Chap1 质点力学5
大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT
方向：
cosa
=
x r
cosβ=
y r
cosγ=
z r
路程:质点所经路径得总长度。
三、速度
描述位置矢量随时间变化快慢得物理量
1、平均速度
在移质为点r由）A，到单B的位过时程间中内（的所平用均时位间移为称为t该，质所点发在生该的过位
程中的平均速度。
v
=
Δ Δ
r t
=
Δx Δt
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
0
Δx
Δ t —割线斜率（平均速度）
dx —切线斜率（瞬时速度） dt
x~t图
t tt
1
2
2、 v ~ t 图
v ~ t图
割线斜率：
Δv Δt = a
v v2
切线斜率：
dv dt
=a
v1
v ~ t 图线下得面积(位移):
0 t1
t2
x2
dt dx x2 x1 x
t1
x1
t2 t
3、 a ~ t 图
=
dθ
dt
B
Δθ A
θ
0
x
(3)、角加速度
β =ΔΔωt
β
=
lim
Δt
Δω
0Δ t
=ddωt
=ddθt2 2
(4)、匀变速率圆周运动
0
t
1 2
t2
0 t
2
2 0
2
(5)、线量与角量得关系
Δ s = rΔθ
lim Δ s
Δt 0Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
质点力学
ar a
r r2 2Rsin 4R2 cos r 2r 2Rcos 4R2 sin
a ar2 a2 2R 2 44
方法3：选自然坐标系
取C点的已知轨道（大园环）
为弧坐标，t 0 时，C点位置（
a r r2 2 r 2r 2
c2 b2 2 r 2 2bcr2 b2 c2 r
可以看出：在本问题中，速度和加速度都
和矢径r成正比。
三.自然坐标系
i——为沿轨道切线并指 向轨道弧长增加的方向 上的单位矢量；
x f1(t)
y
f2 (t)
z f3 (t)
二 运动方程与轨道
运动方程：确定点的位置随时间的变化规律的 数学表达式。
轨道：质点在空间所描绘的连续曲线（或称为 路径）。 描述运动的数学方法有三种：
向量表示法（几何表示法）； 坐标表示法（投影表示法）； 自然表示法（内蕴表示法）。
质点的加速度为：
a dv i v2 j
dt
质点沿曲线运动时,速度矢量沿轨道的切 线方向,加速度并不沿轨道的切线方向.但 它可分解为沿轨道的切线分量(切向加速度) 及法线分量(法向加速度)两个分量.
切向加速度：
a
dv dt
法向加速度：
an
v2
为曲线的曲率半径.
第一章 质点力学
Chapter 1 质点力学
1.1 运动描述的方法 1.2 速度、加速度的分量表达式 1.3 平动参照系 1.4 质点运动定律 1.5 质点运动微分方程 1.6 非惯性系动力学(一) 1.7 功与能 1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律 1.9 有心力
质点力学
第一章 质点力学§1.1 运动的描述方法一、参考系与坐标系1、参照系物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。
物体的位置只能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。
① 参照物是有限大小，但定上框架后，框架可延长到无穷远，可见参照系可理解为参照物固连的整个空间；② 观察者是站在参照系的观察点上；③ 不特别说明都以地球为参照系。
2、坐标系为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标系。
参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。
3、质点及位置的描述(1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）。
在研究物体的机械运动时，不考虑物体的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。
(2) 位置描述：①质点相对某参照系的位置，可由位矢r 确定;②坐标描述：直角坐标系；极坐标系等。
二、运动学方程及轨道1、运动方程描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。
