D8_2无穷级数 正项级数及审敛法
数项级数的审敛法资料
1 xp
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1 234
x
1
n dx 1 xp
1
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
n e
级数
（
n1
1 ）n
n! nn
绝对收敛.
例 9
讨论级数
x
n
的敛
散
性。
n1 n | x |n1
解 lim | un1 | lim
n un
n
n1 | x |n
lim n | x | | x |
n n 1
当 | x | 1时，
xn
n
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
一、正项级数及其审敛法
正项级数的比较审敛法
正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。
通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。
本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。
正项级数是指所有项都是非负数的级数。
我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。
如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。
同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。
这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。
比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。
下面我们将分别介绍这两种方法。
一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。
如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。
比较法的关键在于选择合适的已知级数。
常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。
例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。
调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。
根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。
二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。
当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。
如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。
极限比较法的关键在于计算级数的极限值。
对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。
正项项级数的审敛法
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式
《高数教学课件》第二节正项级数及其审敛法
习题
求下列级数的和 $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{2^n}$ $sum_{n=1}^{infty} frac{n^3}{3^n}$
习题
$sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n^3}$
$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{3^n}$
判断下列级数是否收敛， 并说明理由
答案与解析
01
02
03
04
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
判断下列级数是否收敛，并说 明理由
THANK YOU
感谢聆听
正项级数的性质
02
01
03
性质一
正项级数的和一定是正数。
性质二
正项级数的和不会超过其中任意一项。
性质三
正项级数的和一定不会小于其中任意一项。
正项级数的分类
几何级数
是指每一项都是前一项的固定倍数的 级数，如1+2+4+8+16+...。
算术级数
是指每一项都是等差数列的级数，如 1+2+3+4+5+...。
01
03 02
答案与解析
判断下列级数是正项级数还是 交错级数
$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{2^n}$ 是正项级数。
$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n frac{n}{2^n}$ 是交错级数。
答案与解析
• 解析：正项级数是指每一项都是非负的级数，而交错级数是指每一项符号交替变化的级数。对于第一个级数，每一项都是正的，因此是正项 级数。对于第二个级数，每一项的符号都与前一项相反，因此是交错级数。
无穷级数的审敛法与收敛性判别
无穷级数的审敛法与收敛性判别无穷级数是数学中的一个重要概念，利用无穷级数可以逼近函数的值。
但无穷级数是一个无限求和的概念，有可能会出现发散的情况，因此就有了收敛性判别和审敛法这两种方法来判定无穷级数是否收敛。
首先，让我们来看一下什么是无穷级数。
无穷级数是由无限多个数相加或相减所得到的一种数列求和方式，可以表示为以下形式：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots$$其中，$a_n$ 表示第 $n$ 个数。
接下来，我们来介绍几种判定无穷级数收敛的方法。
一、正项级数判别法如果一个无穷级数的每一项都是非负数，即 $a_n\geq 0$，那么我们可以使用正项级数判别法来判断无穷级数是否收敛。
正项级数判别法的结果是，如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛，那么 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=0$。
这个结论非常重要，因为如果 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\neq 0$，那么级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 一定发散。
这是因为无穷级数的每一项都是非负数，如果$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\neq 0$，那么随着$n$ 的增大，$a_n$ 的大小也会越来越大，因此级数就会发散。
二、比较判别法比较判别法是一种常用的判定无穷级数收敛性的方法。
比较判别法的基本思想是，将待判定的级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较，从而得出原级数的收敛性。
比较判别法分为两种情况：比较判别法一和比较判别法二。
比较判别法一表述如下：对于两个正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$，如果存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，有 $a_n\leq kb_n$，其中 $k$ 是一个正常数，那么有以下结论：- 当级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛时，级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛。
级数的审敛法
级数的审敛法
级数的审敛法是一种判定级数是否收敛或发散的方法。
下面介绍几种常用的审敛法：
1. 正项级数判别法：如果级数的各项都是非负数，并且级数的通项递减，则该级数收敛。
这是因为正项级数的部分和一定是递增有界的。
2. 比较判别法：设有两个级数∑a_n和∑b_n，如果在有限项后
总有a_n ≤ b_n，则如果∑b_n收敛，∑a_n也收敛；如果∑a_n
发散，∑b_n也发散。
这个方法常用于比较一个级数与已知的
收敛或发散的级数。
3. 比值判别法：对于一个级数∑a_n，如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≤ r < 1，则级数绝对收敛；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ 1，则级数发散；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ r > 1，则级数发散或者条件收敛。
4. 积分判别法：对于一个非负递减的函数f(x)，如果∫f(x)dx从
1到无穷收敛，则级数∑f(n)也收敛；如果∫f(x)dx从1到无穷发散，则级数∑f(n)也发散。
这个方法利用了级数与函数的关系。
以上只是一些常用的审敛法，对于特定的级数，可能需要使用其他方法进行判断。
高等数学第二节 正项级数审敛法1
1
）;
n 1
n
1
(6)n2 (ln n)2 .
