弹性力学(1)讲义版

由此提出弹性力学研究课题，并建立了弹性力学学科
§1-2 弹性力学的任务和研究方法 弹性力学 ——研究物 体在外部因素 （载荷、温度变 研究对象：
化等）作 用下产生 弹性变形 时的应力、 应变和 位移分布规律的一 门科学。
材料力学 ——杆状结构（梁、杆、轴、柱） 结构力学 ——杆状构 件组成的杆系结构（ 桁架、刚架） 杆、板、壳（造船、航空） 弹性力学 ——一般结构 堤坝、挡土墙 （水工建筑 物） 边坡、地基（土建）
二、均匀性假设 ——假设物 体是由同一类型的均匀 材料组成。 Ø从物体内取出的任一 部分,无论其体积大小如何,其物 理性质都完 全一样(不同点处具有相同的物理性 质)； Ø反映物体物理性质的量是常数，不随坐标点的位置 而改变（如 E(x,y,z)=const，µ (x,y,z)=const ） ； Ø可以从构件中取出无限小的 部分来进行研究 ，然后将研究 结果推广于整个构件； Ø也可将由小尺寸试样 在试验 中测得的材料性 质，一定程度 地移动到尺寸 不同的构件或无 限小的部分中去。 地质材料严格讲不满足 这一假设 ！
§1- 4 弹性力学发展简介 弹性力学 是在不断解决工程 实际问题的过程中得到发展的 。 Ø1638年，由于建筑工 程的需要，伽利略 （Galileo,G.）首先研究了梁的弯曲问题；
v虎克（Hooke,R.）根据金属丝、弹簧和悬臂木梁的 实 验结果于1678年正式发表了弹性体的变形 与作用力（应 力与应变） 成正比的物理定律 ，为弹性力学 打下 了坚实 的物理基 础。 v当时仅限于处理梁、杆、柱、 拱等一维工程结构 问题。
q
q
q
q
§1-3 弹性力学的基本假设
为使数学处理 方便引入假设 连续性假设 均匀性假设
最简单的可变形 固体理想化模型
基 本 假 设
物理假设
各向同性假设 完全弹性假设 无初应力假设
几何假设
小变形假设
均匀连续 介质、各 向同性弹 性材料 小 变形问题
Ø随着研究的 深入，再逐步放松上 述假设的 限制。 如各向异 性问题， 大变形问题，含缺陷或裂隙 等不连续介质的问题等等。
三、各向同性假设
——假设材料 沿各个 不同方向均
具有相同的物理性 质。 Ø对金属等这类由晶粒 组成的材 料，虽然每 个晶粒的力学性 质是 有方向性的，但由于它的大小远 小于构件的尺寸，而且排列是不 规则的，因此它们的统计平均性 质在各个方向就趋于一致了； Ø物理性 质不因坐标方向而改变； （如E(α)=const, µ(α)=const ） 思考：均匀性假设与各 向同性假设 有何异同？ 木质材料不满 足这一假设 ！
一、连续性假设 ——假设物 体在其整个 体积内都 毫无空隙地充满着物质，其 结构是密实的。 Ø物体是一种密实的连续 介质，并在整个变形过程 中保持其连续性。原来相 邻的两个任意点，变形后 仍是相邻点，不会出现开 裂和重叠现 象； Ø物体内的物理 量（应力、应变、 位移、能量）是连续 的，可表示成坐标的连续函数（如σ ＝ σ (x,y,z) ）； Ø可利用基于连续函数的一系列数学工具（微分、积分、 微分方程） 。 堆积的石块不满足这一假设！
Ø弹性力学 以理论力学、材料力学和 高等数 学等课程 为基础； Ø为进一步学习塑性力学、 连续介质力学、 有限单元法、实 验应力分析、 板壳理论、断 裂力学等 后续课程打下基础。
老 司 师 多媒体教学系列
弹性力学
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Ø十九世纪 上半叶，经典的弹性力学 已经逐渐 发展成熟；
v1821~1822年纳维埃 （Navier,L.M.H.）和哥西 （Cauchy,A.L.）导出了弹性理 论的普遍方程，为 弹性力学 打下了数学基础。 v许多学者致力于解决二维、三维的典型工程结构 问题， 例如柱 体扭转与弯曲问题、平面 问题、接触 问题、板壳问题以及 开孔、缺口附近的应力 集中问 题等。 v格林（Green,G.）从拉格朗日分析力学形 式建立 了弹性力学的 能量形式（虚位移原理），并首次定 出最一般弹性关系的 21个弹性常数。
进行应力变形分析的目的？
作适当 简化
对应力 分布和 变形状 态作出 确定 假设 (如平 面假设 )
应力
变形
4.强度、刚度、稳定性分析
强度条件 :
σmax≤ [σ]
or σeq≤ [σ]
等效应力
最大工作应力
材料许用应力
刚度条件 :
θmax ≤ [θ]
ymax y ≤ l l
压杆的临界力 规定的 稳定安全系数
§1-1 材料力学回顾
一、实例分析 在材料力学中：
研究对象： 杆状结构（梁、杆、轴、柱）
y
q(x) T P b
x
o
h
l
l >> b 、h
y
q(x) Fy T P Fx l
x
b h
o
Mo
研究思路：
1.平衡原理 2.截面法 3.三大规律 确定外力 （Fx、Fy、Mo） 确定内力 （N、Q、 Mn 、M） 平衡(运动)规律（静力学） 几何变形规律（几何学） 应力应变关系（物理学）
