1.1你能证明它们吗练习
第一章 证明(二)
第一章证明（二）1. 你能证明它们吗（一）第一章证明（二）第一章证明（二）2．直角三角形（一）2．直角三角形（二）1．3 线段的垂直平分线（1）设计人：刘庆飞郭靖杜彩艳刘杰◇教学目标：1．要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题。
2．能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。
3．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。
◇教学重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理。
◇教学难点：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。
◇教学方法：引导探索◇教学过程：一、知识回顾什么是线段的垂平分线？二、学习新知识（一）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等1．让学生把准备好的方方正正的纸拿出来，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和E’B、FB和F’B的关系。
2．让学生说出他们观察猜测的结果是什么，并评价指正他们的结论。
3．证明猜想让学生把文字语言变成数学语言，根据图形写出已知和求证并证明。
4．选取证明完成地较好和较差的两位同学到黑板上板演自己的证明，其他同学在练习本上完成。
（针对两位同学的板书讲解证法，规范学生的证明过程，培养学生的逻辑思维能力）5．师生共同总结出线段垂直平分线的性质定理（二）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上让学生写出以上命题的逆命题，类比原命题画出图形、写出已知和求证并证明该逆命题，（之后教师评价指正证明过程）师生总结得：线段垂直平分线逆定理：（三）用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB 求作：线段AB 的垂直平分线。
作法：1、分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ，2、作直线CD 。
直线CD 就是线段AB 的垂直平分线。
请你说明CD 为什么是AB 的垂直平分线，并与同伴进行交流。
（1、到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上2、两点确定一条直线）说明：因为直线CD 与线段AB 的交点就是AB 的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点。
你能证明它们吗(3)练习
你能证明它们吗（3）练习目标导航1.能够证明等边三角形的判定定理.2.能够证明“直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”及它的逆命题.3.应用这些公理和定理解决相关问题.基础过关1.已知，如右图，等腰△ABC ，AB =AC ：（1）若AB =BC ，则△ABC 为__________三角形；（2）若∠A =60°，则△ABC 为__________三角形；（3）若∠B =60°，则△ABC 为__________三角形.2.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.3.下列说法不正确的是（ ）A.等边三角形只有一条对称轴B. 等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线C. 线段AB 只有一条对称轴D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线4.下列命题不正确的是（ ）A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形5.已知点D 为△ABC 边BC 的中点，且AD ⊥AC ，∠BAD =︒30,下列结论正确的是（ ） A.AD=21DC B.BD=AC C.AC=21AB D.AD=21AB 能力提升6.如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，如果AB =8 cm ，则BD =__________cm ，∠BDE =__________,BE =__________cm.5题图 6题图 7题图7.如图，Rt △ABC 中，∠A =30°,AB +BC =12 cm ，则AB =__________cm.8.在Rt △ABC 中，如图所示，∠C =90°，∠CAB =60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE =3.8 cm ，则BC 等于（ ）A.3.8 cmB.7.6 cmC.11.4 cmD.11.2 cm9.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 当边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB =2，求BE 的长.10.如图，AB =CD ，AD =BC ，EF 经过AC 的中点O ，分别交AB 和CD 于E 、F ，求证：OE =OF.11.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 是垂足，ED 的延长线交CA 的延长线于点F ，求证：AD =AF.12.等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且AD=BE ，AE 、CD 相交于点P ，CF ⊥AE.（1）求∠CPE 的度数；（2）求证：PF=21PC.聚沙成塔如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ， △CBN 是等边三角形，直线AN ，MC 交于点F.(1)求证：AN=BM ； (2)求证： △CEF 为等边三角形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）E FP DC BA1.2直角三角形（1）目标导航1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法，2.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题；知道原命题成立其逆命题不一定成立. 基础过关1.Rt △ABC 中，∠C =90°，如图，若b =5，c =13，则a =__________；若a =8，b =6，则c =__________.1题图 2题图 5题图2.如图，正方形ABCD ，AC 为它的一条对角线，若AB =2，则AC =__________；若AC =2，则AB =__________；AC ∶AB =__________∶__________.3.若直角三角形的三条边长分别是3，4，a 则（1）当3,4均为直角边时，a =__________；（2）当4为斜边，3为直角边时，a =__________.4.“对顶角相等”的逆命题是 .5.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD =5，DC =1，AC =5，求AB 的长度. 能力提升6.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ）A.25B.50C.100D.607.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ）A.6B.7.5C.10D.128.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm9.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）A.5B.2C.45D.110.已知：0)2510(13122=+-+-+-y y z x ，则以x 、y 、z 为边的三角形的面积是 .11.观察下列勾股数并填空：（1）当勾股数为（3，4，5）（5，12，13）（7，24，25）找出（a,b,c)规律，当a=11时，b= ,c= .（2）当勾股数为（6，8，10）（8，15，17）（10，24，26）找出（a,b,c)规律，当a=12时，b= ,c= .12.在一块直角三角形纸中，两直角边AC=6，BC=8，将直角边AC 折叠使它落在斜边AB 上，折痕为AD ，求BD 的长.13.如图，四边形ABCD 中，AB=2cm ，BC=5cm ，CD=5cm ，DA=4cm ，∠B=︒90，求四边形ABCD 的面积.14.古今中外，有不少人探索过勾股定理，如图在Rt △ABC 的斜边BC 上作等腰直角三角形BCE ，其中BC=CE ，过E 点作AC 的垂线交AC 的延长线于D ，你能利用此图证明勾股定理吗？15.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，c-a=21b ，c+a=2b ，试判定△ABC 的形状，并说明理由.聚沙成塔如图，在△ABC 中，∠C=90。
北师大版九年级数学上册1.1你能证明它们吗(第二课时)课件
探 索 新 知
2013年12月23日星期一
10:37:25
定理
有两个角相等的三角形是
等腰三角形.