解
(1)因为
sin
n2
1 a2
1 n2
,
级数
n 1
1 n2
收敛，因此该级数收敛；
(2 )因为 n 1 1 , n2 1 n
级数
1发散，因此该级数发散；
n=1 n
1
(3) 因为
lim 3n n 1, n 1
~
k np
(k
0)，那么当p>1时级数
un 是收敛的，当p≤1时级数
n 1
un是发散的．
n 1
例 4 设 an 为正项级数，下列正确的是( )． n1
（A）若
lim
n
nan
0
，则级数
n1
an
收敛
（B）若存在非零常数
，使得
lim
n
nan
，则级数
n1
则则当当rr<<11时时级级数数收收敛敛；；当当rr>>11((或或lnnilnmimnnnuunnn ))时时级级数数发发散散；；当当rr11
k 1
n 1
若ρ>1,则…………
例６ 判别下列级数的敛散性：
(1)
ann!(a 0),并在a e时求极限 lim ann!;
(2) 4 4 7 4 7 10
nn
n1
n n n
2 2 6 2 610
(3)
n 1
n 3n
sin2
级数审敛法
级数审敛法介绍级数是数学中重要的概念，它是由一系列数相加得到的。
级数的审敛法是用来判断一个级数是否收敛或发散的方法。
在实际的数学应用中，我们经常需要判断级数的收敛性，以便得到准确的结果或做出正确的推理。
基本概念在讨论级数审敛法之前，我们首先需要了解一些基本概念。
级数的定义给定一个数列 {an}，我们将其求和得到的数列称为级数，表示为 S = a1 + a2 + a3 + … + an + …部分和级数的部分和是指从第一项到第 n 项的和，表示为Sn = a1 + a2 + a3 + … + an收敛和发散如果级数的部分和 {Sn} 极限存在，那么我们称该级数收敛，并将收敛的值作为该级数的和。
如果级数的部分和没有极限或极限为无穷大，那么我们称该级数发散。
级数审敛法级数审敛法是一组用于判断级数收敛性的方法，不同的方法适用于不同的情况。
下面将介绍几种常用的级数审敛法。
正项级数审敛法如果级数的每一项都是非负的（即 an >= 0），并且级数的部分和是有界的，那么该级数收敛。
比较审敛法比较审敛法是通过与已知级数进行比较来判断级数的收敛性。
1.如果级数的每一项都大于（或等于）一个收敛的级数的对应项，那么该级数发散。
2.如果级数的每一项都小于（或等于）一个发散的级数的对应项，那么该级数收敛。
3.如果级数的每一项与一个收敛级数的对应项同阶无穷（即两个项的比的极限为正无穷或负无穷），那么该级数与这个收敛级数的收敛性相同。
比值审敛法比值审敛法（又称达朗贝尔审敛法）是通过计算级数中相邻两项的比值或比值的极限来判断级数的收敛性。
1.如果存在一个常数 r，使得级数的相邻两项的比值的绝对值小于 r，那么该级数收敛。
2.如果级数的相邻两项的比值的绝对值大于 1，那么该级数发散。
3.如果级数的相邻两项的比值的绝对值等于 1，那么比值审敛法无法确定级数的收敛性，可能收敛，也可能发散。
根值审敛法根值审敛法（又称柯西审敛法）是通过计算级数中项的根值或根值的极限来判断级数的收敛性。
正项级数及其审敛法
判别法与极限审敛法
判别法是根据正项级数的通项性质来判断其收敛性的方法。通过对通项的分析，可以找到一些关键的 量，如相邻项的比值、绝对值的增长速度等，来判断级数的收敛性。
极限审敛法是通过分析级数部分和的极限行为来判断其收敛性的方法。它基于极限的性质，通过分析部 分和的极限是否存在或趋于无穷大，来判断级数的收敛性。
正项级数在数值分析中用于求解 微积分问题，例如数值积分、数 值微分等。
在物理中的应用
热力学
正项级数在热力学中用于描述热传导、热辐射 等过程，例如求解热传导方程。
波动理论
正项级数在波动理论中用于描述波动现象，例 如求解波动方程。
原子结构
正项级数在原子结构中用于描述电子的能级分布，例如求解薛定谔方程。
几何审敛法的优点
直观易懂，易于操作。
调和审敛法
调和审敛法
通过观察级数的调和级数部分（即分母）的增长情况来判断级 数的收敛性。如果调和级数部分增长速度较慢，则级数收敛；
反之，则发散。
调和审敛法的适用范围
适用于分母为连续正整数或分母为等差数列的正项级数。
调和审敛法的优点
适用于某些特殊类型的级数，计算简便。
详细描述
自然数幂级数的通项公式为$a_n = n^m$，其中$m$是一个常数。自然数幂级数的和可以通过公式$S_n = frac{n^{m+1}}{m+1}$计算。当$m = 1$时，自然数幂级数退化为等差级数。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定比例的级数。
详细描述
几何级数的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。几何级数的和可 以通过公式$S_n = frac{a_1 times (r^n - 1)}{r - 1}$计算，其中$S_n$表示前$n$项的和。当$r = 1$时， 几何级数退化为等差级数。
第二节数项级数的审敛法
定理2(比较审敛法) 设 un 和 vn 都是正项级数,
n 1
n 1
且 un vn (n 1,2,). 若 vn 收敛,则 un 收敛;
n 1
n 1
若 un 发散则 vn 发散.