质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度。
写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的首要任务。
一般常用的方程有（1）矢量形式的运动学方程)(t r r →→= 当质点运动时r 是时间t 的单值连续函数。
此方程常用来进行理论推导。
它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点运动的基础。
（2）直角坐标形式的运动学方程⎪⎭⎪⎬⎫=== )()()(t z z t y y t x x这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。
它是代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。
（3）自然坐标形式的运动学方程)(t s s =对运动轨迹已知的质点，常用此方程。
用自然法研究运动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。
（4）极坐标下的运动学方程⎭⎬⎫= ＝ )()(t t ϕϕρρ当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。
大学物理质点力学各知识点的能力成分及其支撑强度分析
大学物理质点力学各知识点的能力成分及其支撑强度分析【摘要】本文旨在分析大学物理质点力学各知识点的能力成分及其支撑强度。
引言部分包括背景介绍、研究意义和研究目的；正文部分分别讨论了质点力学基础知识、质点动力学能力成分、质点静力学能力成分、质点运动学能力成分和支撑强度分析；结论部分总结了能力成分与支撑强度的关系，并展望了未来的研究方向。
通过对这些知识点的深入分析，我们可以更好地理解质点力学的本质，为相关领域的研究提供重要参考和指导。
本文的研究将有助于完善质点力学理论体系，推动该领域的发展和进步。
【关键词】大学物理、质点力学、能力成分、支撑强度、动力学、静力学、运动学、能力成分与支撑强度关系、研究展望1. 引言1.1 背景介绍在自然界中，力学是研究物体运动和静止的科学。
作为物理学的重要分支之一，质点力学是力学的基础，它研究单个物体（质点）的运动规律和受力情况。
质点力学是理解和掌握物体运动规律的基础，对于进一步研究物体的力学性质具有重要意义。
随着科学技术的发展和应用领域的拓展，对质点力学的研究和应用需求也日益增加。
在航天航空领域，了解和掌握质点力学知识可以帮助科研人员设计和改进飞行器的结构和性能，提高飞行器的飞行效率和安全性。
在工程领域，质点力学的应用也非常广泛，如建筑结构的设计和施工、交通工具的运行和维护等。
深入研究质点力学的各知识点的能力成分及其支撑强度分析，可以进一步完善质点力学理论体系，推动质点力学在实践中的应用，为推动科学技术的发展提供重要支撑。
本文将从质点力学的基础知识出发，分析质点动力学、静力学和运动学的能力成分，探讨其与支撑强度的关系，为质点力学的研究和应用提供新的思路和方法。
1.2 研究意义研究质点力学的各知识点的能力成分及其支撑强度分析具有重要的意义。
质点力学是物理学的基础，在研究物体的运动规律和相互作用时起着关键作用。
通过深入探讨质点力学的各知识点，能够更好地理解物体运动的规律，并为解决现实生活中的问题提供理论支持。
高一力学知识点归纳大全总结
高一力学知识点归纳大全总结力学是物理学中的一门重要学科，研究物体运动的规律及其原因。
高一阶段是力学知识的初步学习，以下是对高一力学知识点的归纳总结，供同学们参考。
一、质点力学质点是一个物体在运动中被简化为质点，忽略其大小和形状，并假设作用力集中在物体的质心上。
质点力学研究质点受力和运动规律。
1. 速度和加速度质点的速度是质点位矢关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
速度和加速度的方向与质点的运动方向一致。
2. 受力分析质点受到的力包括作用力和约束力。
通过受力分析，可以得到质点的运动方程和力学定律。
3. 牛顿三定律（1）牛顿第一定律：质点在外力作用下保持静止或匀速直线运动，除非有其他外力作用。
（2）牛顿第二定律：质点的加速度与作用力成正比，与质点的质量成反比。