可简述为：等角对等边.
如图，在ABC中， B C AC AB(等角对等边) ABC是等腰三角形
结
论
2013年12月23日星期一
10:37:25
在一个三角形中，如果两个角
不相等，那么，这两个角所对的边
10:37:25
请作出等腰三角形各角的平分线，
你发现了什么？
探 索 新 等腰三角形两底角的平分线相等. 知
你能证明这个结论吗？
2013年12月23日星期一 10:37:25
证明：等腰三角形两底角的平分线相 等.
已知：如图，在ABC中，AB AC， BD、CE是ABC的角平分线. 求证：BD CE.
你 信 吗 ？
也不相等.
2013年12月23日星期一
10:37:25
已知：如图，在ABC中，B C. 求证：AB AC.
你 行 吗 ？
2013年12月23日星期一
10:37:25
证明：假设AB AC. 那么，由“等边对等角”知C B， 这与已知条件“B C”矛盾. 故假设不成立. 所以，AB AC.
参 考 答 案
2013年12月23日星期一
10:37:25
证明： AB AC ACB ABC (等边对等角) BD、CE是ABC的中线 1 1 CD AC，BE AB(中线的性质) 2 2 CD BE (等量代换) 在DBC和ECB中 CD BE DCB EBC BC CB DBC ECB( SAS ) BD CE (全等三角形的对应边相等)
你能证明它们吗(1)练习
你能证明它们吗（1）练习目标导航1.了解作为证明基础的几条公理的内容；掌握证明的基本步骤和书写格式.2.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质（等边对等角，三线合一）.基础过关1.边边边公理的内容是 .2.边角边公理的内容是 .3.角边角公理的内容是 .4.全等三角形的 相等， 相等.5.角角边推论的内容是 .6.三角形ABC 中，如果AB=AC ，则 .7.等腰三角形的 、 、 互相重合.8.等边三角形的各边都 ，各角都是 .能力提升9.下列说法中，正确的是（ ）A.两边及一角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边对应相等的两个三角形全等10.若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是（ ）A. α＜45°B. α＜90°C.0°＜α＜90°D.90°＜α＜180°11.△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ， 若 ∠E =51°，则∠B 等于（ ）A.68°B.52°C.51°D.78°12.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ） A.290n - B.90－2 n C.2n D.90°－n ° 13.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.14.等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________.15.如图，∆ABC 中，AB=AC, ∠BAD=︒30 ,AE=AD,则∠EDC= .15题图 16题图16.如图，在△ABC 中，∠A =20°，D 在AB 上，AD =DC ，∠ACD ∶∠BCD =2∶3，求：∠ABC 的度数.ED CBA17.已知：如图∆ABD 、∆ACE 都是等边三角形，求证：BE=DC.18.如图，在∆ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求∠ADB 的度数.聚沙成塔已知：如图，D 是等腰ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF.当D 点在什么位置时，DE=DF ？并加以证明.ED C B ADC B A。
§1.1.3你能证明他们吗？导学案
§1.1.3你能证明他们吗？导学案学习目标：学会等边三角形判定定理的证明；掌握直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系。
学习重点：等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
学习难点：能够用综合法证明等边三角形的判定定理。
学习过程：一、前置准备：1、已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形。
2、利用刻度尺两测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交流其关系。
二、自主学习：1、有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论。
定理：有一个角是的三角形是等边三角形。
三、合作交流：做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由。
根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明。
定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的。
四、例题解析：等腰三角形的底角为150，腰长为2a，求腰上的高。
六、当堂训练：1、判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半。
（）（2）有一个角是600的三角形是等边三角形。
（）2、证明三个角都相等的三角形是等边三角形。
课下训练：1、等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是 。
2、如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=900, ∠A =300,CD ⊥AB,BD=1,则AB= 。
3、在△ABC 中，AB=AC,∠BAC=1200,D 是BC 的中点，DE ⊥AC,则AE:EC= 。
4、如图2，在Rt △ABC 中，∠C=900,沿B 点的一条直线BE 折叠△ABC ，使点C 恰好落在AB 的中点D 处，则∠A= .5、在Rt △ABC0,AD⊥BC,你能看出BD 与BC中考真题：已知：如图，△ABC 中，BC ⊥AC,DE ⊥AC ，点D 是AB 的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB 的长。
1.1 你能证明它们吗(二)
求证:等腰三角形两腰上的高相等. A
P C
驶向胜 利的彼 岸
议一议
1
学无止境
1.已知:如图,在△ABC中, (1)如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3呢? 由此你能 得到一个什么结论? (2)如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么 结论? A 你能证明得到的结论吗？
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 证明的规范性在于：条理清晰 ，因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.
