d d θ=．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点B 作直线l 交轨迹C 于,M N 两点，交直线4x =于点E ，求||||EM EN ⋅的最小值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于B 、C 两点，APC ∠的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．（1）证明：AD AE =；（2）已知30C ∠=，求PCPA的值． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】如图，以坐标原点为圆心，分别以2和1为半径作两圆，从原点引一条射线，交两圆于,M N 两点，过M 作MH x ⊥轴于H ，过点N 作NP ⊥MH 于点P ，设(02)xOM θθπ∠=≤<，动点P 的轨迹为1C ．（1）以θ为参数，写出轨迹1C 的参数方程，并指出轨迹1C 的形状；（2）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=，设A 、B 分别是曲线1C 与2C 上的动点，求||AB 的最大值与最小值． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知|3|||(0)bx a bx a ac a -++>>对任意实数x 恒成立，求实数C 的取值范围；（1）设,,0a b c >，且233a b c ++=，求11123a b c++的最小值．错误!未指定书签。

全国100所名校2020届高考模拟金典卷理科数学试题 (教师卷)

解题分析!作出'*&!# 与'*%#!/!的图象可知两个函数有两个公共点故集合 23I 中元素的个
数为!!
1!#!"&2年全国'卷$已知"5,$*#!(1$("5,7*#1(B$("$5,7"*&(则"5,$"$5,7*
,!%1
-!%!
.!!
$!1
答案!.
命题意图!本题考查平面向量的坐标运算(考查运算求解能力!
=%0*00#%0 与0% 的大小关系不能确定#故 $项不正确!
&"!我国南北朝时期数学家祖暅(提出了著名的祖暅原理),缘幂势既同(则积不容异也-!,幂-是截面积(,势-是几何体的高(意思是两等高几何体(若在每一等高处的截面积都相等(则两几何体体积相等!已知某不规则几何体

$!#G 槡&1("$
解题分析!B双曲线
7')!
%#2!
*&的渐近线方程为'*G
!1#=
槡) 1
*
! 1
解得
)*+
=双曲线方程为'+! %#2!*&=双曲线7 的两个焦点坐标为"G 槡&1!
归因导学!错<,学
错点
错因
不能正确求出双曲线的焦点坐标混淆%(0(3的关系(不能判断焦点所在坐标轴
.!#+!/'1!*&
$!#'!/'+!*&
答案!-
命题意图!本题考查椭圆的性质与定义的应用(考查数形结合的数学思想与运算求解能力!
解题分析!由题可设"1!$"*##于是"1!""*!##则""$"*1##再由椭圆定义知"1!$"/"1&$"*"1!$"

100所名校高考模拟金典卷(十)理科数学

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2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷及答案解析(13页)

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2020届全国百所名校金典卷 理数 1-6(含答案)

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