F=ma（3）牛顿第三定律：相互作用的两个物体之间的作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用在两个不同的物体上。
4. 滑动摩擦力和静止摩擦力滑动摩擦力和静止摩擦力是质点在运动过程中受到的摩擦力。
滑动摩擦力作用在质点滑动的方向上，静止摩擦力作用在质点准备滑动的方向上，大小与作用力相等，方向相反。
5. 重力和万有引力重力是地球或其他天体对物体的吸引力，大小与物体的质量成正比。
万有引力是两个物体之间的引力，大小与物体质量成正比，与两个物体之间的距离的平方成反比。
二、运动学运动学是研究物体运动的规律和动力学量的变化规律。
在运动学中，我们研究物体的速度、加速度、位移等运动参数。
1. 直线运动直线运动是物体沿直线轨迹运动，可以分为匀速直线运动和变速直线运动。
（1）匀速直线运动的速度恒定，位移与时间成正比。
（2）变速直线运动的速度不断变化，位移与时间之间为非线性关系。
2. 曲线运动曲线运动是物体沿曲线轨迹运动，可以分为圆周运动和非圆周运动。
（1）圆周运动是物体绕固定轴或固定点做圆周轨迹的运动，速度和加速度的大小相等，但方向不同。
（2）非圆周运动是物体沿任意曲线轨迹的运动，速度和加速度的大小和方向均不相等。
大学物理质点力学各知识点的能力成分及其支撑强度分析
大学物理质点力学各知识点的能力成分及其支撑强度分析
大学物理的质点力学是物理学的重要基硶，在学习物理的过程中，质点力学是一个非
常关键的部分。
质点力学涉及到质点的运动规律、运动学和动力学等内容，是物理学中最
基础、最重要的部分之一。
在学习质点力学的过程中，需要掌握各种知识点和技能，才能
够熟练地运用质点力学知识来解决实际问题。
本文将对大学物理质点力学各知识点的能力
成分及其支撑强度进行分析，帮助学生深入了解质点力学的学习内容和要求。
我们需要了解质点力学的各个知识点，然后分析每个知识点所涉及的能力成分和支撑
强度。
质点力学的知识点主要包括运动学和动力学两部分，其中运动学是研究质点的位置、速度、加速度等运动状态的学科，动力学是研究质点运动的原因和规律的学科。
在运动学
和动力学中，都涉及了各种能力成分，包括数学能力、物理思维能力、实验能力、分析判
断能力等。
我们来分析每个知识点所涉及的能力成分及其支撑强度。
在运动学中，学生需要掌握
数学能力，能够熟练地运用微积分和矢量分析等数学工具来描述和分析质点的运动状态，
这是运动学中数学能力的一个重要成分。
物理思维能力也是运动学中的重要能力成分，学
生需要能够灵活运用物理概念和原理，进行物理问题的分析和解决。
实验能力也是运动学
中的重要能力成分，学生需要具备观察、实验、测量等实验技能，能够进行运动学实验和
数据处理。
分析判断能力是运动学中的另一个重要能力成分，学生需要能够分析问题、进
行推理和判断，根据实际情况和已有知识进行问题的分析和解决。
在动力学中，各种能力
成分的支撑强度也是至关重要的。
质点动力学
理论力学
质点力学
1. 力仅是时间的函数, F=F(t)
实例1．自由电子在沿 x 轴的振荡电场中的运动 设电场为
电子受的力为
E Ex i E0 cos t i
F eE eEx i eE0 cos t i
d 2x dv 运动微分方程 m 2 m eE0 cos t dt dt dv 求解运动微分方程 m eE0 cos t dt
②非光滑约束， 须加上摩擦力
0 Fb Rb (3) R RN Rn2 Rb2 (4)
(R
2 2 R2 Rn Rb )
dv m F R dt v2 m Fn Rn
(1) (2)
法平面
R
n
F
A
B
b
τ
密切面
——四个方程，四个未知数，可解
14
1 g 2 1 bg 3 1 g 2 1 bg 3 22 y x 2 x x tan x 2 x x (3) vx 0 2 vx 0 3 mvx 0 2 vx 0 3 mvx 0 vy 0
理论力学
质点力学
讨 论
mg v y 0 m 2 g mvx 0 轨道方程 y x 2 ln (1) b bvx 0 vx 0 mvx 0 bx 1 g 2 1 bg 3 y tan x 2 x x (3) 2 vx 0 3 mvx 0 g y tan x 2 2 x 2 ——真空中(忽略阻力) 2v0 cos
积分得 代入初始条件
eE0 v sin t C1 m t 0, v v0 得到 C1 v0 eE0 sin m
01 质点力学
动力学中，参考系不能随便选择
6
坐标系