n 1
n 1
证:
设 vn 收敛于σ,
n 1
则 un 部分和 n 1
Sn u1 u2 un v1 v2 vn
5 nn
n!2n nn
记
un
lim un1 2 1,由正项级数的比值判别法知
n un
e
un 收敛,
n1
再由正项级数的比较判别法知原级数绝对收敛.
证
设
vn
1 2
(un
| un
|)
则 vn 0,
vn | un |
由 | un | 收敛知 vn 收敛
n 1
n 1
而 un 2vn | un |
则 un 收敛
n 1
注意:(1) 逆命题不成立
(2)
如果用比值或根值审敛法判定 则 un 发散 (证明略)
|
n 1
un
| 发散
n 1
例 sin n 绝对收敛 n1 n 2
sin n 1
n2 n2
1
n1 n 2
sin n
收敛
n 1
n2
收敛
例 (1)n ln n
n1
n
条件收敛
对 (1)n ln n ln n
n 1
n
n1 n
发散
ln n 1 (n 3,4,...) nn
对
(1)n ln n
n1
n
而 收敛
1 发散
第二节正项级数及其审敛法
第二节 正项级数及其审敛法无穷级数只有在收敛时才有明确的意义,所以判定一个级数的敛散性是研究级数的重要内容之一.本节首先介绍正项级数敛散性的判定方法,从后面的章节我们将看到,其它级数的敛散性问题很多情况下都可转化为正项级数敛散性的讨论.一、正项级数收敛的充分必要条件1. 正项级数的定义定义1 对于级数∑∞=1n nu,若0(1,2,3,)n u n ≥=,则称∑∞=1n n u 为正项级数.[注] 对于正项级数∑∞=1n nu,当略去0n u =的项时,不影响其敛散性及收敛时级数的和,因此本书后面所讨论的正项级数均假设0(1,2,)n u n >=.2. 正项级数收敛的充分必要条件由于n u 的非负性,正项级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n s 单调增加.根据单调有界的数列必有极限的准则可知,数列{}n s 有极限的充分必要条件是{}n s 有上界.因此有下面的定理.定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充分必要条件是其部分和数列有上界.例1 讨论-p 级数 +++++=∑∞=pp p n p n n13121111的敛散性. 解 当1=p 时, -p 级数即是调和级数∑∞=11n n,发散. 当1<p 时, ∑∑==>nk nk p kk 1111,故∑=n k p k 11无界,所以∑∞=11n p n 发散.当1>p 时,对于1+≤≤n x n ,有p p pnx n 11)1(1≤≤+,所以 ⎰⎰⎰-++++≤++++211321111131211n n p p p p p p dx xdx x dx x n ⎰-+<+=np p dx x 111111, 即∑=nk p k 11有界,故∑∞=11n p n 收敛.综上所述,-p级数∑∞=11npn在1>p时收敛,1≤p时发散.定理1说明判断一个正项级数是否收敛,关键是判断它的部分和数列是否有界;而要做到这一点往往是很困难的. 但从这个定理出发,我们可以导出几个在使用上较为方便的正项级数敛散性的判别法.二、正项级数敛散性的判别法1 比较判别法定理2 设正项级数∑∞=1nnu和∑∞=1nnv满足关系式nnvu≤),3,2,1(=n,则 (1) 当∑∞=1nnv收敛时,∑∞=1nnu收敛;(2) 当∑∞=1nnu发散时,∑∞=1nnv发散.证明设级数∑∞=1nnu的部分和数列为{}n s,级数∑∞=1nnv的部分和数列为{}n t,则(1,2,3,)n ns t n≤=(1) 当∑∞=1nnv收敛时,由定理1可知{}n t有上界;而nnts≤,于是{}n s也有上界,从而∑∞=1 nnu收敛.(2)当∑∞=1nnu发散时,由定理1可知{}n s无上界;此时{}n t也必定无界,从而∑∞=1nnv发散. 注意到级数的每一项乘以非零常数c,以及去掉级数的前面有限项都不会影响级数的敛散性,我们得到如下推论.推论1若∑∞=1nnu和∑∞=1nnv都是正项级数,且对某个自然数N及常数c)0(>有nncvu≤, )(Nn>∀则 (1) 当∑∞=1nnv收敛时,∑∞=1nnu收敛;(2) 当∑∞=1n nu发散时,∑∞=1n nv发散.[说明](1) 从直观上讲,,比较判别法说明比收敛级数更“小”的级数收敛;比发散级数更“大”的级数发散.当然,这里指的“大”、“小”都是指正项级数一般项的比较.然而,此判别法不能判定比收敛级数更“大”的级数或比发散级数更“小”的级数的敛散性.(2) 应用比较判别法判定正项级数的敛散性,需要一些已知敛散性的级数作为比较时的“标准级数”,而我们经常选用几何级数、p -级数作为“标准级数”,所以一定要牢记它们的敛散性.例2判定下列正项级数的敛散性.(1)21sin 53n n n π∞=∑; (2) 31135n n n ∞=+-∑; (3) 1n ∞=. 解 (1) 因为2sin 1533n n n π<,而级数113n n ∞=∑收敛,所以由比较判别法知级数21sin53n n n π∞=∑收敛. (2) 注意到当2n ≥时,331135n n n <+-,而级数311n n∞=∑收敛,由上述推论1知级数31135n n n ∞=+-∑收敛. (3)11n >+,而级数111111231n n n ∞==++++++∑是发散的,根据比较判别法可知级数1n∞=.[注]虽然这里n ∞=1n <,但由此不等式出发利用比较法不能得出级数1n ∞=.例3 设级数21nn a ∞=∑收敛,讨论级数1n ∞=的敛散性.分析 这是一个关于正项级数的敛散性问题,而题设已告知一正项级数21nn a∞=∑收敛,并且此级数的一般项与1n ∞=的一般项有一定关系,故可以考虑用比较判别法解题.