● ●
我能行
1
命题的证明
求证:等腰三角形两腰上的中线相等. A 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是 △ABC两腰上的中线. M N 求证:BM=CN. 证明:∵AB=AC(已知), B C ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 1 1 又∵CM= 2 AC,BN= 2 AB(已知), ∴CM=BN(等式性质). 在△BMC与△CNB中 ∵ BC=CB（公共边）, ∠MCB=∠NBC（已知）, CM=BN（已证）, 驶向胜利 ∴△BMC≌△CNB（SAS）. 的彼岸 ∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)
1.1 你能证明它们吗（二）
知识要点:
结论1: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于 顶角的一半. 结论2:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距 离之和等于一腰上的高
定理: 等腰三角形的两个底角相等 简称:等边对等角
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线 互相重合 (三线合一)
驶向胜利 的彼岸
议一议
3
几何的三种语言
定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.
北师大版九年级数学上册1.1你能证明它们吗(第一课时)课件
论
2013年12月19日星期四
22:24:15
回顾与思考
公理
两角及其夹边对应相等的
结
两个三角形全等.（ASA）
如图，在ABC和DEF中 A D AB DE B E ABC DEF ( ASA)
论
2013年12月19日星期四
22:24:15
回顾与思考
3、进一步体会了转化的思想在数学中的应 用.
2013年12月19日星期四
22:24:15
独立 作业
作 业 课本第5页，习题1.1，知识技能，2. 布 置
2013年12月19日星期四
22:24:15
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家犹如道德之于人. • 证明的规范性在于条理清晰，因果 相应，言必有据.这是初学证明者谨 记和遵循的原则.
你 相等的两个三角形全等.（AAS） 能 吗 ？ 你能证明上面的推论吗？
2013年12月19日星期四
22:24:15
证明：两角及其一角的对边对应相等
你 能 吗 ？
的两个三角形全等.
已知：如图，在ABC和DEF中， A D，B E，AC DF . 求证：ABC DEF .
结 合.(三线合一).
论
2013年12月19日星期四
22:24:15
证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每 个内角都等于60°.
已知：如图，在ABC中，AB AC BC. 求证：A B C 60 o. 证明： AB AC
C B (等边对等角) AB BC C A(等边对等角) A B C (等量代换) A B C 180 o (三角形的内角和为180 o ) A B C 60 o.
北师大版数学九年级上册1.1《你能证明它们吗》教学设计2
北师大版数学九年级上册1.1《你能证明它们吗》教学设计2一. 教材分析《北师大版数学九年级上册1.1你能证明它们吗》这一节内容，主要让学生了解证明的方法和步骤，学会用几何语言和逻辑推理的方法证明几何结论。
通过本节课的学习，学生能进一步感受证明的重要性，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对几何图形的性质和判定有一定的了解。
但学生在证明方面的知识和能力还有待提高，因此，在教学过程中，要注重引导学生掌握证明的方法和步骤，培养学生的逻辑推理能力。
三. 教学目标1.让学生了解证明的方法和步骤，学会用几何语言和逻辑推理的方法证明几何结论。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.让学生感受证明的重要性，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握证明的方法和步骤，能用几何语言和逻辑推理的方法证明几何结论。
2.教学难点：引导学生掌握证明的逻辑推理过程，培养学生的逻辑思维能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究证明的方法和步骤。
2.采用案例分析法，通过具体的例子让学生理解证明的过程。
3.采用分组合作法，让学生在小组内讨论和探究，培养学生的团队协作能力。
4.采用启发式教学法，教师引导学生思考，激发学生的思维潜能。
六. 教学准备1.准备相关的几何图形和证明案例，用于课堂演示和分析。
2.准备证明的道具，如直尺、圆规等，方便学生进行实践操作。
3.准备课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学过的几何图形的性质和判定，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示一组几何图形，让学生观察并思考：这些图形的性质是如何得出的？是如何证明的？3.操练（15分钟）教师引导学生用几何语言和逻辑推理的方法证明这些几何图形的性质。
学生在教师的指导下，通过分组合作，进行证明的实践操作。
4.巩固（10分钟）教师给出一些几何问题，让学生独立解决，检验学生对证明方法和步骤的掌握程度。
北师大版九年级数学1.1你能证明它们吗(第三课时)导学案
) ) )
________( 等量代换) BC AC ( __________ 等量代换) __( ABC是等边三角形(等边三角形的定义).
情况二： 60°角为等腰三角形的顶角.
已知：如图，在ABC中，AB AC，A 60 o. 求证：ABC是等边三角形. 证明： A 60 o B C 120 o (三角形内角和为180 o ) AB AC C B 60 o ( A B( AB BC AC ( ) ) )
o
) )
ABD是等边三角形( BC ___ BD ___ AB
即学即用：
在RtABC中，C 90 o A 30 o BC ____ AB.( )
活动三：
请先独立完成下列问题，然后与你的同伴进行交流. 例 2 等腰三角形的底角为 15o ，腰长为 2a，求腰上的 高. 解：
1、 先阅读并思考 P11—P13 页教材内容， 思考等腰三角形成为等边 学法 指导： 三角形的条件，探索含有 30º角的直角三角形性质； 2、 将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑. 1、 一个三角形满足什么条件时便成为等边三角形？
自主 2、 一个等腰三角形满足什么条பைடு நூலகம்时便成为等边三角形？ 学习：
第 1 页 /共 5 页
自我评价：
小组长评价：
活动一：
合作 探究：
请你试着证明它. 情况一： 60°角为等腰三角形的底角.