为了定量地描述质点的位置或运动，须在参考系上选 择适当的坐标系。 Z
地面系
日心系
X
o
地心系
Y
选择合适的参考系，以方便确定物体的运动性质； 建立恰当的坐标系，以定量描述物体的运动；
提出准确的物理模型，以突出问题中最基本的运动规律。
11
思考题： r 与 r 的区别 (p40)
r
r1
o
r2
r
a ) r r2 r1
r r2 r1
b) r 为标量，r 为矢量
12
六、速度（单位：米/秒）
平均速度
P
瞬时速度
r v t
v (t )
r
O
r Q
t 0 时，x x0
dx (v0 at )dt
0
t
1 2 x x0 v0t at 2
运动学方程
24
上面求出了 v 和 x 与 a 的关系。
现在求 v 和 x 之间的关系：
dv dv dx dv a v vdv adx dt dx dt dx
t 0 时，x x0
2 2 2 v v v x v y vz
平均速率 瞬时速率
s v t
速度是矢量， 速率是标量。
15
s ds v lim t 0 t dt
七、加速度（单位：米/秒2）（描述速度改变的快慢和方向）
平均加速度
v v ( t 2 ) v ( t 1 ) a t t 2 t1
'
35
质点力学知识点汇总
v v t dr dt
r
dr
r0
t 0
v
t
dt
r
r0
t v tdt r
0
注：此类问题即为解简单的微分方程，注意掌握方 法，不要死记公式。
三、冲量、动量定理、动量守恒定律2.动量定理 I p2 p1
系统所受到的合外力的冲量等于系统动量的改变量。
分方向上的动量定理：Ix
（ t2
t1
i
Fix外）dt
i
mivi2x
i
mivi1x
3.动量守恒定律
若 Fi外 0 则 mivi2 mivi1
i
i
i
一般用于解决碰撞、爆炸等问题。 另外还有分方向上的动量守恒定律。
四、功、能、功能原理
1.功
b
W dW a F dr
2.保守力做功等于相应势能增量的负值
质点力学知识小结
一、第一类运动学问题：求导法 1.直角坐标系 运动方程：r r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
速度： v dr dx i dy j dz k dt dt dt dt
加速度：a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
轨道方程：运动方程写成方程组形式，消去时间t得轨道方程。
3.极坐标（角量表述） r R, (t)
角速度 d
dt
角加速度 d
dt
角量与线量关系
s R
v R
a R
an
v2 R
R 2
二、第二类运动学问题：积分法
已知加速度（速度）和初始条件，求速度、运动方程→积分
a at dv dt
v
dv
v0
第一章质点力学
求：速度，加速度，轨道曲率半径。
解：
v4
x2 y2 1 4
5
a 16 x2 y2 32 an , at 0
v2 x2 y2 1 5 2.5
an
x2 y2 2
§1.3 平动参考系
绝对速度、相对速度与牵连速度
两种参考系：基本参考系S、运动参考系 S。
三种运动：质点的绝对运动、相对运动和牵连运动。 牵连速度：由于运动参考系的运动而使质点所具有 的相对基本参考系的运动速度叫做质点的牵连速度； 它等于运动参考系上与质点位置重合的空间点的速 度。
4. 自然坐标系、切向加速度、法向加速度
利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、法 线方向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自然坐 标法.
i. 弧长方程
在轨道上取一点 作O原点, 规定沿轨道的某一方向 为弧长的正方向, 质点位置可由原点 到质点O 间的一
段弧长 来确定s, 称为弧坐s 标.
s s(t)
特
逐个考虑
② 把作用分离到
体，按自由度来 分析
点
各个质点上 ② 作用体现为势能
③ 非自由质点运
，反映场的性质
动方程中存在
和结构
约束力
③ 拉格朗日方程中
不含约束力
第一章 质点力学
质点运动学
运动学物理量： 位移，速度，加 速度
运动学方程： 轨道方程
质点动力学
牛
顿
动力学学物理
运
量：动量，动
动
量矩，能量
定
3. 运动学方程和轨道
若用直角坐标系Oxyz代表参考系, 如图位置矢量 (简
称位矢)
r rer r r (t)
称为质点的运动学方程, 它 包括了质点运动的全部信息.