解 因为222211112121n n a a n n ⎛⎫⎛⎫≤+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,对于级数2111n n ∞=+∑,由于22111n n <+,根据比较判别法可知其收敛.又由已知,级数21nn a ∞=∑收敛.所以,级数2211121n n a n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑收敛,从而级数n ∞=收敛. 比较判别法是判别正项级数敛散性的重要方法,使用此方法的关键是记住一些常用级数的敛散性的同时,建立级数一般项之间的适当的不等式关系,而这点通常也是一个难点,需要通过一些练习来积累一定的经验才能运用灵活.下面介绍在应用上更方便的比较法的极限形式.定理3 （比较判别法的极限形式）若∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数,且l v u nnn =∞→lim（+∞<<l 0）,则∑∞=1n nu和∑∞=1n nv同时收敛或同时发散.证明 由于l v u nnn =∞→lim ,且+∞<<l 0,故对给定的02l ε=>,存在正整数N ,使当n N >时,有2n n u ll v ε-<=, 即: 322n n u l l v <<,于是,当n N >时,有322n n n l lv u v <<.由推论1可知,∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散.[说明](1) 事实上，进一步还可证明如下结论:若lim 0nn nu v →∞=,且级数∑∞=1n n v 收敛,则级数1n n u ∞=∑也收敛;而若lim nn nu v →∞=+∞,且级数1n n v ∞=∑发散,则级数1n n u ∞=∑也发散. (2) 对两个正项级数1n n u ∞=∑和∑∞=1n n v ,若lim lim 0n n n n u v →∞→∞==,则n →∞时,nnu v 的极限(如果存在)反映了一般项n u 、n v 趋于零的“快慢程度”. 定理3说明,当n u 和n v 是同阶无穷小(特别地,二者是等价无穷小)时,级数1nn u∞=∑和∑∞=1n nv同时收敛或同时发散.例4 判定正项级数1121nn ∞=-∑的敛散性. 分析 此题若用比较法判定,由于11212n n>-(1,2,n =),不能直接由这个最易想到的不等关系得到结论,而应寻找另外的不等关系. 而若选用比较法的极限形式,则可直接利用121n -与12n的密切联系,求解更为便捷. 解 因为11lim1212n nn →∞=-,根据定理3可知,级数1121n n ∞=-∑与112n n ∞=∑具有相同的敛散性.而级数112n n ∞=∑是收敛的等比级数,所以,级数1121nn ∞=-∑收敛. 例5 判定下列正项级数的敛散性.(1) 321121n n n n ∞=+--∑; (2) ∑∞=11sin n n . 解 (1) 因为 3221121lim 12n n n n n →∞+--=,而级数211n n∞=∑收敛,则根据定理3知级数321121n n n n ∞=+--∑收敛. (2) 因为 n →∞时,11sinnn ,即1sinlim 11n n n→∞=,而级数11n n∞=∑发散,根据定理3知级数∑∞=11sinn n发散. 利用比较判别法或其极限形式判定级数的敛散性,需要先对所考虑级数的敛散性有一个大致估计,进而找一个敛散性已知的合适级数与之比较. 在很多情况下,这两个步骤都具有相当难度,下面介绍两个着眼于待判别级数自身特点的更加适用和方便的判别法. 2 比值判别法定理4 (达朗贝尔判别法)设∑∞=1n n u 为正项级数，若l u u nn n =+→∞1lim(或∞+),则(1) 当1<l 时,级数∑∞=1n nu收敛;(2) 当1>l (或∞+)时,级数∑∞=1n nu发散;(3) 当1=l 时,级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.证明 (1) 当1l <时,可取定一个适当小的正数ε,使1l q ε+=<(如:12lε-=),由数列极限的定义知,存在正整数N ,当n N ≥时有1n nu l u ε+-<,故11n nu l q u ε+<+=<. 因此， 1N N u qu +<,221N N N u qu q u ++<<,……………………mN m N u q u +<,……………………这组不等号右边的各项组成的级数23m N N N N qu q u q u q u +++++是几何级数,而01q <<,所以此几何级数收敛.由比较判别法可知不等号左边各项组成的级数12N N N N m u u u u +++++++也是收敛的.由于去掉级数的前面有限项不改变级数的收敛性,因此级数∑∞=1n nu收敛.(2) 当1l >时,可取定一个适当小的正数ε,使1l ε->(如:12l ε-=),则根据数列极限的定义,存在正整数N ,当n N ≥时有11n nu l u ε+>->,即1n n u u +>. 所以,从第N 项开始,级数∑∞=1n nu的一般项逐渐增大,所以lim 0n n u →∞≠,故级数∑∞=1n nu发散.(3) 当1l =时,级数可能收敛也可能发散.这个结论可以从p -级数11pn n∞=∑的敛散性看出.对p -级数而言,()111lim lim 11n p p n n n u n u n +→∞→∞⎡⎤==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.当1p >时,此级数收敛;当1p ≤时,此级数发散.