§1-5 课程说明
1.学时: 80学时 2.参考书：《弹性力学 》吴家龙编著 同济大学出 版社 《弹性力学 》多媒体讲义 3.作业： 做完一章的习题交一次作业。 4.考试： 期末考试（半开卷） 考试成绩 平时成绩 50% 50%
在固体力学专业的教学大 纲中，弹性力学 是一门承上 启下的主要专业基础课。
最大转角 容许转角 最大挠度 单位长度容许挠度
稳定条件:
工作载荷
P1 j P≤ nw
二、问题的提出
材料 力学
研究对象： l >> b 、h 应力分布 进行假设 研究思路： 对 变形状态
由材料力学得到的解答是近似的，在一定程度上满足工程需要
对于 一般 物体
研究对象：不满足 l >> b 、h (例如板、壳) 应力分布 难以对 作出适当假设 变形状态 研究思路： 简化结 果不能满足工 程要求
例如：研究梁的 弯曲问题。 材料力学：引用了平面假设 横截面上正应力沿梁 高度按直线 规律分布 弹性力学：未引用平面假设 横截面上正应力沿梁 高度按曲线 规律分布
只有当梁的高度远 小于跨 度时，横截面上的正应力才近 似地按直线 分布，平面假设才 可接受，但还不严格符合。
q
q
研究有孔口 构件拉伸问题。 材料力学： 假设净截面上 应力均匀分布 弹性力学： 未引入 假设 在孔边产生 应力集中 Ø解决材料力学 及结构力学 范 围内所不能解决的问题； Ø所得结果较为精确； Ø校核材料力学 计算结果的精 度并明确其公式适用范围。
200
ε (%)
0
20
ε (%)
五、无初应力假设
——物体初始处于自然状态。
Ø在载荷或温度变化等作 用之前，物体内部没有应 力，（σ0＝0）； Ø弹性力学 所求得的应力 仅仅是由于荷载 或温度变化 等所产生的。 六、小变形假设 ——假设物 体在外界因素 作用下所 产生的位移远小于物体的原始尺寸。 Ø在研究物 体受力后的平衡状态 时，可以不 考虑由 于变 形引起的物体尺寸和位置的改变； Ø在研究物 体的变形时，可以 略去反映 变形的物理 量 （位移、应变）的 高阶微量； Ø弹性力学中的 代数方程和 微分方程将简化为线性的。
；
研究目的：——为工程结构物的 强度、刚度、稳定
性和可靠性分析 及设计提供 理论依 据。(同于材料力学和结构力学 )
研究思路：
微小六 面体（物体内部） 1.物体组成 2.外力已知 3.三大规律 4.边界条件 微小四 面体（物体表面） 平衡(运动)微分方程（静力学） 描述变形连续的微分方程（几何学） 应力应变关系（物理学）
司 老多媒体教学系列 师
弹性力学 Theory of Elasticity
华中科技大学力学系
2014年2月28日
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司继文
第一章 绪论
§1-1 材料力学回顾 §1-2 弹性力学的任务和研究方法 §1-3 弹性力学的基本假设 §1-4 弹性力学发展简介 §1-5 课程说明
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第一章 绪论(Introduction)
研究方法：——改变了对应力分布和变形状态作出假
设的方法 ，在实验所建立的关于材料变形 的力学规律的基 础上，用比较严谨 的数学 方法，研究各种形状的 固体在外载荷作用 下因变形而产生的应力和 位移。 经典的静力－几何－物性关系三方面并列的方法 ——将实际问题转化为偏微分方程的 边（初） 值问题进行求解。 能量方式－变分方法 ——通过能量原理，用变分法 求解弹性力学 问题。 Ø优点：理论严谨，结果精确； Ø不足：数学处理困难。
平衡(运动)规律（静力学） 3.三大规律 几何变形规律（几何学） 应力应变关系（物理学）
N( x) σx = A Mn ( x ) ρ τ = Ip M( x) y σx = Iz d ( ∆l ) N ( x ) = dx EA dϕ Mn ( x ) = dx GI p d2y M ( x) = 2 EI z dx
Ø20世纪以来弹性力学 取得了重大进展 ，已成 为工程结构 强度设计的重要理论基础。
v1908年和1915年里兹（Ritz,W.）和迦辽金分别 提出了基于能量原理的直接解法，开创了近似求解 弹性力学 问题的新途径 。 v20世纪30年代，发展了用复变函数理论求解弹性 力学问题的方法。 v20世纪60年代以来，随着高速大型电子计算机的 发展，有限差分法、 有限元法、边界元法等各种有 效的数值计算方法涌现出来。现在要对各种复杂工 程结构进行弹性分析 已没有原则上的困难。
四、完全弹性假设
σ
——物体在外加因素(荷载、温
度变化等）的作 用下引起变形， 在外加因素去除后，物体完全恢 复其原来形状而没有任何剩余变 形，同时还假定材料 服从虎克 定 律，即应力与变形成正比。