(完整版)第1章质点力学
第1章质点力学1-1 一质点的运动方程为x = 6t-t 2 (SI ),则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 ______________ ;质点所走过的路程为 __________________ 。
1-3 一质点沿x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标x 的关系为a=2+6x 2( SI )，如果质 点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。
1-4 一质点沿半径 R 的圆周运动，运动方程为 =3+2t 2( SI )，贝V t 时刻质点的法向 加速度大小为 a n __________________________ ；角加速度 = ___________________ 。
1-5某质点的运动方程为x= 3t-5t 3 +6 (SI ),则该质点作(A) 匀加速直线运动，加速度沿 x 轴正方向。
(B )匀加速直线运动，加速度沿 x 轴负方向。
(C )变加速直线运动，加速度沿 x 轴正方向。
(D )变加速直线运动，加速度沿 x 轴负方向。
1-9 一质点作直线运动，其坐标 x 与时间t 的函数曲线如图所示，则该质点在第1-10 一物体作斜抛运动，初速度 v 0与水平方向夹角为，如图所示，则物体到达最高点处轨道的曲率半径为 _________________ 。
题1-11图A 点处速度V 的大小为v ，其方向与a t = ,轨道的曲率半径________ 秒瞬时速度为零；在第 __________ 秒 至第 ________ 秒间速度与加速度同方向。
1-11 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道 水平方向夹角成30°。
则物体在A 点的切向加速度题1-10图1-12在相对地面静止的坐标系内， A 、B 二船都以2 m/s 的速率匀速行驶，A 船沿x轴正向，B 船沿y 轴正向。
今在船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（ x 、y 方向单 位矢用i 、j 表示），那么在A 船的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为：（A ）2i 2j（ B ） 2i 2j（C ） 2i 2j （ D ）2i 2j[]t 时刻其速度 v = ___________ 加速度的大小 a t = _______ ;该质点运动的轨迹是 ___________1-26 一质点沿x 轴作直线运动，它的运动方程为x=3+5t +6t 2_ t 3（ SI ），贝V（1） 质点在 t=0时刻的速度 V 0 =________________ ; （2） 加速度为零时，该质点的速度 v= ______________ 。
质点的力学参数与运动状态的关系
质点的力学参数与运动状态的关系质点是物理学中研究的基本物体之一，它被抽象为一个质量集中的点，忽略了其形状和内部结构。
力学参数是用来描述质点受力和运动状态的量，包括力、质量、速度和加速度等。
这些参数之间存在着密切的关系，通过研究它们之间的相互作用，可以揭示质点的运动规律和动力学性质。
力是质点运动的根本原因，它可以改变质点的状态。
在牛顿力学中，力被定义为质点受到的作用而产生的物理量，用矢量表示。
力的大小和方向决定了质点在空间中的受力情况。
根据牛顿第二定律，质点所受合力与其产生的加速度成正比，反向相同。
即F = ma，其中F是合力，m是质点的质量，a是质点的加速度。
这个公式揭示了力、质量和加速度之间的紧密联系。
质量是物体对惯性的度量，也是力学中一个重要的参数。
质点的质量决定了它抵抗外力作用的能力。
具有相同质量的质点在受到相同大小的力作用下将产生相同的加速度，而质量越大的质点所受到的力的影响相对较小。
质量还决定了质点的动能和动量。
动能是质点运动时所具有的能量，与质点的质量和速度的平方成正比。
动量是质点的运动状态的保持量，与质量和速度成正比。
因此，质量是质点力学参数中的重要指标，它决定了质点的惯性和运动特征。
速度和加速度是质点运动状态的描述量，也是力学参数中的关键概念。
速度是质点在运动过程中单位时间移动的距离，可以用矢量表示。
速度的大小和方向决定了质点的运动轨迹。
在质点受到外力作用下，速度会发生变化，产生加速度。
加速度是速度的变率，也是速度矢量对时间的导数。
根据牛顿第二定律，加速度与作用力成正比，与质量成反比。
因此，质点的加速度与受力和质量之间存在着密切的关系，通过研究它们之间的相互作用可以揭示质点的性质和动力学规律。
另外，根据牛顿第三定律，质点所受的作用力总是与其施加的反作用力相等且方向相反。
这个定律反映了物体之间相互作用的本质。
质点受到的力不仅来自外界作用，还包括与其他质点之间的相互作用。
在多体系统中，各质点之间的力对系统整体的运动状态产生影响。
《质点力学理论力学》课件
本课程旨在介绍质点力学的基本理论和应用。通过本课程，您将掌握力学的 核心概念和方法，并能应用于实际问题解决。
课程介绍
课程目标
了解质点力学的基本概念和定律，掌握力 学分析的方法和技巧。
课程内容概述
介绍力学的基本概念、牛顿运动定律、速 度和加速度，以及力学中的运动学和动力 学。
力学中的动力学
1
物体的平衡和力的平衡Байду номын сангаас件