[注] 在上述定理的第三种情况(即1=l 时),比值判别法失效,必须用其它方法来判定级数的敛散性,如比较判别法,级数的性质等.例6 判定下列正项级数的敛散性.(1) ∑∞=132n n n ; (2) ∑∞=⋅1!3n n n n n ; (3) ∑∞=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅1!4)12(531n nn n . 解 (1) 因为12)1(2lim 2)1(2lim33331>=+=+→∞+→∞n n n n n n n n ， 所以,级数∑∞=132n nn发散.(2) 因为1111(1)lim lim (1)13(1)!3!33n nn n n n n e n n n n n ++→∞→∞+=+=<+⋅, 所以,级数∑∞=⋅1!3n n nn n 收敛.(3) 因为121)1(412lim !4)12(531)!1(4)12)(12(531lim1<=++=-⋅⋅⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅⋅⋅→∞+→∞n n n n n n n n n n n , 所以,级数∑∞=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅1!4)12(531n nn n 收敛. [注] 一般地,比值判别法适合于正项级数中1n u +与n u 有公因子的情形;若级数的一般项中含有!n 时,用比值判别法特别有效.例7 判定正项级数2112nn n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性.解 易知22212nn n n n <⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1,2,3)n =,对于级数212n n n ∞=∑使用比值判别法. 因为()22111lim1222n n n n n +→∞+=<,级数212n n n ∞=∑收敛.所以,由比较判别法知级数2112nn n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛.除了比值判别法,我们还有如下根值判别法.3 根值判别法定理5 （柯西判别法）设∑∞=1n nu为正项级数,若l u n n n =∞→lim (或∞+),则(1) 当1<l 时,级数∑∞=1n nu收敛;(2) 当1>l (或∞+)时,级数∑∞=1n nu发散;(3) 当1=l 时,级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.例7 判别下列级数的敛散性. (1)1(0)1nn na a n ∞=⎛⎫> ⎪+⎝⎭∑; (2) 21112n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.解 (1) 因为n n a ==， 所以,当1a <时,此级数收敛;当1a >时,此级数发散;当1a =,1lim lim 01nn n n n u n e →∞→∞⎛⎫==≠ ⎪+⎝⎭,此级数也发散. (2) 因为1lim lim 112nn n n n →∞→∞⎛⎫==+=> ⎪⎝⎭, 所以,由根值判别法得级数21112n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散.[注] 一般说来,若正项级数的一般项中含nn 、na (a 为一常数)时,用根值判别法较为方便.习 题 7－21. 判定下列正项级数的敛散性:(1)1n ∞=; (2) 1ln n n n ∞=∑; (3) 1352nn ∞=+∑;(4)1n ∞=; (5)11n n n ∞=+-; (6) 1n ∞=.2. 判定下列正项级数的敛散性:(1) 1sin 3n n π∞=∑; (2) 13!n n n ∞=∑; (3)11tan 23n n n π∞=∑;(4) 11(1)!n n n n ∞+=+∑; (5) 2211n n x n ∞=∑; (6) 1sin 22n n n n π∞=∑; (7) 12132n n n n ∞=-⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; (8) 21121nn n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑.3. 证明lim 03!nn n n n →∞=. (提示：用级数收敛的必要条件)4. (1) 设0n a ≥，0n b >,若lim 0nn na b →∞=,且级数1n n b ∞=∑收敛,证明级数1n n a ∞=∑收敛. (提示:证明0nna Mb ≤≤,M 为一常数) (2) 利用(1)的结果证明级数31ln n nn∞=∑收敛.。
无穷级数-正项级数及其审敛法
∞
4. 判定下列级数的敛散性 ： ∞ ∞ 1 1 (1 ) ∑ ; ( 2 ) ∑ ln 1 + 3 . 3 2 n n=1 n + a n=1 1 n 3 + a 2 = 1, 解 ( 1 ) 因 lim 3 n→ ∞ n 2
而级数
3 n=1 n 2
∑
∞
1
收敛，
∞
由定理 11 .3 知， ∑
欲证 ∑ un 收敛 ，
n =1
∞
定理11.3 (极限形式的比较审敛法) 设正项级数 ∑ un , ∑ vn 满足
n =1 n =1
∞
∞
则有
un lim =l n→ ∞ vn
(0 ≤ l ≤ +∞ ),
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两级数同敛散 ; (2) 当 l = 0 且 ∑ vn 收敛时, ∑ un 也收敛 ;
n =1
∑ v n收敛， 故原级数收敛 .