第 2 页 /共 5 页
已知：如图，在ABC中，AB AC，B 60 o. 求证：ABC是等边三角形. 证明： AB AC，B 60 o C B 60 o ( A 60 (
第 3 页 /共 5 页
九上 1.1你能证明它们吗
1.1你能证明它们吗（1）教师寄语：良好的开端是成功的一半学习目标：1、了解作为证明基础的几条公理内容，掌握证明的基本步骤步骤和书写格式。
2、经历“探索---发现---猜想---证明”，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理。
3、通过探究，养成严谨的科学态度、不懈的探究精神和良好的说理方法。
学习过程：一、前置准备：1、请你用自己的语言说一说证明的基本步骤。
2、列举我们已知道的公理：（1）公理：同位角，两直线平行。
（2）公理：两直线，同位角。
（3）公理：的两个三角形全等。
（4）公理：的两个三角形全等。
（5）公理：的两个三角形全等。
（6）公理：全等三角形的对应边，对应角。
注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。
二、自主学习：利用已有的公理和定理证明：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
”三、合作交流：议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？角：三线：（2）用已有的公理及定理证明这些结论。
四、例题解析：在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想。
五、当堂训练：1、下列各组几何图形中，一定全等的是（）A、各有一个角是550的两个等腰三角形；B、两个等边三角形；C、腰长相等的两个等腰直角三角形；D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.2、如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A、∠A=∠B ;B、BF=CE;C、AE∥DF;D、AE=DF.3、如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为。
4、（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为。
（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为。
5、△ABC中， AB=AC, 且BD=BC=AD，则∠A的度数为。
你能证明它们吗(2)练习
你能证明它们吗（2）练习目标导航1.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质.2.了解并能证明等腰三角形的判定定理.3.结合实例体会反证法的含义.基础过关1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.4.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=︒36，BD 是的角平分线，图中等腰三角形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 5.在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A.（1）（2）（3） B.（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D.（1）（3）（4）(1) (2) （3） （4） 7题图能力提升6.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.7.如图，在△ABC 中，BC=5cm,BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD//AB ，PE//AC ，则△PDE 的周长是 .8.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ） A.15 B.12 C.15或12 D.以上都不正确 9.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.10.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.11.用反证法证明：△ABC 中至少有两个角是锐角.CBABAC B AC B AP EDCBA12.如图，小明欲测量河宽，选择河流北岸的一棵树（点A ）为目标，然后在这棵树得正南岸（点B ）插一小旗作标志，从B 点沿南偏东︒60方向走一段距离到C 处，使∠ACB 为︒30，这时小明测得BC 的长度，认为河宽AB=BC ，他说得对吗？为什么？13.如图，在ABC Rt ∆中，∠CAB=︒90，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，交AB 于F.求证：△AEF 为等腰三角形.14.如图，在△ABC 中，AB=AC,P 是BC 上一点，PE ⊥AB, PF ⊥AC,垂足为E 、F,BD 是等腰三 角形腰AC 上的高， ⑴求证：BD=PE ＋PF.⑵当点P 在BC 边的延长线上时，而其它条件不变，又有什么样的结论呢？请用文字加以说明本题的结论.聚沙成塔如图所示，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110。
北师大版九年级数学上册全册教案
6
2011 年北师大版九年级数学上册全册教案
备课教师：dyj
课题 教学目标 教学重点
1.2、直角三角形（一）
课型
新授课
1、要求学生掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理，并能应用
定理解决与直角三角形有关的问题。
2、了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义，能结合自己的生活
及学习体验举出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子。
在哪里。
2．高度评价学生的参与热情和学习成果， 2．受到老师的表扬和鼓励，很有成就感，
激励学生继续努力。可以把其中很有创意 增加了学习 趣。
的积极性。
3．总结学生的“成果”，启发学生思考既 3．听取老师的分析，找出自己“成果”的
然学生所找的三角形同属直角类，那么它 优缺点；积极思考直角三角形的共性，有些
已知：如图，在 ABC 中，AB＝AC。
A
让同学们
求证：∠B＝∠C
通过探索、
证明：取 BC 的中点 D，连接 AD。
合作交流
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
找出其他
∴△ABC△≌△ACD (SSS)
B
D
C 的证明方
∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)
法
四、想一想：
在上图中，线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ 学生回顾
腰三角形是等边三角形。
二、一种特殊直角三角形的性质
1．积极动手操作，并很快得到结果：可以拼
1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问： 出等边三角形。
能拼成一个怎样的三角形?能否拼出一个
等边三角形?并说明理由。
2．在拼摆的基础上继续探索，得出结论。并
北师大版九上数学1.1你能证明它们吗 导学案