介绍力学中物体平衡的条件和应用。
2
动能和动量的变化
解释动能和动量的概念以及它们在不同情况下的变化。
3
动力学中的一维和二维运动
讨论动力学中一维和二维运动的特点和求解方法。
实际问题中的应用
运用于实际问题
探索力学在现实生活中的应 用，如建筑结构、交通工具 等。
工程领域中的应用
介绍力学在工程领域中的重 要性和应用案例。
运动领域中的应用
说明力学在运动中的作用， 如体育比赛和训练。
3 速度和加速度
4 位移和力
探讨质点的速度和加速度的计算方法和 意义。
讲解位移和力的概念以及它们在力学中 的作用。
力学中的运动学
直线运动和曲线 运动
比较直线运动和曲线运动 的特点和应用领域。
平抛运动和受阻 运动
解释平抛运动和受阻运动 的运动规律和相关变量。
循环运动和相对 运动
探讨循环运动和相对运动 的特性和应用。
学习重点和难点
重点理解牛顿运动定律和力的平衡条件， 难点在于解决复杂的运动学和动力学问题。
教学方式和评估方式
采用理论讲解和实例演示相结合的方式进 行教学，评估方式包括作业和考试。
基本力学概念
力学中的质点运动
力学中的质点运动在我们的日常生活中，物体的运动无处不在。
从飞翔的鸟儿到奔驰的汽车，从抛出的篮球到宇宙中的行星，物体的运动形式多种多样。
而在力学的研究中，为了更方便、更简洁地描述和分析物体的运动，引入了一个重要的概念——质点。
质点，简单来说，就是一个具有质量但没有大小和形状的点。
当我们研究一个物体的运动时，如果其大小和形状对我们所关心的运动问题影响极小，可以忽略不计，那么就可以把这个物体看成一个质点。
比如说，在研究地球绕太阳的公转时，由于地球到太阳的距离远远大于地球的半径，地球的大小和形状对公转的影响可以忽略，这时地球就可以被看作一个质点。
质点的运动可以用多种方式来描述，其中最常见的就是位置、速度和加速度。
位置，是描述质点在空间中所处位置的物理量。
我们通常用坐标来表示质点的位置，比如在直角坐标系中，一个质点的位置可以用(x, y, z)三个坐标来确定。
如果质点的位置随时间发生变化，那么我们就说质点在运动。
速度，是描述质点位置变化快慢的物理量。
它等于质点的位移与发生这段位移所用时间的比值。
速度是一个矢量，既有大小又有方向。
如果质点在一段时间内的速度保持不变，那么我们称这种运动为匀速直线运动；如果速度在不断变化，那么就是变速运动。
加速度，则是描述质点速度变化快慢的物理量。
加速度同样是矢量，它等于速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值。
当加速度为零时，质点做匀速运动；当加速度不为零时，质点的速度会发生改变。
在实际的物理问题中，质点的运动可以分为直线运动和曲线运动两大类。
直线运动相对较为简单，比如一个在水平地面上自由滑行的木块，如果不受摩擦力的作用，它将做匀速直线运动；如果受到一个恒定的外力，它将做匀加速直线运动。
在研究直线运动时，我们常常会用到速度时间图像和位移时间图像，通过这些图像可以直观地了解质点的运动情况。
曲线运动则要复杂一些，常见的曲线运动有平抛运动、圆周运动等。
平抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。
质点力学
第一章 质点力学1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。
已知升降机的初速度为零。
解 ：由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得 dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002sin 1π可得 ：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ， 故c T D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以 =ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ 1.8 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。
求此直线与椭圆的焦点M 的速度。
已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为()θcos 112e e a r +-=式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。
解：以焦点F 为坐标原点题1.8.1图则M 点坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 对y x ,两式分别求导⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos &&&&&&r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ&&&&&&r r r r y x v ++-=+=222ωr r +=& 如图所示的椭圆的极坐标表示法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利用ωθ=&） 又因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即 ()rer e a --=21cos θ所以()()2222222221211cos 1sin e r e ar r ea --+--=-=θθ故有 ()2222224222sin 1ωθωr e a r e v +-=()2224221e a r e -=ω()()]1211[2222222er e ar r e a --+--22ωr +()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a br -=2222ω即 ()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。