∞
例7 判断
n =1
∑
∞
x 2n n
2
的敛散性
( x为常数
x 2 (n + 1 )
, x ≠ 0 , ± 1 ).
un + 1 = lim 解 因为 ρ = lim n→ ∞ n → ∞ un
= lim n2
n→ ∞
(n + 1 )2
n2
x 2n
(n + 1 )
(0 ≤ ρ ≤ +∞ ), 则
( 1) 当ρ < 1 时, 级数收敛 ; ( 2) 当ρ > 1或 ρ = +∞ 时, 级数发散 .
(3) 当ρ = 1 时, 根值审敛法失效.
正项级数及其审敛法
作业
习题9-2：1（偶数题）、2（偶数题）
3（偶数题）、4（奇数题）
8
设 an 和 bn 是两个正项级数，若极限
n1
n1
lim an k b n
n
则有
(1)当0 k 时, bn收敛则 an收敛;
n1
n1
(2)当0 k 时, bn发散则 an发散;
n1
n1
(3)当0 k 时,两级数有相同的敛散性.
3
设 正 项 级 数 an和 bn的 一 般 项an和bn
是
正
项
级
数,
若
极
限lim n
n
an
,则
n1
(1)当 1时 级 数 收 敛;
(2)当1 时 级 数 发 散.
7
例5、判别下列级数的敛散性。
(1)
n
n2
n1 n 1
n 2n
( 2) e n1
n1
a n
( 3)
(a 0)
n1 n p
1 sin
例6、证明： lim n 0.
设n1a来自n是正
项
级
数, 若
极
限lim n
an1 an
,则
(1)当 1时 级 数 收 敛;
(2)当1 时 级 数 发 散.
6
例4、判别下列级数的敛散性。
en
(1) n1 n 3n
nn1
( 2) n1 (n 1)!
(3) n2 sin
n1
2n
根值审敛法（柯西判别法）
设
a
n
第二节 正项级数及其审敛法
正项级数： an (an 0) n1
基本定理：正项级数收敛的充分且必要条件是它的
级数审敛法
∞
un+1 ( x ) n 1 1 + = ⋅ (n → ∞) → un ( x ) n + 1 1 + x 1+ x
1 (1) 当 < 1, ⇒ 1 + x > 1, 1+ x
即 x > 0或x < −2时,
原级数绝对收敛. 原级数绝对收敛
1 ( 2) 当 > 1, ⇒ 1 + x < 1, 1+ x
在收敛域上, 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s( x ) , 为函数项级数的和函数 和函数. 称 s( x ) 为函数项级数的和函数.
s( x ) = u1 ( x ) + u2 ( x ) + L + un ( x ) + L (定义域是 定义域是?) 定义域是
函数项级数的部分和 s n ( x ), 余项 rn ( x ) = s( x ) − sn ( x )
则级数
(D) 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;
第三节 幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
一、函数项级数的一般概念
1.定义: 1.定义: 定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ),L , un ( x ),L是定义在 I ⊆ R 上的 函数,则∑ un ( x ) = u1 ( x ) + u2 ( x ) + L + un ( x ) + L 函数,
lim a 2 n+1
n→ ∞
un+1 3 = lim an 不存在. = , ∴ lim n→ ∞ u n→ ∞ 2 n
例4
∞
第二节 正项级数及其审敛法
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
n n
lim n pun l (0 l ) , 则级数 un (2)如果 p1, 而 n
n1
n1
发散 收敛.
1) ln( 1 例 10 判定级数 2 的收敛性. n n1
解: 因为
2 lim n2un lim n2 ln(1 12 ) lim ln(1 12 )n 1 , n n n n n
正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 定理1(正项级数收敛的充要条件)
第二节 正项级数及其审敛法
正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.