1.1你能证明它们吗学习目标、重点、难点【学习目标】1、 等腰三角形的性质定理及推论；2、 等腰三角形的判定定理及推论.【重点难点】1、 等腰三角形的性质定理及推论；2、 等腰三角形的判定定理及推论.3、 反证法知识概览图新课导引如下图所示，很多古代建筑以及我们居住的一些房屋的屋顶都是人字形梁架． 【问题探究】上面叙述的人字形梁架是由哪些图形组成的呢?它们有哪些性质?教材精华知识点1 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)． 用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ． 定理的证明：取BC 的中点D ，连接AD ．∵(),()()AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩已知中点定义，公共边，∴△ABD ≌△ACD (SSS)．∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等)．定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．拓展 等腰三角形还具有其他性质．(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b ＜a ． (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ，底角为∠B ，∠C ，则∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－2∠B ＝180°－2∠C ．知识点2 等腰三角形的性质定理的推论推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．(1)用符号语言表示为：如图1－3所示，①在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，∴AD ⊥BC ．BD ＝DC ；②在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠1＝∠2，BD ＝DC ；③在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴∠1＝∠2，AD ⊥BC ．(2)推论1的证明．①在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS)．∴BD ＝DC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∴AD ⊥BC ．②在△ABC 中，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)．∴∠1＝∠2，BD＝CD．③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．(1)用符号语言表示为：如图1－4所示，在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．(2)推论2的证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．∴∠A＝∠B＝∠C．又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．知识点3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC判定定理的证明：如图1－6所示．过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB＝AC．√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．拓展如图1－6所示，在△ABC中，(1)如果AD ⊥BC ，∠1＝∠2，那么AB ＝AC ；(2)如果AD ⊥BC ，BD ＝DC ，那么AB ＝AC ；(3)如果∠1－∠2，BD ＝DC ，那么AB ＝AC ．知识点4 等腰三角形的判定定理的推论推论1．(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠A ＝60°(或∠B ＝60°或∠C ＝60°)，∴AB ＝AC ＝BC ．(3)推论1的证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．又∵∠A ＝60°，∴∠B ＝∠C ＝01802A -∠＝60° ∴AB ＝AC ＝BC ．(或∵∠B ＝60°，∴∠A ＝180°－2∠B ＝60°．∴AB ＝AC ＝BC ．或∵∠C ＝60°，∴∠A ＝180°－2∠C ＝60°．∴AB ＝AC ＝BC ．)√推论2．(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC 中，∵∠A ＝∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ＝BC ．(3)推论2的证明：在△ABC 中，∵∠A ＝∠B ，∴BC ＝AC (等角对等边)．又∵∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC (等角对等边)．∴AB ＝AC ＝BC ．(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；(3)根据推论2，证明三个角都相等．√推论3．(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。
(滕州市育才中学李梅)1.1你能证明它们吗(1)
课题：第一章第一节你能证明它们吗第一课时课型：新授课授课人：滕州市育才中学李梅授课时间：2013年9月3日星期二第二节课教学目标：1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式.2.经历“探索－发现－猜想－证明”的过程．能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理，增长几何学习经验，进一步提高三种数学语言的转化能力.3.运用等腰三角形性质定理及其推论证明角相等或线段相等，进一步提高逻辑推理能力.4.体会特殊与一般的辩证关系，提高学习兴趣.教学重点：了解作为证明基础的几条公理的内容,通过对等腰三角形性质的证明，掌握证明的基本步骤和书写格式.教学难点：证明等腰三角形性质时辅助线的添加.教法及学法指导：从引导学生自制学具开始，我采用了观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法等，多法并举，使学生突破证明等腰三角形性质定理的难点，并让学生总结出各种辅助线的特征，体现了学生主动进行知识建构的过程，同时也培养了学生合作探究．分析问题及解决问题的能力．课前准备：多媒体课件，自制等腰三角形纸片，三角尺，量角器．教学过程：一、创设情境师：在这秋高气爽,阳光明媚的日子里，我们又开始了新的学期，大家回到了熟悉的校园..这是我昨天拍摄的大家拉着行李箱入住的一些场景，请看大屏幕．展示：马路上，有的学生骑自行车（三角车架），有的是家长开车送学生入校（车标），有个女生为爸爸打伞（伞面的一部分）．宿舍里，大家在整理床铺，扎起窗帘（窗帘垂下的造型），挂放衣物（衣架的形状），一位饥肠辘辘的同学正在吃面包（三明治）······（学生怀着愉悦的心情看图，叽叽喳喳，追逐自己或同学的身影，还不时做出感叹和评论）师：在刚才的展示里你有没有看到熟悉的几何图形呢？生１：三角形生２：等边三角形生3：等腰三角形师：嗯，不错．在我们生活中，大家经常可以看到等腰三角形“靓丽”的身影，等腰三角形以其独特的魅力在我们几何学习是占有重要的地位.今天我们就来学习等腰三角形的一些相关知识.（板书课题：你能证明它们吗）【设计意图】利用从学生入校的场景着眼，从学生自己身边的图片入手，吸引学生的注意力，借助于适当的问题引导，激发学生的学习兴趣，为发现新知识创设一个最佳的心理和认知环境，后续课堂上学生的思维活动就会明显增多．二、复习旧知师：认识等腰三角形之前，让我们先来回顾八年级下册证明（一）中的一些知识.公理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）．公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）．公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）．