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§1.5质点运动微分方程 1.5质点运动微分方程
F = ma
ɺ F = F(r , r , t)
（） • 质点动力学内容 1 已知运动规律求力 或二者兼而有之 （） 知 求 动 律 2 已 力 运 规 • 1、自由质点运动微分方程 自由质点 不受任何约束 三个自由度 三个独立变量 ɺ 由 F = mɺ r 得
ɺ x
ɺ dx ɺɺ = x x ɺ dx
ɺ dx ɺ m = F(x) dt
ɺ dx 或 ɺɺ = x dt
ɺ mdx dt = ɺ F(x)
ɺ mdx t =∫ + t0 ɺ x0 F(x) ɺ
ɺ x
历史上已解决的问题
f (v) = av + bv2 (牛顿、欧拉） f (v) = cvn (伯努利 ） f (v) = a + bvn (达朗伯）
0
1 t dx = ∫ Φ(t)dt + c1 (t − t0 ) + c2 m t0
• •
c1,c2
v0 x0 （物理意义） 分别为 时的速度 和位置坐标 F F = F(x) 2）力 仅为坐标的函数 dx dx ɺ ɺ ɺ dx dx dv mɺɺ = F(x) x ɺɺ = ɺ x = = x =v
• •
ɺ mɺɺ = F(x, x, t) x
平面运动
ɺ ɺ x mɺɺ = Fx (x, y; x, y, t) ɺɺ ɺ ɺ my = Fy (x, y; x, y, t)
ɺ m(ɺɺ − rθ 2 ) = Fr (r,θ; r,θ, t) ɺ ɺ r ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ θ m(rθ + 2rθ ) = F (r,θ; r,θ, t)
• 3、运动微分方程的解 •
ɺ 理论力学中，常见变力， F(r , r , t) 形式复杂； 求解二阶微分方程组，则 （1）隔离物体，具体分析受力，（已知，未知）； （2）选取坐标系，建立微分方程组 ⇒ 数学问题）； （力学问题 （3）根据初始条件求解方程组； （4）分析结果，阐明物理意义。 以一维为例 讨论几种特殊情况 1）力F 仅是时间t 的函数 F = F(t) 1 ɺ = F(t)dt dx mɺɺ = F(t) x m 1 t 1 ɺ = ∫ F(t)dt + c1 = Φ(t) + c1 x mt m
Rτ = 0
注意：在理想约束情况下，运动规律和约束反作用力可以分 注意：在理想约束情况下，运动规律和约束反作用力可以分 开求！由（1 开求！由（1）式求出运动规律（ v, x, y, z) 将 代入（2） v 代入（2 式，利用 ρ =
1 y′′ (1+ y′ )
；由（3 ；由（3）Rb 束反作用力全 部求出！
ɺ ɺ ɺ x mɺɺ = Fx (x, y, z; x, y, z, t) ɺ ɺ ɺ y mɺɺ = Fy (x, y, z; x, y, z, t) mɺɺ = F (x, y, z; x, y, z, t) ɺ ɺ ɺ z z
（※）
• （※）是二阶微分方程组，给出所有可能的运动，经两次 ）是二阶微分方程组，给出所有可能 所有可能的运动，经两次
•
f( 例如 曲面约束x, y, z, t) = 0
• （2）内禀方程 • 约束力处于法向平面内（p29 , 图1.5.1），这时 ab = 0 1.5.1），这时
a
在密切平面内 选用自然坐标系 对理想约束
dv τ m dt = F v2 m = Fn + Rn ρ 0 = F + Rb b (1) (2) (3)
dt dt dx dx dx
t = t0
mvdv = F(x)dx
v= dx dt
x 1 2 mv = ∫ F(x)dx + c1 = Φ(x) + c1 x0 2
x = x(t)
• 3、力 F 仅是速度的函数
ɺ mɺɺ = F(x) x
ɺ F = F(x) = F(v)
ɺ ɺ xdx x = m∫ + x0 ɺ x0 F(x) ɺ
• 2、非自由质点的运动微分方程
质点运动所受的限制 受约束质点为非自由 质点 f( 约束的数学表达式 ⇒ 约束方程 ，如； x, y, z, t) = 0 质点受到约束后自由度减少一般一个约束减少一个自由 度；约束的数学意义是几何曲线或曲面，物理意义为约 束 ⇒ ⇒ 反作用力；约束 约束反作用力 非自由质点 自由质 点 约束反作用力为未知量，不完全由约束而定，与质点所 ɺ ɺ ɺ x mɺɺ = Fx (x, y, z; x, y, z, t) + Rx 受 ɺ ɺ ɺ y mɺɺ = Fy (x, y, z; x, y, z, t) + Ry 的其它力和运动状态有关 mɺɺ = F (x, y, z; x, y, z, t) + R ɺ ɺ ɺ z z z 两个自由度 四个方程 （1）约束