这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的, 而单 调有界数列是有极限.
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
定理2(比较审敛法)
解: 因为
lim n n
b b un lim a n an
所以当ba时级数收敛, 当ba时级数发散.
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
定理6(极限审敛法)
设 un 为正项级数,
n1
(1)如果 lim nun l 0(或 lim nun ) , 则级数 un
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
定理6(极限审敛法)
设 un 为正项级数,
n1
(1)如果 lim nun l 0(或 lim nun ) , 则级数 un
n n
lim n pun l (0 l ) , 则级数 un (2)如果 p1, 而 n
无穷级数收敛性判定
无穷级数收敛性判定无穷级数是数学中的一个重要概念，它是由无限个数相加而得到的和。
在应用过程中，人们需要判断无穷级数的收敛性，即求出无穷级数的和是否存在，这是数学中的一个重要问题，有着广泛的应用。
本文将从初级到高级逐一阐述无穷级数的收敛性判定方法，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、初级级数收敛性判定1.1 正项级数判别法正项级数是指所有的项都为正数的无穷级数。
对于正项级数，可以使用正项级数判别法来确定它的收敛性。
该法则提出：如果一个正项级数的一般项递减，并且当项数趋于无穷大时，其和趋近于一个有限数，那么这个正项级数就是收敛的；如果一般项不递减或其和趋近于无穷大，则这个正项级数就是发散的。
例如，对于以下级数：$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$我们可以通过正项级数判别法来判断其是否收敛。
因为所有的项都是正数，且每一项都是递减的，因此我们可以得出结论：该级数收敛。
1.2 特殊级数判别法特殊级数是指一般项含有具体数字的级数，例如：$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$$对于一些特殊的级数，我们可以使用特殊级数判别法来确定它的收敛性。
等比级数：如果一个级数的一般项是公比为r的等比数列，那么当且仅当|r|<1时，该级数收敛；当|r|≥1时，该级数发散。
例如，对于以上等比级数，我们可以通过等比级数的收敛条件来判断其是否收敛。
因为公比为1/2，且|r|<1，因此我们可以得出结论该级数收敛。
调和级数：调和级数是指一般项为倒数数列的级数，即：$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$对于调和级数，我们可以使用一个特殊的级数来判别它的收敛性：$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^p$$若p>1，则该级数收敛；若p≤1，则该级数发散。
例如，对于以上调和级数，我们可以将p设为2，然后使用该特殊级数的收敛条件来判断其是否收敛。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
又已知 { S n } 有界, 故{ S n } 收敛 , 从而 ∑ u n 也收敛.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2 (比较审敛法) 设
n =1
∑ un , ∑ vn 是两个正项级数,
n =1
∞
∞
∞
且存在 N ∈ Z + , 对一切 n > N , 有 u n ≤ k vn (常数 k > 0 ), 则有 (1) 若级数 (2) 若级数
1 1 p ≥ n n
∞ 1 1 而调和级数 ∑ 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数∑ p n =1 n n =1 n
∞
发散 .
机动
目录
上页
下页
返回
结束ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 2) 若 p > 1, 因为当 n −1 ≤ x ≤ n 时, p ≤ p , 故 n x n 1 n 1 1 =∫ dx ≤∫ dx p p p n −1 n n −1 x n 1 1 1 部分和 S n = 1 + p + p + L + p n 2 3 n 2 1 3 1 1 ≤ 1 + ∫ p dx + ∫ p dx + L + ∫ dx p n −1 x 1 x 2 x
1 特别取 vn = p , 对正项级数 ∑ u n , 可得如下结论 : n p ≤1, 0 < l ≤ ∞ ∑ un 发散 lim n p nn = l n →∞ p >1, 0 ≤ l < ∞ ∑ un 收敛
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 例3. 判别级数 ∑ sin 的敛散性 . n n =1 1 1 解: Q lim n sin = lim n ⋅ = 1 n →∞ n n →∞ n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束
∞
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 lim u n = 0
n →∞
不满足
发 散 比较审敛法
满足 u n +1 比值审敛法 lim u = ρ n →∞ n 根值审敛法 lim n u n = ρ
n →∞
⎧ ⎪ 部分和极限 ρ =1 ⎪ 不定 ⎨ 用它法判别 ⎪ 部分和是否 ⎪ ⎩
∞
∞
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 且 ∑ vn 收敛时, (3) 当 l =∞ 且 ∑ vn 发散时 ,
n =1 n =1 ∞ n =1 ∞
∑ un 也收敛 ; ∑ un 也发散 .
∞
n =1
证: 据极限定义, 对ε > 0, 存在 N ∈ Z + , 当n > N 时,
n =1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
∞
Sn ≤ k σ n
(1) 若级数
∑ vn
n =1
∞
收敛, 则有 σ = lim σ n
n →∞
+ 因此对一切 n ∈ Z , 有 S n ≤ k σ
由定理 1 可知, 级数 (2) 若级数
∑ un
n =1
∞
也收敛 .