公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等．(组织学生阅读课本第2页“议一议”之上的内容，思考推论的证明方法.时间２分钟.）推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．两生板演证明过程【设计意图】该推论的证明较简单，让学生板演的目的是熟悉命题证明的基本要求和步骤．文字命题的证明的一般步骤：1.分清命题中的题设和结论 2.画出图形写出相应已知和求证3.证明过程.二、探索新知师：现在让我们研究等腰三角形．请思考以下两个问题１.什么叫等腰三角形？２.等腰三角形有哪些性质？生１：两腰相等的三角形是等腰三角形．生２：等腰三角形的性质：两腰相等、两底角相等．生３：还有三线合一师：你是怎么得到我这些性质呢？（拿出等腰三角形纸片，引导学生用等腰三角形纸片或其它工具来研究）生１：量角器度量．可说明两底角相等．生２：折叠已准备好的等腰三角形纸片，能够完全重合即可说明.（对于实验验证，教师要改变以往直接给学生指明方法去做的方式，让学生自己通过讨论得出验证的方法，要为学生提供了发展思维能力的空间.）师：刚才大家用了不同的实验方法，都可以得出这两个结论，但是要说明一个结论的成立，仅仅依靠观察、度量、实验、操作是不够的，证明是必要的.那么现在你能用已有的公理和定理，去证明这些结论吗？我们先来证明第一个结论“等腰三角形两底角相等”（组织分析文字命题的题设和结论，画出图形，写出相应的已知求证.）（然后根据学生的板演，及时评价，并对解题方法提出新的要求：“你还有其他证明方法吗？”.辅助线的添加是本节课的难点，让学生对同一个问题从不同的角度去思考.证明过程可小组内合作交流.３分钟后学生板演展示. 再次合作交流，汇总解题方案.）方法1：取ＢＣ中点Ｄ，连接ＡＤ，构造三角形全等.（ＳＳＳ）证明：取BC的中点D，连接AD．∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD (SSS)∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)方法２：作∠ABC的角平分线，交ＢＣ于点Ｄ，构造三角形全等.（ＳＡＳ）证明：作∠ABC的角平分线，交ＢＣ于点Ｄ∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD (SAS)∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)方法３：过点Ａ，做ＡＤ⊥ＢＣ，构造三角形全等.（ＨＬ）（我们虽然以前学习过“勾股定理”、“ＨＬ定理”但从《证明（１）》建立起公理系统以后，还没有证明过这两个定理，因此它们暂时不能作为证明的依据.但仍要对给出方法３的学生予以肯定.）师：我们把等腰三角形的两个底角相等，简单的叙述为“等边对等角”.接下来谁能证明，“三线合一”这一结论呢？生：刚才的证明过程实际上就可以证明，无论我做了哪种辅助线，都构造了三角形全等，则可得出对应边相等，对就角相等．所以这条线的特征就更加丰富了，也就是“三线合一”啦. 师：看来我们在证明等腰三角形的两底角相等的过程中“生产”出这么多让人兴奋的结论，真是可喜可贺．像这种一举两得的事情是大家善于观察、发现的结果，我们要继续努力.（叙述推论内容：“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）【设计意图】本环节开始的问题给予学生富有思考性的猜想机会，激发学生进一步实验验证和理论证明的兴趣，所以才会出现折纸和度量这些操作活动,然后在探索性质的证明时小组合作交流中易于碰撞出智慧的火花，探索出多种证法.一系列活动的开展让学生明确研究数学问题的思路和方法，培养严谨的学习习惯．教师要善于表扬且要及时表扬，让学生在学习之中能时常体验成功的喜悦.）三、学以致用１.（2012广元）已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是【考查知识点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想（区别等腰三角形顶角和底角）．2.（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．16或20【考查知识点】分类讨论的数学思想，源于等腰三角形腰和底边的区别，但是分类后该题有取舍，用三边关系判断确定三角形的第三边长,最后求得其周长.3.证明: 等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°.【考查知识点】文字命题的规范证明，等边三角形的形状4．（2011湖南怀化）如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=_________.【考查知识点】等腰三角形的三线合一，直角三角形的勾股定理5.（2012滨州）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=．【考查知识点】本题考查等腰三角形的性质和三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，AB=AD，又已知∠BAD的大小，可求出∠B、∠ＡＤＢ的大小．又已知AD=DC，由三角形内角和定理可得∠C的大小．四、畅谈收获本节课你有哪些收获和体会？生：我知道了等边对等角，三线合一．生：我们可以利用等腰三角形的性质来解决相关的许多问题．生：证明我最擅长三角形全等，我还学到了一题多解．生：除了相关定义和定理之外，我更感觉到了数学中的思想方法的重要性，如分类讨论．生：定理我能理解，但是在应用时，往往还不知如何下手，特别是需要添加辅助线的时候．生：我在证明时有点不规范……【设计意图】学生通过回顾本节课的学习过程，体会“探索—发现—猜想—证明”这样的科学探究过程，通过回顾本节课辅助线的添加，进一步丰富自己的解题经验，提高解题能力和一题多解的能力．五、分层作业1．（A类）：课本5页知识技能1、2题助学1、2、4、5、72．（B类）助学3、8、93．（C类）助学6、巩固训练2【设计意图】作业分层，让能力不同的每个学生都能各有所得板书设计学生板演及课堂练习________________________________教后反思一、教学中的成功经验1.通过教学中的动手实验把学生和教师紧紧联系在一起，并且贯穿于教学过程的始终．教师努力把握情感目标的契机，积极参加学生的各项活动，努力使自己成为学生中的一员，并认真精细地组织教学，在教育教学的各个环节善于对学生进行情感诱导，竭尽全力帮助学生获得成功，使学生自觉的产生奋发向上的内在动力推动他们不断进步.2.减少教师的活动量，给学生充足的时间发展．教师做好学法指导，做到少讲，少问，力求做到精而美，使学生有时间和空间进行自我调控，自主发展，自我创造，自我评价，促使学生学会学习.二、需进一步提高的能力学生方面：在课堂学生之间交往的过程中，所有学生都应学会如何与同学合作，为趣味和快乐而学习而竞争，自主地进行独立学习.教师方面：1.应进一步加强课堂教学的调控，不断提高自身的业务水平和更新知识结构.2.对时间的把握要掌控好，还要努力做的收放自如．。
1.1你能证明它们吗(练习课)
D
回顾反思
几何的三种语言 几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于 斜边的一半,那么它所对的锐角等于 所对的锐角等于30 斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
′
在△ABC中 ABC中 ∵∠ACB=90 ,BC=AB/2(已知), ∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知), 在直角三角形中, ∴∠A=300(在直角三角形中,如果 一条直角边等于斜边的一半, 一条直角边等于斜边的一半,那 A 0). 么它所对的锐角等于 所对的锐角等于30 么它所对的锐角等于30
′ B A
P H Q
C
胜利属于敢想敢干的人! 胜利属于敢想敢干的人! 你能与同学们交流探索证题 的全过程吗? 的全过程吗?