∑ un
n =1
∞
发散, 则有 lim S n = ∞,
n− N
u N +1
( ρ + ε ) k 收敛 , 由比较审敛法可知 ∑
∑ un 收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时,必存在 N ∈ Z + , u N ≠ 0, 当n ≥ N u n +1 > 1, 从而 时 un u n +1 > u n > u n −1 > L > u N 因此 lim u n ≥ u N ≠ 0 , 所以级数发散.
= 1+ ∫
n
1
1 1 1− p dx = 1 + x p x 1− p 1
n
1 1 1− p = 1+ (1 − n ) < 1 + 有界 , p 级数收敛 . p −1 p −1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N ∈ Z + , 对一切 n ≥ N ,
∑ vn
n =1 ∞
∞
收敛 , 则级数 发散 , 则级数
∑ un
n =1 ∞
也收敛 ; 也发散 .
∑ un
n =1
∑ vn
n =1
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 设对一切 n ∈ Z + , 都有 u n ≤ k vn , ∞
n =1
令 S n 和σ n 分别表示 ∑ u n 级数和∑ vn 级数的部分和
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 讨论级数 ∑ n x
n =1
∞
n −1
( x > 0 ) 的敛散性 .
u n +1 (n + 1) x n = lim =x 解: Q lim n −1 n →∞ u n n →∞ n x
根据定理4可知:
当0 < x < 1 时, 级数收敛 ;
当 x > 1时, 级数发散 ; 当 x = 1时, 级数 ∑ n 发散 .
n →∞
因此 lim σ n = ∞ , 这说明级数
n →∞
∑ vn
n =1
机动 目录
∞
也发散 .
上页
下页
返回
结束
1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 + p + p + L + p + L (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p ≤ 1, 因为对一切 n ∈ Z + ,
∑ nn n .
n =1 n
不是 p–级数
1 1 解: (1) Q ln(n + 1) < n , ∴ > ln(n + 1) n ∞ 1 ∑ n 发散 , 故原级数发散 . n =1 1 1 (2) Q lim n 1 = lim n = 1 n →∞ n n →∞ n n n ∞ 1 ∑ n 发散 , 故原级数发散 . n =1
1 ≥ n (n + 1)
∞
∞ 1 1 发散 而级数 ∑ n + 1 = ∑ n =1 k =2 k
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
机动
目录
上页
下页
返回
结束
n =1
∑ un ,
∞
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
vn 满足 lim u n = l , 则有 ∑ n →∞ vn n =1
∑ u n 与 ∑ vn
n =1
∞
(2) 当l = 0时, 利用 u n < ( l + ε ) vn (n > N ), 由定理2 知
n =1 n =1
un >1, 即 (3) 当l = ∞时, 存在 N ∈ Z , 当n > N 时, vn u n > vn
+
由定理2可知, 若 ∑ vn 发散 , 则 ∑ u n 也发散 .
第二节 正项级数的审敛法
第八章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、正项级数及其审敛法
若 u n ≥ 0 , 则称 ∑ u n 为正项级数 . 定理 1. 正项级数 ∑ u n 收敛
n =1 ∞ ∞
(n = 1, 2 ,L) 有界 .
∞
n =1
部分和序列 S n
证: “ “
” 若 ∑ u n 收敛 , 则{ S n }收敛 , 故有界. ” Q u ≥ 0 , ∴部分和数列 { S n }单调递增, n
∞
∞
sin 1 ～ n
∞
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 ∑ sin 发散 . n n =1
例4. 判别级数 ∑ ln [1 + 2 ] 的敛散性. ln(1 + 12 ) ～ n12 n n n =1 1 2 1 2 解: Q lim n ln [1 + 2 ] = lim n ⋅ 2 = 1 n →∞ n n n →∞ ∞ 1 根据比较审敛法的极限形式知 ∑ ln [ 1 + 2 ]收敛 . n n =1
ρ <1
收 敛
ρ >1
发 散
机动 目录
有上界
上页
下页
返回
结束
思考与练习
2 设正项级数 ∑ u n 收敛, 能否推出 ∑ u n 收敛 ?
∞
∞
提示: Q
n =1 2 un lim n →∞ u n
n =1
= lim u n = 0
n →∞
2 u n 收敛 . 由比较判敛法可知 ∑
∞
n =1
注意: 反之不成立. 例如,
n =1
n =1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
∞
∞
un ∑ un , ∑ vn 是两个正项级数, lim v = l , n →∞ n
(1) 当 0 < l < ∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 且 ∑ vn 收敛时,
∑ un 也收敛 ; (3) 当 l = ∞ 且 ∑ vn 发散时, ∑ u n 也发散 .
1 ∑ n 2 收敛 , n =1
∞
1 ∑ n 发散 . n =1
机动 目录 上页 下页 返回 结束