隋堂练习
含300角的直角三角形
已知:如图, 已知:如图, ABC中,∠ACB= ,CD⊥AB,垂足 在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300,CD⊥AB,垂足 为D. C 探索:BD与AB的关系 的关系? 探索:BD与AB的关系?
知识要点: 知识要点:
结论3:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的 结论3:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的 3:等腰三角形底边上的任意一点 距离之和等于一腰上的高 距离之和等于一腰上的高 结论4: 等腰三角形两底角的平分线相等. 结论 等腰三角形两底角的平分线相等 结论5: 等腰三角形两腰的高线,中线分别相等. 结论 等腰三角形两腰的高线,中线分别相等
36°90°108° ° ° °
3.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆 将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆 将不全等的两个等边三角形 和等边三角形
请你画出不少于 使得AE=CF,同时满足在 同时满足在 放,请你画出不少于 种的摆放示意图 使得 请你画出不少于5种的摆放示意图,使得 同时 重合的一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个 重合的顶点算一个),并说 重合的一条直线上有且只有三个顶点 重合的顶点算一个 并说 C 明理由. 明理由 C E E A F A B
1.1你能证明它们吗等边三角形的判定
B A
300
′
C
驶向胜利 的彼岸
试一试P14 2
成功者的摇篮
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别 是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得 A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG 等于多少度?你能证明你的结论吗?
B E C F B E A G A (1) D A (2) D C F
驶向胜利 的彼岸
独立作业
2
习题1.3
4 1
E 1.已知:如图,△ABC是等边三角形,
A
3
F
D 答:(1)△DEF是等边三角形;(2)△ABE,△ACF,△BCD也是等边三角形. 证明(1):∵△ABC是等边三角形(已知), ∴∠1＝∠2=∠3＝600(等边三角形的三个角都相等并且每个 角都等于600 ). 又∵EF∥BC,DE∥AC(已知), ∴∠4＝∠2＝600,∠5＝∠1＝600(两直线平行,内错角相等). ∴∠E＝600(三角形内角和定理). 驶向胜利 同理,∠D=600,∠F＝600. 的彼岸 ∴ ∠D＝∠E=∠F＝600(等量代换). ∴△DEF是等边三角形(三个角相等的三角形 是等边三角形).
试一试P14 2
成功者的摇篮
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分 别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使 得A落在EF上(如图(2)中A1),折痕交AE于点G,那么 ∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗? B C 0. 答:∠ADG等于15 证明:∵DF=DC/2(中点意义), A1 E F A1D=AD=CD(正方形各边都相等), 300 ∴DF=A1D/2(等量代换). G ∴∠DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直 A D 角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300). (2) 又∵AD∥EF(中点意义), ∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等). ∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).
1.1你能证明它们吗
呢? 由此你能得到一个什么结论?
E
A D
B
C
1 1 （2）如果AD= AC ,AE= AB ,那么BD=CE吗? 2 2
1 如果AD= 1 AC ,AE= AB 呢? 3 3
由此你能得到一个什么结论?
2.前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等. 反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 如图, 在△ABC中, ∠B＝∠C.要想 证明AB=AC，只要能构造两个全等的三 角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 你是怎样构造的？ B 定理
Q B P C
证明:等腰三角形两腰上的中线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM、CN是△ABC A 两腰上的中线. 求证:BM=CN.
N B M C
1.如图,在等腰三角形ABC中, 1 1 （1）如果∠ABD= ABC , ∠ACE= ACB ，
3
3 1 1 那么BD=CE吗?如果∠ABD= ABC ,∠ACE= 4 ACB 4
A
C
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简单叙述为：等角对等边.
小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那 么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立 吗? 如果成立,你能证明它吗?
A
B
C
小明是这样想的:
如上图,在△ABC中,已知∠B≠∠C, 此时,AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC,那么根据“等边对 等角”定理可得∠B=∠C,但已知条 件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”与已知 条件“∠B≠∠C”相矛盾， 因此,AB≠AC.
用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的 三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
60°
60°
1.1你能证明它们吗(2)
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知). ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一） ∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）
轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的 三种不同形式的运用.
1.证明:等边三角形的三个角都相等,并且 每个角都等于60°.
2.如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点, 且AC垂直BD,AC=BC=CD. (1) 求证:△ABD是等腰三角形 (2)求∠ABD的度数
A
B
C
D
开拓思维
1.将下面证明中每一步的理由写在括号内: 已知:如图,AB=CD,AD=CB. 求证:∠A=∠C.
A
●●
B′
C
●
●●
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 6
几何的三种语言
B
推论: 两角及其一角的对边对应相 等的两个三角形全等（AAS）.
′
在△ABC与△A′B′C′中 ∵∠A=∠A′ ∠C=∠C′ A′ AB=A′B′ ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
A
●
●●
B′
C
●
●●
C′
证明后的结论,以后可以直接运用.
证明:连接BD, 在△BAD和△DCB中, ∵ AB=CD( AD=CB( BD=DB( ∴ △BAD≌ △DCB( ∴ :∠A=∠C (
A
D
) ) )B ) )
C
2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线 上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. 求证:∠A=∠D
A D
1.1你能证明它们吗
1.1你能证明它们吗一、填空题1.如图，已知等腰△ABC ，AB =AC ，若AB ＞BC ，则△ABC 为__________角三角形.2.等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形.3.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AC ，则∠C =__________°; CE ∶EA =__________.4.如图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，且AD ∥BC ，则∠1__________∠B ，∠2__________∠C ，△ABC 是__________三角形.5.在△ABC 中，∠A =∠B =21∠C ，则△ABC 是__________三角形. 6.已知，等腰△ABC ，AB =AC ：（1）若AB =BC ，则△ABC 为__________三角形；（2）若∠A =60°，则△ABC 为__________三角形；（3）若∠B =60°，则△ABC 为__________三角形.7.在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.8.底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△ABC ，等边△DEF 的对称轴.9.如图，已知△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，垂足为D 、E 为AC 的中点，AD =DE =6 cm 则∠ACD =（__________）°,AC =__________cm,∠DAC =(__________)°，△ADE 是__________三角形.10.如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，如果AB =8 cm ，则BD =__________cm ，∠BDE =（__________）°,BE =__________cm.11.如图，Rt △ABC 中，∠A =30°,AB +BC =12 cm ，则AB =__________cm.12．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设 .13．等腰三角形的顶角α＞90°，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分成了两个等腰三角形，那么α的度数为 ．第3题 第1题 第4题 第8题第9题二、选择题14.如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形15.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =2∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，则图中共有等腰三角形A.1个B.2个C.3个D.4个16.如图，△BD C′是将矩形ABCD ，沿对角线BD 折起得到的，图中（包括实线、虚线图形），共有全等三角形A.2对B.3对C.4对D.5对17.如图，在△ABC 中，∠B =∠C =40°，D ，E 是BC 上两点，且∠ADE =∠AED =80°，则图中共有等腰三角形A.6个B.5个C.4个D.3个18.如图，已知△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，又DE ∥BC ，交AC 于E ，若DE =4 cm ，AE =5 cm ，则AC 等于A.5 cmB.4 cmC.9 cmD.1 cm19.下列说法不正确的是A.等边三角形只有一条对称轴B.线段AB 只有一条对称轴C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线20.下列命题不正确的是A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形21.在Rt △ABC 中，如图所示，∠C =90°，∠CAB =60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE =3.8 cm ，则BC 等于A.3.8 cmB.7.6 cmC.11.4 cmD.11.2 cm第10题第11题第15题第17题 第16题第18题第21题22．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于 ( ) A．30° B．40° C．45° D．36°23．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，如图所示，则图中的等腰三角形有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个24．如图所示，在□ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于 ( ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm25．下面几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中是等边三角形的有 ( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个三、解答与证明26.如图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.27.如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.28.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.第23题第24题第22题29.如图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：△DGE是等腰三角形.30.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.31．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，如图所示，写出已知、求证，她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：过点A作BC的中垂线AD，垂足为D．彬彬：作△ABC的角平分线AD．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要改正．”(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．32．如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD＝BE，求证△ABC是等腰三角形．33．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上．CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F，求证AB＝FC．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2、如图，已知点C是线段AB上的一点， 分别以AC、CB为一边在AB的同侧作等 边⊿ACD和⊿CBE，AE交CD于点M， BD交CE于点N，求证：⊿MCN为等边 三角形。
3、在某次“海上搜救”的演习活动中，一艘 救护船在A处测得海岛B在北偏东35°方向。 上午11时，该救护船从A处出发，以20节的 速度向正北方向航行到C处，此时测得海岛B 在北偏东70°方向，且救护船距海岛20海里， 求救护船到达C处的时间。
2、如图，在四边形ABCD中，AC平分 ∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9， 求AC的长
3、如图，在⊿ABC中，AB=AC，D、E 为线段BC上的点，且有AD=AE，求证： BD=CE
4、如图，在⊿ABC中，AB=AC， ∠BAC=120°，D是BC上任意一点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 求证：DE+DF=½BC F
5、如图，在⊿ABC中，AC=BC=2， ∠ACB=90°，D为BC边的中点，E是AB边 上的一动点。求：EC+ED的最小值。
6、如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分 ∠BAD，且点E是CD的中点，问AD、BC和 AB之间有何关系？
7、如图，点P是矩形ABCD内的一点，求证： PA² ＋PC² ＝PB² ＋PD²
70° B
C 35° A
二、等腰三角形的判定 1、如图，已知，在⊿ABC中，DE∥CA， DE=BE。求证：ABபைடு நூலகம்AC
2、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠， 使点B落在边AD上的B′处点A落在A′处， 求证：⊿B′EF是等腰三角形 A′
B′
三、等边三角形
1、如图，已知AD和BC交于点O，且⊿OAB 和⊿OCD均为等边三角形，以OD和OB为边 作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE， CE和AD交于点F，求证：⊿ACE为等边三 角形。